WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова.

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

Павельчак Иван Алексеевич

Численные методы решения обратных задач для математических моделей возбуждения сердца

05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2012

Работа выполнена на кафедре математической физики факультета вы­ числительной математики и кибернетики Московского государственного уни­ верситета имени М.В. Ломоносова.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор, Денисов Александр Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, Братусь Александр Сергеевич;

доктор физико-математических наук, профессор, Ягола Анатолий Григорьевич

Ведущая организация: Институт проблем передачи информа­ ции им. А.А. Харкевича РАН

Защита состоится 12 декабря 2012 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссерта­ ционного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной ма­ тематики и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан « » 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор Захаров Е.В.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В настоящее время методы математического моделирования активно используются в медицине. Одной из важных сфер применения этих методов являются проблемы кардиологии. Математические методы и компьютерные технологии позволяют анализировать различные процессы сердечной активности и совершенствовать диагностику кардиоло­ гических заболеваний.

Методы математического моделирования играют большую роль в иссле­ довании электрофизиологических процессов, происходящих в сердце, и выяв­ лении различных нарушений сердечной деятельности. Электрофизиологиче­ ские процессы в сердечной мышце характеризуются изменением во времени трансмембранного потенциала. Для описания процесса возбуждения сердца в терминах трансмембранного потенциала предложен ряд математических моделей, см. обзор в [9]. Широкое распространение получили монодоменные модели, представляющие собой начально-краевые задачи для квазилинейных эволюционных систем уравнений в частных производных, рассматриваемых в областях с достаточно сложной геометрией [10]. К числу монодоменных мо­ делей относятся модели Фитц-Хью–Нагумо [11–13] и Алиева–Панфилова [14], активно используемые для анализа различных процессов возбуждения серд­ ца.

Важным направлением в применении математических методов и компью­ терных технологий в кардиологии является разработка численных методов и программного обеспечения для решения различных задач диагностики забо­ леваний сердца. Многие методы вычислительной диагностики базируются на решении обратных задач для математических моделей возбуждения сердца.

Они могут быть использованы для диагностики различных болезней, напри­ мер таких широко распространенных заболеваний, как аритмия и инфаркт миокарда. Разработка численных методов решения обратных задач для ма­ тематических моделей возбуждения сердца, их программная реализация и применение в электрофизиологии сердца безусловно являются актуальными.

Цель диссертационной работы разработка численных методов решения обратных задач математиче­ ских моделей возбуждения сердца программная реализация предложенных численных методов решения обратных задач проведение вычислительных экспериментов с целью анализа точности решения обратных задач и возможности применения предложенных ме­ тодов для диагностики кардиологических заболеваний Научная новизна. Рассмотрены новые постановки обратных задач для математических моделей возбуждения сердца. Разработаны численные мето­ ды решения поставленных обратных задач. Создан программный комплекс, реализующий предложенные численные методы. Проведены численные экспе­ рименты, показавшие достаточно хорошую точность решения обратных задач предложенными методами.

Практическая значимость. Предложенные численные методы и со­ зданный комплекс программ могут быть использованы для разработки мето­ дов и средств диагностики кардиологических заболеваний.

На защиту выносятся следующие основные результаты и поло­ жения:

численные методы решения задач определения локализованного источ­ ника в математических моделях возбуждения сердца;

численные методы решения задач определения параметров математиче­ ских моделей возбуждения сердца и определения области, утратившей способность к возбуждению;

программный комплекс, реализующий разработанные численные мето­ ды; результаты вычислительных экспериментов решения обратных за­ дач, показывающие возможность использования предложенных мето­ дов для диагностики кардиологических заболеваний.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на:

V международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания"(Обнинск, 14–18 мая 2011 года) научной конференции "Тихоновские чтения"(Москва, МГУ им. М.В.

Ломоносова, 14 июня 2011 года) научном семинаре лаборатории обработки биоэлектрической информа­ ции в Институте проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН научной конференции "Ломоносовские чтения"(Москва, МГУ им. М.В.

Ломоносова, 16–25 апреля 2012 года) научном семинаре "Обратные задачи математической физики"под ру­ ководством профессоров А.Б. Бакушинского, А.В. Тихонравова и А.Г.

Яголы в Научно–исследовательском вычислительном центре МГУ им.

М.В. Ломоносова научно-исследовательском семинаре кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных ра­ ботах, из них 4 статьи в журналах списка ВАК [1–4], 2 статьи [5, 6] и 2 тезиса докладов [7, 8].

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем дис­ сертации 91 страница, из них 83 страницы текста, включая 17 рисунков. Биб­ лиография включает 52 наименования на 7 страницах.

Содержание работы Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­ мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения, сделан обзор работ по математическим моде­ лям возбуждения сердца и обратным задачам для этих моделей.

В первой главе диссертации разрабатываются численные методы ре­ шения задач определения источника в моделях возбуждения сердца.

В §1.1 приведены рассматриваемые модели возбуждения сердца. Это две монодоменные модели, описывающие изменение трансмембранного потенци­ ала в сердечной ткани. Наибольший интерес с практической точки зрения представляет изучение этих моделей в трехмерных областях, соответствую­ щих геометрии сердца. Однако, учитывая теоретическую и вычислительную сложность соответствующих трехмерных задач, в большом числе работ ис­ следуются двумерные модели, позволяющие учесть многие эффекты, харак­ терные для процессов возбуждения сердца, см. например [15–17]. Поскольку обратные задачи имеют существенно большую численную трудоемкость, чем прямые, в диссертации рассматриваются обратные задачи для двумерных моделей возбуждения сердца.

Модель Фитц-Хью–Нагумо [11–13] является наиболее часто употребляе­ мой при исследовании процессов возбуждения сердца. Она представляет со­ бой начально–краевую задачу:

ut = Du - u(u - )(u - 1) - w, (x, y) G, t [0, T ], (1) wt = u - w, (x, y) G, t [0, T ], (2) u (x, y, t) = 0, (x, y) , t [0, T ], (3) n u(x, y, 0) = (x, y), (x, y) G, (4) w(x, y, 0) = 0, (x, y) G. (5) Здесь G – ограниченная область с границей , D, , , – заданные положи­ тельные постоянные. Функция u(x, y, t) – это трансмембранный потенциал;

функция w(x, y, t) – медленная восстанавливающая переменная, связанная с ионными токами. Постоянная D представляет собой коэффициент электро­ проводности среды; - коэффициент порога возбуждения среды; параметры и определяют свойства бегущей волны. Модель (1)–(5) позволяет каче­ ственно описывать процесс распространения возбуждения в миокарде и дает хорошую точность моделирования таких наблюдаемых характеристик, как продолжительность импульса и скорость его распространения [9, 15, 18–20].

Но некоторые другие характеристики процесса, такие как форма импульса и восстанавливающие свойства среды, модель Фитц-Хью–Нагумо описывает не точно [9, 14]. Модель Алиева–Панфилова [14] более точно описывает форму наблюдаемых импульсов в миокарде. Модель Алиева–Панфилова записыва­ ется так:

ut = Du - ku(u - )(u - 1) - uw, (x, y) G, t [0, T ], (6) µ1w wt = - 0 + (w + ku(u - - 1)), (x, y) G, t [0, T ], (7) u + µu (x, y, t) = 0, (x, y) , t [0, T ], (8) n (a) Фитц-Хью–Нагумо (b) Алиева–Панфилова Рис. 1: Профили волн для моделей u(x, y, 0) = (x, y), (x, y) G, (9) w(x, y, 0) = 0, (x, y) G. (10) Здесь G – ограниченная область с границей , D, k, , 0, µ1, µ2 – заданные по­ ложительные постоянные, (x, y) – заданная функция. Как и в модели Фитц­ Хью–Нагумо, функция u(x, y, t) – это трансмембранный потенциал, функция w(x, y, t) – медленная восстанавливающая переменная, связанная с ионными токами. Постоянные коэффициенты 0, µ1, µ2 уравнения (7) позволяют точ­ но приблизить форму моделируемого импульса к экспериментальным дан­ ным [14]. Различия формы фронта распространяющегося импульса показаны на рисунке 1. В работе рассматриваются две модели – часто употребляемая Фитц-Хью–Нагумо, на основе которой уже проведено множество различных исследований электрической активности сердца, и более точная Алиева–Пан­ филова, лучше описывающая форму фронта распространяющегося возбуж­ дения.

Также в §1.1 предложены численные методы решения прямых задач для рассматриваемых моделей, основанные на методе конечных элементов. Пря­ мые задачи решаются в областях двумерного пространства, приближенных к некоторым сечениям сердца. На рисунке 2 приведен пример решения пря­ Рис. 2: Решение прямой задачи для модели Фитц-Хью–Нагумо:

(а) t=0; (б) t=50; (в) t=150; (г) t=200.

мой задачи для модели Фитц-Хью–Нагумо с помощью описанного численного метода. На нем показано формирование и распространение бегущей волны, соответствующей изменению трансмембранного потенциала при локализован­ ном начальном возбуждении (x, y) (рис. 2 а)) В §1.2.1 рассматривается задача определения локализованного началь­ ного возбуждения (x, y) для моделей Фитц-Хью–Нагумо и Алиева–Панфи­ лова, связанная с диагностикой такого заболевания, как аритмия. Обратная задача состоит в определении функции (x, y) по измерениям потенциала u(x, y, t) на внешней границе 1 области G u(x, y, t) = (x, y, t), (x, y) 1 , t [0, T ].

Начальное возбуждение считается локализованным, а именно предполагает­ ся, что (x, y) имеет вид x)2+(y-)2)/(x, y; x, , ) = e-((x-.

В §1.2.2 предлагается численный метод решения обратных задач опреде­ ления начального возбуждения, основанный на минимизации функции невяз­ ки T (x, , ) = (u(x, y, t; x, , ) - (x, y, t))2dldt.

0 Предложенный метод использует априорную информацию об искомых харак­ теристиках и, таким образом, базируется на принципах решения некоррект­ но поставленных задач, предложенных в фундаментальных работах А. Н.

Тихонова [21, 22], М. М. Лаврентьева [23] и В. К. Иванова [24]. Для вычис­ ления частных производных функции решаются начально-краевые задачи для уравнений в частных производных. Предложен алгоритм вычисления на­ чального приближения для градиентного метода минимизации, основанный на анализе времени прихода импульса на границу.

В §1.2.3 приводятся результаты вычислительных экспериментов с при­ менением предложенного метода. Результаты решения обратных задач имеют хорошую точность. В табл. 1 показаны результаты решения обратной задачи для обеих моделей в области, имеющей два выреза, с функцией (x, y) = e-((x-23) +(y-44)2)/36 и погрешностью равной 2 = 0.012.

Таблица 1: Результаты в области с двумя вырезами Модель Фитц-Хью–Нагумо Модель Алиева–Панфилова x x Точные знач. 23 44 6 23 44 Результат 22.6153 44.0489 5.96315 22.6689 44.0211 5.929В §1.3.1 рассматривается задача определения локализованного источни­ ка в уравнении для моделей Фитц-Хью–Нагумо и Алиева–Панфилова. В этом случае начально-краевая задача для модели Фитц-Хью–Нагумо имеет вид ut = Du - u(u - )(u - 1) - w + I(x, y, t; x, , t, , ), (x, y) G, t [0, T ], wt = u - w, (x, y) G, t [0, T ], u (x, y, t) = 0, (x, y) , t [0, T ], n u(x, y, 0) = 0, (x, y) G, w(x, y, 0) = 0, (x, y) G, где I – функция локализованного источника вида x)2+(y-)2)/2 (t-t) I(x, y, t; x, , t, , ) = e-((x- e-.

Требуется определить параметры функции источника I по измерениям по­ тенциала u(x, y, t) на внешней границе 1 области G u(x, y, t) = (x, y, t), (x, y) 1 , t [0, T ].

В отличии от постановки задачи, сформулированной во втором параграфе, здесь к неизвестным параметрам добавляются t и . Аналогично ставится задача для модели Алиева–Панфилова.

В §1.3.2 предлагается численный метод решения обратных задач, ос­ нованный на минимизации функции невязки F. Для вычисления частных производных функции F записывается сопряженная задача для уравнений в частных производных. Для модели Фитц-Хью–Нагумо сопряженная задача имеет следующий вид:

a = -Da - b + a(3u2 - 2(1 + )u + ), (x, y) G, t [0, T ], t b = a + b, (x, y) G, t [0, T ], t a D (x, y, t) = 2(u - ), (x, y) 1, t [0, T ], n a (x, y, t) = 0, (x, y) 1, t [0, T ], n a(x, y, T ) = 0, (x, y) G, b(x, y, T ) = 0, (x, y) G, при этом частные производные функции F вычисляются по формуле T F I = a(x, y, t) ddt, j j 0 G где j – один из параметров x, , t, , . В §1.3.3 приводятся результаты вы­ числительных экспериментов с применением разработанного метода.

В §1.4.1 ставится задача определения локализованного начального усло­ вия для модифицированных моделей, в которых рассматривается изменение двух потенциалов в областях, соответствующих сердцу и торсу. Рассмотрим модель Фитц-Хью–Нагумо:

ut = Du - u(u - )(u - 1) - w, (x, y) H, t [0, T ], wt = u - w, (x, y) H, t [0, T ], u (x, y, t) = 0, (x, y) H, t [0, T ], n u(x, y, 0) = (x, y), (x, y) H, w(x, y, 0) = 0, (x, y) H, к которой добавляются уравнения v = u, (x, y) H, t [0, T ], v = 0, (x, y) G H, t [0, T ], v (x, y, t) = 0, (x, y) G, t [0, T ], n где G – ограниченная область с границей G, такая, что H G. Функция v(x, y, t) описывает изменение потенциала электрического поля, иницииро­ ванного изменением трансмембранного потенциала u(x, y, t) [25]. Потенциал v(x, y, t), определенный вне области H, может быть измерен на границе обла­ сти G, которая интерпретируется как торс человека. Ставится следующая об­ x)2+(y-)2)/ратная задача. Требуется определить функцию (x, y; x, ) = e-((x-, если задана (x, y, t) = v(x, y, t), (x, y) G, t [0, T ].

Аналогично ставится задача для модели Алиева–Панфилова.

В §1.4.2 предлагается численный метод решения обратных задач, ос­ нованный на минимизации функции невязки . Для вычисления частных производных функции решаются начально-краевые задачи для уравнений в частных производных. В §1.4.3 приводятся результаты вычислительных экспериментов с использованием предложенного метода.

Результаты первой главы опубликованы в работах [1, 4, 6, 7].

Во второй главе диссертации разрабатываются численные методы опре­ деления параметров в моделях возбуждения сердца.

В §2.1.1 рассматривается задача определения коэффициентов моделей возбуждения сердца. Для модели Фитц-Хью–Нагумо это D, , , , а для мо­ дели Алиева–Панфилова – D, k, , 0, µ1, µ2. Задача состоит в определении некоторого набора параметров модели по измерениям функции u(x, y, t) на границе области :

u(x, y, t) = (x, y, t), (x, y) , t [0, T ].

Некоторые другие постановки обратных задач, состоящих в определении вхо­ дящих в уравнения моделей Фитц-Хью–Нагумо и Алиева–Панфилова пара­ метров по измерениям на границе области, рассматривались в ряде работ, см.

например [9, 26–28]. Основное отличие исследуемых в диссертации обратных задач состоит в том, что неизвестными могут считаться любое количество параметров модели.

В §2.1.2 предлагается численный метод решения обратной задачи, ос­ нованный на минимизации функции невязки . Для вычисления частных производных функции решаются начально-краевые задачи для уравнений в частных производных. В §2.1.3 приводятся результаты вычислительных экспериментов с применением разработанного метода. Коэффициенты моде­ лей восстанавливаются с высокой точностью по одиночке. Неизвестные пары находятся с несколько меньшей точностью. Три и более неизвестных коэф­ фициента находятся с заметно меньшей точностью, при этом требуется суще­ ственно более близкое первое приближение к искомому набору.

В §2.2.1 решается задача, моделирующая проблему определения обла­ сти, утратившей способность к возбуждению, например, в результате инфарк­ та миокарда. Рассматривается начально-краевая задача для модифицирован­ ной модели Фитц-Хью–Нагумо ut = Du - (x, y)u(u - )(u - 1) - w, (x, y) G, t [0, T ], (11) wt = u - w, (x, y) G, t [0, T ], (12) u (x, y, t) = 0, (x, y) , t [0, T ], (13) n u(x, y, 0) = (x, y), (x, y) G, (14) w(x, y, 0) = 0, (x, y) G. (15) Функция (x, y) C1(G) принимает значения, близкие к нулю в области H G, и значения, близкие к единице в области G H. Нелинейный источ­ ник u(u - )(u - 1) в уравнении (1) определяет способность среды к возбуж­ дению, а в модифицированной модели нелинейный источник вида (x, y)u(u - )(u - 1) характеризует среду, способную к возбуждению в об­ ласти G H и не способную к возбуждению в области H. Таким образом, математическая модель (11)–(15) может быть использована для описания процессов возбуждения в сердце, часть которого (область H) потеряла спо­ собность к возбуждению. Подобный подход для других моделей возбуждения сердца рассматривался в [9]. Будем считать, что граница области H задается n параметрами 1,..., n. Положим функцию (x, y; 1,..., n) равной 1 (x, y; 1,..., n) = + arctan(2g(x, y; 1,..., n)), 2 где g(x, y; 1,..., n) – известная функция, принимающая значения g(x, y; 1,..., n) < 0, (x, y) H и g(x, y; 1,..., n) > 0, (x, y) G H, а – заданная постоянная. Сформулируем обратную задачу для модифи­ цированной модели (11)–(15). Требуется найти функцию (x, y; 1,..., n), определяющую границу области H, если на внешней границе 1 области G заданы решения задачи (11)–(15) ui(x, y, t) = i(x, y, t), (x, y) 1, t [0, T ], i = 1,..., m, соответствующие различным начальным условиям ui(x, y, 0) = i(x, y). Ко­ эффициенты моделей и функции i(x, y), (x, y) G, i = 1,..., m, заданы.

Аналогично ставится задача для модели Алиева–Панфилова.

В §2.2.2 предлагается численный метод решения обратной задачи, ос­ нованный на минимизации функции невязки Y. Для вычисления частных производных функции Y записываются сопряженные задачи для уравнений в частных производных. Для модели Фитц-Хью–Нагумо сопряженные задачи имеют следующий вид:

ai = -Dai - bi + ai(3u2 - 2(1 + )ui + ), (x, y) G, t [0, T ], i t bi = ai + bi, (x, y) G, t [0, T ], t ai D (x, y, t) = 2(ui - i), (x, y) 1, t [0, T ], n ai (x, y, t) = 0, (x, y) 1, t [0, T ], n ai(x, y, T ) = 0, (x, y) G, bi(x, y, T ) = 0, (x, y) G.

Частные производные функции Y вычисляются по формуле T m Y = - ai(x, y, t)ui(ui - )(ui - 1) ddt.

j j i=0 G В §2.2.3 приводятся результаты вычислительных экспериментов с при­ менением разработанного метода. В них искалась область H, потерявшая способность к возбуждению, по известным решениям одной и двух прямых задач. На рис. 3 показан результаты одного такого вычислительного экспери­ мента для модели Алиева–Панфилова по двум решениям прямых задач. На рисунке заштрихованы внутренние вырезы области G; крестами обозначены точки локализации начальных распределений для прямых задач; простой ли­ нией обозначена точная искомая область, жирной линией – полученный пред­ ложенным методом результат. Относительная погрешность исходных данных равна 2%.

Рис. 3: Результат восстановление области по 2 решениям Результаты второй главы опубликованы в работах [2, 3, 5, 8].

В третьей главе диссертации описываются программы комплекса, вклю­ чающего в себя 18 программ, реализующих предложенные численные методы решения прямых и обратных задач. Программы представляют собой консоль­ ные приложения, написанные на языке программирования C++. Они прини­ мают на вход файл с параметрами моделирования и записывают в выход­ ные файлы результаты расчетов. В них используется открытая библиотека deal.ii для работы с разреженными матрицами. Кроме того, в комплексе ис­ пользуются программы gmsh для разбиения областей на конечные элемен­ ты и gnuplot для построения графиков. Также в третьей главе приводятся результаты некоторых тестовых расчетов.

В §3.1 приведены программы решения различных прямых задач для мо­ делей возбуждения сердца. Это программы решения прямых задач с функци­ ей локализованного начального распределения для моделей Фитц-Хью–Нагу­ мо и Алиева–Панфилова; программы решения прямых задач с локализован­ ной функцией источника в уравнении; программы решения прямых задач с дополнительно введенной внешней областью; программы решения прямых за­ дач для модифицированных моделей, описывающих процессы возбуждения в сердце, часть которого потеряла способность к возбуждению.

В §3.2 описаны программы решения обратных задач, рассмотренных в главе 1. Это программы решения задач определения локализованной функ­ ции источника, программы решения задач определения локализованной функ­ ции начального распределения, программы решения задач определения лока­ лизованной функции начального распределения для моделей с дополнитель­ но введенной внешней областью.

В §3.3 приведены программы решения обратных задач, рассмотренных в главе 2. Это программы решения задач идентификации параметров моделей Фитц-Хью–Нагумо и Алиева–Панфилова и программы решения задач для мо­ дифицированных моделей по определению области, потерявшей способность к возбуждению.

A Finite Element Differential Equations Analysis Library (http://www.dealii.org/) http://www.geuz.org/gmsh/ http://www.gnuplot.info/ Результаты вычислительных экспериментов на основе разработанного комплекса программ опубликованы в работах [1–8] В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Основные результаты Для математических моделей возбуждения сердца созданы и реализо­ ваны численные методы решения задач определения локализованного источника возбуждения, определяемого либо функцией начального рас­ пределения потенциала, либо функцией источника в уравнении.

Предложены и разработаны численные методы решения задач иденте­ фикации параметров математических моделей и определения области, потерявшей способность к возбуждению, в модифицированных матема­ тических моделях возбуждения сердца.

Cоздан программный комплекс, реализующий предложенные числен­ ные методы. На его основе проведены вычислительные эксперименты, показавшие хорошую точность определения неизвестных характеристик математических моделей возбуждения сердца и возможность использо­ вания разработанных методов в медицинской диагностике.

Список публикаций 1. Павельчак И. А. Численный метод определения локализованного началь­ ного условия в моделях Фитц-Хью–Нагумо и Алиева–Панфилова // Вест­ ник МГУ. Вычислительная математика и кибернетика. 2011. № 3. С. 7–13.

2. Pavel’chak I. A., Tuikina S. R. Numerical solution method for the inverse prob­ lem of the modified FitzHugh–Nagumo model // Computational Mathematics and Modeling. 2012. Vol. 23, no. 2. P. 208–215.

3. Павельчак И. А. Численный метод определения параметров в моделях Фитц-Хью–Нагумо и Алиева–Панфилова // Вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13. С. 172–176.

4. Денисов А. М., Павельчак И. А. Численный метод определения локали­ зованного начального возбуждения для некоторых математических моде­ лей возбуждения сердца // Математическое моделирование. 2012. № 7.

С. 59–66.

5. Павельчак И. А., Туйкина С. Р. О численном решении одной обратной задачи для модифицированной математической модели Алиева–Панфило­ ва // Прикладная математика и информатика. 2012. № 40. С. 20–28.

6. Павельчак И. А. Метод численного решения задачи определения источни­ ка в модели Фитц–Хью–Нагумо // Прикладная математика и информати­ ка. 2012. № 40. С. 29–37.

7. Павельчак И. А. Восстановление локализованного начального условия в математических моделях процессов возбуждения сердца // V международ­ ная конференция “Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания”, Обнинск, 14–18 мая 2011 г.

Тезисы докладов. С. 82.

8. Павельчак И. А., Туйкина С. Р. О численном решении обратной задачи для модифицированной модели Фитц–Хью–Нагумо // Научная конференция “Тихоновские чтения”, Москва, 14 июня 2011 г. Тезисы докладов. С. 62.

Цитированная литература 9. Sundnes J., Lines G. T., Cai X. et al. Computing the Electrical Activity in the Heart. Berlin and Heidelberg and New York: Springer, 2006. P. 311.

ISBN: 3540334327.

10. Keener J., Sneyd J. Mathematical Physiology. Springer, 1998.

11. FitzHugh R. Mathematical models of threshold phenomena in the nerve mem­ brane // Bull. Math. Biophysics. 1955. no. 17. P. 257–278.

12. FitzHugh R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophysical J. 1961. no. 1. P. 445–466.

13. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse transmission line sim­ ulating nerve axon // Proc. IRE. 1962. no. 50. P. 2061–2070.

14. Aliev R. R., Panfilov A. V. A simple two-variable model of cardiac excita­ tion // Chaos Solutions and Fractals. 1996. Vol. 7, no. 3. P. 293–301.

15. Winfree A. T. Varieties of spiral wave behavior: An experimentalist’s approach to the theory of excitable media // Chaos. 1991. Vol. 1, no. 3. P. 303–334.

16. Davidenko J. M., Salomonsz R., Pertsov A. M. et al. Effects of pacing reen­ trant activity. Theoretical and experimental study // Circ. Res. 1995. no. 77.

P. 1166–1179.

17. Елькин Ю. Е., Москаленко А. В., Стармер Ч. Ф. Спонтанная остановка дрейфа спиральной волны в однородной возбудимой среде // Математи­ ческая биология и биоинформатика. 2007. Т. 2, № 1. С. 73–81.

18. Rinzel J., Keller J. B. Travelling wave solution of a nerve coduction equa­ tion // Biofis. J. 1973. no. 13. P. 1313–1337.

19. Pertsov A. M., Ermakova E. A., Panfilov A. V. Rotating spiral waves in a modified FitzHugh–Nagumo model // Physica D. 1984. no. 14. P. 117–124.

20. Courtemanche M., Skaggs W., Winfree A. T. Stable three-dimensional action potential circulation in the FitzHugh–Nagumo model // Physica D. 1990.

no. 41. P. 173–183.

21. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943.

Т. 39, № 5. С. 195–198.

22. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.

Москва: Наука, 1974. С. 288.

23. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. Т. Некорректные задачи математической физики и анализа. Москва: Наука, 1980. С. 286.

24. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. Москва: Наука, 1978. С. 206.

25. Титомир Л., Кнеппо Л. Математическое моделирование биоэлектрическо­ го генератора сердца. Москва: Наука, 1999. С. 447.

26. He Y., Keyes D. E. Reconstructing parameters of the FitzHugh–Nagumo sys­ tem from boundary potential measurements // J. Comput. Neurosci. 2007.

Vol. 23, no. 2. P. 251–264.

27. Moreau-Villeger V., Delingette H., Sermesant M.., et al. Building maps of local apparent conductivity of the epicardium with a 2-D electrophysiological model of the heart // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. 2006.

no. 53. P. 1457–1466.

28. Cox S. J., Wagner A. Lateral overdetermination of the FitzHugh–Nagumo system // Inverse Problems. 2004. no. 20. P. 1639–1647.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.