WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

НГУЕН Тхи Тхуи

Зыонг ОДНОРОДНЫЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ПРОСТРАНСТВА C3

01.01.01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж 2012

Работа выполнена на кафедре высшей математики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, доцент Лобода Александр Васильевич, Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, профессор кафедры высшей математики.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Белошапка Валерий Константинович, Московский государственный университет им М.В. Ломоносова, профессор кафедры теории функций и функционального анализа, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Новиков Игорь Яковлевич, Воронежский государственный университет, профессор кафедры функционального анализа и операторных уравнений.

Ведущая организация: Казанский (Приволжский) федеральный университет

Защита состоится 20 ноября 2012 года в 15 ч. 10 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском Государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан октября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор Ю.Е. Гликлих

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. Настоящая диссертационная работа посвящена изучению свойств аффинной и голоморфной однородности вещественных гиперповерхностей в 3-мерном комплексном пространстве C3. Эта тематика является актуальной в современном комплексном анализе, что подтверждается опубликованием в последние годы в известных российских и зарубежных изданиях работ по близким вопросам таких авторов, как А. Хаклберри, В. Кауп, В.К. Белошапка, А.В. Лобода.

Задача описания голоморфно-однородных многообразий представляет также интерес для дифференциальной геометрии, теории групп и алгебр Ли, математической физики. Сложность решения этой задачи даже для случая вещественных гиперповерхностей пространства C3 делает актуальным и вопрос изучения аффинно-однородных поверхностей того же пространства. До настоящего времени имелось лишь большое количество примеров аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей комплексного пространства C3. В диссертации предложена общая схема описания таких поверхностей. На примере изученного класса аффинно-однородных поверхностей трубчатого типа показана эффективность схемы. Это подтверждает значимость и актуальность диссертационных исследований для многомерного комплексного анализа.

Цель работы. Основная цель работы – построение классификации аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей трубчатого типа в пространстве C3. Этот класс многообразий представляет собой удобную модель для проверки эффективности предлагаемой схемы изучения аффинной однородности, опирающейся на коэффициентный подход к задаче. В связи с этим еще одной целью диссертационного исследования является совершенствование технических приемов коэффициентного изучения голоморфно-однородных и аффинно-однородных вещественных подмногообразий комплексных пространств.

Методика исследования. Задачи, связанные с однородностью многообразий, традиционно изучаются на основе использования техники групп и алгебр Ли. В диссертации также применяется эта техника. Но ключевой метод работы - коэффициентный подход к описанию изучаемых аналитических объектов. Главным инструментом работы является анализ алгебраических соотношений, накладываемых геометрическим условием однородности на тейлоровские коэффициенты поверхностей и отображений.

Полученная в первой части диссертации большая система квадратичных уравнений относительно этих коэффициентов и некоторых других параметров исходной задачи решается с привлечением пакета символьной математики MAPLE. Завершающая часть работы связана с анализом изменений тейлоровских разложений неявных функций при аналитических преобразованиях координат.

Научная новизна. Следующие результаты являются основными в диссертации:

1. Построены аффинные канонические уравнения для класса строго псевдо-выпуклых вещественно-аналитических гиперповерхностей трубчатого типа комплексного пространства C3. Уравнения учитывают все возможные случаи тейлоровских коэффициентов 3-го порядка и определяются с точностью до дискретных групп преобразований.

2. В терминах матричных алгебр Ли Описаны аффинно-однородные поверхности трубчатого типа. Получены координатные представления для большого семейства таких поверхностей и, в том числе, для всех поверхностей с "богатыми" группами преобразований.

3. Доказана вещественная аффинная однородность основания всякой трубчатой строго псевдо-выпуклой гиперповерхности в C3, однородной относительно комплексных аффинных преобразований.

4. Построено 1-параметрическое семейство голоморфно различных аффинно-однородных поверхностей, не сводимых аффинными преобразованиями к трубкам.

Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемый в диссертации системный подход к изучению задачи об однородности позволил получить практически полное описание класса поверхностей трубчатого типа.На основе такого подхода ожидается построение в ближайшее время полной классификации аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства C3. Разработанные в диссертации методы решения систем квадратичных уравнений (в том числе, с использованием средств символьной математики) могут найти практическое применение в задачах фундаментальной и компьютерной алгебры, связанных с системами полиномиальных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертационных исследований докладывались на научных семинарах ВГАСУ и ВГУ, на ежегодных научных конференциях преподавателей и аспирантов ВГАСУ, на международных математических конференциях (Воронежская зимняя математическая школа - 2011, 2012; Воронежская весенняя математическая школа - 2012, Международная научная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики Воронеж-2012). Часть результатов была представлена на Российско-германской конференции по многомерному комплексному анализу (Москва, февраль-март-2012).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[8]. Статьи [1], [4], [8] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных работ [7], [8] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично соискателю.

Структура и обьем диссертации. Дисертация содержит 109 страниц и состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разделяются на параграфы и разделы с подчиненной нумерацией. Библиография содержит 53 наименования.

Содержание диссертации Во Введении даны основные определения и приведен краткий обзор предшествующих исследований по тематике диссертации. Обоснована актуальность темы диссертации и сформулированы ее основные результаты.

Согласно известному определению, многообразие M называется однородным относительно некоторой группы (преобразований) G, если эта группа транзитивно действует на M, то есть любую точку из M можно перевести в любую другую точку обсуждаемого многообразия подходящим преобразованием из группы G.

В диссертации используются модификации этого определения для случаев аффинной и голоморфной однородности гиперповерхностей пространства C3.

Аффинная однородность связывается с транзитивным действием на вложенном многообразии подгрупп аффинной группы Aff(3, C). Голоморфная однородность аналитической поверхности означает голоморфную эквивалентность ее ростков в различных точках. Везде в диссертации однородность изучается с локальной точки зрения.

Полное описание аффинно-однородных плоских кривых было известно уже в начале прошлого века. Его связывают с трудами школы В. Бляшке.

ТЕОРЕМА 0.1. Любая плоская аффинно-однородная кривая аффинно эквивалентна вблизи произвольной своей точки какой-либо одной из следующего списка аффинно-различных кривых:

1) y = xs (-1 s < 1), 2) y = ln x, 3) y = x ln x, 4) r = ea (r - полярный радиус, - полярный угол, a 0).

В 1995 г. Дубровым, Комраковым и Рабиновичем был получен аналогичный полный список аффинно-однородных поверхностей вещественного пространства R3. Эти поверхности играют важную роль в диссертационных исследованиях однородности в 3-мерном комплексном пространстве.

В многомерном комплексном анализе основополагающей работой о голоморфно-однородных вещественных гиперповерхностях является статья Э. Картана 1932 г. Напомним, что трубкой (или трубчатым многообразием) над основанием Rn называется в многомерном комплексном анализе множество вида M = + iRn Cn.

ТЕОРЕМА 0.3 (Э. Картан). Любая голоморфно-однородная вещественная гиперповерхность 2-мерного комплексного пространства голоморфно эквивалентна вблизи произвольной своей точки либо трубке над аффинно-однородным вещественным основанием, либо одной из проективно-однородных поверхностей 1 + |z|2 + |w|2 = a|1 + z2 + w2| (a > 1), 1 + |z|2 - |w|2 = a|1 + z2 - w2| (a > 1), |z|2 + |w|2 - 1 = a|z2 + w2 - 1| (0 < |a| < 1).

В следующем по размерности комплексном пространстве C3 имеются важные частные результаты Лободы, Фелса-Каупа, Белошапки-Коссовского о голоморфной однородности гиперповерхностей. Например, Г. Фелсом и В.

Каупом полностью описаны (Acta Mathematica, 2008) вырожденные по Леви голоморфно-однородные вещественные гиперповерхности 3-мерных комплексных пространств. Локально все они сводятся либо к прямым произведениям картановых проективно-однородных поверхностей на комплексную плоскость C, либо к трубкам над аффинно-однородными поверхностями из R3.

На основе коэффициентного подхода в работах Лободы А.В. описаны все голоморфно-однородные (в локальном смысле) вещественные гиперповерхности пространства C3, имеющие "богатые" группы голоморфных преобразований. Например, к однородным поверхностям с 7-мерными (локальными) группами голоморфных преобразований относится семейство многообразий v = ln(1 - |z1|2) + b ln(1 - |z2|2), b (0, 1];

Самым сложным и неизученным в 3-мерном пространстве остается случай, в котором размерность однородной гиперповерхности (равная 5), совпадает с размерностью локальной группы (голоморфных) преобразований этой поверхности. Здесь имеется лишь большое количество примеров таких многообразий, но нет их общего описания.

В современном комплексном анализе имеются и результаты более общего содержания. Например, Азад, Хаклберри и Рихтхоффер получили в 19г. описание алгебр Ли, которые могут соответствовать голоморфно однородным компактным вещественным гиперповерхностям комплексных пространств произвольной размерности.

В рамках задачи о голоморфной однородности Лободой и Ходаревым в 2003 г. было начато изучение аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства C3. Диссертация развивает идеи Лободы А.В., связанные с коэффициентным подходом к задаче об однородности и с использованием канонических уравнений изучаемых поверхностей.

После подходящего аффинного преобразования любую вещественно-аналитическую строго псевдо-выпуклую (СПВ) гиперповерхность M пространства C3 можно задать вблизи ее произвольной точки уравнением вида 2 2 v = |z1|2 + |z2|2 + [1(z1 + z1) + 2(z2 + z2)] + Fklm(z, z, u). (1) k+l+2mЗдесь z1, z2, w - комплексные координаты в C3, u = Rew, v = Imw;

Fklm - многочлен степени k по переменным z = (z1, z2), степени l - по z = (z1, z2), m - по переменной u. Сумма (k + l + 2m) называется далее весом соответствующего слагаемого.

При этом пара (1, 2) вещественных неотрицательных чисел является аффинным инвариантом поверхности M. Несложно проверить, что для всех трубчатых поверхностей (трубок) над строго выпуклыми основаниями из Rвыполняется равенство 1 = 2 =. (2) Аффинно-однородные СПВ-гиперповерхности, удовлетворяющие (в любой точке) условию (2), мы называем поверхностями трубчатого типа.

Основные исследования диссертации связаны с изучением однородности именно таких поверхностей. Отметим, что в [5] построено семейство Im(zw) = |z|eBargz, B R (3) аффинно-однородных поверхностей аналогичного трубчатого типа в пространстве C2. Полное описание аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства C2, содержащее класс поверхностей трубчатого типа и, в частности, семейство (3), опубликовано Лободой А.В. в 2012 г.

Помимо использования канонических уравнений важную роль в нашей работе играет алгебра Ли g(M), отвечающая произвольной однородной поверхности M. Так, в одном из наиболее сложных случаев возникают 5-мерные алгебры с базисами вида -4it2 - 6 + m1 -2it7 + n1 A31 -R1i - n1 -R2i + m1 B31 E1 =, 4i 0 2m1 0 0 0 -iR1 + m3 -iR2 + n3 A33 -2it8 - n3 -4it6 + m3 B33 E3 =, (4) 0 4i 2m3 0 0 0 2t2 + m2 n2 A32 i t7 + m4 n4 A34 R1 - n2 t8 + m2 B32 0 R2 - n4 2t6 + m4 B34 i E2 =, E4 =, 0 0 2m2 0 0 0 2m4 0 0 0 0 0 0 0 A15 A25 A35 B15 B25 B35 E5 =.

0 0 2(m5 + i) 0 0 0 Важной технической частью диссертации является определение наборов из 16 вещественных параметров m1, m2, m3, m4; n1, n2, n3, n4; t1, t2, t3, t4, t5, t6, t7, t8 (5) при которых формулы типа (4), действительно, задают базисы матричных алгебр Ли. Отметим, что значения этих параметров определяют остальные элементы базисных матриц (4).

Сформулируем главный результат диссертации.

ТЕОРЕМА 0.5. Для всякой аффинно-однородной СПВ-поверхности M трубчатого типа в C3 верно одно из 4-х следующих утверждений:

1) M аффинно эквивалентна трубке над одной из аффинно-однородных вещественных поверхностей пространства R3;

2) M аффинно эквивалентна одной из 7 следующих поверхностей:

w Re (z1 + )z2 = 1 + 4|w|2. (6) zv = x2 + |z1|, (7) Re(z1w)Re(z1z2) = |z1|2, (8) v - |z1|2 = v|z2|2 - Im(z2z1), (9) x2 - u2 = |z1|2, (10) Re(z1w)|z1|2 + (Re(z1z2))2 = |z1|3. (11) (v - x2)y2 = x2, (12) 2 3) алгебра g(M) имеет базис вида (4) с наборов параметров (5) одного из 7 следующих видов, удовлетворяющим условию n4 = 0:

(6, 4t4, 0, 0; 0, 0, -4, 0; 1, 0, 0, t4, 0, 0, 0, 2t4), t4 = 0;

(0, 0, 0, 2t6; 0, 0, 0, 0; 1, 0, t6, 0, 0, t6, 2t6, 0), t6 = 0;

(0, 0, 0, 0; 0, 2t6, 0, 0; 1, 0, t6, 0, 0, t6, 0, 0), t6 = 0;

(6, 2t2, 0, 0; 0, 0, 0, 0; 1, t2, 0, 0, 0, 0, 0, 0), t2 = 0; (13) (3, 2t2, 0, 0; 0, 0, -3, 0; 1, t2, 0, t2, 0, 0, 0, 2t2), t2 = 0;

(3, 0, 0, 0; 0, 0, -3, 0; 1, t2, 0, t2, 0, 0, 0, 0), t2 = 0;

(6, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 0; 1, t2, 0, 3/2t2, 0, 0, 0, t2), t2 = 0.

4) в канонических для поверхности координатах алгебра g(M) имеет вид (4) с некоторым ненулевым параметром n4.

Теорема 0.5 является объединением нескольких утверждений, полученных в отдельных главах диссертации. Обсудим кратко их содержание.

В первой главе диссертации подробно обсуждаются методы исследования, применяемые в дальнейших обсуждениях. Прежде всего вводится разложение многочлена веса 3 из уравнения (4) произвольной (не обязательно однородной) СПВ-гиперповерхности в сумму двух слагаемых (0) (1) F3(z, z, u) = F3 (z, z) + F3 (z, z)u. (14) (1) Здесь F3 = (1z1 + 2z2) + (1z1 + 1z2) с некоторыми комплексными (0) коэффициентами 1, 2; F3 = 2Re(F30 + F21). В используемых здесь двой ных индексах первая цифра означает степень слагаемого по переменной z, а вторая - по z. Cлагаемые F21 и F30 можно записать в виде 3 2 2 F30 = f30z1 + f21z1z2 + f12z1z2 + f03z2, 2 2 2 F21 = (g20z1 + g11z1z2 + g02z2)z1 + (h20z1 + h11z1z2 + h02z2)z с некоторыми комплексными коэффициентами fkl, gkl, hkl.

(0) Тогда многочлен F3 (z, z) определяется "матрицей" из 10 коэффициентов f30 f21 f12 f . (15) g20 g11 g02 h20 h11 hВсего выделяются 4 случая, связанные с видом многочлена 3-го веса.

ТЕОРЕМА 1.1. Аффинными преобразованиями, сохраняющими вид (1) при 1 = 2 = 1/2, можно добиться выполнения одного из следующих условий для многочлена F3 из этого уравнения:

(1) 1) F3 = i(z1 - z1)u;

(1) 2) F3 = 0, F30 = 0;

(1) 3) F3 = 0, F30 (i, it3, it4, it6), t3, t4, t6 R;

(1) 4) F3 = 0, F30 (1 + it2, it3, it4, it6), t2, t3, t4, t6 R.

Уравнение вида (1), в котором многочлен F3 удовлетворяет одному из условий теоремы 1.1, называется далее аффинным каноническим уравнением поверхности трубчатого типа.

Пусть теперь вещественно-аналитическая гиперповерхность M является аффинно-однородной вблизи начала координат пространства C3. Это означает, что в Aff(3, C) имеется некоторая (локальная) подгруппа Ли G(M) преобразований, действующая транзитивно на M вблизи начала координат.

Инфинитезимальные преобразования, соответствующие элементам группы G(M), имеют вид (Ak, Bk, a, b, c, p, s, q – комплексные константы) Z = (A1z1 + A2z2 + A3w + p) + (B1z1 + B2z2 + B3w + s) + (16) z1 z +(az1 + bz2 + cw + q).

w Совокупность таких полей, касательных к поверхности M, образует алгебру Ли, которую мы обозначим g(M). Значениями полей из этой алгебры накрывается в силу однородности поверхности вся касательная плоскость к M в начале координат.

Так получается следующий удобный вариант определения локальной однородности вещественных гиперповерхностей пространства C3.

Определение 1.5. Вещественная гиперповерхность M, проходящая через точку Q пространства C3, называется аффинно-однородной вблизи этой точки, если существует некоторая алгебра Ли аффинных векторных полей в C3, значения которых в точке Q образуют 5-мерную вещественную гиперплоскость в пространстве C3.

Алгебры g(M), отвечающие аффинно-однородным поверхностям, допускают представление в виде вещественных подалгебр Ли матричной алгебры GL(4, C):

A1 A2 A3 p B1 B2 B3 s . (17) a b c q 0 0 0 При этом скобке векторных полей соответствует скобка (коммутатор) матриц [Z1, Z2] = Z1Z2 - Z2Z1, а размерность алгебры сохраняется.

Для каждого аффинного векторного поля, касательного к некоторой вещественной поверхности M пространства C3, факт касания можно записать в виде основного тождества:

Re{Z()}|M 0, (18) где = -Imw + F – определяющая функция поверхности.

Исследование основного тождества для аффинно-однородных поверхностей трубчатого типа в C3 приводит к следующему утверждению.

ТЕОРЕМА 1.2. Если M – аффинно-однородная поверхность трубчатого типа в C3, то 5 dimRg(M) 7.

В первой главе отдельно изучен случай "богатых" алгебр g(M) (и групп G(M)), отвечающих изучаемым аффинно-однородным поверхностям. С точностью до аффинной эквивалентности здесь имеется всего 3 аффинно-однородных поверхности трубчатого типа 2 M = {v = |z1|2 + |z2|2 + (z1 + z2 + z12 + z22)} = {v = 2x2 + 2x2}, (19) 1 M± = {x2 + x2 ± u2 = 1} C3, x1 = Rez1, x2 = Rez2, u = Rew. (20) 1 Все они оказываются трубками над параболоидом (формула (19)), сферой (знак "плюс" в формуле (20)) или гиперболоидом (знак "минус"в той же формуле (20)).

Для остальных изучаемых однородных поверхностей алгебры g(M) имеют размерность 5. В первой главе диссертации устанавливаются предварительные соотношения на элементы 5 базисных матриц алгебр Ли, отвечающих аффинно-однородным поверхностям трубчатого типа (Теорема 1.2) и на коэффициенты их канонических уравнений (Предложение 1.9).

Например, для аффинно-однородной поверхности M трубчатого типа в Cс 5-мерной алгеброй g(M), отвечающей случаю 4 теоремы 1.1, набор коэффи(0) циентов многочлена F3 из ее канонического уравнения можно представить в виде следующей "матрицы" 1 + it2 it3 it4 it , 3 + it2 it7 i(t4 - t8) i(t3 - t7) it8 itгде t2,..., t8 - вещественные параметры.

Основной задачей второй главы диссертации является построение списка 5-мерных матричных алгебр Ли, отвечающих аффинно-однородным поверхностям трубчатого типа. В работе приведено практически полное ее решение.

В соответствии с теоремой 1.1 из первой главы задача разбивается на случая. В трех первых из них приведены полные описания таких алгебр. В первом из 4-х обсуждаемых случаев существует единственная (с точностью до аффинной эквивалентности) поверхность (6). Во втором случае все алгебры оказываются 5-мерными подалгебрами "богатых" алгебр, т. что соответствующие поверхности являются трубками над поверхностями 2-го порядка (19), (20). Третьему случаю отвечают поверхности (7)-(12).

Наиболее сложным и интересным является четвертый случай, содержащий, например, все трубки над аффинно-однородными строго выпуклыми основаниями.

Здесь главная трудность связана с изучением алгебр с базисами вида (4) и определением наборов параметров (5), при которых формулы (4) задают базисы матричных алгебр Ли.

Во всех случаях необходимым и достаточным условием для этого является система из 90 комплексных уравнений, означающая замкнутость вещественной линейной оболочки матриц (4) относительно матричной скобки [Ek, El] = EkEl -ElEk. Вместо этого в главе 2 рассматривается ее подсистема из 21 вещественного уравнения относительно параметров (5). Таким образом удается получить близкие к окончательным выводы о структуре базисных матриц искомых алгебр Ли.

Важную роль при этом играет смешанный параметр S = n2+n2+(t7-2t3)2+(t8-2t4)2+(m4+2t6)2+(m2+2t2)2+(t7+m4)2+(t8+m2)4 (21) вычисляемый по набору матриц (4). Например, он обязан равняться нулю для аффинно-однородных трубок.

Отдельный интерес представляет следующее утверждение.

Предложение 2.13. Всякая аффинно-однородная СПВ-трубка в C3 аффинно-эквивалентна трубке с аффинно-однородным основанием.

В итоге при n4 = 0 в четвертом случае теоремы 1.1. остается лишь 7 новых типов решений (13) системы из 21 уравнения, приводящих к матричным алгебрам. В форме алгебр все такие решения выписаны в теореме 2.3 диссертации.

Cлучай n4 = 0 изучен не до конца, но в одном из 4-х естественных под случаев здесь доказано отсутствие алгебр Ли требуемого вида.

В третьей главе диссертации коэффициентная техника применяется для изучения голоморфных свойств аффинно-однородных поверхностей. Ожидалось, что многие из полученных аффинно различных аффинно-однородных поверхностей трубчатого типа окажутся различными (и, возможно, новыми) в голоморфном смысле.

Однако, в §3.1. показано, что 4 аффинно-различных поверхности (6), (7), (10) и (11) из случая 3 теоремы 1.1 "склеиваются" голоморфными преобразованиями в две известные голоморфно различные однородные поверхности.

Аналогично, все поверхности из семейства v = x2 + |z1|eB arg z1 (B R), (22) отвечающие четвертому из наборов (13), голоморфно эквивалентны сфере пространства C3 и новых примеров голоморфной однородности не дают.

В связи с этим было рассмотрено с голоморфной точки зрения одно семейство аффинно-однородных поверхностей пространства C3, построенное в работах Лободы А.В. и его соавторов. Необходимая для таких рассмотрений техника голоморфных нормальных форм Мозера описывается в §3.2.

Основным результатом третьей главы диссертации является утверждение о том, что аффинно-однородные поверхности пространства C3 из 1-параметрического семейства 1 1 + t2 (y1 - 3y2)3 v = (y1x2 + ty1y2) - (ty1 + 3x1y1) - · (23) 6 4 x1 - tyголоморфно различны (Теорема 3.1).

Интересно отметить, что все представители семейства – алгебраические поверхности 4-го порядка. Они не принадлежат ни к трубкам, ни к поверхностям трубчатого типа.

Автор глубоко признателен профессору Лободе А.В. за научное руководство и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации [1] Нгуен, Т.Т.З. Об обобщениях логарифмических спиралей в пространстве C2 / Т.Т.З. Нгуен // "Вестник ВГУ Сер. "Физика. Математика". 2010, N 1. С. 139-143.

[2] Нгуен, Т.Т.З. Аффинно-однородные гиперповерхности трубчатого типа в C3 / Т.Т.З. Нгуен // Воронежская зимняя матем. школа (ВЗМШ-2011) Воронеж, 2011. Тезисы докл. С.236 - 237.

[3] Нгуен, Т.Т.З. Аффинные инварианты 3-го порядка однородных вещественных гиперповерхностей в C3 / Т.Т.З. Нгуен // Воронежская зимняя матем.

школа (ВЗМШ-2012) Воронеж, 2012. Тезисы докл. С. 156 - 158.

[4] Нгуен, Т.Т.З. Построение 5-мерных матричных алгебр ли с помощью пакета MAPLE / Т.Т.З. Нгуен // "Вестник ВГУ Сер. "Физика. Математика".

2012, N 1. С. 162-170.

[5] Нгуен, Т.Т.З. О голоморфных свойствах одного семейства аффиннооднородных поверхностей / Т.Т.З. Нгуен // Воронежская весенняя матем.

школа (ВВМШ-2012) Воронеж, 2012. Тезисы докл. С. 122 - 123.

[6] Нгуен, Т.Т.З. Использование символьных вычислений в задаче описания аффинно-однородных поверхностей /Т.Т.З. Нгуен // Сборник трудов международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики", Воронеж-2012. С. 269 - 274.

[7] Нгуен, Т.Т.З. Об алгоритмах решения больших систем квадратичных уравнений / А.В. Лобода, Т.Т.З. Нгуен // Сборник трудов международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики", Воронеж-2012. С. 236 - 240.

[8] Нгуен, Т.Т.З. Об аффинной однородности поверхностей трубчатого типа в C3 / А.В. Лобода, Т.Т.З. Нгуен //Труды МИАН, Т. 279, 2012.C. 93 110.

Статьи [1], [4], [8] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать...10.2012. Формат 60 84 1/16. Бумага писчая.

Усл.-печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ N.

– Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства учебной литературы и учебно-методических пособий Воронежского государственного архитектурно-строительного университета 394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября,




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.