WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Печкуров Андрей Викторович

Задача об ограниченных решениях и операторные пучки с полиномиально ограниченной резольвентой

01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж – 2012

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Баскаков Анатолий Григорьевич, Воронежский государственный университет зав. кафедрой математических методов исследования операций

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Овчинников Владимир Иванович Воронежский государственный университет профессор кафедры математического моделирования кандидат физико-математических наук, доцент Брук Владислав Моисеевич Саратовский государственный технический университет доцент кафедры “Математика и моделирование”

Ведущая организация: Южный федеральный университет

Защита состоится 16 октября 2012 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 3

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан “ ” сентября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.д.ф.-м.н., профессор Ю.Е. Гликлих

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачей об ограниченных решениях называют задачу о нахождении ограниченных на действительной прямой R решений линейного дифференциального уравнения u - Au = f, соответствующих ограниченным свободным членам f. С одной стороны, задача об ограниченных решениях является разновидностью краевых задач, в которых роль краевых условий играют условия ограниченности решения на бесконечности. С другой стороны, задача об ограниченных решениях тесно связана с задачей об устойчивости: существование единственного ограниченного решения при любом ограниченном свободном члене соответствует специальному типу неустойчивости экспоненциальной дихотомии решений однородного уравнения.

В литературе в основном изучен случай, когда коэффициент A является матрицей, либо линейным ограниченным оператором, действующим в банаховом пространстве. Задача об ограниченных решениях для обыкновенных дифференциальных уравнений считается классической и имеет многочисленные применения. Поэтому актуальна задача перенесения известных результатов на более общие уравнения уравнения с неограниченными операторами (являющиеся моделью уравнений с частными производными) и уравнения, не разрешенные относительно производной.

Настоящая диссертация посвящена уравнению F u - Gu = f, (1) не разрешенному относительно производной. Здесь F и G линейные ограниченные операторы, действующие из банахова пространства X в банахово пространство Y.

Ограниченность решения u и свободного члена f можно интерпретировать несколько по-разному, что и делается в разных главах диссертации. В самом общем виде (глава 1) под ограниченностью понимается принадлежность пространству обобщенных функций Шварца S. Более узкая трактовка понятия ограниченности принадлежность пространству C непрерывных и ограниченных на R функций или пространству Cn непрерывных и ограниченных на R вместе с производными до n-го порядка функций.

Также рассматриваются (§ 2.3) пространства Cn с отрицательными n. Обсуждается вопрос о связи гладкости решения u и свободного члена f.

Целью работы является нахождение условий, при которых каждому ограниченному свободному члену f соответствует единственное ограниченное решение u уравнения (1).

Научная новизна. Основными результатами диссертации являются следующие.

• Доказано, что условием однозначной разрешимости уравнения в пространстве обобщенных функций умеренного роста является существование и полиномиальный рост резольвенты пучка на мнимой оси.

• Для бисекториальных пучков изучена связь между гладкостью свободного члена и гладкостью решения.

• Показано, что изменение нормы в пространстве операторов позволяет улучшить зависимость гладкости решения от гладкости свободного члена.

• Изучена структура функции Грина биограниченного пучка.

• Доказано, что функция Грина, имеющая конечномерный образ, является прямой суммой нулевого оператора и обратимого оператора, осуществляющего изоморфизм между некоторыми конечномерными пространствами.

Методы исследования. Основным средством решения поставленной задачи являются методы функционального анализа: спектральная теория операторов и операторных пучков, функциональное исчисление и обобщенные функции. Кроме того, используются основные понятия дифференциальных уравнений и методы теории функций комплексного переменного.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют в основном теоретическую ценность. Они могут быть использованы для исследования дифференциального уравнения (1).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2008 [3], 2010 [4], 2012 [10], на Крымских осенних математических школах 2008, 2009, 20[5], на конференции DFDE 2011 [11], на семинарах А.Г. Баскакова, а также на научных сессиях ВГУ.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в [1 – 11]. Работы [7, 8, 9] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, включающего 89 наименований. Общий объем диссертации составляет 104 страницы.

Содержание работы Пусть X и Y комплексные банаховы пространства. Обозначим символом B(X, Y ) множество всех линейных ограниченных операторов, действующих из X в Y.

Диссертация посвящена задаче об ограниченных решениях для дифференциального уравнения F u (t) - Gu (t) = f(t), t R, (2) где F, G B(X, Y ).

(Линейным операторным) пучком, соответствующим уравнению (2), называют функцию F - G, C. (3) Резольвентным множеством пучка (3) называют множество (F, G), состоящее из всех C, при которых оператор F - G обратим, а резольвентой функцию (семейство) R = (F - G)-1. Дополнение (F, G) к резольвентному множеству называют спектром пучка.

Глава 1 посвящена задаче об ограниченных решениях в случае пучка умеренного роста. Пучок F - G назовем пучком умеренного роста, если мнимая ось содержится в резольвентном множестве (F, G), причем существуют такие w Z и M > 0, что (iF - G)-1 : Y X M(1 + ||)w, R.

Основным результатом главы 1 является следующая теорема.

Теорема 1.3.2. Пусть пучок имеет умеренный рост. Тогда для любой f S (R, Y ) уравнение (2) имеет единственное решение u S (R, X). При этом преобразование Фурье решения u задается формулой () = (iF - G)-1f().

Здесь символ S означает пространство Шварца обобщенных функций умеренного роста.

В главе 2 на пучок накладывается дополнительное условие бисекториальности. Пучок F - G называют w-бисекториальным, где w Z, или просто бисекториальным, если существуют такие 0 (0, /2] и h0 > 0, что множество (см. рис. 1 слева) ,h0 = C: - 0 < arg < + 0 2 3 3 C: - 0 < arg < + 0 { C: | Re | < h0} 2 содержится в резольвентном множестве пучка, причем для каждых (0, 0) и h (0, h0) существует такое M > 0, что (F - G)-1 : Y X M(1 + ||)w, ,h.

Условие бисекториальности позволяет получить более точные соотношения между гладкостью свободного члена f и решения u уравнения F u - Gu = f, чем в теореме 1.3.2.

,h ,h ,h 0,h0 0,h 0,h0 0,hРис. 1: Слева: множество ,h0 (выделено белым); справа: границы ,h0 и ,h мно0 жеств ,h0 и ,h соответственно (стрелками показана ориентация) Изложение в главе 2 ведется в терминах функции Грина (более подробно называемой регулярной частью полной функции Грина) X+(t), если t > 0, G(t) = -X-(t), если t < 0, где X±(t) = et(F - G)-1 d, 2i ± ,h а ± контуры, изображенные на рис. 1 справа. Как обычно, функция ,h Грина удовлетворяет дифференциальному уравнению F G (t) - GG(t) = при t = 0 (предложение 2.2.4) и экспоненциально убывает на бесконечно сти вместе с производной (предложение 2.2.5), но ее поведение в нуле оказывается более сложным (предложение 2.2.11), чем у краевых задач для уравнения u - Au = f, разрешенного относительно производной.

Пусть E банахово пространство. Обозначим через C0 = C = C(R, E) пространство непрерывных ограниченных функций u: R E с нормой u = u = sup u(t), C tR а через Cn = Cn(R, E), n = 1, 2,..., пространство всех n раз непрерывно дифференцируемых функций u: R E, ограниченных по норме u = u + u + · · · + u(n).

C C C Очевидно, Cn = Cn(R, E) банахово. Принадлежность пространству Cn интерпретируется в диссертации как вариант ограниченности.

Пространство C-n = C-n(R, E), n = 1, 2,..., определяется как пространство всех обобщенных функций u S, представимых в виде u = u0 + u 1 + · · · + u(n), где u0, u1,..., un C, а производные берутся в смысле n обобщенных функций. Представление u = u0+u 1+· · ·+u(n) не единственно.

n Норма на C-n определяется по формуле n n u = u = inf uk u = u(k), u0, u1,..., un C.

C-n C k k=0 k=Пространства C-n, n = 1, 2,..., оказываются полными (предложение 2.3.3).

Оператор Uu = u + u устанавливает изоморфизм между пространством Cn+1 и пространством Cn при всех n Z (предложения 2.3.2 и 2.3.4).

В § 2.4 приводятся основные результаты главы 2. В них описывается связь между гладкостью свободного члена и решения, а также приводятся некоторые формулы для решения.

Теорема 2.4.4. Пусть пучок является w-бисекториальным. Тогда при любой f Cn(R, Y ), n Z, решение уравнения (2) принадлежит пространству Cn-w-1(R, X). При этом при n w + w + u(t) = G(t - s)(F G-1)w+1f(w+1)(s) ds - G-1(F G-1)kf(k)(t).

- k=Примеры бисекториальных пучков приводятся в § 3.4 главы 3.

В главе 3 обсуждается вариант бисекториальности, когда норма пространства B(Y, X), в котором принимается значения функция Грина G, заменяется другой, меньшей исходной. Мы ограничиваемся случаем, когда резольвента пучка убывает на бесконечности как ; в результате все решения выражаются через (регулярную) функцию Грина.

Узнайте, что такое Саентология...

Ваша жизнь поменяется...

Необходимость внесения изменений в определение бисекториальности в случае, когда резольвента пучка убывает на бесконечности как, показы вает теорема 3.1.2. В этой теореме говорится, что такой пучок является (-1)-биограниченным в смысле главы 4, т. е. его спектр оказывается ограниченным множеством. В качестве упомянутого изменения в диссертации предлагается замена нормы на X или на Y.

Идея замены нормы в множестве значений X функции Грина подсказана аналогией с теорией полугрупп, порожденных секториальными операторами. В случае неограниченного секториального оператора A и соответствующего ему уравнения u - Au = f коэффициент A действует из своей области определения D(A) X в X, но порожденная им полугруппа операторов T (t), t 0, действует из X в X (а не в D(A)!). Поэтому решение + u(t) = T (s)f(t - s) ds принимает значения в X (а не в D(A)).

В случае бисекториального пучка F -G и уравнения F u -Gu = f пространство X, на котором заданы F и G, является аналогом D(A) и поэтому для функции f, принимающей значения в Y, следует ожидать, что решение принимает значения в более широком пространстве, чем X.

Для уравнения F u - Gu = f нахождение более широкого подходящего пространства, содержащего X, является дополнительной задачей. Она обсуждается в § 3.3. А в § 3.2 описывается более простой подход, когда вместо расширения пространства X используется сужение пространства Y.

Иными словами, рассматриваются функции f, принимающие значения в некотором подпространстве Y пространства Y.

В рамках обсуждаемого в главе 3 подхода всплывает принципиальное отличие рассматриваемых уравнений от обыкновенных дифференциальных.

Если для обыкновенных дифференциальных уравнений функция Грина t G(t) имеет в нуле разрыв первого рода, то для бисекториального пучка возникает суммируемый разрыв второго рода (предложение 3.2.7).

Приведем конкретные результаты главы 3.

Предположим, что в Y имеется линейное подпространство Y, полное относительно своей нормы ·, обладающей свойством y y для 1 1 y Y. Очевидно, T : Y X T : Y X для любого T B(Y, X).

Пучок F - G назовем Y -бисекториальным, если существуют такие 0 (0, /2] и h0 > 0, что множество ,h0 (см. рис. 1) содержится в резольвентном множестве пучка, причем для каждых (0, 0) и h (0, h0) существует такое M > 0, что выполнена оценка M (F - G)-1 : Y X , ,h.

1 + || Теорема 3.2.8. Пусть пучок является Y -бисекториальным. Тогда для любой функции f C(R, Y ) уравнение (2) имеет единственное решение u C1(R, X), которое представимо в виде + u(t) = G(t - s)f(s) ds, t R. (5) - Следствие 3.2.9. Пусть пучок является Y -бисекториальным. Тогда для любой функции f Cn(R, Y ), n Z, уравнение (2) имеет единственное решение u Cn+1(R, X), которое при n 0 представимо в виде (5).

Предположим теперь, что X вложено в линейное пространство X-1, полное относительно своей нормы ·, обладающей свойством x -1 - x для x X. Очевидно, T : Y X-1 T : Y X для любого T B(Y, X). Предположим также, что оператор G-1F : X X допускает продолжение до непрерывного оператора G-1F : X-1 X-1. (Напомним, что 0 (F, G), т. е. оператор G: X Y обратим.) / Пучок F - G назовем X-1-бисекториальным, если существуют такие 0 (0, /2] и h0 > 0, что множество ,h0 содержится в резольвентном множестве пучка, причем для каждых (0, 0) и h (0, h0) существует такое M > 0, что выполнена оценка M (F - G)-1 : Y X-1 , ,h.

1 + || Понятие X-1-бисекториальности является более точным аналогом понятия секториальности, используемого в теории полугрупп, чем понятие Y бисекториальности.

Теорема 3.3.3. Пусть пучок является X-1-бисекториальным. Тогда для любой функции f C(R, Y ) уравнение (2) имеет единственное решение u C1(R, X-1), которое представимо в виде + u(t) = G(t - s)f(s) ds, t R, (6) - где расширенная функция Грина G(t) совпадает с прежней функцией Грина G(t) Y X, но рассматривается как действующая из Y в X-1.

Следствие 3.3.4. Пусть пучок является X-1-бисекториальным. Тогда для любой функции f Cn(R, Y ), n Z, уравнение (2) имеет единственное решение u Cn+1(R, X-1), которое при n 0 представимо в виде (6).

В § 3.4 приводятся примеры Y - и X-1-бисекториальных пучков.

Пример 3.4.3. Обозначим через C2 банахово пространство непрерывных 2-периодических функций x: R C, рассматриваемое с нормой x = max |x()|, а через C2 0 замкнутое подпространство функций 2 x C2, для которых x()d = 0. Обозначим через C2 0 подпространство функций x C2 0, лежащих в C2 0 вместе с производной с нормой x = x + x.

1 C2 0 C2 Рассмотрим оператор D : C2 0 C2 0, определенный по формуле Dx = ix.

Очевидно, операторы D, 1: C2 0 C2 0, где 1 тождественный оператор, ограничены, причем D является изоморфизмом. Нетрудно видеть, что спектр оператора D, рассматриваемого как действующий из C2 0 в C2 0 с областью определения C2 0 C2 0, совпадает с множеством Z \ {0}.

Рассмотрим уравнение u (t) - Du (t) = f(t) (7) с функцией f : R C2 0 относительно функции u: R C2 0.

Положим X = C2 0 и Y = C2 0. Показано, что пучок является 0бисекториальным. Следовательно, по теореме 2.4.4 уравнение (7) при любой f Cn(R, C2 0) имеет единственное решение u Cn-1(R, C2 0).

1 1 1 Положим Y = C2 0. При таком выборе Y пучок является Y -бисекториальным. Следовательно, по следствию 3.2.9 уравнение (7) при любой 1 f Cn(R, C2 0) имеет единственное решение u Cn+1(R, C2 0).

Наконец, положим X-1 = C2 0. При таком выборе X-1 пучок является X-1-бисекториальным. Поэтому по следствию 3.3.4 уравнение (7) при любой f Cn(R, C2 0) имеет единственное решение u Cn+1(R, C2 0).

В главе 4 обсуждается простейшая ситуация, в которой появляется полиномиальный рост резольвенты пучка на бесконечности. Этот случай наиболее близок классической постановке задачи об ограниченных решениях для обыкновенных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами.

Пучок F - G называется w-биограниченным, где w Z, или просто биограниченным, если резольвентное множество пучка содержит мнимую ось, а также проколотую окрестность бесконечности и при достаточно больших || выполняется оценка (F - G)-1 : Y X M(1 + ||)w.

По сравнению с бисекториальностью здесь требуется, чтобы (конечный) спектр пучка был ограничен.

В этой главе ранее определенная функция Грина G носит название регулярной функции Грина и обозначается символом Gr. Это связано с тем, что возникает необходимость в рассмотрении дополнительно так называw емой сингулярной функции Грина Gs(t) = - Nk+1 (k)(t), которая в k=сумме с регулярной образует (как показывает теорема 4.3.6) полную формулу Грина.

В отличие от бисекториального случая здесь регулярная функция Грина имеет в нуле разрыв первого рода (предложение 4.2.2). Основным результатом главы является следующая теорема.

Теорема 4.3.6. Пусть пучок является w-биограниченным. Тогда при всех f Cn(R, Y ), n Z, решение уравнения (2) принадлежит Cn-w(R, X).

При этом при n w + u(t) = Gr(t - s)F f(s) ds - Nk+1 (1 - F )f(k)(t).

- k=Здесь коэффициент при в разложении резольвенты пучка в ряд Лорана в окрестности бесконечности, N коэффициент при 0, а символ Nk+1 означает (k + 1)-ую степень N относительно умножения A B = AF B.

В главе 5 изучается структура функции Грина, обладающей тем свойством, что все входящие в нее операторы имеют конечномерный образ.

Установлено (теорема 5.3.1), что такая функция Грина представляет собой сумму нулевого оператора и конечномерного.

Теорема 5.3.1. Пусть G функция Грина w-бисекториального пучка, обладающая свойством dim Im G(t) < при t = 0. Тогда пространства X и Y допускают разложения ± ± X = X0 X1, Y = Y0± Y1± ± ± в прямые суммы замкнутых подпространств X0, X1, Y0± и Y1±, не зависящих от t и инвариантных относительно G(t) в том смысле, что + + G(t)Y0+ X0, G(t)Y1+ X1, t > 0, - G(t)Y0- X0, G(t)Y1- X1, t < 0.

При этом сужения функции Грина G(t) на Y0± состоят из нулевых опера± торов, Y1± конечномерны, а сужения G(t) Y1± X1 являются обратимыми операторами.

Подчеркнем, что здесь dim Im G(t) априори может зависеть от t.

Публикации по теме диссертации [1] Печкуров А.В. Комплексификация упорядоченных пар линейных операторов / А.В. Печкуров // Вестник ВГУ. Физика. Математика.

2007. № 2. С. 143–147.

[2] Печкуров А.В. Об упорядоченный парах линейных операторов / А.В.

Печкуров // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г.

Крейна. 2008. С. 225–231.

[3] Печкуров А.В. Комплексификация упорядоченной пары линейных операторов / А.В. Печкуров // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тез. докл. 2008. С. 111–112.

[4] Печкуров А.В. О структуре полугруппы операторов, имеющих конечномерный образ / А.В. Печкуров // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тез. докл. 2010. С. 116–117.

[5] Печкуров А.В. О структуре полугруппы операторов, имеющих конечномерные образы / А.В. Печкуров // Международная конференция КРОМШ. Сборник тезисов. 2010. С. 38.

[6] Печкуров А.В. Операторные пучки, биполугруппы и задача об ограниченных решениях / А.В. Печкуров // Spectral and Evolution Problems.

Proceedings of the Twenty First Crimean Autumn Mathematical SchoolSimposium (Kromsh-2010). 2011. Vol. 21, № 2. P. 75–86.

[7] Печкуров А.В. Об обратимости в пространстве Шварца оператора, порожденного пучком умеренного роста / А.В. Печкуров // Вестник ВГУ. Физика. Математика. 2011. № 2. С. 116–122.

[8] Печкуров А.В. О структуре полугруппы операторов, имеющих конечномерные образы / А.В. Печкуров // Матем. заметки. 2012. Т. 91, № 2. С. 240–252.

[9] Печкуров А.В. Бисекториальные операторные пучки и задача об ограниченных решениях / А.В. Печкуров // Известия вузов. Математика. 2012. № 3. С. 31–41.

[10] Печкуров А.В. О функции Грина операторного пучка, имеющей конечномерные образы / А.В. Печкуров // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Материалы межд. конф. 2012.

С. 180–182.

[11] Pechkurov A.V. Bisectorial operator pencils and bounded-solutions problem / A.V. Pechkurov // The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow, Peoples’ Friendship University of Russia, August 18-20, 2011, Abstracts.

Russia. 2011. P. 52–53.

Работы [7, 8, 9] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по разным специальностям



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.