WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

КОРОБЧЕНКО Елена Витальевна

ТЕОРЕМЫ ГУРЕВИЧА ДЛЯ ТОЛЕРАНТНЫХ ПРОСТРАНСТВ

01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2012

Работа выполнена на кафедре компьютерной алгебры и теории чисел механико-математического факультета Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Научный консультант: кандидат физико-математических наук, доцент Небалуев Сергей Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент Гришин Александр Владимирович профессор кафедры алгебры математического факультета ФГБОУ ВПО "Московский педагогический государственный университет" доктор физико-математических наук, профессор Бредихин Дмитрий Александрович профессор кафедры "Математика и моделирование" физико-технического факультета ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный технический университет имени Ю.А. Гагарина "

Ведущая организация: ФБГОУ ВПО Самарский государственный университет

Защита состоится 2 апреля 2012 года в 17.00 на заседании диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет, ауд. 401.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан 20 г.

Ученый секретарь диссертационного совета О.В. Муравьева

Общая характеристика работы



Актуальность темы. В последние десятилетия были разработаны несколько направлений, использующих категорную и алгебротопологическую технику для изучения дискретных по своей природе объектов таких, как автоматы, дискретные системы управления, вычислительные сети, параллельные вычислительные процессы, лингвистические структуры и др. В настоящее время наиболее развитыми и оформленными являются два направления, идейно и технически близкие друг другу. Первое из этих направлений связано с теорией толерантных пространств и гомологий отношений, и представлено в работах Доукера, Зимана, Мюира, Уорнера, Арбиба, Шрейдера, Небалуева и 1 2 3 4 5 6 7 других авторов.

Второе направление систематически использует теоретикокатегорные методы и представлено работами Губо, Гаше, Йенсена, 9 10 11 Шилдса, Хусаинова и др. Диссертационная работа развивает первое из этих направлений и ставит своей целью доказательство теоремы Гуревича и обобщенной теоремы Гуревича для толерантных пространств, устанавливающих связи между толерантными гомотопическими и гомологическими группами. Доказательства толерантных теорем Гуревича получаются с помощью разработанного в диссертации специального метода, который является аналогом метода Серра в алгебраической топологии.

Арбиб М. Теория автоматов с точки зрения теории управления // Сборник Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. С.185–265.

Arbib M.A. Tolerance automata // Kybernetik. 1967. № 3.

Muir A., Worner M.W. Homology theories and tolerance automata // Diacrete Math. 1981. № 33.

Muir A., Worner M.W. The decomposition of tolerance automata // Kybernetes. 1980. № 9.

Muir A., Worner M.W. Homogeneous tolerance space // Czech. Math. J. 1980. № 30.

Шрейдер Ю.А. Пространства толерантности // Кибернетика № 2. 1970.

Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок // М.: Наука, 1971.

Небалуев С.И. Фундаментальная группа толерантного пространства и толерантные накрытия // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V Международной конференции. Тула 2003. С.166–167.

Хусаинов А.А., Лопаткин В.Е., Трещев И.А. Исследование математической модели параллельных вычислительных процессов методами алгебраической топологии // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. Т.11. №1. С.141–151.

Хусаинов А.А., Ткаченко В.В. О группах гомологий асинхронных систем переходов // Дальневосточный математический журнал. 2005. Т.6. №1-2. С.23–38.

Gausher P. About the globular homology of higher dimensional automata // Cahiers Topologie Geom. Differentielle Categ. 2002. Vol. 43. №2. P.107–156.

Goubalt E. The Geometry of Concurrency: Ph. D. thesis. Ecole Normale Superieure // http://www.dmi.ens.fr/goubalt. 1995.

Применение гомологической алгебры в теории отношений начинается с работы Доукера13. В 1962 году Зиман14 использовал методы алгебраической топологии для изучения рефлексивных и симметричных отношений, которые он назвал отношениями толерантности, и которые оказались весьма интересными, как с математической, так и с прикладной точки зрения. Пару, состоящую из множества и отношения толерантности на этом множестве, Зиман назвал толерантным пространством. Отношения толерантности в настоящее время интерпретируются как наиболее общая математическая модель понятия схожести, а толерантные пространства применяются в различных разделах „дискретной“ математики для перенесения в них методов „непрерывной“ математики.

В 1970 году была опубликована важная работа Зимана и Бьюнемана15, в которой ряд интересных вопросов, имеющих прикладное значение, были сформулированы как математические задачи гомологической теории толерантных пространств. Однако решение этих задач тормозилось неразвитостью теории гомологий толерантных пространств, и отсутствием сколь-нибудь продвинутого варианта гомотопической теории.

В конце прошлого и в начале текущего века была построена достаточно развитая гомологическая и гомотопическая теория толерантных про16 странств, с помощью которой удалось решить некоторые из задач, сформулированных в работе Зимана и Бьюнемана. В частности, получены условия, при которых толерантное пространство гомологически эквивалентно своему дискретному (или даже конечному) подпространству. Эти результаты показывают каким образом внешняя среда, имеющая в принципе непрерывную континуальную структуру, может быть отражена в работе дискретно структурированной сетчатки глаза, которая функционирует как конечный автомат. Более того полученные результаты позволяют получать оценки для числа точек и плотности их расположения в дискретном подпространстве, сохраняющем глобальную Dowker C.H. Homology groups of relations // Ann. of Math. 1956. Vol. 56.

Zeeman E.C. The topology of brain and visual perception // The Topology of 3-Manifolds /Ed. M.K.

Fort, 1962.

Зиман Э., Бьюнеман О. Толерантные пространства и мозг // Сборник На пути к теоретической биологии. М.: Мир, 1970.

Небалуев С.И. Высшие гомотопические группы толерантных пространств // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвузовский сборник научных трудов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003.Вып.2. С.15–30.

Небалуев С.И. Фундаментальная группа толерантного пространства и толерантные накрытия // Чебышевский сборник. Труды V международной конференции Алгебра и теория чисел:

современные проблемы и прложения.Тула, 2004. Т.V. Вып. 1(9). С.144–152.

стурктуру всего толерантного пространства. На следующем этапе развития этой теории актуальным стал вопрос изучения связи между толерантными гомотопическими и гомологическими группами. В алгебраической топологии такому же вопросу посвящены теоремы Пункаре и Гуревича. Толерантный аналог теоремы Пуанкаре об изоморфизме между первой гомологической группой и фактор-группой фундаментальной группы по коммутанту был доказан Небалуевым. Толерантные теоремы Гуревича представляют собой важный вычислительный инструмент в гомотопической теории толерантных пространств и, как было сказано выше, являются основным предметом диссертационой работы. Не менее важной частью диссертационного исследования является разработка метода, позволяющего получить доказательства указанных теорем, а также и многих других результатов. Этим методом является приспособленный к теории толерантных пространств метод, предложенный Ж.П. Серром.





В рамках разработки этого метода в диссертации решались следующие задачи: построение теории A-пунктированных толерантных кубических сингулярных гомологий, построение толерантного квазирасслоения толерантных путей с условно толерантно стягиваемым пространством квазирасслоения, построение гомологической спектральной последовательности Лере-Серра толерантного квазирасслоения и вычисления первых ее членов, построение n-связных толерантных квазирасслоений. Решенные в диссертационной работе задачи применимы не только для доказательства теорем Гуревича, но и для получения многих других результатов в гомотопической и гомологической теории толерантных пространств.

Цель работы. Доказательство теоремы Гуревича и обобщенной теоремы Гуревича для толерантных пространств.

Методы исследования. В диссертационном исследовании использованы методы гомологической алгебры и теории толерантных пространств, а также метод, разработанный в самой работе, аналогичный методу Серра в алгебраической топологии.

Достоверность результатов. Достоверность результатов диссертационного исследования обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты работы расширяют арсенал алгебраических методов, используемых для изучения толерантных пространств. Эти результаты могут быть использованы в тех разделах математики и ее приложений, которые занимаются дискретными математическими моделями. Они также могут использоваться для математического моделирования неоднозначного поведения сложных объектов. Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов СГУ, СГТУ, СамГУ.

Научная новизна. К новым результатам, представленным в данной работе, нужно отнести следующие:

1) Разработана конструкция окаймления толерантного сингулярного (ТС) куба, и доказана тривиальность действия окаймления на группы толерантных кубических сингулярных (ТКС) гомологий.

2) Построен функтор A-пунктированных ТКС гомологий и доказана его изоморфность гомологическому функтору Зимана на категории толерантных пространств.

3) Построено квазирасслоение со стягиваемым толерантным пространством.

4) Доказаны свойства ТС кубов толерантного квазирасслоения, необходимые для построения спектральной последовательности.

5) Построена спектральная последовательность Лере-Серра толерантного квазирасслоения и вычислены два ее первых члена.

6) Доказана классическая теорема Гуревича для толерантных пространств.

7) Доказана теорема о существовании n-связного толерантного квазирасслоения.

8) Доказана обобщенная теорема Гуревича для толерантных пространств.

Основные положения, выносимые на защиту. Доказательство теоремы Гуревича и обобщенной теоремы Гуревича для толерантных пространств. Разработанный в диссертации толерантный аналог метода Серра.

Личный вклад. Постановка задач в работе принадлежит научному руководителю С.И. Небалуеву. Предварительные результаты получены как лично диссертантом, так и совместно с научным руководителем. Доказательство основных результатов, выносимых на защиту, получено самостоятельно диссертантом.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры алгебры и теории чисел СГУ, на научных конференциях на механико-математическом факультете СГУ (2008-2011), на Международной конференции Современные проблемы дифференциальной геометрии и общей алгебры, посвященной 100-летию В.В. Вагнера, (Саратов, 5-8 ноября 2008 года), на VIII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 190летию П.Л. Чебышева и 120-летию И.М. Виноградова, (Саратов, 12-сентября 2011 года).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, в том числе 2 статьи из списка ВАК. Список статей приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Первая глава содержит параграфа. Вторая глава 3 параграфа. Третья глава содержит 4 параграфа. Четвертая глава 3 параграфа. Список литературы содержит 48 наименования. Общий объем диссертации - 128 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткий исторический обзор по тематике диссертации, постановку задач и сжатое описание содержания работы в связи с поставленными задачами.

Параграф 1.1 начинается с определения толерантного пространства Определение 1.1 Толерантным пространством называется пара (X, ), где X некоторое множество, а X X отношение толерантности на этом множестве, то есть рефлексивное и симметричное бинарное отношение:

(x X) (x, x) и (x1, x2 X) (x1, x2) (x2, x1) .

Затем определяются толерантные отображения, сохраняющие толерантность, и толерантная гомотопность этих отображений.

Определение 1.4 Два толерантных отображения f0, f1 : (X, ) - (Y, ) назовем толерантно гомотопными относительно подмножества A X и обозначим f0 f1(rel A), если существует натуральное число n и толерантное отображение F : (X In, n) - (Y, ) такое, что 1. (x X) F (x, 0) = f0(x);

2. (x X) F (x, 1) = f1(x);

k 3. (x A) (k = 0, n) F (x, ) = f0(x).

n В этом определении (In, n) – толерантное пространство, называемое толерантным отрезком длины n, в котором k k l In = k = 0, n, n |k - l| 1.

n n n Далее описывается категория толерантных гомотопических типов толерантных пространств.

Параграф 1.2 содержит обзор изоморфных функторов H, H• толерантных гомологий на категории толерантных пространств. H гомологический функтор, который определил Зиман через симплициальные комплексы (X), вершинами которого являются точки из X, а симS плексы конечные наборы попарно толерантных точек. H• функтор толерантных сингулярных кубических гомологий.

Определение 1.8. Толерантное отображение u : (Im, m) - (X, ), n n n где m = (m1,..., mn) N, n N, (Im, m) = Im, m, называi i i=1 i=ется n-мерным толерантным сингулярным кубом (ТС кубом) пространства (X, ). Если все вершины Т куба Im отображаются в отмеченную точку x0 X, то ТС куб u называется пунктированным. ТС куб u называется вырожденным, если u не зависит от последнего аргумента.

Для n 0 обозначим через Q•(X) абелеву группу, свободно порожn денную над Z всевозможными n-мерными пунктированными ТС кубами пространства (X, ), и положим Q•(X) = 0 для n < 0. Для каждого n n N определяется граничный гомоморфизм n : Q•(X) - Q• (X).

n n-• Обозначим через Dn(X) подгруппу в Q•(X), порожденную вырожденn • • ными ТС кубами. Легко видеть, что n(Dn(X)) Dn-1(X). Это поз• воляет рассмотреть цепной комплекс {Cn(X), n}n 0 нормализованных • • пунктированных ТКС цепей, где Cn(X) = Q•(X)/Dn(X) свободно поn • рождаются классами вида u = u+Dn(X) с невырожденными ТС кубами u. Всякое пунктированное толерантное отображение f : (X, ) - (Y, ) • • • индуцирует цепное отображение C•(f) = {Cn(f) : Cn(X) - Cn(Y )}n 0, • • определяемое на свободных образующих u + Dn(X) Cn(X) формулой • • • Cn(f)(u + Dn(X)) = f u + Dn(Y ).

Легко проверить, что в результате получается функтор C• из категории пунктированных толерантных пространств в категорию цепных комплексов. Функтор C• в композиции с гомологическим функтором дает функтор H• пунктированных толерантных кубичеcких сингулярных гомологий (ТКС гомологий).

Параграф 1.3 посвящен толерантным гомотопическим группам.

Определение 1.9 n-мерным толерантным сфероидом (Т сфероидом) толерантного пространства (X, ) в точке x0 X называется (n) толерантное отображение m : (Im, (n)) - (X, ) такое, что m df (n) (n) ki m(Im ) = x0, m N, где Im = |(i = 1, n)ki {0, m} ( )i=1,n m Определение 1.10 Два n-мерных Т сфероида m, m пространства (X, ) в точке x0 называются толерантно гомотопными и обознача ются m m, если существуют натуральное M max{m1, m2} и (n) толерантная гомотопия M,m M,m (rel IM ).

Затем классическим способом определяется операция на классах толерантно гомотопных сфероидов [m ] [m ] = [m m ], которая пре1 2 1 вращает множество n(X, x0) классов толерантно гомотопных n-мерных сфероидов пространства (X, ) в точке x0 в группу.

Толерантные гомотопические группы можно определить, используя и более общее определение Т сфероида. Для этого будем использовать n n-мерные Т кубы произвольного размера m = (m1,..., mn) N, т.е.

пространства n n df (Im, m) = Im, m i i i=1 i=Определение 1.13 n-мерным толерантным сфероидом (Т сфероидом) n размера m = (m1,..., mn) N пространства (X, ) в точке x0 X назовем любое толерантное отображение m : (Im, m) - (X, ) такое, что m(Im) = x0, где df ki Im = Im|(i = 1, n)ki {0, mi}.

mi i=1,n Для этих сфероидов также определяется толерантная гомотопность и вводится операция на классах толерантно гомотопных сфероидов. В результате получаем толерантные гомотопические группы n(X, x0). Завершается параграф 1.3 доказательством естественной изоморфности функторов n и n.

Глава 2 посвящена построению толерантных расслоений и квазирасслоений пространств толерантных путей.

В параграфе 2.1 вводятся в рассмотрение пространства толерантных путей (P (X, x0), ) и (P (X, x0), +) с различным способом определенными толератностями и +. Изучаются их свойства. В завершении доказывается важная для дальнейшего изложения теорема, которая является аналогом классического результата, связывающего гомотопические группы толерантного пространства с гомотопическими группами толерантного пространства его петель (X, x0).

Параграф 2.2 начинается с определения Определение 2.6 Толерантное отображение p : (E, ) - (B, ) называется толерантным расслоением (в смысле Гуревича), если для любого толерантного пространства (Y, ) и любых толерантных отображений F : (Y In, n) - (B, ), f : (Y, ) - (E, ) таких, что F |(Y {0}) = p f, существует толерантное отображение F : (Y In, n) - (E, ) такое, что F |(Y {0}) = f, p F = F.

Доказывается критерий толерантного расслоения. Приводятся примеры.

В параграфе 2.3 доказывается следующая теорема о толерантном квазирасслоении ТЕОРЕМА 2.6 Толерантное отображение p : (P (X, x0), X) - (X, ), задаваемое формулой p(m) = m(1), является толерантным квазирасслоением, в том смысле, что для любого пространства (Y, ) и любых толерантных отображений F : (Y IM, M) - (X, ), f : (Y, ) - (P (X, x0), X) таких, что (y Y ) F (y, 0) = pf(y), существует толерантное отображение F : (Y IM, M) - (P (X, x0), X) такое, что p F = F, (y Y ) F (y, 0) = f(y) (pf(y))M = f(y) (F (y,0))M, где (F (y,0))M постоянный Т путь длины M в пространстве (X, ), k принимающий тождественно значение (F (y,0))M M F (y, 0) X.

При этом квазирасслоение p имеет слой p-1(x0) = ((X, x0), X).

В третьей главе строится спектральная последовательность ЛереСерра толерантного квазирасслоения толерантных путей.

В параграфе 3.1 определяется конструкция окаймления толерантных сингулярных (ТС) кубов и доказывается тривиальность действия окаймления на группы толерантных кубических сингулярных (ТКС) гомологий. А также вводится функтор A-пунктированных гомологий и доказывается его естественная изоморфность функтору Зимана.

Параграф 3.2 посвящен изучению свойств ТС кубов в толерантном квазирасслоении толерантных путей.

Для n-мерного -пунктированного ТС куба w в пространстве квазирасслоения определяются два новых ТС куба: один в базе Bs(w), а другой в слое Fs(w), с весом s, определяющим степень его вырожденности. Доказываются теоремы 3.4 и 3.5, которые утверждают, что по ТС кубам Bs(w) и Fs(w) можно построить ТС куб W (u, v), который будет толерантно гомотопен исходному w.

В параграфе 3.3, используя весовую фильтрацию комплекса пунктированных нормализованных ТС кубов пространства квазирасслоения, строится гомологическая спектральная последовательность ЛереСерра толерантного квазирасслоения. Затем, с помощью доказанных ранее свойств ТС кубов квазирасслоения, вычисляются первые два члена этой последовательности • Es,t Cs (X) Ht((X, x0)), = Es,t Hs(X; Ht((X, x0))).

= Спектральная последовательность Лере-Серра толерантного квазирасслоения в качестве следствия дает известную гомологическую последовательность Серра, которая используется для доказательства теорем Гуревича.

Глава 4 содержит основные результаты диссертационной работы.

В параграфе 4.1 доказывается толерантный аналог теоремы Гуревича ТЕОРЕМА 4.2 Если (X, ) линейно связное толерантное пространство и для натурального n и i = 1, n - 1 имеем i(X) = 0, то для i = 1, n - 1 Hi(X) = 0 и n(X) Hn(X).

= Изоморфизм, описанный теоремой 4.2, определен естественным гомоморфизмом Гуревича n : n(X, x0) - Hn(X), задаваемым формулой n([m]) = m + Bn(X).

Параграф 4.2 посвящен n-связным толерантным квазирасслоениям.

Определение 4.2 Толерантное пространство (X, ) назовем nсвязным, если оно линейно связное и для всех i = 1, n гомотопические группы i(X) = 0.

Определение 4.3 Толерантное расслоение (или квазирасслоение) p : (E, ) - (B, ) назовем n-связным, если (B, ) линейно связное, (E, ) n-связное и для всех i > n имеет место изоморфизм p : i(E, x0) i(B, b0), x0 p-1(b0).

= i Основной теоремой параграфа 4.2 является следующая ТЕОРЕМА 4.3 Для любого линейно связного пространства (B, ) и любого натурального числа n N существует n-связное толерантное квазирасслоение p : (E, ) - (B, ).

С помощью точной гомотопической последовательности для nсвязного толерантного квазирасслоения p : (E, ) - (B, ) доказывается:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.3 Пусть p : (E, ) - (B, ) n-связное толерантное расслоение (или квазирасслоение) такое, что пространство (B, ) является (n - 1)-связным. Пусть (F = p-1(b0), ) слой над произвольной точкой b0 B, и b0 F его произвольная точка. Тогда n(B, b0), q = n - 1;

q(F, b0) = 0, q = n - 1.

Пусть (, n) пара, где n N, а произвольная группа для n = 1, и произвольная абелева группа для n > 1.

Определение 4.4 Линейно связное толерантное пространство (X, ) назовем толерантным пространством типа (, n), если , q = n;

q(X) = 0, q = n.

Параграф 4.3 посвящен доказательству обобщенной теоремы Гуревича для толерантных пространств Определение 4.5 Классом Серра абелевых групп называется класс K абелевых групп такой, что для любой точной последовательности абелевых групп A - B - C из A, C K следует B K.

Определение 4.6 Пусть K класс Серра, и пусть : A1 - A2 гомоморфизм произвольных абелевых групп. Тогда гомоморфизм называется K-инъективным, если ker K; называется Kсюръективным, если coker K; называется K-изоморфизмом, если выполняются оба предыдущих условия.

Определение 4.7 Абелевы группы A1 и A2 называются Kэкивалентными (K-изоморфными) и записываются A1 A2, если су= K ществуют абелева группа A и K-изоморфизмы A - A1, A - A2.

Определение 4.8 Толерантное пространство (X, ) и пара (X, X0) толерантных пространств (X0, ) (X, ), X0 = , называются K ацикличными, если для пространства (X, ) все его целочисленные гомологии Hi(X) K для i > 0, а для пары (X, X0) все относительные целочисленные гомологии Hi(X, X0) K для i 0.

Определение 4.9 Класс Серра K называется ацикличным, если из A K следует Hi(A) K для всех i > 0.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.3 Класс Серра K является ацикличным тогда и только тогда, когда всякое толерантное пространство (X, ) типа (, 1), где K, является K-ацикличным.

Определение 4.10 Класс Серра K называется кольцом абелевых групп, если он замкнут относительно тензорного и периодического произведений, т.е. если выполняется следующее свойство:

A, B K = A B K, A B = T or1(A, B) K.

ТЕОРЕМА 4.4 Пусть p : (E, ) - (B, ) толерантное расслоение (или квазирасслоение) с линейно связной и односвязной базой (B, ) и линейно связным слоем (F = p-1(b0), ). Пусть (B0, ) непустое линейно связное подпространство в (B, ) такое, что b0 B0 и H1(B, B0) = 0. Пусть E0 = p-1(B0). Предположим, что K кольцо абелевых групп такое, что (i = 2, p - 1) Hi(B, B0) K; (j = 1, q - 1) Hj(F ) K; p, q > 0.

Тогда гомоморфизм (p)i : Hi(E, E0) - Hi(B, B0) является Kизоморфизмом при i r, и K-сюрьективным при i = r + 1, где r = min{p, q + 1}.

Теорема имеет ряд важных следствий.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.5 Пусть K-кольцо абелевых групп, и пусть p : (E, ) - (B, ) толерантное расслоение (или квазирасслоение) такое, что пространство расслоения (E, ) является K-ацикличным, слой расслоение (F, ), где F = p-1(b0), b0 B, является линейно связным, а база (B, ) является линейно связной, односвязной и Hi(B) K для i = 1, p - 1, p 2. Тогда 1) (i = 1, p - 2) Hi(F ) K;

2) имеет место эквивалентность Hp-1(F ) Hp(B), определяемая = K p K-изоморфизмами Hp-1(F ) Hp(E, F ) Hp(B, b0) = Hp(B), где связующий гомоморфизм из точной гомологической последовательности пары (F, ) (E, ).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.6 Пусть K-кольцо абелевых групп, и пусть p : (E, ) - (B, ) толерантное расслоение (или квазирасслоение) с линейно связной и односвязной базой (B, ) и линейно связным слоем (F, ). Тогда из Kацикличности любых двух пространств из трех (E, ), (B, ) и (F, ) следует K-ацикличность третьего.

Последнее предложение, примененное к толерантному квазирасслоению p : (P (X, x0), ) - (X, ) дает:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.7 Пусть (X, ) линейно связное и односвязное толерантное пространство, и пусть K кольцо абелевых групп. Тогда пространство (X, ) будет K-ациклично в том и только том случае, когда его пространство толерантных петель ((X, x0), ) будет K-ацикличным.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.8 Пусть K-ациклическое кольцо абелевых групп и пусть (X, ) толерантное пространство типа (, n), где n 1, а K, тогда (X, ) K-ациклическое пространство.

Из теоремы 4.3 следует, что для линейно связного и односвязного толерантного пространства (X, ) имеет место последовательность толеpn-1 pn-2 pрантных отображений (En-1, n-1) (En-2, n-2) ... (E1, 1) = (X, ) таких, что (j = 2, n - 1) pj : (Ej, j) - (Ej-1, j-1) j-связное толерантное квазирасслоение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.9 Слой (Fj, j) толерантного квазирасслоения pj : (Ej, j) - (Ej-1, j-1), j = 2, n - 1 является толерантным пространством типа (j(X), j - 1).

Следующая теорема представляет собой обобщенную теорему Гуревича для толерантных пространств.

ТЕОРЕМА 4.5 Пусть K-ацикличное кольцо абелевых групп, и пусть (X, ) линейно связное и односвязное толерантное пространство такое, что (i = 1, n - 1) i(X) K. Тогда (i = 1, n - 1) Hi(X) K и гомоморфизмы Гуревича i : i(X) - Hi(X) являются K-изоморфизмами для всех i = 1, n.

Основные результаты и выводы. Доказательства теоремы Гуревича и обобщенной теоремы Гуревича для толерантных пространств позволяет сделать вывод об эффективности разработанного в диссертации метода Серра в теории толерантных пространств. Задачи решаемые в диссертации в процессе разработки этого метода 1) Разработана техника окаймления ТС кубов со свойством тривиальности действия на группы ТКС гомологий.

2) Построен функтор A-пунктированных ТКС гомологий и доказана его изоморфность гомологическому функтору Зимана на категории толерантных пространств.

3) Построено квазирасслоение со стягиваемым толерантным пространством.

4) В терминах точных пар с помощью специальной весовой фильтрации в группе пунктированных нормализованных ТКС цепей построена сходящаяся спектральная последовательность толерантного расслоения и вычислены первые два ее члена.

5) Доказана теорема о существовании n-связного толерантного квазирасслоения.

дают эффективный инструмент для решения многих задач гомотопической теории толерантных пространств.

Благодарности Автор выражает глубокую благодарность и искреннюю признательность своему научному руководителю доценту Сергею Ивановичу Небалуеву.

Также автор благодарен доктору физико-математических наук, профессору Александру Васильевичу Михалёву за внимание к работе и ценные советы.

Работы автора по теме диссертации 1. Небалуев С.И., Коробченко Е.В. Спектральная последовательность Лере-Серра толерантного квазирасслоения толерантных путей // Известия Саратовского университета.

Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2011. т.11. Вып.1. С.24–31.

(0,6 п.л., соискателем выполнено 50% работы) 2. Коробченко Е.В. Гомотопические группы пространств толерантных петель // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2011. т.11. Вып.3. Ч.С.15–20. (0,4 п.л.) 3. Коробченко Е.В. n-связные толерантные квазирасслоения и теоремы Гуревича для толерантных пространств // Чебышевский сборник. Труды VIII международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тула, 2011. Т.12.

Вып. 2(38). С.39–53. (0,9 п.л.) 4. Коробченко Е.В. Гомологические свойства конструкции окаймления толерантных сингулярных кубов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам.

Межвузовский сборник научных трудов. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 2010. Вып.6. С.27–37. (0,5 п.л.) 5. Небалуев С.И., Коробченко Е.В., Сусин М.Н. Пунктированные толерантные кубические сингулярные гомологии // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвузовский сборник научных трудов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып.6. С.79–90. (0,63 п.л., соискателем выполнено 50% работы) 6. Коробченко Е.В. Изоморфность гомотопических групп толерантных пространств, определенных через толерантные сфероиды разного размера // Математика. Механика. Сборник научных трудов.

Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2011. Вып.13. С.40–43. (0,2 п.л.)






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.