WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

АЛЕКСЕЕВ НИКИТА ВЛАДИМИРОВИЧ

СВОЙСТВА СПЕКТРАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

01.01.05 теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2012

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научные руководители доктор физико-математических наук, профессор Никитин Яков Юрьевич доктор физико-математических наук, профессор Тихомиров Александр Николаевич Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор Вершик Анатолий Моисеевич доктор физико-математических наук, профессор Розовский Леонид Викторович Ведущая организация Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Защита состоится “ ” 2012 года в часов на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН по адресу 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН по адресу 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27.

Автореферат разослан “ ” 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.202.доктор физико-математических наук А. Ю. Зайцев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория случайных матриц – активно развивающаяся в последние десятилетия область математики. В начале 50-х годов прошлого столетия Вигнер предложил использовать матрицы большой размерности, элементы которых суть гауссовские случайные величины, для описания дискретной части спектра гамильтониана взаимодействия элементарных частиц тяжелых атомов. В дальнейшем теория случайных матриц нашла применения к физике, химии, информатике, генетике и другим наукам, а исследования спектра случайных матриц продолжили многие другие ученые, в том числе Марченко, Пастур, Гирко, Бай, Синай, Сошников, Гётце, Тихомиров, Тао, Ву [2, 1, 3, 6, 11, 12]. Значительный прогресс в изучении асимптотики поведения спектра случайных матриц был достигнут буквально в последние годы.

Спектральная теория случайных матриц изучает распределение собственных чисел случайных матриц, размер которых стремится к бесконечности. Пусть Wn – некоторая последовательность случайных матриц, имеющих размер n n, и 1, 2,..., n – собственные числа матрицы Wn.

Тогда эмпирическим спектральным распределением матрицы Wn называют меру на множестве комплексных чисел µn(A) = #{i : i A, i {1,..., n}}.

n В случае, когда спектр вещественный, говорят об эмпирической спектральной функции распределения. Эмпирической спектральной функцией распределения называется функция вещественной переменной x Fn(x) = #{i : i < x, i {1,..., n}}.

n Если рассматривать эрмитовы случайные матрицы, то все их собственные числа вещественные, и эмпирическое спектральное распределение сосредоточено на вещественной прямой. Если при n, стремящемся к бесконечности, эмпирическое спектральное распределение имеет предел в смысле сходимости почти наверное, то предельное распределение называют асимптотическим спектральным распределением.

Мы рассматриваем в качестве матрицы Wn произведение Wn = X(1)X(2) · · · X(m)(X(1)X(2) · · · X(m)), где матрицы X(k) – независимые прямоугольные случайные матрицы размера nk-1 nk с независимыми элементами, удовлетворяющие некоторым естественным условиям. В этом случае в диссертации доказано, что математическое ожидание эмпирического спектрального распределения слабо сходится к пределу. Этот результат является обобщением результата Марченко–Пастура [2] о спектре выборочных ковариационных матриц. В частных случаях плотность предельного распределения была изучена физиками Жичковским, Пенсоном и другими [17, 10].

Цель работы. Диссертация посвящена изучению асимптотического спектрального распределения случайных матриц. Основная цель изучение спектра произведений фиксированного числа независимых прямоугольных случайных матриц и степеней квадратных случайных матриц.

Методы исследований. В диссертационной работе применяются метод моментов и метод преобразования Стилтьеса. В исследовании моментов используются методы комбинаторики и комбинаторной топологии. Заметим, что метод моментов был применен еще в работе Вигнера [15]. Технику, связанную с преобразованием Стилтьеса, в спектральной теории случайных матриц впервые применили Марченко и Пастур [2].

Основные результаты.

1. Найден предел математического ожидания эмпирического спектрального распределения для произведения фиксированного числа прямоугольных случайных матриц. Получено описание моментов предельного распределения в терминах m-арных деревьев.

2. Доказано, что производящая функция для последовательности m-арных деревьев удовлетворяет алгебраическому уравнению m-ой степени.

3. Доказано, что эмпирическое спектральное распределение степеней квадратной случайной матрицы сходится к распределению Фусса–Каталана почти наверное.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В ней впервые получены предельные распределения сингулярных чисел степеней и произведений случайных матриц.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Разработанные в ней методы и подходы могут использоваться для решения близких задач теории случайных матриц. В перспективе полученные результаты могут быть использованы в других разделах математики, таких как алгебраическая геометрия и комбинаторная топология.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на четырех конференциях: на Первом Северном трехстороннем семинаре (9–11 марта 2009 г., Хельсинки, Финляндия), на конференции по свободной теории вероятностей и случайным комбинаторным структурам (7–9 декабря 20г., Билефельд, Германия), на Третьем Северном трехстороннем семинаре (11–13 апреля 2011 г., Институт Эйлера, Санкт-Петербург), на конференции Случайные матрицы, операторные алгебры и аспекты математиче” ской физики“ (11–21 апреля 2011 г., международный институт математической физики им. Эрвина Шредингера, Вена, Австрия). Кроме того, работа обсуждалась в Санкт-Петербурге на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством академика И.А. Ибрагимова (апрель 2011 г. и апрель 2012 г.) и на семинаре "Теория Вероятностей"лаборатории им. П.Л. Чебышева (март и май 2011 г.) Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [П1]–[П5]. Работы [П1–П3] опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК (работа [П3] опубликована в журнале, удовлетворяющем достаточному условиювключенияв переченьВАК:входитв системуцитированияSpringer).

Публикации [П4,П5] это тезисы докладов на международных конференциях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из четырех параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации – 81 страница, список литературы содержит 61 наименование.

Содержание работы Во введении (параграф 1) излагается история вопроса, описывается структура и содержание диссертации.

В параграфе 2 приводятся комбинаторные теоремы. Для всех рассмотренных ансамблей случайных матриц моменты предельных спектральных распределений имеют комбинаторные интерпретации. Так, k-ым моментом распределения Марченко–Пастура с параметром y = 1 является k-ое число Каталана 1 2k Cat(k) =.

k + 1 k Кроме того, k-ый момент распределения Марченко–Пастура с произвольным параметром y задается формулой k N(k, r)yr-1, r=где N(k, r) – числа Нараяна. Наконец, k-ый момент m-го распределения Фусса–Каталана есть число Фусса–Каталана 1 mk + k F C(m, k) =.

mk + 1 k Все эти числа имеют многочисленные комбинаторные интерпретации и удовлетворяют некоторым комбинаторным тождествам. При доказательстве предельных теорем методом моментов комбинаторные интерпретации играют ключевую роль, а комбинаторные тождества позволяют исследовать свойства предельных распределений. Одним из важных утверждений, доказанных в параграфе 2, является следующая теорема:

Теорема 1. Пусть T (k0, k1,..., km) – количество (m + 1)-арных деревьев, у которых число вершин i-го типа есть ki для всех 0 i m. Пусть f(x0, x1,..., xm) – производящая функция последовательности T (k0, k1,..., km):

0 1 2 m f(x0, x1, x2..., xm) = T (k0, k1, k2,..., km)xk xk xk · · · xk.

0 1 2 m ki=Тогда функция f(x0, x1,..., xm) удовлетворяет функциональному уравнению:

m f(x0, x1, x2,..., xm) = (1 + xif(x0, x1, x2..., xm)).

i=В параграфе 3 рассматривается распределение сингулярных чисел произведения независимых прямоугольных случайных матриц. Основным результатом этого параграфа является обобщение классического результата Марченко–Пастура о предельном спектральном распределении выборочной ковариационной матрицы XX. Мы рассматриваем произведение нескольких матриц W = X(1)X(2) · · · X(m)(X(1)X(2) · · · X(m)).

Оказывается, что спектральное распределение слабо сходится к предельному. Доказана следующая теорема:

Теорема 2. Пусть n = n0, n1,..., nm – последовательности натуральных чисел, такие, что для каждого k {0, 1,..., m} существует ненулевой конечный предел n yk = lim.

n nk(n) Пусть X(1), X(2),..., X(m) – семейство последовательностей прямоугольных независимых случайных матриц. Матрица X(k) имеет размер nk-1 nk, элементы этой матрицы имеют вид n-1/2x(k), где x(k) суть незавиk ij ij симые случайные величины, удовлетворяющие моментному условию x (k) E x(k) = 0, E = 1. (1) ij ij и условию Линдеберга: > Ln() = max n-2 E |x(k)|2I{|x(k)| > n} 0, n . (2) ij ij k 1i,jn.

Обозначим через 1, 2,..., n собственные числа случайной матрицы W = X(1)X(2) · · · X(m)(X(1)X(2) · · · X(m)), и через Fn(x) – математическое ожидание эмпирической спектральной функции распределения Fn(x) = E #{i x, i 1,..., n}.

n Тогда Fn(x) сходится равномерно по x к некоторой функции распределения G(x) при n .

Предельная функция распределения G(x) имеет все моменты Mp = xpd G(x), p = 1, 2,... и однозначно определяется ими. Числа Mp имеют R простой комбинаторный смысл p1 p2 pm Mp = T (p0, p1,..., pm)y1 y2 · · · ym, (3) p0+p1+···+pm=p-где сумма берется по всевозможным наборам натуральных чисел pi, удовлетворяющим равенству p0 + p1 + · · · + pm = p - 1, а T (p0, p1,..., pm) – количество (m + 1)-арных деревьев, у которых число вершин i-го типа равно pi.

Кроме описания предельного распределения в терминах моментов, существует описание в терминах преобразования Стилтьеса.

Следствие 1. Преобразование Стилтьеса s(z) = dG(x) x - z R предельного распределения G(x) удовлетворяет функциональному уравнению m 1 + zs(z) - s(z) (1 - yk - ykzs(z)) = 0. (4) k=Уравнение (4) позволяет исследовать носитель распределения G(x), а в некоторых случаях находить плотность распределения G(x). Так, при m = 2, y1 = y2 = 1 плотность 2(x) распределения G(x) может быть выписана (см., например, [17]):

2/ 2 27 + 3 81 - 12x - 6 x 2 2(x) = 1/3 I(0,27/4](x). (5) 12 x2/3 27 + 3 81 - 12x В параграфе 4 рассматривается распределение сингулярных чисел степеней квадратных случайных матриц. Доказана следующая теорема:

Теорема 3. Пусть X(n) – последовательность случайных матриц. Матрица X(n) имеет размер n n, элементы этой матрицы имеют вид n-1/2xij, где xij удовлетворяют условию E xij = 0, E |xij|2 = 1 и E |xij|4 B < . (6) Обозначим через 1, 2,..., n собственные числа случайной матрицы Wm(n) = X(n)mX(n)m, и пусть Fn(x) – эмпирическая спектральная функция распределения Fn(x) = #{i x, i 1,..., n}.

n Тогда Fn(x) = E Fn(x) сходится к функции распределения Фусса– Каталана G(x) при n . Предельная функция распределения G(x) име ет моменты Mp = xpd G(x) всех натуральных порядков p и однозначно R ими определяется. Числа Mp являются числами Фусса–Каталана 1 mp + p Mp =. (7) mp + 1 p Более того, если случайные величины xij (ненормированные элементы матрицы X(n)) имеют все моменты, т.е. удовлетворяют условию E |xij|p Cp < , (8) то имеет место равномерная по x сходимость эмпирической спектральной функции распределения Fn(x) к предельной функции G(x) почти наверное.

Распределения Фусса–Каталана активно изучаются в последние годы, в частности в работах [7, 8, 9, 10, 17].

Как показано в параграфе 4, распределение Фусса–Каталана является предельным не только для эмпирического спектрального распределения степени случайной матрицы, но и для более широкого класса матриц.

Именно, верно следующее замечание:

Замечание 4. Как следует из теоремы 2 и теоремы 3, предельные спектральные распределения совпадают в случаях произведения m независимых квадратных матриц (случай y1 = y2 = · · · = ym = 1) и степени m квадратных матриц. Распределение Фусса–Каталана является предельным в общем случае. Именно, пусть X1, X2,..., Xk – независимые квадратные случайные матрицы с независимыми элементами, удовлетворяющими условиям теоремы 2. Пусть натуральные числа m1, m2,..., mk таковы, что m1 + m2 + · · · + mk = m. Тогда математическое ожидание эмпирического спектрального распределения матрицы 1 2 k 1 2 k W := Xm Xm · · · Xm (Xm Xm · · · Xm ) 1 2 k 1 2 k сходится к распределению Фусса–Каталана с параметром m.

Список литературы [1] Гирко В.Л. Круговой закон. // Теория вероятн. и ее примен. 1984.

Т. 29, N 4. С. 669 679.

[2] Марченко В.А., Пастур Л.А., Распределение собственных значений в некоторых ансамблях случайных матриц. // Матем. сб. 1967. Т.

72, N 4. С. 507–536.

[3] Bai Z.D. Circular Law. // Ann. Probab. 1997. V. 25, No. 1. P.

494–529.

[4] Gtze F., Tikhomirov A. Rate of convergence in probability to the Marchenko–Pastur law. // Bernoulli. 2004. V.10, No.3. P. 503–548.

[5] Gtze F., Tikhomirov A.N. On the Circular Law. // arXiv:math/0702386v1.

[6] Gtze F., Tikhomirov A.N. The circular law for random matrices. // Ann.

Probab. 2010. V. 38, No. 4. P. 1444-1491.

[7] Liu D.-Z., Song C., Wang Z.-D., On explicit probability densities associated with Fuss–Catalan numbers. // Proc. Amer. Math. Soc. 2011.

V. 139, No.10. P. 3735–3738.

[8] Liu D.Z., Sun X., Wang Z.D. Fluctuation of eigenvalues for random Toeplitz and related matrices. // arXiv:1010.3394v2.

[9] Mlotkowski W. Fuss–Catalan numbers in noncommutative probability. // Documenta Math. 2010. V. 15. P. 939–955.

[10] Penson K.A., Zyczkowski K. Product of Ginibre matrices: Fuss–Catalan and Raney distributions. // Phys. Rev. E. 2011. V. 83, No. 6. pp.

[11] Sinai Ya.G., Soshnikov A.B. Central Limit Theorem for Traces of Large Random Symmetric Matrices with Independent Matrix Elements. // Boletim. Soc. Brasil. Mat. 1998. V. 29, No. 1. P. 1–24.

[12] Tao T., Van V. Random matrices: universality of ESDs and the circular law. With an appendix by Manjunath Krishnapur. // Ann. Probab.

2010. V. 38, No. 5. P. 2023–2065.

[13] Tikhomirov A.N. The rate of convergence of the expected spectral distribution function of a sample covariance matrix to the Marchenko– Pastur distribution. // Siberian Adv. Math. 2009. V. 19, No. 4. P.

277–286.

[14] Tikhomirov A.N. On the rate of convergence of the expected spectral distribution function of a Wigner matrix to the semi-circular law. // Siberian Adv. Math. 2009. V. 19, No. 3. P. 211–223.

[15] Wigner E.P. Characteristic vectors of bordered matrices with infinite dimensions. // Ann. Math. 1955. V. 62, No. 3. P. 548–564.

[16] Wigner E.P. On the distribution of the roots of certain symmetric matrices // Ann. Math. 1958. V. 67, No. 2. P. 325–327.

[17] Zyczkowski K., Penson K.A., Nechita I., Collins B. Generating random density matrices // J. Math. Phys. 2011. V. 52, No. 6. 20 pp.

Публикации автора по теме диссертации Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

[П1] Алексеев Н.В. О сходимости почти наверное спектрального распределения степени случайной матрицы к распределению Фусса-Каталана.

// Записки научных семинаров ПОМИ. 2010. Т. 384. С. 21–28.

[П2] Алексеев Н.В., Гётце Ф., Тихомиров А.Н. О сингулярном спектре степеней и произведений случайных матриц. // Доклады РАН.

2010. Т. 433, N 1. С. 7–9.

[П3] Alexeev N., Gtze F., Tikhomirov A. Asymptotic distribution of singular values of powers of random matrices. // Lithuanian Math. J. 2010.

V. 50, No. 2. P. 121–132.

Другие публикации:

[П4] Alekseev N. Genus expansion for some ensembles of random matrices.

// Workshop Random Matrix, Operator Algebra, and Mathematical ” Physics Aspects“, Vienna, 2011, Abstracts of talks, p. 1.

[П5] Alexeev N. Gaussian random matrices and genus expansion. // Third Northern Triangular Seminar, St. Petersburg, 2011, Programme and Abstracts, p. 5.







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.