WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Сафонов Роман Анатольевич

Статический изгиб и установившиеся колебания прямоугольных пластинок и пологих оболочек при локальных воздействиях

01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов – 2012

Работа выполнена на кафедре математической теории упругости и биомеханики ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского".

Научный консультант: доктор технических наук, профессор, Недорезов Пётр Феодосьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Шашкин Александр Иванович (Воронеж, ВГУ) доктор физико-математических наук, профессор Шляхов Станислав Михайлович (Саратов, СГТУ)

Ведущая организация: Институт проблем точной механики и управле­ ния РАН (Саратов)

Защита состоится “17” мая 2012 г. в 15:30 на заседании диссертационного сове­ та Д 212.243.10 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чер­ нышевского, по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, 9 корп., 18 ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Сара­ товского государственного университета.

Автореферат разослан « » 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент Ю.В. Шевцова

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена решению задач статического и виб­ рационного изгиба идеально упругих и вязкоупругих тонких пластинок и оболочек при локальных нагрузках. Под локальными нагрузками понимают­ ся нагрузки, которые распределены в узкой зоне в окрестности точки или некоторой произвольной кривой на одной из лицевых поверхностей. Для опи­ сания таких усилий предлагаются функции специального вида. Рассмотрение всех задач ведется в предположениях малости деформаций и справедливости гипотез Кирхгофа для пластин и гипотез Кирхгофа-Лява для оболочек.

Актуальность работы. Теория тонких пластин Кирхгофа сформирова­ лась в XIX веке в работах Софи Жермен, Лагранжа, Коши, Пуассона, Кирх­ гофа и других авторов. В дальнейшем на основе аналогичных гипотез была построена теория тонких оболочек Кирхгофа-Лява. Развитие этих теорий тесно связано с трудами таких ученых, как С.А. Амбарцумян, В.З. Власов, Б.Г. Галеркин, А.Л. Гольденвейзер, С.Г. Лехницкий, А.И. Лурье, Р. Миндлин, Х.М. Муштари, В.В. Новожилов, Э. Рейсснер, С.П. Тимошенко, К.Ф. Черных и др.

Построенные теории впоследствии были обобщены на случаи пластинок и оболочек из материалов, обладающих анизотропными, вязкоупругими, пье­ зоэлектрическими и другими свойствами. Исследованию напряженно-дефор­ мированного состояния(НДС) таких элементов посвящены работы коллекти­ ва ученых Института механики НАН Украины: Я.М. Григоренко, М.Н. Бе­ ренова, Н.Н. Крюкова и др. Ими также был предложен численный метод сплайн-коллокации, который применяется для решения широкого круга за­ дач теории пластин и оболочек. Дальнейшее развитие метод получил в трудах ученых Саратовского государственного университета среди которых следует отметить П.Ф. Недорезова, Н.М. Сироткину и А.А. Барышева.

Во многих приложениях практически важное значение имеет расчет тон­ костенных элементов конструкций под действием усилий, распределенных в узкой зоне вблизи точки либо некоторой кривой. Как правило, такие уси­ лия рассматриваются как сосредоточенная сила либо усилия, распределенные вдоль кривой. Однако, поскольку сосредоточенная сила является математи­ ческой абстракцией, полученные при таком подходе результаты могут иметь значительные отличия от экспериментальных данных. В работе для задания нагрузок, приложенных в узкой зоне вблизи точки или кривой предлагается использовать непрерывные функции специального вида. Возможно варьиро­ вание ширины зоны ненулевых нагрузок.

Рассмотренные в диссертационной работе задачи представляют интерес как с точки зрения фундаментальной науки, так и приложений. Теоретиче­ ский интерес обусловлен тем, что предлагаемый в работе подход позволя­ ет существенно расширить область применения метода сплайн-коллокации.

Кроме этого, такой метод аппроксимации сосредоточенных усилий свободен от ряда недостатков, присущих традиционным методам.

С точки зрения приложений этот подход интересен тем, что он позволяет эффективно решать задачи статического и вибрационного изгиба пластин и оболочек при локальных усилиях, приложенных в окрестности точки или кривой произвольного вида.

Цели диссертационной работы.

распространение метода сплайн-коллокации и его модификации на слу­ чаи статического и вибрационного изгиба идеально упругих и вязкоупру­ гих пластинок и оболочек при локальных воздействиях для сложных спо­ собов закрепления контура;

решение модельных задач для апробации используемой методики, срав­ нение результатов с известными теоретическими решениями и решением по методу конечных элементов;

адаптация применяемой вычислительной методики для использования на вычислительном кластере для сокращения времени вычислений;

проверка справедливости принципа Сен-Венана при замене сосредоточен­ ной силы либо усилий, распределенных вдоль линии, на соответствующие локальные нагрузки при исследовании НДС тонких пластинок;

оценки влияния стрелы подъема и отношения сторон на результаты ре­ шения задач статического изгиба и установившихся колебаний тонких открытых круговых цилиндрических оболочек, перекрывающих прямо­ угольный план;

проведение сравнительного анализа влияния на значения резонансных частот гипотез пологости и сил инерции в тангенциальных направлениях при вибрационном изгибе оболочек.

Научная новизна. Все задачи, за исключением модельных, решены впервые. В результате вычислительных экспериментов обнаружен и исследо­ ван ряд механических эффектов и закономерностей. Проведен сравнитель­ ный анализ эффективности использования метода сплайн-коллокации и ко­ нечно-элементных пакетов.

Практическая значимость. Изложенная методика и полученные ре­ зультаты представляют теоретический и практический интерес для механи­ ки, и могут использоваться при моделировании тонкостенных элементов и вибрационном анализе конструкций.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью ис­ пользованных математических методов и хорошим совпадением результатов для модельных задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы до­ кладывались на конференции ”Актуальные проблемы математики и механики” (Саратов, 2006, 2007, 2008, 2009 гг), 2 Международном форуме (7 международной конференции) молодых уче­ ных "Актуальные проблемы современной науки"(Самара, 2006 г.), Ежегодной Всероссийской научной школе-семинаре “Методы компьютер­ ной диагностики в биологии и медицине - 2008” (Саратов, 2008, 2009 гг.), Пятых Поляховских чтениях (Санкт-Петергург, 2009 г.), Седьмой Всероссийской научной конференции с международным участи­ ем ”Математическое моделирование и краевые задачи” (Самара, 2010 г.), Международной конференции ”Актуальные проблемы прикладной мате­ матики, информатики и механики” (Воронеж, 2010 г.), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011 г.), научных семинарах кафедры математической теории упругости и биоме­ ханики Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышев­ ского под руководством д.ф.-м.н., проф. Коссовича Л.Ю.

На защиту выносятся следующие основные результаты и поло­ жения:

методика численного исследования НДС тонких упругих и вязкоупругих пластинок и оболочек под действием локальных нагрузок с помощью ме­ тода сплайн-коллокации (классический и модифицированный варианты);

результаты и выводы, сделанные по итогам вычислительных эксперимен­ тов по определению НДС и резонансных частот пластинок и оболочек;

оценки влияния стрелы подъема оболочки на область применимости тео­ рии пологих оболочек и значимость учета сил инерции в тангенциальных направлениях.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных ра­ ботах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах [1, 7–9], 3 статьи в сбор­ никах трудов конференций [2, 5, 6] и 2 статьи в сборниках научных трудов [3, 4].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы. Материал рабо­ ты изложен на 148 страницах, содержит 45 рисунков, 28 таблицы, список цитированной литературы содержит 132 наименований.

Содержание работы Во введении обосновывается актуальность выбора темы диссертации, сформулированы цели и задачи, дан краткий обзор публикаций по теории пластин и оболочек, теории вязкоупругости и численным методам, которые применяются для решения задач статики и установившихся колебаний тон­ ких пластин и оболочек.

В первой главе рассмотрена постановка задачи статического изгиба и установившихся колебаний тонких пластинок из идеально упругого ортотроп­ ного материала при действии локальных усилий в условиях справедливости гипотез Кирхгофа (рис. 1).

Разрешающее уравнение для слу­ чая установившихся колебаний пла­ стинки из идеально упругого матери­ y ала имеет вид 4w 4w h D1 + 2D3 + x4 x2y2 (1) q y, t) (x, b 4w +D2 = q (x, y) - h2w, yгде D1, D2 и D3 - изгибные жестко­ сти пластинки, w - амплитуда про­ O x гиба пластинки, - частота внеш­ z a ней нагрузки, q(x, y) - амплитуда приложенных на лицевой поверхно­ Рис. 1.

сти пластинки поперечных усилий q y, t) = q (x, y) eit. Граничные условия определяются условиями задел­ (x, ки краев пластинки.

Если рассматривается статический изгиб пластинки, в уравнении (1) w прогиб точек срединной плоскости пластинки, а частота внешней нагрузки полагается равной нулю, т.е. q(x, y, t) = q(x, y).

Под локальными нагрузками понимаются усилия, приложенные в узкой зоне в окрестности точки либо кривой приложения нагрузки. Локальные на­ грузки, приложенные в окрестности кривой f(x, y) = 0, предлагается зада­ вать функцией f (x, y) q (x, y) = C cosk, fmax = max |f (x, y)|, (2) 2 fmax (x,y) где k - достаточно большое число, определяющее скорость роста функции в зоне приложения нагрузки, C - нормирующий коэффициент, который опре­ деляется из условия q (x, y) dxdy = Q, (3) (x,y) где Q - равнодействующая внешней нагрузки. Интеграл берется по всей об­ ласти пластинки.

Чтобы получить представление о характере изменения функций вида (2) в зоне ее ненулевых значений был рассмотрен частный случай q (x, y) = cosk (x - 0.5). (4) Графики этой функции при различных значениях показателя степени k представлены на рис. 2. При k = 100 и k = 500 зона ненулевых значений рас­ сматриваемой функции имеет значительный размер, при больших значениях k (k = 5000, k = 10000) зона ненулевых значений сильно сужается.

k = 1k = 5k = 50k = 1000.0.0.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Рис. 2.

В работе приводится конкретный вид функции (2) для локальной нагруз­ ки, приложенной в окрестности координатных линий, диагоналей пластинки, окружности и точки.

Уравнение (1) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода сплайн-коллокации в классическом либо мо­ дифицированном варианте. Соответствующая краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка решается чис­ ленно методом дискретной ортогонализации С.К. Годунова.

При исследовании НДС тонких оболочек локальные нагрузки задава­ лись аналогичным образом.

Во второй главе проводится численное исследование НДС идеально упругих пластинок, у которых две противоположные стороны заделаны. В этом случае численное решение задач статики и установившихся колебаний пластинки проводится классическим методом сплайн-коллокации.

Изложенный в первой главе подход использовался для численного иссле­ дования НДС пластинки с жестко заделанным и шарнирно опертым конту­ ром при локальных усилиях.

Результаты численного решения задачи статического изгиба тонкой сталь­ ной пластинки, загруженной локальной нагрузкой в окрестности ее центра при шарнирно опирании контура сравнивались с известным точным аналити­ ческим решением (решением Навье для сосредоточенной силы). Поскольку эти задачи эквивалентны с точностью до принципа Сен-Венана при доста­ точно большом k, результаты их решения должны быть близки. В табл. приводятся значения максимального прогиба пластинки при различных зна­ T чениях отношения сторон пластинки c = a/b, wmax - максимальный прогиб пластинки, полученный согласно решению Навье, wmax - максимальный про­ гиб пластинки, вычисленный методом сплайн-коллокации. Здесь и далее ре­ зультаты численных расчетов приводятся для h = 0.01 м, a = 1 м, Q = Н. В решении Навье при численных расчетах суммирование проводилось до 50-го члена ряда по каждой из переменных.

Таблица 1.

c k 0.2 0.5 1.0 2.0 5.T wmax, 10-7 м – 9.239 9.018 6.333 2.255 0.3wmax, 10-7 м 1000 8.784 8.872 6.259 2.218 0.3wmax, 10-7 м 10000 9.040 8.854 6.220 2.213 0.3При k = 1000 расхождение между решением Навье и методом сплайн­ коллокации не превосходит 6%, а при k = 10000 - 3%.

Была также решена задача статического изгиба квадратной пластинки при нагружении ее локальными усилиями в окрестности окружности с цен­ тром в геометрическом центре пластинки. Рассмотрены случаи, когда контур пластинки жестко закреплен либо шарнирно оперт. Результаты решения этой задачи сравнивались с результатами, полученными с помощью конечно-эле­ ментного пакета Comsol для пластинки, загруженной усилиями, равномерно распределенными вдоль окружности. Как и в случае нагружения в окрест­ ности центра пластинки, эти задачи эквивалентны с точностью до принципа Сен-Венана. При k = 500 расхождения между полученными результатами достигают 33%, при k = 1000 они снижаются до 20%, а при k = 5000 - до 8%.

Результаты, полученные в этой главе, опубликованы в работах [2, 3, 7, 8] В третьей главе исследуется НДС пластинок, граничные условия ко­ торых не позволяют использовать классический метод сплайн-коллокации.

В случае пластинки, у которой края x = 0 и y = 0 свободны, а на двух других имеются условия жесткой заделки или шарнирного опирания, согласно модифицированному методу сплайн-коллокации прогиб ищется в виде N w(x, y) = j (y) wj (x), (5) j=-где j(y) - линейные комбинации B-сплайнов, тождественно удовлетворяю­ щие граничным условим на крае y = b, wj(x) - подлежащие определению функции. Представление (5) функции прогиба подставляется в основное урав­ * нение (1) и записывается в точках коллокации y = yi, i = 0, N. В результате получается система обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой следует добавить уравнения 2 wi = c(i)wj (x) + d(i)wj (x), i = -2, -1, (6) j j j=0 j=-полученные подстановкой представления (5) в граничные условия на крае y = 0, c(i) и d(i) - известные коэффициенты. Уравнения (6) позволяют за­ j j мкнуть основную систему уравнений и исключить из нее старшие производ­ ные функций w-2, w-1. Итоговая система из 4N + 8 уравнений записывается в векторном виде Y = AY + B, (7) где Y - вектор-столбец неизвестных, компонентами которого являются функ­ ции wi(x), (i = 0, N) и их производные до третьего порядка включительно, а так же функций w-2, w-1 и их первые производные, A и B - матрица ко­ эффициентов системы и вектор-столбец свободных членов, соответственно.

Уравнение (7) вместе с граничными условиями на краях x = 0 и x = a со­ ставляет краевую задачу для определения функций wi(x), которая решается численно методом дискретной ортогонализации С.К. Годунова.

Были решены задачи статического изгиба пластинки при жесткой задел­ ке и шарнирном подкреплении краев x = a и y = b под действием нагрузки, приложенной в окрестности геометрического центра пластинки, общей точки свободных краев, диагонали пластинки и окружности с центром в геомет­ рическом центре пластинки. Схемы загружения пластинки представлены на рис. 3. В качестве материала пластинки рассматривались сталь и ортотроп­ ные материалы (АГ-4 С и дельта-древесина). Отдельно исследовались случаи, когда точка x = a, y = b свободна или подкреплена шарниром.

y y y q(x, y) q(x, y) q(x, y) x x x O O O y y q(x, y) q(x, y) x x O O Рис. 3.

Задача изгиба пластинки под действием приложенной в окрестности об­ щей точки свободных краев локальной нагрузки эквивалентна с точностью до принципа Сен-Венана задаче с приложенной в этой же точке сосредото­ ченной силе. Расхождение между результатами решения этих задач как при жесткой заделке краев x = a и y = b, так и при их шарнирном опирании не превосходит 5%, если k = 1000.

Для указанных способов закрепления пластинки исследованы также уста­ новившиеся колебания. В табл. 2 приведены значения первых трех резонанс­ ных частот пластинки при жестком закреплении заделанных краев под дей­ ствием локальной нагрузки, приложенной в окрестности общей точки свобод­ ных краев. Вид резонансных форм колебаний для этих частот при c = представлен для изотропной пластинки на рис. 4 и для пластинки из матери­ ала АГ-4 С на рис. 5.

Таблица 2.

АГ-4 С дельта-древесина сталь c 1 2 3 1 2 3 1 2 0.2 4.7 14.9 27.4 4.0 23.1 36.4 55.3 67.3 90.0.5 12.0 44.8 101.8 10.2 37.7 85.3 65.6 139.3 281.1.0 24.6 125.2 165.5 20.8 104.9 216.8 106.0 407.4 730.2.0 49.0 209.4 431.0 41.8 242.3 358.6 262.3 557.3 1124.5.0 119.9 396.2 775.8 101.3 375.8 846.1 1382.0 1683.7 2261.1 1 1 1 y y y x x x O O O Рис. 4.

1 1 O 1 1 O y y y x x x O Рис. 5.

При первой резонансной частоте анизотропия оказывает слабое влияние на форму колебаний пластинки, а для второй и особенно третьей резонансной частоты формы колебаний анизотропной пластинки качественно отличаются от таковых в случае изотропной пластинки.

В работе приведены численные результаты и графики для случая шар­ нирно подкрепленных краев x = a и y = b.

В случае консольной пластинки решение задач статического и вибраци­ онного изгиба выполняется аналогично. Функция прогиба ищется в виде N+W (x, y) = B5,j (y) Wj (x). (8) j=-В уравнениях (6) i = -2, -1, N + 1, N + 2, а итоговая система в нормальной форме Коши состоит из 4N + 12 уравнений и в векторной форме может быть записана в виде (8). В этом случае компонентами вектора Y кроме перечис­ ленных выше являются также функции wN+1, wN+2 и их первые производные.

Численное решение задач статического изгиба консольной пластинки из тех же материалов проводилось при нагружении вдоль свободного края, вбли­ зи точки пересечения двух свободных краев и вдоль диагонали пластинки (рис. 6). Результаты, полученные для случаев изотропных и анизотропных пластинок при нагружении в окрестности свободного края и общей точки свободных краев, сравнивались с результатами решения соответствующих за­ дач, эквивалентных исходным с точностью до принципа Сен-Венана. Вычис­ лительные эксперименты показали, что при k = 1000 различие этих резуль­ татов составляет менее 2%. Соответствующие результаты приведены в тексте диссертации.

y y q(x, y) P x x O O y y q(x, y) q(x, y) x x O O Рис. 6.

Основные результаты, полученные в этой главе, опубликованы в рабо­ тах [3, 5–7].

В четвертой главе рассмотрены задачи установившихся колебаний под действием локальной нагрузки тонких прямоугольных пластинок из вязко­ упругого материала, для которого уравнения состояния имеют вид t x (t) = K (t - ) (x + y) d, x y 1 - - (9) t xy (t) = K (t - ) xyd, 1 + - K(s) - ядро интегрального оператора, = const.

Для всех характеристик НДС принимается гармонический закон изме­ нения по времени:

Z (x, y, t) = Z(k) (x, y) cos (k - 1) - t, (10) k=где - частота внешней нагрузки.

Задача определения амплитуды прогиба w = w(1) 2 + w(2) 2 при установившихся колебаниях вязкоупругой пластинки сводится к решению краевой задачи для системы уравнений 4w(k) 4w(k) 4w(k) + 2c2 + c4 + (-1)k 2 k+r-1w(r) = x4 x2y2 y(11) r== (-1)k-1 dkq (x, y), k = 1, 2, при граничных условиях, определяемых условиями заделки краев пластин­ ки. В уравнениях (11) k = h2dk, dk = 12 1 - 2 Ek, E = E1 + iE2 = 2 E1+E K (s) eisds - комплексный модуль материала, E3 = -E1, - коэффициент Пуассона, - плотность материала пластинки.

Были решены задачи установившихся колебаний для пластинки с дву­ мя смежными свободными сторонами и консольной пластинки из материала ЭД-6 МА. Понижение размерности поставленной задачи проводится с помо­ щью модифицированного метода сплайн-коллокации аналогично случаю иде­ ально упругого материала.

В табл. 3 приводятся значения критических частот вязкоупругой пла­ стинки, два смежных края которой свободны, а два других жестко задела­ ны. Вибрационная локальная нагрузка приложена в окрестности общей точки свободных краев (k = 1000).

Таблица 3.

c 0.2 0.5 1.0 2.0 5. 1 16.5 19.5 31.0 77.5 106.2 36.0 40.5 106.0 161.5 157.3 66.0 82.0 214.0 328.5 414.Графики форм колебаний квадратной пластинки при первых трех кри­ тических частотах п на рис. 7 и 8 для w(1) и w(2), соответственно.

0 0 0 0 y y y x x x 11 11 Рис. 7.

0 0 0 0 0 y y y x x x 11 11 Рис. 8.

Отметим, что амплитуды прогиба и всех характеристик НДС вязкоупру­ гой пластинки при критических частотах остаются конечными, тогда как для пластинок из идеально упругого материала при резонансных частотах значе­ ния всех характеристик НДС становятся бесконечно большими.

В диссертационной работе приведены соответствующие результаты для консольной пластинки.

Результаты опубликованы в работах [1, 4, 7].

Пятая глава посвящена задачам статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих тонких круговых цилиндрических оболочек, пе­ рекрывающих прямоугольный план, с жесткой заделкой всего контура (рис. 9).

Система разрешающих уравне­ ний для тонкой оболочки при усло­ виях справедливости гипотез Кирх­ гофа-Лява для случая установивших­ l ся колебаний имеет вид L11u + L12v + L13w = -X0, (12) L21u + L22v + L23w = -Y0, R L31u + L32v + L33w = -Z0, где u, v и w - амплитуды переме­ Рис. 9.

щений точки срединной поверхности оболочки, X0, Y0, Z0 - компоненты амплитуды внешней нагрузки. Выражения коэффициентов Lij, которые определяются геометрией, физическими свой­ ствами материала оболочки и частотой внешней нагрузки, с учетом и без учета тангенциальных сил инерции, а так же для случая пологих оболочек, приведены в работе.

При статическом изгибе в уравнениях (12) u, v и w - компоненты век­ тора перемещений точки на срединной поверхности оболочки X0, Y0, Z0 внешняя нагрузка. Частота внешней нагрузки , входящая в выражения для коэффициентов Lij, полагается равной нулю.

Решение краевой задачи для системы (12) с граничными условиями жест­ кой заделки на контуре оболочки проводилось с помощью классического ва­ рианта метода сплайн-коллокации. Для аппроксимации прогиба оболочки ис­ пользовались B-сплайны пятого порядка B5,j(), а тангенциальные перемеще­ ния представлялись как линейная комбинация B-сплайнов третьего порядка B3,j():

N N N w = j () Wj (), u = j () Uj (), v = j () Vj (). (13) j=0 j=0 j=Полученная в результате подстановки (13) в (12) система, приведенная к нормальной форме Коши, состоит из 8N + 8 уравнений первого порядка.

Соответствующая краевая задача для этой системы также решалась числен­ но методом дискретной ортогонализации С.К. Годунова. Следует отметить, что система уравнений, полученная методом сплайн-коллокации для оболо­ чек является более жесткой, чем соответствующая система для пластинок. В связи с этим при использовании метода С.К. Годунова приходится повышать число точек ортогонализации, что ведет к увеличению времени вычислений.

В качестве конкретных примеров в работе рассмотрен статический изгиб оболочки под действием локальных усилий, приложенных в окрестности ее геометрического центра, а также - и -линий.

Была также решена задача установившихся колебаний под действием на­ грузки, приложенной в окрестности геометрического центра плана оболочки.

Для этой задачи были найдены первые три резонансные частоты. Определе­ ние частот было выполнено для четырех вариантов теории оболочек: класси­ ческая теория с учетом сил инерции в тангенциальных направлениях, клас­ сическая теория без учета сил инерции в тангенциальных направлениях и теория пологих оболочек с учетом и без учета тангенциальных сил инерции.

Исследовано влияние на характеристики НДС и резонансные частоты величи­ ны стрелы подъема . Было установлено, что резонансные формы колебаний и форма изогнутой срединной поверхности оболочки имеют качественные от­ личия от резонансных форм колебаний и срединной плоскости пластинки при тех же граничных условиях и том же способе нагружения даже при неболь­ ших значениях стрелы подъема. Подробные результаты расчетов приведены в диссертационной работе.

Результаты опубликованы в работах [7, 9] Основные результаты и выводы 1. Предложен вариант описания приложенных в окрестности точки или кри­ вой локальных усилий, свободный от ряда недостатков, присущих ранее применявшимся способам. Заданные таким образом усилия описывают реально действующие на конструкции нагрузки более физично, чем при использовании концепции сосредоточенных сил или усилий, распределен­ ных вдоль линии. В пределе, при k , такие усилия переходят в нагрузку, которая обычно трактуется как сосредоточенная в точке сила или усилия, распределенные вдоль некоторой кривой.

2. Поставлены и решены задачи статического и вибрационного изгиба при локальных воздействиях идеально упругих и вязкоупругих прямоуголь­ ных пластинок и круговых цилиндрических оболочек открытого профи­ ля, перекрывающих прямоугольный план. В задачах статического и виб­ рационного изгиба идеально упругих пластинок исследовано влияние ани­ зотропии на НДС, значения резонансных частот и резонансные формы колебаний. Показано, что в рассмотренных случаях влияние анизотропии на первую резонансную форму колебаний невелико, однако оно сильно проявляется при более высоких частотах.

3. Выполнена оценка справедливости принципа Сен-Венана при замене со­ средоточенных усилий и усилий, распределенных вдоль линии, на локаль­ ные нагрузки. Показано, что с помощью выбора параметра k расхожде­ ния между результатами решения этих задач можно снизить до достаточ­ но небольших значений (2-5%).

4. В случаях статического и вибрационного изгиба проведена оценка наи­ большего относительного значения стрелы подъема открытой цилиндри­ ческой оболочки, перекрывающей прямоугольный план, при котором мож­ но пользоваться гипотезами пологости. Результаты, полученные при ис­ пользовании гипотез пологости для рассматриваемой оболочки при жест­ кой заделке контура не имеют существенных отличий от классической теории при относительных значениях стрелы подъема не превышающих /R < 0.3.

5. Показано, что силы инерции в тангенциальных направлениях при иссле­ довании установившихся колебаний оболочек не оказывают существенно­ го влияния на значения резонансных частот при /R < 0.3.

6. Установлено, что форма изогнутой срединной поверхности и резонансные формы колебаний оболочки при очень малых значениях стрелы подъема (/R < 0.1) качественно подобны форме изогнутой срединной плоскости и резонансным формам колебаний пластинки. При более высоких значе­ ниях стрелы подъема между формами изогнутой срединной поверхности и резонансными формами колебаний пластинок и оболочек наблюдаются существенные качественные и количественные отличия.

7. Проведена адаптация методики численного вычисления резонансных ча­ стот пластинок и оболочек на основе метода сплайн-коллокации для при­ менения на вычислительном кластере.

Публикации [1] Недорезов, П. Ф. Модифицированный метод сплайн-коллокации в задачах о колебаниях тонкой прямоугольной вязкоупругой пластинки / П. Ф. Недо­ резов, О. М. Ромакина, Р. А. Сафонов // Изв. Саратовского гос. ун-та.

Серия Математика. Механика. Информатика. — 2010. — Т. 10, № 3. — С. 59–64.

[2] Сафонов, Р. А. Численное решение некоторых задач статического изгиба прямоугольных пластин под действием локальной нагрузки / Р. А. Са­ фонов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. — Изд-во Сарат. ун-та., 2009. — 11. — С. 133–136.

[3] Сафонов, Р. А. Статический изгиб ортотропной прямоугольной пластинки при локальных воздействиях. / Р. А. Сафонов // Механика деформиру­ емых сред: межвуз. науч. сб. Вып. 16. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та., 2010. — С. 93–96.

[4] Сафонов, Р. А. Установившиеся колебания вязкоупругой пластинки при локальных воздействиях / Р. А. Сафонов // Проблемы прочности элемен­ тов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: сб. науч. тр. — СГТУ, 2010. — С. 109–113.

[5] Сафонов, Р. А. Численное исследование статического изгиба прямоуголь­ ной пластинки под действием локальной нагрузки / Р. А. Сафонов // Математическое моделирование и краевые задачи:Труды седьмой Всерос­ сийской научной конференции с международным участием. Ч. 1: Матема­ тические модели механики, прочности и надежности элементов конструк­ ций. — Самара: СамГТУ, 2010. — С. 318–321.

[6] Сафонов, Р. А. Численное исследование установившихся колебаний прямо­ угольной ортотропной пластинки при локальных воздействиях / Р. А. Са­ фонов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: Сб. трудов Междун. конф. — Воронеж: Издательско-полигра­ фический центр ВГУ, 2010. — С. 325–328.

[7] Сафонов, Р. А. Статический изгиб и установившиеся колебания тонких прямоугольных пластинок и цилиндрических оболочек при локальных на­ грузках / Р. А. Сафонов // Вестник Нижегородского университета им.

Н.И. Лобачевского. — 2011. — № 4, Ч. 4. — С. 1753–1755.

[8] Сафонов, Р. А. Численное исследование статического изгиба пластинок при локальных воздействиях вдоль кривых сложного вида / Р. А. Сафо­ нов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2011. — Т.

4(25). — С. 183–187.

[9] Сафонов, Р. А. Численное решение задач статического изгиба и установив­ шихся колебаний тонких цилиндрических оболочек при локальных воздей­ ствиях / Р. А. Сафонов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математи­ ка. Механика. Информатика. — 2011. — Т. 11, № 1. — С. 95–99.

Выражаю глубокую благодарность научному руководителю Недорезову Петру Феодосьевичу, а также Кирилловой Ирине Васильевне и Барышеву Андрею Алексеевичу.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.