WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Бесаева Светлана Владимировна

Спектральный анализ разностных операторов и отношений в весовых пространствах последовательностей векторов

01.01.01 – Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ 2012

Работа выполнена в Северо-Осетинском государственном университете им. К. Л. Хетагурова

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Баскаков Анатолий Григорьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Смагин Виктор Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор Седаев Александр Андреевич

Ведущая организация: Белгородский государственный национальный исследовательский университет

Защита состоится “21” февраля 2012 года в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете, 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд 335.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан “19” января 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.доктор физ.-мат.наук, профессор Гликлих Ю. Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию спектральных свойств разностных операторов и разностных отношений.

В последнее время значительно возросла роль теории разностных операторов и разностных отношений при исследовании линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (в том числе и с неограниченными операторными коэффициентами).

Первые исследования, посвященные разностным операторам, появились еще в конце XIX – начале XX столетия.

Особое внимание к разностным операторам и уравнениям, их содержащим, обусловлено прежде всего применением аппарата разностных операторов в исследованиях разрешимости различных дифференциальных, функциональных и интегральных уравнений. При этом отметим, что, как правило, разностные операторы изучались в банаховых пространствах ограниченных последовательностей. Необходимость исследования разностных операторов в весовых пространствах возникает как при выяснении разрешимости разностных уравнений в пространствах растущих последовательностей, так и при разрешимости линейных дифференциальных уравнений с растущим свободным членом. Таким образом, тематика диссертации является актуальной.

Основные результаты диссертации получены с применением спектральной теории операторов и линейных отношений (многозначных линейных операторов). Отметим, что исследуемые разностные отношения возникают непосредственно при изучении дифференциальных операторов рассматриваемых в весовых пространствах функций, определенных на полуоси с начальным условием из подпространства. В диссертации получены приложения к описанию спектра таких дифференциальных операторов. Важно отметить, что на рассматриваемые весовые функции не делается каких-либо ограничений.

Цель работы. Целью диссертации является исследование спектральных свойств дифференциальных и разностных операторов, посредством использования спектральной теории линейных операторов и линейных отношений. Описание спектра разностных операторов и отношений в весовых пространствах последовательностей. Получение приложений для изучения спектра линейных дифференциальных операторов, определенных в весовых пространствах измеримых функций.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке:

1. Описан спектр разностных операторов в весовых пространствах двусторонних векторных последовательностей. Снимаются все ограничения на рассматриваемые весовые функции.

2. Изучен спектр разностных линейных отношений в весовых пространствах односторонних векторных последовательностей. При этом на рассматриваемые весовые функции не делается никаких ограничений.

3. Получены приложения для исследования спектра дифференциальных операторов, действующих в весовых пространствах измеримых функций.

Методы исследования. В работе используется спектральная теория линейных операторов и линейных отношений, функциональное исчисление операторов, методы дифференциальных уравнений. Основной метод получения результатов главы основан на преобразовании подобия исследуемого оператора в весовом пространстве к оператору, действующему в невесовом пространстве, но уже с переменными коэффициентами.

Теоретическая и практическая ценность. Данная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении спектральных свойств разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах, а также для рассмотрения вопросов разрешимости разностных уравнений и включений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции ”Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна”(г. Воронеж, 2010 г.), ”Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна”(г.

Воронеж, 2011 г.), ”Воронежская весенняя математическая школа Понтрягинские чтения”(г. Воронеж, 2011 г.), ”Крымская осенняя математическая школасимпозиум (КРОМШ-2011)” (г. Севастополь, 2011 г.) и семинаре профессора А.

Г. Баскакова.

Публикации работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6]. Из совместной публикации [4] в работу вошли результаты принадлежащие лично автору. Работы [4], [5] соответствуют списку ВАК РФ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на параграфы, и списка литературы, содержащего 61 источник.

Общий объем диссертации - 82 страницы.

Содержание работы Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводятся обзор научной литературы по изучаемой проблеме, описываются основные направления и методы исследования, характеризуются полученные в диссертации результаты.

Нумерация приводимых ниже определений и теорем совпадает с нумерацией в диссертации.

Первая глава состоит из трех параграфов. В §1.1 приводятся основные определения и факты из теории операторов и линейных отношений (многозначных линейных операторов), которые в основном касаются спектральной теории и используются для получения последующих результатов.

Определение 1.1. Любое линейное подпространство A из декартового произведения X Y называется линейным отношением между банаховыми пространствами X и Y. Если подпространство замкнуто в X Y, то отношение называется замкнутым линейным отношением.

Определение 1.2. Подпространство D(A) = {x X : существует y Y :

(x, y) A}, являющееся проекцией A на X, называется областью определения линейного отношения. Через Ax, где x D(A), обозначается множество {y Y : (x, y) A}; кроме того, KerA = {x D(A) : (x, 0) A} ядро отношения и ImA = {y Y : существует x D(A) : (x, y) A} = Ax область xD(A) его значений, являющаяся проекцией A на Y.

Через LRC(X, Y), обозначим множество замкнутых линейных отношений из X Y, а множество линейных отношений действующих между X и Y обозначим через LR(X, Y); если же X = Y, то положим LR(X ) = LR(X, X ).

Множество LRC(X, Y) содержит пространство L(X, Y) линейных ограниченных операторов (гомоморфизмов), определенных на X со значениями в Y. Если X = Y, то L(X ) банахова алгебра линейных ограниченных операторов (эндоморфизмов), действующих в X.

Определение 1.5. Обратным к линейному отношению A X Y называется линейное отношение A-1 = {(y, x) Y X : (x, y) A} Y X.

Определение 1.8. Резольвентным множеством линейного отношения A LRC(X ) называется множество (A) всех C, для которых (A-I)-1 L(X ).

Определение 1.9. Спектром отношения A LRC(X ) называется множество (A) = C\(A).

Множество (A) открыто, спектр (A) отношения A LRC(X ) замкнут.

Определение 1.10. Отображение R(·, A) : (A) L(X ). R(, A) = (A - I)-1, (A), называется резольвентой отношения A LRC(X ).

Определение 1.12. Расширенным спектром линейного отношения A LRC(X) называется подмножество (A) из C = C {}, которое совпадает с (A), если A L(X ), и (A) = (A) {}, если AL(X ). Множество (A) = C\(A) называется расширенным резольвентным множеством отношения A.

Определение 1.14. Замкнутое линейное подпространство X0 X назовем инвариантным относительно A LR(X ), если Ax0 X0 = {0} для любого x0 D(A) X0.

Определение 1.15.Сужением отношения A LR(X ) на инвариантное подпространство X0 назовем линейное отношение A0 = A (X0 X0) X0 Xна подпространстве X0.

Определение 1.18. Пусть X = X0 X1 есть прямая сумма инвариантных относительно A LR(X ) подпространств и пусть A0 = A|X0, A1 = A|X1.

Тогда будем говорить, что отношение A является прямой суммой отношений A0 и A1, и записывать A = A0 A1.

Определение 1.19. Будем говорить, что линейное отношение A LR(X ) перестановочно с оператором B L(X ), если (Bx, By) A для любой пары (x, y) A, т.е. BA AB.

Определение 1.20. Отношения A, B LR(X ) называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор U L(X ) такой, что A = {(U-1x, U-1y) : (x, y) B}, последнее эквивалентно равенству A = U-1BU.

Все результаты получены с применением следующей теоремы, доказанной в работе А. Г. Баскакова и К. И. Чернышова.

Теорема 1.1. Пусть A LRC(X ) и его расширенный спектр (A) представим в виде (A) = 0 1, где 0 компактное подмножество из C, 1 замкнутое подмножество из C и 0 1 = . Тогда банахово пространство X допускает представление в виде X = X0 X1 (1) прямой суммы замкнутых инвариантных относительно A подпространств X0 и X1, и A = A0 A1, где A0 = A|X0, A1 = A|X1 LRC(X ) обладают следующими свойствами:

1) A0 L(X0), (A0) = (A0) = 0;

Баскаков А. Г. Спектральная теория линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А. Г. Баскаков, К. И. Чернышов // Матем.сборник. 2002. Т. 193. № 11. С. 3–42.

2) A10 = A0, D(A) = X0 D(A1), (A1) = 1.

Разложение (1) осуществляет перестановочный с отношением A проектор Рисса P0 на подпространство X0, который задается формулой P0 = - R(, A)d L(X ) 2i где замкнутая жорданова кривая, расположенная в (A) так, что внутри нее лежит 0, а вне 1. При этом X0 = ImP0, X1 = Im(I - P0).

В §1.2 главы 1 описывается спектр разностного оператора, заданного на p p банаховом пространстве l = l(Z, X), где p [1, ], состоящем из (двусторонних) последовательностей x : Z X векторов, принадлежащих конечномерному линейному нормированному пространству X, суммируемых с весом (весовой функцией) : Z (0, ) с нормой 1/p p x(n) x = x =, p [1, ), p, (n) nZ и ограниченных относительно x(n) x = x = sup, p = .

, (n) nZ Рассматриваемый разностный оператор имеет вид p p p B : l l, (Bx)(n) = Bx(n - 1), n Z, x l, где B L(X).

На вес накладываются условия:

(k - 1) sup < , (2) (k) kZ (k - 1) sup = , (3) (k) kZ (k + 1) sup < , (4) (k) kZ (k + 1) sup = . (5) (k) kZ Основной метод получения результатов состоит в преобразовании подобия p исследуемого оператора в весовом пространстве l к оператору, действующему в невесовом пространстве lp, но уже с переменными коэффициентами. Преобразование подобия осуществляет оператор p U : lp l, (Ux)(n) = (n)x(n), n Z, x lp.

При этом рассматривается подобный оператору B оператор B L(lp), определяемый равенством -(Bx)(k) = (U BUx)(k) = (k)Bx(k - 1), k Z, x lp, (k-1) где : Z (0; ) последовательность вида (k) =, k Z.

(k) Все спектральные свойства, полученные для оператора B имеют место и для оператора B согласно следующей лемме.

Лемма 1.11. Спектры операторов B, B совпадают и инвариантны относительно вращений в C вокруг нуля, т.е.

(B) = (B) = T(B), где T единичная окружность на комплексной плоскости C.

Основными результатами параграфа являются теоремы 1.4, 1.5, 1.6. В теореме 1.6. используются следующие величины 1/n (k) out() = lim sup (6) n (k + n) kZ 1/n (k) int() = lim inf (7) n (k + n) kZ Если int() = out(), то вес называется сбалансированным, а если int() = out() = 1, то сильно сбалансированным. Примером несбалансированного веса является функция k exp |k|, k Z, а функции k exp k, k Z, R, и k (1 + |k|)q, k Z, q R, сбалансированными и сильно сбалансированными весами соответственно; функция k exp(k|k|), k Z, также является сбалансированным весом с int() = out() = 0.

Существование пределов в (6) и (7) устанавливается в следующих леммах.

Лемма 1.9. Если выполнено условие (2), то предел в формуле (6) существует.

Лемма 1.10. Если выполнено условие (4), то в формуле (7) существует предел и int() > 0.

Теорема 1.4. Если нуль принадлежит спектру (B) оператора B и выполнено условие (3), то спектр (B) оператора B заполняет всю комплексную плоскость C.

Теорема 1.5. Пусть для веса одновременно выполняется условие (3) и условие (5) тогда спектр (B) оператора B заполняет всю комплексную плоскость C.

Для любых двух чисел 0 r1 r2 символом T(r1, r2) обозначим множество { C : r1 || r2} и через T(r), где r > 0, множество T(r1, r2), если r1 = r2 = r, являющееся окружностью при r = 0.

Пусть (B) = {1,..., h} спектр оператора B. Рассмотрим модули |j| = rj, 1 j h, собственных значений оператора B и упорядочим их по возрастанию: 0 r1 < r2 <... < rh.

Теорема 1.6. Спектр (B) оператора B представим в виде h h (B) = [rj int(), rj out()]T = [int(), out()]T(rj), j=1 j=если выполнено условие (2), и (B) = (B) = { C : || r1int()}, если оператор B обратим и выполнены условия (3) и (4) В §1.3 приводится применение теоремы 1.6 для вычисления спектра линейного дифференциального оператора d L = - + A : D(L) Lp (R, X) Lp (R, X), p [1, ], dt где A L(X), : R (0, ) весовая функция, представимая в виде (t) = exp a(t), t R, и a дифференцируемая функция с a = b L(R, R).

Символом Lp (R, X) обозначается банахово пространство измеримых (классов) функции x : R X, для которых конечна величина 1/p p x(t) x = x = dt, p [1, ), ,p (t) R x(t) x = x = vrai sup, p = .

, (t) tR Если = 1, то пространство Lp (R, X) обозначается через Lp = Lp(R, X).

p,Областью определения D(L) оператора L считается подпространство W = p,W (R, X) абсолютно непрерывных функции x : R X, для которых Lp (R, X).

Используя теорему 3 из статьи А. Г. Баскакова и А. И. Пастухова, заключение теоремы 1.6 и введя обозначения m+n m+n 1 min(b) = lim inf b()d, max(b) = lim sup b()d, n m 1 n n n m m m получим следующее утверждение Теорема 1.7. Спектр оператора L : D(L) Lp Lp допускает пред ставление вида h (L) = { C : min(b) + Re µj Re max(b) + Re µj}, j=если (A) = {µ1,..., µh}.

Вторая глава состоит из двух параграфов. В §2.1 описываются общие свойства разностных отношений, приводятся вспомогательные леммы, используемые для получения основных результатов главы 2.

p p В §2.2 рассматривается банахово пространство l = l(Z+, X), p [1, ], Z+ = N {0}, состоящее из (односторонних) последовательностей x : Z+ X векторов принадлежащих конечномерному линейному нормированному пространству X, суммируемых с весом (весовой функцией) : Z+ (0, ) с Баскаков А. Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А. Г. Баскаков, А. И. Пастухов // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. № 6. C. 1231 1243.

нормой 1/p p x(n) x = x =, p [1, ), p, (n) nZ+ и ограниченных относительно x(n) x = x = sup, p = .

, (n) nZ+ При этом описываются спектральные свойства линейного разностного отношеp ния KE LR(l) вида Bx(n - 1), n 1, (KEx)(n) = x0, x0 E, n = 0, p где x l, E подпространство пространства X, B L(X).

Далее для веса рассматриваются следующие условия:

(k - 1) sup < , (8) (k) kZ+ (k - 1) sup = , (9) (k) kZ+ (k + 1) sup < , (10) (k) kZ+ (k + 1) sup = . (11) (k) kZ+ При изложении результатов второй главы используются следующие величины 1/n (k) out() = lim sup, (12) n (k + n) kZ+ 1/n (k) int() = lim inf. (13) n kZ+ (k + n) Существование пределов в (12) и (13) устанавливается в следующих леммах.

Лемма 2.6. Если выполнено условие (8), то в (12) существует предел.

Лемма 2.7. Если выполнено условие (10), то предел в (13) существует и int() > 0.

В рассматриваемой главе используется преобразование подобия исследуемоp го отношения в весовом пространстве l к отношению, определенному в невесовом пространстве lp, но уже с переменными коэффициентами. Преобразоваp ние подобия осуществляет линейный оператор U : lp l, вида (Ux)(n) = (n)x(n), n Z+, x lp. Все результаты параграфа получены для отношения KE, LR(lp) подобного KE, и определяемого следующим образом KE, = {(x, y) lp lp : y(n) = (n)Bx(n - 1), n 1, y(0) E}, (n-1) где : N (0, ), последовательность вида (n) =, n 1. Эти (n) результаты имеют место и для отношения KE, согласно лемме 2.8. Пусть BE, = I - KE,, BE = I - KE.

Лемма 2.8. Для спектров отношений BE, BE,, KE, KE, имеют место равенства (BE) = (BE,), (KE) = (KE,), (KE) = {, T, (KE)}, где последнее равенство означает инвариантность спектра (KE) относительно вращений в C вокруг нуля.

Результаты второй главы изложены в следующих утверждениях.

Теорема 2.2. Пусть E = {0}, тогда (K{0}) = (K{0},) = { C : || r(B)out()}, если выполнено условие (8), и (K{0}) = (K{0},) = C {}, если выполнено условие (9).

Теорема 2.4. Пусть E = X и оператор B обратим, тогда int() (KX,) = C : ||, r(B-1) если выполнено условие (10), и (KX,) = C {} = C, если выполнено условие (11).

Теорема 2.6. Если E = X и оператор B не обратим,то спектр (KX) отношения KX имеет вид (KX) = (KX,) = C {} = C.

Утверждение теоремы 2.7 верно при выполнении следующих двух предположений.

Предложение 2.2. E ненулевое подпространство из X, причем E = X, и выполнены условия (8), (10).

Предложение 2.3. Резольвентное множество (KE,) отношения KE, не пусто, т.е. (KE,) = .

Согласно тереме 6.4 из статьи А. Г Баскакова и предложений 2.2, 2.3 спектр отношения KE, представим в виде объединения двух множеств (KE,) = int out, где int = { (KE,) : || < r1} и out = { (KE,) : || > r2}, r1 > 0, r1 < r2.

Поэтому по спектральной компоненте int можно построить проектор Рисса (см. теорема 1.1) Pint = - R(, KE,)d, 2i T(r1) где R(, KE,) = (KE, -I)-1, (KE,) резольвента отношения KE,. При этом существует ограниченная проекторнозначная функция Pint : Z+ L(X), такая что (Pintx)(n) = Pint(n)x(n), n Z+, x lp, и выполняются равенства Pint(k)B = BPint(k), k Z+. Следовательно, оператор B перестановочен с проекторами Pint(0) и Pout(0) = I - Pint(0), поэтому подпространства ImPout(0) и ImPint(0) являются инвариантными для оператора B.

Теорема 2.7. Для величин out() и int() верны неравенства rout() <, r(B|ImPint(0)) int() > r2r((B|ImPout(0))-1).

Спектр (KE,) отношения KE, представим в виде (KE,) = C \ T(out()r(B|ImPint(0)), int()/r((B|ImPout(0))-1)).

Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. матем.

2009. Т.73. № 2. С.3–68.

Теорема 2.8. Если E = X, E = {0}, и хотя бы одно из условий (8) и (10) не выполняется, то спектр отношения KE, заполняет всю комплексную плоскость, т.е. (KE,) = C.

Публикации автора по теме диссертации 1. Бесаева С. В. О спектральных свойствах разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах / С.В. Бесаева // ВЗМШ им.

С.Г. Крейна. Тезисы докладов. Воронеж: ВГУ. 2010. C. 21 22.

2. Бесаева С. В. Спектральные свойства разностных отношений в весовых пространствах последовательностей/ С.В. Бесаева // Современные методы теории функций и смежные проблемы :материалы ВЗМШ. Воронеж:

ВГУ. 2011. C. 44.

3. Бесаева С. В. Спектральные свойства разностных отношений в весовых пространствах последовательностей / С.В. Бесаева // Современные методы теории краевых задач :материалы ВВМШ ”Понтрягинские чтения XXII”. Воронеж: ВГУ. 2011. C. 33.

4. Бесаева С. В. О спектре разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах/ М.С. Бичегкуев, С. В. Бесаева // Изв. вузов.

Математика. 2011. № 2. С.16–21.

5. Бесаева С. В. О спектре разностных операторов в весовых пространствах/ С. В. Бесаева // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2011.

№ 1. С.94–99.

6. Бесаева С. В. Спектральный анализ разностных отношений в весовых пространствах последовательностей векторов/ С. В. Бесаева // Воронежский государственный университет, 2011. Препринт № 41. С.Работы [4], [5] соответствуют списку ВАК РФ.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.