WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

КЛИМОВА ЕКАТЕРИНА СЕРГЕЕВНА

СИСТЕМЫ СДВИГОВ И ЭКСПОНЕНТ КАК БЕССЕЛЕВЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ФРЕЙМЫ

01.01.01 – вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж – 2012

Работа выполнена в Самарском государственном университете

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, доцент Новиков Сергей Яковлевич, Самарский государственный университет декан механико-математического факультета

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Гельман Борис Данилович, Воронежский государственный университет доцент кафедры математического анализа доктор физико-математических наук, профессор Насыров Семен Рафаилович, Казанский (приволжский) федеральный университет зав. кафедрой математического анализа

Ведущая организация: Саратовский государственный университет.

Защита состоится 4 сентября на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу:

394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " " июня 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.22, доктор физ.-мат. наук, профессор Гликлих Ю.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Наряду с методами классического гармонического анализа в последние десятилетия большое внимание стало уделяться негармоническому анализу, в котором информация (сигналы) представляются в виде рядов по неортогональным или линейно зависимым (избыточным) системам. Такие представления имеют ряд преимуществ: неограниченный объем, возможности выбора оптимальных представлений по разным критериям и т.д. Например, широко используются фреймовые представления для удаления шумов, использующие нетривиальность ядра оператора синтеза.

Понятие фрейма впервые было введено в 1952 году Даффином и Шеффером, в связи с изучением негармонических рядов Фурье. Следует отметить, что ранее в работах Бари, Наймарка была развита теория фреймов. В последние годы фреймы получили широкое распространение в различных научных направлениях. В квантовой механике фреймы помогают представлять когерентные состояния. Цифровая обработка сигналов использует фреймы для борьбы с шумами. В общем, фреймы это "избыточное"множество векторов в гильбертовом пространстве, для которого сохраняется ослабленное равенство Парсеваля-Стеклова. Именно свойство избыточности обеспечивает в цифровой обработке сигналов устойчивость к потерям информации. Базисы Рисса являются фреймами, но образуют лишь малую часть во множестве фреймов. Интерес к фреймам связан с тем, что в отличие от классического базиса в определении фрейма отсутствует требование линейной независимости, что позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема. Общая теория фреймов подробно описывается в работах О. Christensen, И. Добеши, К.

Блаттера. Ряд прикладных задач потребовал изучения фреймов специального вида, таких как фреймы, полученные сдвигами одного элемента гильбертова пространства, а также фреймы комплексных экспонент. Естественной является задача сравнения критериев базисности Рисса и фреймовости различных систем, таких как системы сдвигов, системы комплексных экспонент, весовых экспонент. Для того, чтобы применять фреймы, скажем, в цифровой обработке сигналов, желательно, чтобы элементы фрейма обладали похожей структурой, иными словами, являлись когерентными. В этом смысле, целесообразно строить и изучать фреймы, которые получаются из одного элемента некоторого гильбертова пространства при помощи оператора сдвига. Данной задаче посвящены работы О. Christensen, Olevski A., Терехина П.А. Базисn ные свойства систем экспонент {ei x}nZ изучались на протяжении многих десятилетий и являлись объектами исследований таких выдающихся математиков, как Н. Винер и Р. Пэли, Даффин, Шеффер, А.Ф. Леонтьев, А.М Седлецкий и др. В диссертации получены некоторые аналоги этих результатов при замене свойств базисности Рисса на свойства бесселевости и фреймовости соответствующих систем.

Цель работы. Построение фреймов из сдвигов вектора в конечномерном пространстве над полем вещественных чисел; нахождение критерия бесселевости системы векторов, построенной из сдвигов вектора в конечномерном пространстве; исследование систем весовых экспонент в конечномерном пространстве над полем комплексных чисел; нахождение необходимых и достаточных условий на вес, для того, чтобы система весовых экспонент образовывала фрейм, бесселеву систему; определение фрейма для конечномерного пространства над полем p- адических чисел и доказательство основных теорем о фреймовом представление, построение фреймов в пространстве над полем p- адических чисел; исследование систем, образованных с помощью целых и произвольных сдвигов функции в пространстве L2 (R), построение фреймовой последовательности; нахождение критериев фреймовости сиn n стем экспонент {ei x}nZ, весовых экспонент {g (x) ei x}nZ в пространстве L2 (-, ); исследование устойчивости фреймов.

Методика исследований. Использовались методы теории функций и функционального анализа, элементы комплексного анализа и преобразования Фурье.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные.

1. Найдены необходимые и достаточные условия фреймовости и бесселевости системы весовых экспонент в конечномерном пространстве.

2. Введено определение фрейма в N-мерном пространстве над полем pадических чисел, построены фреймы Парсеваля-Стеклова и исследованы свойства соответствующих фреймам операторов.

3. Найдены критерии фреймовости и бесселевости системы сдвигов функции в пространстве L2 (R).

4. Найдены необходимые условия на последовательность вещественных чисел {n}nZ, чтобы соответствующая система экспонент образовывала фрейм, являлась бесселевой.

5. Получены условия на весовую функцию, для того, чтобы соответствующая система весовых экспонент образовывала фрейм, бесселеву последовательность.

6. Введены радиусы притяжения вещественной числовой последовательности {n}nZ, которые характеризуют устойчивость комплексных экспонент n {ei x}nZ, как базисов Рисса (фреймов) по отношению к сдвигам чисел n.

Доказано, что переход от базисов Рисса к фреймам не увеличивает радиус притяжения, что является обобщением классической теоремы Кадеца об.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для дальнейшего изучения фреймов сдвигов и экспонент, а также найти применение в частотно-временном анализе.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах Самарского государственного университета; на семинарах кафедры Математических моделей и информационных технологий Самарской академии государственного и муниципального управления; на международной конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы"в г. Воронеж (2009, 2011); на международной Саратовской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приложения"( 2010, 2012); на седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи"в г. Самара (2010); на 2-ой всероссийской научнопрактической конференции "Математическое моделирование, численные методы и информационные системы"в г. Самара (2010); на десятой международной Казанской летней научной школе-конференции в г. Казань (2011);

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в работаx автора [1]–[13]. Из совместной работы [13] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично автором. Работы [6], [10] и [11] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав и списка литературы. Объем диссертации 120 страниц. Библиографический список содержит 57 наименований.

Содержание диссертации.

Во введении описывается история возникновения проблемы исследования, обосновывается актуальность выбранной темы. Далее приводится ряд задач, требующих решения и ответы на поставленные задачи.

В первой главе приводятся основные определения, изучаются фреймы сдвигов одного и двух векторов, находятся критерии фреймовости систем весовых экспонент, определяется фрейм для конечномерного пространства над полем p-адических чисел. Напомним классическое определение фрейма.

N Пусть конечномерное комплексное пространство со скалярным произведением, где:

f = < f, f >.

N Область определения векторов пространства фактически является ZN – классом вычетов по модулю N.

N Определение 1.4. Набор векторов {fk}m из называется фреймом, k=1 если существуют константы A, B > 0 такие, что для любого f N выполняются следующие неравенства:

m 2 A f |< f, fk >|2 B f.

k=A и B называются границами фрейма. Наибольшая из нижних границ называется оптимальной нижней границей, а наименьшая из верхних границ – оптимальной верхней границей. Если A = B, то фрейм называется жестким, а если A = B = 1, то фреймом Парсеваля-Cтеклова. Были построены фреймы Парсеваля-Стеклова из сдвигов одного и двух векторов.

Возьмем N-мерное гильбертово пространство CN, и рассмотрим набор векторов Em (n) = (Em (0), Em (1),..., Em (N - 1)), где m = 0, 1,..., N - 1, определенных следующим образом:

1 2inm Em (n) = exp, n, m = 0, 1,..., N - 1.

N N Возьмем вектор (g (n))N-1 CN и рассмотрим систему вида (g (n) Em (n))N-1, n=0 m=где умножение вектора (g (n))N-1 на Em (n) покоординатное. Справедлива n=следующая теорема:

Теорема 1.2. Пусть имеется набор (g (n) Em (n))N-1, где (g (n))N-1 m=0 n=CN. Следующие утверждения эквивалентны:

1) Система (g (n) Em (n))N-1 полна в CN.

m=2) Вектор g (n) = 0, для всех n = 0, 1,..., N - 1.

Если к тому же g (n) = N, то (g (n) Em (n))N-1 ортонормированm=ный базис пространства CN.

Переполненные жесткие фреймы в пространстве CN можно получать с помощью проекции ортонормированного базиса из пространства CM на CN, где M > N.

Возьмем M > N, определим вектора (Fk (n))M-1 следующим образом:

k=1 2ikn Fk (n) = exp, n = 0, 1,..., N - 1.

M M Тогда (Fk (n))M-1 – фрейм Парсеваля-Стеклова в пространстве CN, причем k=N выполняется Fk (n) =.

M Заметим, что в конечномерном пространстве любой набор векторов является бесселевой системой, в силу неравенства Коши-Буняковского.

Возьмем (g (n))N-1 CN и рассмотрим систему (g (n) Fk (n))M-1, спраn=0 k=ведлива следующая теорема:

Теорема 1.3. Пусть имеется набор (g (n) Fk (n))M-1, где (g (n))N-1 k=0 n=CN. Следующие утверждения эквивалентны:

1) Система (g (n) Fk (n))M-1 фрейм в пространстве CN k=2) Вектор g (n) = 0, для всех n = 0, 1,..., N - 1.

Следствие 1.1. Система (g (n) Fk (n))M-1 – фрейм Парсеваля-Стеклова k=в пространстве CN | g (n) |= 1, n = 0, 1,..., N - 1.

В данной главе было определено понятие фрейма для пространства над полем p- адических чисел, построен фрейм Парсеваля-Стеклова.

Пусть p простое число, а - целое. Обозначим Qp – поле p-адических чисел, с нормой :

, xi= pOrdxi | xi |p= (1) 0, xi=наибольшая степень числа p, которая делит xi, xi-целое где Ordxi =.

a Ordpa-Ordpb, xi=, a,b, b =0-целые b Рассмотрим N-мерное пространство над полем p- адических чисел:

QN = Qp ... Qp, x QN, x = (xi)N, где xi Qp.

p p i=N В этом пространстве определена норма следующим образом:

x = max | xi |p p 1iN где | xi |p – норма xi в пространстве Qp:

Норма | x |p является неархимедовой, то есть выполняется сильное неравенство треугольника:

| x + y |p max (| x |p| y |p).

В пространстве QN введено скалярное произведение:

p N < x, y >= xiyi, x, y QN.

p i=В пространстве QN c нормой p x = max | xi |p p 1iN выполняется неравенство Коши-Буняковского:

|< x, y >|p x y.

p p Ввиду специфики данного пространства, определение фрейма ввести тем же способом, что и для пространств RN, CN не удается. Нами введено определение фрейма в пространстве QN следующим образом:

Узнайте, что такое Саентология...

Ваша жизнь поменяется...

p Определение 1.8. Набор (fi)M QN – фрейм, если существуют такие p i=константы A, B > 0, что f QN выполняются неравенства:

p B f max |< f, fi >|p A f.

p p 1iM Если поле K = R или K = C, то хорошо известна эквивалентность :

Набор (fi)M – фрейм в K тогда и только тогда, когда (fi)M – полная систеi=1 i=ма.

Доказано, что при определении 1.8. фрейма аналогичное утверждения сохраняет силу.

Теорема 1.4. Система (fi)M – фрейм в QN тогда и только тогда, p i=когда(fi)M – полная система.

i=Построен пример фрейма Парсеваля-Стеклова в пространстве Q2.

p Рассмотрим отображение T : QN - QM, действующее по следующему p p правилу: T (f) = (< f, fi >)M.

i=Рассмотрим сопряжённый оператор, определяемый следующим образом:

M T (ck) = ckfk. Тогда можем определить фреймовый оператор: S = T T.

k=Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.5. Пусть (fk)M – фрейм в QN, S – фреймовый оператор.

p k=Тогда:

1. Оператор S – обратим и самосопряжён.

2. Для любого вектора f QN справедливо следующее представление:

p M M f = < f, S-1fk > fk = < f, fk > S-1fk.

k=1 k=M 3. Если f QN и f = ckfk,(ck) QM,тогда:

p p k=M M M c2 = < f, S-1fk >2 + ck- < f, S-1fk >.

k k=1 k=1 k=Вo второй главе исследуются системы образованные с помощью сдвигов функции f (x) L2 (R). Хорошо известно, что из сдвигов функции нельзя получить базис. Возникает вопрос, можно ли сделать фрейм? В работе O.

Christensen показано, что ответ на поставленный вопрос отрицательный, но с помощью сдвигов можно получить фреймовую последовательность (фрейм для замыкания линейной оболочки системы). Таким образом, вторая глава посвящена нахождению условий на функцию, чтобы соответствующая система сдвигов образовывала фреймовую последовательность. Напомним некоторые определения.

Определение 2.1. Оператор Ta действующий из пространства L2 (R) в пространство L2 (R), определяемый следующим образом:

(Taf) (x) = f (x - a), где a R, называется оператором сдвига на a.

Определение 2.2. Оператором модуляции Eb из L2 (R) в пространство L2 (R) называется оператор, определенный следующим образом:

(Ebf) (x) = e2ibxf (x).

Напомним, что преобразование Фурье F функции f (x) L2 (R) определяется следующим образом:

+ () F (f (x)) = f = f (x) e-2ixdx, R.

- Определение 2.4. Набор (k), называется фреймом в гильбертовом k=пространстве H, если существуют такие константы A, B > 0, что H выполняются следующие неравенства:

A |< , k >|2 B k=Фреймовой последовательностью называется система, которая образует фрейм для замыкания линейной оболочки.

Используя результат работы O. Christensen, были исследованы целые сдвиги функции sin 2x (x) = ( с традиционным определением в нуле), где (0, 1).

x Доказана теорема.

Теорема 2.3. Система сдвигов sin 2 (x - k) {Tk (x)}kZ = { }kZ (x - k) образует фрейм в пространстве Пэли-Винера P W.

Рассматривается общий случай системы (T g (x))nZ, где = (n)nZ – n произвольная последовательность вещественных чисел. Учитывая хорошо известную двойственность, которая устанавливается с помощью преобразования Фурье, можно получить следующий результат.

Теорема 3.23. Пусть последовательность вещественных чисел, такова, n что {ei x}nZ образует фрейм в пространстве L2 (-, ), возьмем функцию g (x) P W, где , тогда:

1) Система {T g (x)}nZ является бесселевой в пространстве L2 (R), тогда и n только тогда, когда | () | B, для всех R.

2) Система {T g (x)}nZ образует фреймовую последовательность, тогда и n только тогда, когда A | () | B, для всех [-, ].

3) Система {T g (x)}nZ образует фрейм в пространстве P W, тогда и только n тогда, когда A | () | B, для всех [-, ].

n В третьей главе исследуются системы экспонент {ei x}nZ в пространстве L2 (-, ), находятся необходимые условия на последовательность вещественных чисел {n}nZ, для того, чтобы соответствующая система экспонент являлась бесселевой, образовывала фрейм.

Определение 3.11. Последовательность {k}kZ называется отделимой, если i = j выполняется infi =j | i - j |> , где > 0.

Определение 3.12 Последовательность {k}kZ называется относительно отделимой, если ее можно представить в виде объединения конечного числа отделимых последовательностей.

Определение 3.13. Для последовательности вещественных чисел = {k}kZ вводятся понятия верхней плотности + (h) D+ () = lim sup h h и нижней плотности - (h) D- () = lim inf, h h h h h h где + = sup [x -, x + ], - = inf [x -, x + ].

2 2 2 xR xR Одной из целей данной работы было нахождение необходимых условий на последовательность вещественных чисел = {n}nZ, таких, что соответствующая система экспонент образовывала фрейм. В этом направлении получены следующие результаты.

Теорема 3.7. Пусть = {n}nZ последовательность вещественных n чисел, такая что n , при n . Если система {ei x}nZ является бесселевой в пространстве L2 (a, b), то ряд | n | nZ сходится для всех > 1.

n Теорема 3.8. Если система {ei x}nZ образует фрейм в пространстве L2 (a, b), то ряд расходится.

nZ |n| В работе Даффина и Шеффера было введено понятие фреймового радиуса, корректность которого определяется свойством фреймов. Однако для базисов Рисса введение такого определения невозможно. Тем не менее, и фреймы и базисы Рисса обладают устойчивостью другого вида. В данной главе были введены радиусы притяжения вещественной числовой последовательности {n}nZ, которые характеризуют устойчивость комплексных экспонент n {ei x}nZ, как базисов Рисса (фреймов) по отношению к сдвигам чисел n.

n Для последовательности вещественных чисел {µn}nZ, такой, что {eiµ x}nZ образует базис Рисса в пространстве L2 (-, ) введeм понятие BR-радиуса притяжения :

R ({µn}) = sup{L R : {n}nZ R n и | n - µn | L, n = {ei x}nZ базис Рисса}.

По аналогии вводим и понятие фреймового радиуса притяжения для поn следовательности вещественных чисел {µn}nZ, такой, что {eiµ x}nZ образует фрейм в пространстве L2 (-, ) ({µn}) = sup{L R : {n}nZ R n и | n - µn | L, n = {ei x}nZ фрейм в L2 (-, )} Поиск BR-радиуса притяжения множества Z имеет историю.

Пэли и Винер показали, что если {n}nZ R, и supkZ | k - k |<, то соответствующая система экспонент образует базис Рисса. Позже R. Duffin и J. Eachus получили следующий результат: если последовательность вещественных или комплексных чисел {n}nZ, такова, что ln n supkZ | n - n |<, то {ei x}nZ – базис Рисса в L2[-, ]. Точную кон станту для вещественных чисел нашел М.И. Кадец, а для комплексных чисел наиболее сильные результаты получены А.М.Седлецким.

Теорема 3.10. (Кадеца об 1/4) Если последовательность вещественных чисел {k}kZ, удовлетворяет неравенству :

sup | k - k |<, kZ k то система {ei x}kZ образует базис Рисса в пространстве L2 (-, ).

Введенные понятия позволяют сформулировать теорему Кадеца об 1/4 в виде равенства R (Z) = 1/4. Оказалось, что константа 1/4 является точной и для фреймового радиуса притяжения множества целых чисел: (Z) = 1/4, что доказывается в следующей теореме:

Теорема 3.15. Если {k} – последовательность вещественных чисел такая, что sup | k - k |=, kZ k то система {ei x}kZ образует фрейм для L2 (-, ) тогда и только тогда, когда она является базисом Рисса.

Таким образом, для множества Z получены равенства R(Z) = (Z) =.

Кроме того, примеры, которые ранее использовались для обоснования точности константы 1/4 в теореме Кадеца о базисах Рисса, оказываются точными и для фреймов.

n Для систем весовых экспонент вида {g (x) ei x}nZ где в качестве веса взята функция g (x) =| x |, R и последовательность {n}nZ – последовательность целых чисел, получен следующий результат.

Теорема 3.16. Рассмотрим систему | x | 1 exp inx в L2[-, ].

2 nZ Cправедливы следующие утверждения:

1) Система | x | 1 exp inx является полной, тогда и только тогда, 2 nZ когда > -1.

2) Система | x | 1 exp inx является бесселевой последовательно2 nZ стью, тогда и только тогда, когда > 0.

3) Система | x | 1 exp inx является минимальной, тогда и толь2 nZ ко тогда, когда -1 < <, и ее биортогональная удовлетворяет левому 2 неравенству в определении фрейма 0 <.

4) Система | x | 1 exp inx является фреймом, тогда и только то2 nZ гда, когда = 0.

Если в качестве веса взять функцию g (x) =| x + a |, где | a |> , то справедлива следующая теорема.

Теорема 3.17. Пусть – произвольное вещественное число,| a |> , тогда система | x + a | 1 exp inx является базисной последователь2 nZ ностью Рисса в пространстве L2[-, ], для всех R В случае произвольной функции g (x) и вещественной последовательности {n}nZ получен следующий результат:

Теорема 3.20. Пусть = (k)kZ – последовательность вещественных чисел, такая что D- () > 1 и относительно отделима, и пусть функция g (x) L2[-, ], тогда следующие утверждения эквивалентны:

k 1) Система g (x) ei x – фрейм для L2[-, ].

kZ 2) Существуют такие константы A, B > 0, такие что A | g (x) | B п.в.

Также получены аналогичные критерии бесселевости и полноты системы весовых экспонент.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С.Я. Новикову за постановку задач, внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Публикации автора по теме диссертации [1] Голубева Е.С. Определение фрейма в пространстве QN. Построение фрейp ма Парсеваля-Стеклова в пространстве Q2 / Е.С. Голубева // Материаp лы международной конференции Современные методы теории функций и смежные проблемы. – Изд-во: Воронежский государственный университет – 2009. – С. 64–65.

[2] Голубева Е.С. Определение фреймов в N-мерном p-адическом пространстве. / Е.С. Голубева // Тезисы докладов 35 Самарской областной студенческой научной конференции. – Изд-во: Артель –2009. – С. 140–141.

[3] Голубева Е.С. Конструкция фреймов над полем p-адических чисел. / Е.С. Голубева // Сборник статей Межвузовской научно-практической конференции Математическое моделирование, численные методы и информационные системы. – Изд-во: Самарский муниципальный институт управления –2009. – С. 26–29.

[4] Голубева Е.С. Конструкция фреймов в пространстве QN. / Е.С. Голуp бева // Материалы докладов Саратовской зимней математической школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". – Изд-во Саратовского университета –2010. – С. 57.

[5] Голубева Е.С. Фреймы сдвигов в пространствах над полями R, C. / Е.С. Голубева // Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием Математическое моделирование и краевые задачи. – Изд-во: Самарский государственный технический университет –2010. – С. 6468.

[6] Голубева Е.С. Конструкция фреймов над полем p-адических чисел. Фреймовый оператор. / Е.С. Голубева // Вестник Самарского муниципального института управления. – вып.2(13). – Изд-во: Самарский муниципальный институт управления –2010. – С. 88-93.

[7] Голубева Е.С. Системы полученные с помощью операций трансляции и модуляции. / Е.С. Голубева // Материалы 2-ой всероссийской научно-практической конференции Математическое моделирование, численные методы и информационные системы. – Изд-во: Самарский муниципальный институт управления –2010. – С. 75-78.

[8] Голубева Е.С. Системы оконных экспонент в пространстве L2[-1, ] / Е.С. Голубева // Материалы Воронежской зимней математиче2 ской школы Современные методы теории функций и смежные проблемы. – Изд-во: Воронежского государственного университета –2011. – С. 84-85.

n [9] Голубева Е.С. Бесселевы системы экспонент {ei x}nZ в пространстве L2[-, ]. / Е.С. Голубева // Материалы десятой международной Казанской летней научной школы-конференции. – Изд-во: –2011. – С. 94-96.

[10] Голубева Е.С. Фреймы экспонент со степенным весом / Е.С. Голубева // Вестник Самарского государственного университета.Сер. Естественнонаучная. – 2011. – № 2(83) – С. 15-26.

[11] Климова Е.С. Система сдвигов функции / Е.С. Климова // Вестник Самарского государственного университета.Сер. Естественнонаучная. – 2011. – № 8(89) – С. 37-45.

[12] Климова Е.С. Системы сдвигов функции. / Е.С. Климова // Материалы Саратовской зимней математической школы Современные методы теории функций и смежные проблемы. – Изд-во: Научная книга –2012. – С. 85.

[13] Климова Е.С. Теорема Кадеца об и фреймы. / Е.С. Климова, С.Я.

Новиков // Материалы Саратовской зимней математической школы Современные методы теории функций и смежные проблемы. – Изд-во: Научная книга –2012. – С. 86.

Работы [6], [10] и [11] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по разным специальностям



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.