WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Афанасьева Татьяна Николаевна Разностные операторы.

Допустимость пар пространств 01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж 2012

Работа выполнена в Кубанском государственном университете

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Цалюк Зиновий Борисович, Кубанский государственный университет зав. кафедрой дифференциальных и интегральных уравнений

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Сапронов Юрий Иванович, Воронежский государственный университет профессор кафедры математического моделирования, доктор физико-математических наук, доцент Авсянкин Олег Геннадиевич, Южный федеральный университет профессор кафедры дифференциальных и интегральных уравнений

Ведущая организация: Дагестанский государственный университет

Защита состоится 19 июня 2012 г. в 15 час. 10 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл. 1, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан мая 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор Ю.Е.Гликлих

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию допустимости различных пар пространств относительно линейных и нелинейных разностных уравнений. Такие уравнения являются дискретным аналогом интегральных уравнений Вольтерра.

Теория интегральных уравнений Вольтерра за последние десятилетия превратилась в хорошо развитую и далеко продвинутую теорию. В противоположность этому их дискретные аналоги изучены достаточно слабо, хотя, особенно с развитием численных методов, такие аналоги приобретают все большее значение ( А. Д. Эпплби, И. Гуори и Д. Рейнолдс, К. Кьюевас и Пинто, С.

Илайди, С. Мукарами, Е. Камияма и др.).

Изучаемые в диссертации разностные уравнения являются естественным обобщением дискретных уравнений, ядра которых зависят от разности аргументов n - k. Глубокие результаты по теории таких уравнений были получены в работах Ф. Д. Гахова и Ю. И. Черского, Н. К. Карапетянца, С. Г. Самко, И. Б. Симоненко, В. Б. Дыбина и С. Б. Джиргаловой, Я. М. Ерусалимского, И. Л. Ойнас и других.

В данной диссертации исследуются асимптотические свойства решений разностных уравнений в пространстве l ограниченных последовательностей векторов. Основная задача выяснить свойства решения в зависимости от свойств свободного члена, а именно, получить условия, при которых решение обладает определенным свойством, если свободный член принадлежит некоторому классу F. Другими словами, требуется указать условия, при которых решение уравнения принадлежит некоторому множеству X, если свободный член лежит в F, т. е.

условия допустимости пар пространств ( F, X ) ( F, X l ) относительно разностного уравнения T (x) = f.

Подобные исследования ранее не проводились и потому представляются актуальной задачей.

Цели работы. Исследовать допустимость пар пространств относительно разностных уравнений.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты работы:

критерии допустимости различных пар пространств относительно линейных разностных операторов;

связь допустимости пар пространств и устойчивости;

критерий допустимости пары ( X, X ) ( X l ) относительно линейных разностных уравнений c устойчивыми положительными ядрами;

в случае устойчивых ядер, не являющихся знакопостоянными, критерии допустимости пар ( 0, 0 ) и ( c0, c0 ) относительно линейных разностных уравнений;

допустимость различных пар подпространств относительно нелинейного разностного уравнения общего вида и уравнения типа Вольтерра – Гаммерштейна.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы математического и функционального анализа, методы теории разностных уравнений, а также методы теории интегральных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для теории разностных уравнений и теории допустимости пар пространств.

Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской весенней математической школе Современные методы в теории краевых задач ( Воронеж, 2001 г.); на международной научной конференции Актуальные проблемы математики и механики (Казань, 2001 г.); на Воронежской весенней математической школе Понтрягинские чтения – XIII (Воронеж, 2002 г.); на VI и IX Казанских международных летних школах-конференциях Теория функций, ее приложения и смежные вопросы (Казань, 2003 и 2009 г.г.); на II международной научной конференции Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования (Воронеж, 20г.); на международной конференции X Белорусская математическая конференция (Минск, 2008 г.); на IV и V международных научных конференциях Функционально – дифференциальные уравнения и их приложения (Махачкала, 2009 и 2011 г.г.); на Воронежской зимней математической школе Современные методы теории функций и смежные вопросы (Воронеж, 2011 г.).

С докладами о результатах диссертации автор выступал на международных научных конференциях Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения в Южном федеральном университете (Ростов-наДону, 2011 и 2012 г.г.), а также многократно на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Кубанского госуниверситета (руководитель доктор физ. - мат. наук, проф.

З. Б. Цалюк).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[16]. Из совместных опубликованных работ [1,4] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Работы [1]-[3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 10 параграфов. Объем работы 120 страниц. Библиография содержит 130 наименований.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Цалюку З.Б. за постановку задач, поддержку и внимание к работе.

Содержание работы Во введении обоснована актуальность темы исследования, содержатся предварительные сведения, изложены основные результаты.

n-Предварительные сведения. Положим ak = 0.

k=n Рассмотрим нелинейное разностное уравнение n-xn = K(n, k, xk) + fn, n 0, (1) k=где K( n, k, x ) Cm, 0 k n - 1, x Cm, fn Cm, xn Cm.

Если K( n, k, x) = Ankx, Ank Cmm, то (1) линейное разностное уравнение.

Пусть T действующий из U в V оператор и X, F подпространства U и V соответственно.

Определение 1 Пара ( F, X ) называется допустимой относительно уравнения T (x) = f, если при любом f F это уравнение имеет решение x X.

Определение 2 Пара ( X, F ) называется допустимой относительно оператора T, если любой элемент из пространства X он переводит в элемент пространства F, т. е. T (X) F.

Определение 3 Тривиальное решение ( при fn 0 ) уравнения (1), называется устойчивым, если для любого > существует такое > 0, что из f l, f следует l x l и x .

l Определение 4 Тривиальное решение ( при fn 0 ) уравнения (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и из lim fn = 0 следует lim xn = 0.

n n В первой главе рассматривается линейное разностное уравнение n-xn = Ankxk + fn, n 0, (2) k=в пространстве l ограниченных последовательностей векторов.

Исследуются вопросы допустимости различных пар пространств относительно уравнения (2) и соответствующего линейного разностного оператора.

При любом f = {fn} уравнение (2) имеет единственное реn-шение, представимое в виде xn = fn + Rnkfk, n 0, где k=R резольвента ядра A, которая определяется как решение n-уравнения Rnk = Ank + RniAik, 0 k n - 1, (§ 1.1).

i=k+Обозначим через R разностный оператор, порожденный резольвентой R ядра A.

Так как x = f + Rf, то каждый критерий допустимости пары ( X, F ), X F, относительно оператора приводит к сформулироваенному в терминах резольвенты критерию допустимости этой пары относительно уравнения (2). Но резольвента, в общем виде, может быть найдена лишь в редких случаях, поэтому интерес представдяют критерии, сформулированные в терминах ядра.

Отметим, что для некоторых подпространств X пространства l из допустимости пары ( X, X ) относительно уравнения (2) следует его устойчивость. Естественным образом возникает задача описания подпространств, для которых это справедливо. Так как допустимость пары ( X, l ) относительно уравнения (2) равносильна допустимости этой пары для оператора R, то необходимо описать такие подпространства X l, что из допустимости относительно разностного оператора пары ( X, l ) следует допустимость пары ( l, l ). Решение поставленной задачи приведено в § 1.2. Оно дает возможность, в частности, при решении вопроса о существовании ограниченных решений уравнения (2) воспользоваться более узким, чем l, пробным множеством свободных членов f. Такие подпространства обладают так называемым свойством (L).

Определение 1.2.3 N–срезкой x = ( x0,..., xN-1, xN,...) называется вектор xN = ( x0,..., xN-1, 0,...).

Определение 1.2.4 Будем говорить, что замкнутое подпространство X l обладает свойством (L), если существует такое положительное число r, что для любого натурального N единичный шар множества N–срезок векторов из X содержит шар радиуса r пространства N–срезок векторов из l.

Фигурирующее в определении число r 1. Пример подпространства X = {x l : xn cn, n 0}, где inf n = r Rm nи r ( 0, 1 ], показывает, что радиус r шара пространства N– срезок векторов из l, который содержится в единичном шаре множества N–срезок векторов из X, может принимать любые значения из ( 0, 1 ].

Теорема 1.2.1 Если замкнутое подпространство X l обладает свойством (L) и пара ( X, l ) допустима относительно оператора A, то n-M = sup Ank < . (3) Rmm nk=Обратно, если для любого оператора A, для которого пара ( X, l ) допустима, выполняется условие (3), то X обладает свойством (L).

Изучается асимптотическое поведение решений уравнения на бесконечности. Следовательно, нас интересуют свойства последовательностей векторов при n . Естественным образом возникают основные подпространства пространства l, а именно, 0 = {x l : lim xn}, c0 = {x l : lim xn = 0}.

n n Заметим, что подпространства 0 и c0 обладают свойством (L) с числом r = 1.

Пусть D некоторое подпространство l. Обозначим через (D) множество таких последовательностей m m матриц An, каждая последовательность одноименных столбцов которых лежит в D.

Теорема 1.2.3. Пусть D замкнутое подпространство l. Пара ( c0, D ) допустима относительно оператора A тогда и только тогда, когда выполнены условие (3) и при любом N {AnN } (D). (4) n=Теорема 1.2.4 Пусть D замкнутое подпространство l. Пара ( 0, D ) допустима относительно оператора A тогда и только тогда, когда выполнены условия (3), (4) и n-Ank (D).

k=n=При изучении вопросов допустимости различных пар пространств относительно разностных уравнений допустимость оказывается тесно связанной с устойчивостью уравнения. Действительно, из определения линейного обратного оператора непосредственно следует, что уравнение (2) устойчиво тогда и только тогда, когда оператор (I - A)-1 действует из l в l и является непрерывным, и уравнение (2) асимптотически устойчиво, если (I - A)-1 непрерывно действует из l в l и (I - A)-1(c0) c0.

Основные результаты § 1.3 характеризуют устойчивость через свойства резольвенты R ядра A линейного уравнения.

В § 1.4 для неотрицательного устойчивого ядра найдено решение задачи получения эффективного критерия допустимости пары ( X, X ) ( X замкнутое подпространство l ) относительно уравнения (2).

Справедлива следующая важная Теорема 1.4.1 Пусть Ank 0 при 0 k n-1, ядро A устойчиво, X замкнутое подпространство l. Для допустимости пары ( X, X ) относительно линейного разностного уравнения (2) необходимо и достаточно, чтобы эта пара была допустима относительно линейного разностного оператора A.

Другими словами, чтобы при f = {fn} X решение n=уравнения x = {xn} X необходимо и достаточно, чтобы n=A(X) X.

Получен критерий устойчивости уравнения (2), выраженный через само ядро A уравнения.

Теорема 1.4.2 Пусть Ank 0 при 0 k n - 1. Тогда 1. Для устойчивости ядра A необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (3) и при некотором l, l 2, n-спектр матрицы Bl = limn (Al)nk, Al = {(Al)nk} n,k=k=N l-тое итерированное ядро, лежал в круге единичного радиуса.

2. Если ядро A устойчиво, то при любом l, l 2, спектр n-матрицы Cl = limn (Al)nk лежит в единичном круге.

k=N Естественным образом возникает вопрос: а не будет ли справедлив аналог теоремы 1.4.1 и для неположительных ядер. Как оказалось, для подпространств 0 и c0 указанное утверждение справедливо и в случае устойчивого ядра, не являющегося знакопостоянным (§ 1.5).

Теорема 1.5.2 (Теорема 1.5.1 ) Пусть ядро A удовлетворяет условию (3) и пара ( l, l ) допустима относительно уравнения (2).

Пара ( 0, 0 ) ( ( c0, c0 ) ) допустима относительно уравнения (2) тогда и только тогда, когда она допустима для оператора A.

Во второй главе рассматриваются нелинейное разностное уравнение n-xn = K(n, k, xk) + fn, n 0, (1) k=где K(n, k, x) Cm, x Cm, fn Cm в пространстве l ограниченных последовательностей векторов. Исследуются вопросы допустимости различных пар пространств относительно уравнения (1).

В § 2.1 рассматривается уравнение (1) с ядром K(n, k, x) = Ankx + K1(n, k, x), K(n, k, 0) = 0.

Теорема 2.1.1 Пусть ядро A устойчиво и выполнено условие n-lim sup sup K1(n, k, x) = 0. (5) Cm 0 n x Cm k=Тогда тривиальное решение уравнения (1) устойчиво.

Теорема 2.1.2 Пусть A асимптотически устойчиво, выполнено условие (5) и пара ( c0, c0 ) допустима относительно оператора K1. Тогда тривиальное решение уравнения (1) асимптотически устойчиво.

В § 2.2 представлены условия допустимости пары ( X, X ) относительно уравнения (1) при наличии оценки ядра K. В случае линейной оценки имеет место следующая теорема.

Для x = ( x1,..., xm ) Rm обозначим |x| = ( |x1|,..., |xm| ).

Теорема 2.2.1 Пусть X ( X замкнутое подпространство l ) обладает свойством (L) и пара ( X, X ) допустима относительно оператора K. Пусть |K(n, k, x) - K(n, k, y)| Ank|x - y|, 0 k n - 1, и ядро A устойчиво. Тогда пара ( X, X ) допустима относительно уравнения (1).

При наличии нелинейной оценки ядра K справедлива следующая Теорема 2.2.2 Пусть пара ( X, X ) допустима относительно оператора K и существует такая непрерывная неубывающая по третьему аргументу неотрицательная функция (n, k, ), что K(n, k, x) - K(n, k, y) (n, k, x - y ), 0 k n - 1, Cm Cm и n-sup (n, k, ) < .

nk=Тогда пара ( X, X ) допустима относительно уравнения (1).

Это следствие обобщенного принципа сжимающих отображений М. А. Красносельского.

В § 2.3 рассматривается нелинейное разностное уравнение типа Вольтерра Гаммерштейна n-xn = Ank(xk + (k, xk)) + fn, n 0, (6) k=где Ank Cmm, (k, x) Cm, x Cm и fn Cm.

Уравнение (6) преобразуется к более простому виду n-xn = Rnk(k, xk) + ((I + R)f)n, n 0, k=где R резольвента ядра A.

Справедливы следующие утверждения (§ 2.5).

Пусть некоторое число из интервала ( 1, ). Обозначим через Y замкнутое подпространство ограниченных последовательностей векторов, для которых существует такое чисc ло [ , ), что xn , n 0, т. е.

Cm (n+1) c Y = {x l : : > 1 : xn , n 0}.

Cm (n + 1) cТеорема 2.5.2 Пусть Rnk , 1 > 1, Cmm (n + 1) 1+ (n, x) an x + bn x, > 0, ak < и Cm Cm Cm k= bk < . Тогда пара ( Y, Y ) допустима относительно k=уравнения (6).

Следующая теорема является дискретным аналогом соответствующей теоремы об экспоненциальной устойчивости решений интегрального уравнения Вольтерра.

Обозначим через F линейное подпространство ограниченных последовательностей векторов, для которых при некотором q, 0 < q < 1, выполняются неравенства xn cqn, n 0, Cm т. е.

F = {x l : xn cqn, 0 < q < 1, n 0}.

Cm n Теорема 2.5.3 Пусть Rnk c1q1, где 0 < q1 < 1, Cmm 1+ (n, x) an x + bn x, > 0, ak < , Cm Cm Cm k= bk < . Тогда пара ( F, F ) допустима относительно k=уравнения (6).

Список публикаций по теме диссертации 1. Афанасьева, Т. Н. Допустимость пар пространств относительно линейных разностных операторов и уравнений / Т. Н.

Афанасьева, З. Б. Цалюк // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. – 2010.

– № 2. – С. 12-20.

2. Афанасьева, Т. Н. Допустимость пар пространств относительно нелинейных разностных операторов и уравнений / Т. Н.

Афанасьева // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. – 2011. – № 1. – С. 8-12.

3. Афанасьева, Т. Н. Допустимость пар пространств относительно нелинейных разностных уравнений / Т. Н. Афанасьева // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. – 2011. – № 2. – С. 5-9.

4. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств для разностного уравнения Вольтерра и об устойчивости его решений / Т. Н. Афанасьева, И. Л. Ойнас // КубГУ. – Краснодар. – 2000. – 18 с. – Деп. в ВИНИТИ 19.01.00, № 94-В00.

5. Афанасьева, Т. Н. Об устойчивости и допустимости некоторых пар пространств для линейных разностных уравнений с неотрицательными ядрами / Т. Н. Афанасьева // Материалы Воронежской весен. матем. шк. Современные методы в теории краевых задач. – Воронеж: ВГУ. – 2001. – С. 11-12.

6. Афанасьева, Т. Н. Об устойчивости и допустимости пары ( c0, c0 ) для линейных разностных уравнений / Т. Н. Афанасьева // Материалы международной научной конференции Актуальные проблемы математики и механики. – Казань: Казанский госуниверситет. – 2001. – С. 25-26.

7. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств для линейных разностных уравнений / Т. Н. Афанасьева // Материалы Воронежской весен. матем. шк. Понтрягинские чтения - XIII. – Воронеж: ВГУ. – 2002. – С. 8.

8. Афанасьева, Т. Н. Об устойчивости по первому приближению / Т. Н. Афанасьева // Материалы VI Казанской международной летн. шк.-конференции Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. – Казань: Казанский госуниверситет.

– 2003. – С. 9.

9. Афанасьева, Т. Н. Об устойчивости линейных разностных уравнений с неотрицательными ядрами / Т. Н. Афанасьева // Материалы II международной научной конференции Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования. – Воронеж: ВГУ. – 2007. – С. 21-22.

10. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств относительно линейных разностных уравнений / Т. Н.

Афанасьева // Материалы X Белорусской матем. конференции.

– Минск: БГУ. – 2008. – С. 49.

11. Афанасьева, Т. Н. К вопросу о допустимости некоторых пар пространств для линейных разностных операторов / Т. Н.

Афанасьева // Материалы IX Казанской международной летн.

шк.-конференции Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. – Казань: Казанский госуниверситет. – 2009. – С. 2123.

12. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств для линейных разностных операторов. / Т. Н. Афанасьева // КубГУ. – Краснодар. – 2009. – 14 с. – Деп. в ВИНИТИ 31.08.09, № 555-В09.

13. Афанасьева, Т. Н. Об устойчивости и допустимости пар ( c0, c0 ) и ( 0, 0 ) для линейных разностных уравнений / Т. Н. Афанасьева // Материалы IV международной научной конференции Функционально – дифференциальные уравнения и их приложения. – Махачкала: ДГУ. – 2009. – С. 69-71.

14. Афанасьева, Т. Н. К вопросу о допустимости некоторых пар пространств для нелинейных разностных уравнений / Т. Н.

Афанасьева // Материалы Воронежской зимн. матем. шк. Современные методы теории функций и смежные вопросы. – Воронеж: ВГУ. – 2011. – С. 27-28.

15. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств для линейных разностных операторов и уравнений / Т. Н. Афанасьева // Материалы международного научного семинара Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения. – Ростов-на-Дону:

ЮФУ. – 2011. – С. 4-5.

16. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств для нелинейных разностных уравнений / Т. Н. Афанасьева // Материалы V международной научной конференции Функционально – дифференциальные уравнения и их приложения. – Махачкала: ДГУ. – 2011. – С. 57-58.

Работы [1] [3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать...0..2012. Формат 60х84 1/16.

Печать трафаретная. Усл.печ.л.1,3. Уч.-изд.л.Тираж 120 экз. Заказ №.

Тираж изготовлен в издательско-полиграфическом центре ФГБОУ ВПО Кубанский государственный университет, 350040 г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, с оригинал-макета заказчика.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.