WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Озодбекова Наджмия Бекназаровна

Распределение дробных частей значений многочлена аргумент, которого принимает значения из коротких интервалов

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе – 2012

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан

Научный консультант: доктор физико–математических наук, член-корреспондент АН РТ Рахмонов Зарулло Хусенович

Официальные оппоненты: Гриценко Сергей Алексендрович доктор физико-математических наук, профессор, Белгородский государственный университет, заведующий кафедрой алгебры, теории чисел и геометрии Чариев Умидилла кандидат физико–математических наук, Таджикский педагогический университет им. С.Айни, доцент кафедры алгебры и теории чисел,

Ведущая организация: Таджикский национальный университет

Защита состоится 31 октября 2012 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан (734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/4).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики АН РТ.

Автореферат разослан 28 сентября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Каримов У.Х.

Общая характеристика работы



Актуальность темы. Основным предметом исследования настоящей диссертации являются изучение поведения тригонометрических сумм Г.Вейля, переменное суммирование которых принимает значения из интервала малой длины, а также их применения к задаче распределения дробных частей значений многочлена аргумент, которого принимает значения из коротких интервалов.

Тригонометрической суммой называется конечная сумма S вида S = e(F (x1, x2,..., xr)) (1) где F (x1, x2,..., xr) вещественная функция от r переменных и суммирование ведется по целым точкам (x1, x2,..., xr) некоторой области n – мерного пространства. Основной проблемой при изучении сумм S является проблема установления верхней границы модуля S. Обозначим через T количество целых точек области . Так как модуль каждого слагаемого суммы (1) равен 1, то для |S| имеем тривиальную оценку |S| T, причем знак равенства здесь имеет место тогда и только тогда, когда все значения функции F (x1, x2,..., xr) имеют одну и ту же дробную часть.

Однако для весьма широких классов функций F (x1, x2,..., xr) и совокупностей оказывается возможным установить для |S| верхнюю границу, несравнимо более точную, чем указанная тривиальная, а именно границу вида |S| T , где с возрастанием числа целых точек области и возможным одновременным изменением вида функции F (x1, x2,..., xr) стремится к нулю. Этот множитель , отличающий такую границу от тривиальной, называется понижающим множителем.

Впервые тригонометрические суммы появились у Гаусса в одном из его доказательств закона взаимности квадратичных вычетов. Суммы, которые изучал Гаусс, имели вид (суммы Гаусса) q axS = e, (a, q) = 1.

q x=Гаусс полностью решил проблему поведения |S| и он дал точные выражения для |S|. Сумма Гаусса является частным случаем более общей полной рациональной тригонометрической суммы q f(x) S = e, (a, q) = 1 (2) q x=где f(x) = anxn +... + a1x, n > 1, (an,..., a1, q) = В случае простого q = p, p – простое число, Морделл1 дал для этой суммы оценку n |S| < np1-, которую А. Вейль2, следуя одной идее Хассе3, заменил следующей:

|S| < n p, Оценка А. Вейля в смысле порядка роста (при постоянном n) с возрастанием p, вообще говоря, неулучшаема можно указать неограниченное число случаев, когда модуль суммы будет не меньше чем p. Наилучшую оценку суммы (2) в случае составного q дал Хуа4. Он установил неравенство n |S| c(n)q1-.

Это неравенство замечательно тем, что при постоянном n в смысле порядка роста правой части с возрастанием q оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим. В.Н.Чубариков5 в 1976 г. получил оценки модуля кратной рациональной тригонометрической суммы.

Рациональная тригонометрическая сумма входит как частный случай в еще более общий класс сумм вида P S = S(n,..., 1) = e(f(x), ) (3) x=Mordel L.J. On a sum analogous ta o Gauss’s sum.Quart.J.Math. 3(1932), 161-1Weyl A. Foundations of algebraic geometry, Amer.Math.Soc.Colloquim Pub., 29 (1947).

Hasse H. Abstracte Begrnting der komplexen Multiplication und Riemannsche Vermutung in Funktlonenkrpern, Abh.math.Sem.Univ.Hamburg, 10 (1934), 325-348.

Hua L.K. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории в теории чисел. – М.: Мир, 1964,–190с.

Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат.заметки, 1976, Т.20, №1, с.61-68.

где f(x) = nxn +... + 1x, и n,..., 1 любые вещественные числа. Первый общий метод нахождения нетривиальных оценок сумм (3) дал Г. Вейль6, задолго до упомянутых результатов Морделла и Хуа. Поэтому этим суммам присвоено название суммы Г.Вейля. Существенным недостатком оценки Г.Вейля является быстрая потеря ее точности с возрастанием n. Тем не менее эта оценка сыграла заметную роль в развитии теории чисел: она позволила дать первые, хотя и далеко не совершенные решения ряда важных проблем этой области математики.

Одной из таких проблем явилась проблема распределения дробных частей значений многочлена f(t) = ntn +... + 1t. Отметим также, что проблема распределения дробных частей значений многочлена f(t) явилась одной из первых общих проблем математики, для своего решения потребовавшей создание метода тригонометрических сумм. Эта проблема тесно связана в свою очередь с понятием равномерного распределения по модулю, равному единице. Понятие равномерного распределения значений числовых последовательностей на отрезке также ввел в математику Г.





Вейль. Он доказал критерий равномерного распределения значений числовой последовательности на отрезке.

В 1934 г. И. М. Виноградов7 нашел новый метод в аналитической теории чисел. Этот метод не только позволил коренным образом усовершенствовать решения проблем, уже рассматривавшихся ранее с помощью других методов, но и открыл широкий путь к решению новых. Первым результатом, полученным новым методом (1934 г.), явилась принципиально новая верхняя граница для функции G(n) в проблеме Варинга, G(n) наименьшее значение r, при котором все целые N, начиная с некоторого N0, представляются в виде N = xn + xn +... + xn (4) 1 2 r Следующим результатом, полученным новым методом, явились принципиально новые оценки сумм Г. Вейля (1935 г.). Основу этих оценок составила “теорема о среднем И.М. Виноградова”.

Отметим, что оценками тригонометрических сумм Г.Вейля по методу И.М. Виноградова занимался также Хуа Ло-ген. В частности, он в явной форме выделил оценку среднего значения тригонометрической суммы из Weyl H. ber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Math. Ann, 1916, 77, s.313–352.

Виноградов И.М. Избранные труды. – М.: Изд-во АН СССР, 19общего метода оценки индивидуальных тригонометрических сумм. В 19году Ю.В.Линником8 было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа p. Другое p – адическое доказательство, то есть использующее свойства сравнений по модулю простого числа p, теоремы о среднем значении было получено А.А.Карацубой9 на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового p–адического метода И.М.Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм. Данная задача была решена Г.И.Архиповым10 в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В 1975г. Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков11 дали обобщение результатов Г.И.Архипова на кратный случай. В 1976г. В.Н.Чубариков12 получил оценки кратных тригонометрических интегралов и кратных полных рациональных тригонометрических сумм. В течение 80-х годов прошлого столетия Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубариков13 продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена). В 1987 г.

результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии “Теория кратных тригонометрических сумм”. В середине 80-х годов прошлого века В.Н.Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте.

Линник Ю В. Оценки сумм Вейля // ДАН СССР, 1942, Т.34, №7, c. 201-203.

Карацуба А.А. Проблема Варинга для сравнения по модулю, равному степени простого числа // Вестник МГУ, 1962, Сер.1, №1, с.28-38.

Архипов Г.И.Оценки двойных тригонометрических сумм // Труды МИАН им. В.А. Стеклова АН СССР, 1976, Т. 142, с. 46-66.

Архипов Г.И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы // Изв.АН СССР.Сер.мат., 1976, Т.40, с.209-220.

Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат.заметки, 1976, Т.20, №1, с.61-68.

Архипов Г.И.,Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения // Изв.АН СССР.Сер.мат., 1980, Т.44, с.723-781.

Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм.

–М.: Наука, 1987, –368с.

Чубариков В.Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1985, Т.49, №5. с. 1031-1067.

Английский математик Р.Вон,16 изучая суммы Г.Вейля вида a T (, x) = e (mn), = + , q , (a, q) = 1, || , q q mx методом Ван дер Корпута, доказал:

x S(a, q) + T (, x) = e (tn) dt + O q (1 + xn||), (5) q q akn S(a, q) = S0(a, q) = e.

q k=При условии, что очень хорошо приближается рациональным числом со знаменателем q, то есть при выполнении условии || 2nqxn-он также доказал:

x S(a, q) + T (, x) = e (tn) dt + O q. (6) q Поведение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля вида a T (, x, y) = e(mn), = + , (a, q) = 1, q , || , q q x-y

Цель работы. Целью работы являются изучение поведения тригонометрических сумм Г.Вейля, переменное суммирование которых принимает значения из интервала малой длины, а также их применения к задаче Vaughan R.C. Some remarks in Weyl sums. Coll. Math. Soc. Janos. Bolyani, Budapest 1981.

Рахмонов З.Х., Шокамолова Дж.А.Короткие квадратичные тригонометрические суммы Вейля // Известия АН РТ, отд.физ.-мат., хим., геол. и техн.наук, 2009, т.135, №2(135), с. 7-18.

Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Об оценках коротких тригонометрических сумм Г.Вейля // ДАН РТ, 2008, Т.51,№1, с.5–15.

Азамов А.З., Мирзоабдугафуров К.И., Рахмонов З.Х. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени // ДАН РТ, 2010, т.53, №10, с.737-744.

Рахмонов З.Х., Фозилова Д.М. Короткая кубическая тригонометрическия сумма Г.Вейля // Доклады АН РТ, 2011 г., том 54, №11.

распределение дробных частей значений многочлена аргумент, которого принимает значения из коротких интервалов.

Методика исследований. В работе используются методы аналитической теории чисел, в том числе • метод Ван дер Корпута об оценке специальных тригонометрических интегралов с применением формулы суммирования Пуассона;

• метод оценок тригонометрических сумм Г.Вейля;

• метод гармонического анализа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

• нахождение оценки коротких тригонометрических сумм Г.Вейля a T (, x, y) = e(mn), = +, (a, q) = 1, q , || , q q x-y

• найдена прямая зависимость оценки суммы T (, x, y) от величины , = - a/q – растояние между числом и приближающим ее рациональным числом a/q, если величина nxn-1 не очень близка к целому числу;

• распределение дробных частей значения многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов.

Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получения могут быть применены при решении задач теории чисел, в том числе аддитивных проблем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на общеинститутском семинаре, на семинаре по аналитической теории чисел под руководством члена–корреспондента АН РТ З.Х.Рахмонова в Институте математики АН РТ, на международных научных конференциях “Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел”, Белгород(2011), “Современные проблемы математики и ее приложения” (2011 г.), ”Современные проблемы математического анализа и теории функций” в Институте математики АН РТ (2012г);

на научно–исследовательском семинаре кафедры алгебры и теории чисел и на ежегодных апрельских конференциях в Таджикском национальном университете (2009-2011 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в научных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объ работы. Диссертация состоит из оглавления, ем списка обозначений, введения, двух глав и списка использованной литературы, включающего 66 наименований. Объ диссертации составляет ем 70 страницы компьютерной в ерстки в редакторе математических формул A LTEX.

Содержание диссертации.

Диссертация состоит из двух глав. Первая глава диссертации посвящена изучению поведения коротких тригонометрических сумм Вейля вида a T (, x, y) = e(mn), = + , (a, q) = 1, q , || , q q x-y

В теореме 1.1 найдены оценки коротких тригонометрических сумм Г.Вейля, если величина nxn-1 очень близка целому числу.

Теорема 1.1. Пусть 2n(n - 1)xn-2y, nxn-2 , тогда 2q имеет место соотношение S(a, q) + T (, x, y) = T (; x, y) + O q.

q Если старший коэффициент очень “близок” к рациональному числу a/q, то выполняется условие теоремы 1.1 о близости величины nxn-1 к целому числу, а для суммы T (; x, y) выполняется условие леммы, с помощью которого тригонометрическая сумма заменяется интегралом. Поэтому для коротких тригонометрических сумм Г.Вейля T (; x, y) у которых старший коэффициент очень “близок” к рациональному числу a/q имеет место:

Следствие 1.1.1. Пусть 2n(n - 1)xn-2y, || , тогда 2nqxn-имеет место соотношение y + T (, x, y) = S(a, q)(; x, y) + O(q ), q 0,n y (; x, y) = e x - + yt dt.

-0,Это следствие является обобщением оценки 8.

Доказательство теоремы 1.1 проводится методом оценки тригонометрических сумм Ван дер Корпута. Основным моментом в доказательстве этой теоремы является то, что тригонометрические интегралы вида x I(h, b) = e(fh(u, b))du, 1 b q - 1, x-y bu fh(u, b) = u3 - (nxn-1 - {nxn-1})u - - hu.

q хорошо оцениваются по причине того, что производная первого порядка функции fh(u, b) не очень близка к нулю.

В теореме 2.1 для коротких тригонометрических сумм Г.Вейля a T (, x, y) = e(mn), = + , (a, q) = 1, q , || , q q x-y

Теорема 2.1. Пусть 2n(n-1)xn-2y, nxn-1 >, тогда имеет 2q место оценка 1 1 1 n n n k k n |T (, x, y)| q1- ln q + min (yq-, - x1- q- ).

2kn Доказательство теоремы 1.2 проводится методом оценки тригонометрических сумм Ван дер Корпута с применением формулы суммирования Пуассона, оценки тригонометрических интегралов, оценки Хуа Ло-гена для полных рациональных тригонометрических сумм и следующего комбинаторного неравенства n-k W = (-1)kCn-1xn-1-kyk 0, n 3, 3x (n - 3)y.

k=Из теоремы 1.2 для коротких тригонометрических сумм Г.Вейля T (; x, y), у которых старший коэффициент не очень близок к рациональному числу a/q, получим следующее утверждение.

1 Следствие 1.2.1. Пусть 2n(n - 1)xn-2y, < || , n(n-1)qxn-1 q тогда имеет место оценка 1 1 1 1 n n k k n T (, x, y) q1- ln q + min yq-, x1- q.

2kn Следствие 1.2.1 также является обобщением теоремы Р.Вона относительно оценок коротких тригонометрических сумм Г.Вейля, в случае если старший коэффициент не очень близок к рациональному числу a/q.

Вторая глава диссертации посвящена изучению распределения дробных частей многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов.

Пусть – вещественное число, x > x0 > 1, y 0.0001x, 0 1.

Вводим следующие обозначения и понятия:

• F(x, y, ) – обозначает количество членов последовательности {mn} таких, что x - y < m x и {mn} < .

• F(x, y, µ, ) – обозначает количество членов последовательности {mn} таких, что x - y < m x и µ {mn} < , причем 0 µ < 1, то есть F(x, y, µ, ) = F(x, y, ) - F(x, y, µ);

• величина F(x, y, µ, ) D(x, y) = sup - (µ - ).

y 0µ<называется отклонением членов последовательности {mn} при x - y < m x • последовательность {mn} таких, что x - y < m x называется равномерно распределенной по модулю единица, если при y выполняется соотношение D(x, y) = o(1).

В теореме 2.1 задача об исследовании поведения функции F(x, y, ) сведется к оценке коротких тригонометрических сумм Г.Вейля вида T (h; x, y) = e(hmn).

x-y

Теорема 2.1. Пусть M ln3 x, тогда справедлива следующая асимптотическая формула y F(x, y, ) = y + O + max |T (h; x, y)| ln2 x.

M 1|h|M ln x Из теоремы 2.1 для функции F(x, y, µ, ) получаем следующее утверждение:

Следствие 2.1.1. Пусть M ln3 x, тогда справедлива следующая асимптотическая формула y F(x, y, µ, ) = ( - µ)y + O + max |T (h; x, y)| ln2 x.

M 1|h|M ln x Из теоремы 2.1 также для функции D(x, y) отклонение членов последовательности {mn} при x - y < m x, находим:

Следствие 2.1.2. Пусть M ln3 x, тогда справедлива следующая оценка 1 T (h; x, y) D(x, y) + max ln2 x.

M 1|h|M ln x y Понятие равномерного распределения значений числовых последовательностей на отрезке ввел в математику Г.Вейль. Он заложил основы теории равномерного распределения, которая получила дальнейшее развитие в теории чисел, в теории функций, классической механике. Мы вводим критерии Г.Вейля о равномерном распределении дробных частей значений многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов.

Из следствия 2.1.2 получаем следующий критерий равномерной распределенности по модулю единица для последовательности {mn}, при условии, что аргумент m принимает значения из короткого интервала (x - y, x].

Следствие 2.2.3. Последовательность {mn} таких, что x - y < m x является равномерно распределенной по модулю единица, если при y справедлива оценка y T (h; x, y) = o.

ln2 x Воспользовавшись леммой Гурвица при иррациональном , докажем теорему об асимптотической формуле для количества дробных частей членов последовательности {m2} таких, что x - y < m x и {m2} < .

Теорема 2.2. Пусть иррациональное число, 0 1, тогда для F(x, y, ) – количество членов последовательности {m2} таких, что x - y < m x и {m2} < , справедлива следующая асимптотическая формула + F(x, y, ) = y + O y ln2 x.

Из теоремы 2.2 для функции F(x, y, µ, ) получаем следующее утверждение:

Следствие 2.2.1. Пусть иррациональное число, тогда справедлива следующая асимптотическая формула + F(x, y, µ, ) = ( - µ)y + O y ln2 x Из следствия 2.2.2 для отклонения F (x, y, µ, ) D(x, y) = sup - (µ - ), y 0µ<членов последовательности {m2} при x - y < m x, получаем следующее утверждение:

Следствие 2.2.2. Пусть иррациональное число, тогда справедлива следующая оценка D(x, y) y- + ln2 x Из следствия 2.2.2 получаем следующий критерий равномерной распределенности по модулю единица для последовательности {m2}, при условии, что аргумент m принимает значения из короткого интервала (x - y, x].

Следствие 2.2.3. Пусть иррациональное число, тогда последовательность {m2} таких, что x - y < m x при y ln3 x, y является равномерно распределенной по модулю единица.

В заключении автор выражает благодарность З.Х.Рахмонову за научное руководство, постоянное внимание и помощь в работе.

Публикации по теме диссертации 1. Рахмонов З.Х., Озодбекова Н.Б. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля. Доклады АН РТ, 2011 г., т.54, №4, с.257-264.

2. Озодбекова Н.Б. Распределение дробных частей квадратичного многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов. Доклады АН РТ, 2012 г., т.55, №1, с.3-10.

3. Рахмонов З.Х., Озодбекова Н.Б. Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля Материалы международной конференции “Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел”, Белгород, 17-21октября 2011 г., с. 90-93.

4. Рахмонов З.Х., Озодбекова Н.Б. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля Материалы международной конференции “Современные проблемы математики и ее приложения”, посвященной 70-летию члена-корреспондента АН РТ Мухамадиева Э.М. Душанбе, 28-30 июня 2011г., с. 109-110.

5. Рахмонов З.Х., Озодбекова Н.Б. Распределение дробных частей квадратичного многочлена, аргумент которого принимает значения из коротких интервалов Материалы международной конференции “Современные проблемы математического анализа и теории функций”, посвященной 60 – летию академика АН РТ Шабозова М.И.

Душанбе, 29-30 июня 2012 г., с. 109-110.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.