WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

ОСИПОВ Александр Владимирович

ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В МНОЖЕСТВЕННО-ОТКРЫТЫХ ТОПОЛОГИЯХ

01.01.04 геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико–математических наук

Екатеринбург 2012

Работа выполнена в отделе алгебры и топологии Института математики и механики УрО РАН

Научный консультант: доктор физико–математических наук, профессор Николай Васильевич Величко

Официальные оппоненты: доктор физико–математических наук, профессор Анатолий Александрович Грызлов доктор физико–математических наук, профессор Сергей Порфирьевич Гулько член-корреспондент РАН, профессор Александр Георгиевич Ченцов

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Защита состоится 2012 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.03. в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан " " 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 004.006.03. от ИММ УрО РАН, кандидат физ.-мат. наук И.Н. Белоусов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Множество C(X) всех непрерывных вещественнозначных функций на тихоновском пространстве X обладает различными топологиями. Идея прозрачного описания предельного перехода во множестве функций достигается средствами общей топологии путем определения той или иной естественной топологии на множестве непрерывных функций C(X), отражающей свойства связываемых функциями пространств. На множестве C(X) топологии можно вводить несколькими неэквивалентными способами, и каждая из возникающих топологий имеет свои преимущества в определенных ситуациях.

Исторически изучение пространств непрерывных отображений из одного топологического пространства в другое активно ведется с конца прошлого века. Первые топологии на пространствах функций вводились с целью изучения различных видов сходимости функциональных последовательностей; это были топология поточечной сходимости и топология равномерной сходимости на всем пространстве. Первыми работами, посвященными этой тематике были статьи Асколи1, Арцела2 и Адамара3.

В 1906 году на пространстве отображений из топологического пространства X в произвольное метрическое пространство Y Фреше4 впервые рассмотрел supremum metric, и соответствующую ей топологию.

Топология равномерной сходимости на C(X) задается базой в каждой точке f C(X). Эта база состоит из всех множеств вида g C(X): sup{|g(x) - f(x)| < для всех x X}.

Естественным обобщением этой топологии является топология равномерной сходимости на элементах семейства (-топология), где фиксированное семейство непустых подмножеств пространства X. Базу -топологии в точке f C(X) образуют все множества вида g C(X): sup{|g(x) - f(x)| < для всех x F }, где F и > 0.

Если в качестве семейства взять все конечные подмножества пространства X, то получившаяся топология называется топологией потоAscoli G., "Le curve limite di una varieta data di curve". Mem. Accad. Lincei, 1883, v.(3)18, p.521 586.

Arzela G, "Funzioni di linee". Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti v.5, 1989, p.342 348.

Hadamard J., "Sur certaines applications possibles de la theorie des ensembles". Verhandle. Eastern Intern Math.Kongress, B.G.Teubner, Leipzig, 1898.

Frechet M., "Sur quelques points du calcul functionnel". Rend. del.Circ.Mat.di Palermo, 1906 p. 1 74.

чечной сходимости на пространстве Cp(X); если все компактные подмножества X топологией равномерной сходимости на компактах, или компактно-открытой на пространстве Cc(X).

В 1945 году Фокс5 определил компактно-открытую топологию Cc(X), предбазу которой образуют все множества вида {f C(X): f(F ) U}, где F компактное подмножество пространства X, а U открытое подмножество числовой прямой. Заметим, что топология поточечной сходимости может быть определена похожим образом: заменой в определении предбазы компактных подмножеств конечными.

В следующем, 1946 году Аренс6 ввел понятие допустимой топологии на C(X, Y ) (т.е. топологии, для которой непрерывно отображение вычисления), а в 1951 году Аренс и Дугунджи7 определили собственные топологии. В дальнейшем компактно открытая топология изучалась Джексоном8, Моритой, Келли10 и другими.

На пространствах непрерывных отображений рассматривались и другие типы топологий. В 1969 году Крикорян11 впервые рассмотрел тонкую топологию, которая является обобщением топологии, порожденной supremum metric. В дальнейшем эта топология исследовалась Эклундом12, МакКоем13 и другими топологами.

В конце 60-х годов активно изучалась топология графиков здесь окрестности функций из C(X, Y ) определяются окрестностью их графиков в X Y. Отождествляя функции с их графиками, MакКой14 рассматривал пространство C(X, Y ) как подпространство пространства заFox R. H., "On topologies for fuction spaces". Bull. Amer. Math. Soc., 1945, v.51, p. 429 432.

Arens R., "A topology of spaces of transformations". Annals of Math., 1946, v.47, p.480 495.

Arens R., Dugundji J., "Topologies for functions spaces". Pacific J. Math., 1951, v.1, p.5 31.

Jackson J. R., "Spaces of mappings on topological products with appliances to homotopy theory".

Proc. Amer. Math. Soc., 1952, v.3, p. 327 333.

Morita K., "Note of mapping spaces". Proc. Japon Acad., 1956, v.32, p.671 675.

Kelley J. L., "General topology". Van Nostrand, New York, 1955.

Krikorian N., "A note concerning the fine topology on function spaces". Composito Math., 1969, v.21, p.343 348.

Eclund A. D. The fine topology and other topologies on C(X, Y ). Dissertation, Virginia Politehnic Institute and State University, Blacksburg, Virginia, 1978.

McCoy R. A. The topology on function spaces. Intern.J.Math. and Math., Sci, 1986, v.9, p.4424.

McCoy R. A., Ntantu I., "Topological Properties of Spaces of Continuous Functions". Berlin: SpringerVerlag, Lecture Notes in Mathematics, 1315, 1988, 124pp.

мкнутых подмножеств произведения X Y, наделенное топологией Вьеторисса.

И все же наиболее известные топологии на пространстве отображений C(X, Y ) это топология поточечной сходимости и компактно-открытая, главное достоинство которых состоит в том, что они линейны. Существует несколько естественных обобщений этих топологий: множественнооткрытая топология, слабо множественно-открытая топология и топология равномерной сходимости на элементах семейства подмножеств пространства X. Некоторые свойства этих топологий и их взаимотношения описаны в работах Маккой и Нтанту15 и А.В. Архангельского16.

Множественно-открытой топологии и топологии равномерной сходимости посвящены кандидатские диссертации М.О. Асанова17, С.Э. Нохрина18 и М.И. Альперина19 в которых установлено несколько тождеств, связанных с кардинальнозначными инвариантами пространства функций.

Множественно-открытая топология является обобщением компактнооткрытой топологии и топологии поточечной сходимости. Множественнооткрытая топология на семействе непустых подмножеств пространства X (-открытая топология) была впервые введена Р. Аренсом и Ж. Дугунджи. Предбазу -открытой топологии образуют все множества вида {f C(X): f(F ) U}, где F , а U открытое подмножество числовой прямой.

Топология равномерной сходимости на семействе ограниченных подмножеств (ограниченно-открытая топология) была определена в 19г. Бухвалтером21. Предбазу такой топологии образуют все множества вида {f C(X): f(F ) U}, где F ограниченное подмножеMcCoy R. A., Ntantu I., "Topological Properties of Spaces of Continuous Functions". Berlin: SpringerVerlag, Lecture Notes in Mathematics, 1315, 1988, 124pp.

Архангельский А.В., "Пространства отображений и кольца непреывных функций". Итоги науки и техники, фундаментальные направления, т.51, с.81 172.

Асанов М.O., "Пространство непрерывных отображений". диссертация на соискание ученой степени к.ф-м.н., Свердловск, 1980г.

Нохрин С.Э., "Пространство непрерывных функций в множественно-открытых топологиях". диссертация на соискание ученой степени к.ф-м.н., Екатеринбург, 1997г.

Альперин М.И., "Вложение пространств функций". диссертация на соискание ученой степени к.ф-м.н., Екатеринбург, 1994г.

Arens R., Dugundji J., "Topologies for functions spaces". Pacific J. Math., 1951, v.1, p.5 31.

Buchwalter H., "Parties barnes d’un espace topologique compltment rgulier". Sem. Choquet:

1969/70. Initiation l’ Analyse Fasc. 2, Exp. 14. Paris: Secrtariat mathmatique, 1970. 15 p.

ство пространства X, а U открытое подмножество числовой прямой.

Слабо множественно-открытая (слабо -открытая) топология на семействе произвольных подмножеств является естественным обобщением ограниченно-открытой топологии. Предбазу слабо -открытой топологии образуют все множества вида {f C(X): f(F ) U}, где F , а U открытое подмножество числовой прямой.

Основными объектами исследования диссертационной работы являют ся пространства C(X) и C (X) всех непрерывных вещественнозначных функций в -открытой и слабо -открытой топологиях.

Почти все вопросы, исследуемые в диссертации, имеют следующий общий вид: какими свойствами должны обладать пространство X и семей ство , чтобы пространства C(X) и C (X) обладали теми или ины ми "хорошими" свойствами. И наоборот, пусть C(X) (или C (X)) в каком-либо смысле "хорошее" пространство. Что можно в этом случае сказать об топологических свойствах пространства X и семействе ? Рассматривая эти вопросы, видим, что пространства X и C(X) не равноправны: на X есть только топологическая структура, в то время как C(X) несет топологию и две естественные алгебраические операции сложения и умножения.

Это позволяет рассматривать C(X) (или C (X)) в зависимости от семейства как топологическое пространство, как топологическое кольцо, топологическую группу или как линейное топологическое пространство, что открывает возможность исследовать свойства пространства X и семейства в соответствии с тем, определяются ли они алгебраической структурой кольца C(X), зависят ли от свойств C(X) как линейного топологического пространства или могут быть полностью охарактеризованы чисто топологическими свойствами пространства C(X).

Цель работы. Работа посвящена исследованию топологоалгебраических свойств множества C(X), наделенного множественнооткрытой или слабо множественно-открытой топологией.

Целью работы является решение следующих задач.

1) Выделение свойств пространства X и семейства , которые характеризуются одними лишь топологическими свойствами C(X).

2) Выделить свойства пространства X и семейства , отвечающие свойствам топологического векторного пространства C(X).

3) Какие свойства X и семейства зависят от свойств C(X) именно как топологического кольца или топологической алгебры? 4) Найти свойства пространства X и семейства , характеризующиеся одними групповыми свойствами C(X).

5) Исследовать аналогичные вопросы для множества C(X) в слабо множественно-открытой топологии.

6) Изучить свойства семейства при котором множественно-открытая (слабо множественно-открытая) топология совпадает с топологией равномерной сходимости на семействе .

7) Найти внутренние характеристики S(n) компактно функционально замкнутых (S(n)CF C) пространств.

8) Исследовать вопрос о мультипликативности подклассов неуплотняемых пространств.

Основной метод исследования. В диссертации используются методы общей топологии, функционального анализа и теории множеств, развитые в работах отечественных и зарубежных математиков.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

1) Определяется секвенциально компактно-открытая топология на множестве C(X) и исследуются взаимоотношения этой топологии с компактно-открытой топологией.

2) Исследуется вопрос о совпадении -открытой топологии и топологии на множестве C(X, Y ), где Y метризуемое топологическое векторное пространство (ТВП) или дискретное пространство.

3) Получены свойства семейства необходимые и достаточные для того чтобы пространство C(X, Y ), где Y метризуемое ТВП, являлось топологической группой, ТВП, топологической алгеброй.

4) Определяется C-компактно-открытая топология на множестве C(X) и изучаются топологические свойства пространства Crc(X) такие, как субметризуемость, сепарабельность, метризуемость, полнота по Чеху, вторая и первая аксиомы счетности и другие.

5) Строится пример топологического пространства X у которого множество функций C(X) обладает различными (не гомеоморфными) классическим множественно-открытыми топологиями.

6) Получены свойства семейства необходимые и достаточные для того чтобы множество C(X, Y ), наделенное слабо множественно-открытой топологией, являлось топологической группой, ТВП, топологической алгеброй.

7) Получен ответ на вопрос Н.В.Величко22 о существовании внутрен него (без привлечения X) критерия для веса пространства C (X).

8) Получен ответ на вопрос Н.В.Величко23 о компактности семейства при условии, что пространство C (X) линделёфовое и уплотняется на пространство Cp(X).

9) Решается задача Фредлера, Джироу, Петтей и Портера24 о внутренней характеризации минимально урысоновских пространств.

10) Определяются новые классы неуплотняемых и функционально замкнутых пространств S(n)F C и S(n)CF C-пространства.

11) Получен ответ на вопрос Фредлера, Джироу, Петтей и Портерао внутренней характеризации минимально регулярных пространств.

12) Решается проблема 1984 года, поставленная Дикманом и Портером26, о произведении CF C-пространств.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применение при дальнейшем исследовании тополого-алгебраических свойств функциональных пространств в общей топологии, теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе, топологической алгебре и теории меры.

Апробация результатов работы. Основные положения и работа в целом докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах.

N.V. Velichko, "-Topologies on Function Spaces". Journal of Mathematical Sciences, 131, No. 4, (2005), pp. 5701-5737, Вопрос 1.

Там же. Вопрос 4.

L. M. Friedler, M. Girou, D. H. Pettey and J. R. Porter, "A survey of R-, U-, and CH-closed spaces Topology Proceedings, (1992), Vol. 17, 71–96, Question 40.

Там же. Question 39.

R.F. Dickman, J.R. Porter, "Between minimal Hausdorff and compact Hausdorff spaces". Topology Proceedings (1984), Vol. 9, 243–268.

1) Международной конференции посвященной памяти Л.В. Келдыш (г. Москва, 2004).

2) Всероссийской молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики"(г. Екатеринбург, 1998-2011).

3) International conference on topology and its applications (Aegion, Greece, 2006).

4) Первом Российском Научном Форуме "Демидовские чтения"на Урале (г. Екатеринбург, 2006).

5) Международной конференции по математике и механике, посвященной 130-летию Томского государственного университета (г. Томск, 2008).

6) International conference on topology and its applications (Brno, Czech Republic, 2009).

7) International conference on topology and its applications (Nafpaktos, Greece 2010).

8) Международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Старостина (г. Екатеринбург, 2011).

9) International conference on topology and its applications (Islamabad, Pakistan, 2011).

10) 11th Prague Topological Symposium (Praga, Czech Republic, 2011).

11) Международной молодежной школе-конференции "Современные проблемы математики"(г. Екатеринбург, 2012).

12) На топологическом семинаре под руководством Н.В. Величко в ИММ УрО РАН (г. Екатеринбург).

13) На топологическом семинаре кафедры общей топологии и геометрии под руководством В.В. Федорчука в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова (г. Москва).

14) На семинаре по топологии и функциональному анализу под руководством С.П. Гулько в Томском государственном университете (г.Томск).

15) На топологическом семинаре под руководством А.А.Грызлова в Удмуртском государственном университете (г. Ижевск).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 30 печатных работ, список которых представлен в конце автореферата, 12 из них представлены в изданиях из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырёх глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Ссылка на теорему 2.1.5 означает, что эта теорема находится в параграфе 1 главы 2. Объем диссертации составляет 180 страниц машинописного текста и содержит 100 библиографических ссылок.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ В первом параграфе первой главы определяется секвенциально компактно-открытая топология на множестве C(X).

Секвенциальная компактность и счетная компактность равносильны в классе секвенциальных T1-пространств и, в частности, T1-пространств с первой аксиомой счетности.

Напомним, что множество A называется ограниченным (C- компактным) подмножеством в X, если для любой f C(X) образ f(A) ограничен (компактен) в числовой прямой R.

Пространство X называют субметризуемым, если существует уплотнение f : X Y, где Y метризуемое пространство.

В теореме 1.1.1. доказывается, что семейство всех C-компактных подмножеств субметризуемого пространства X совпадает с семейством метризуемых компактных подмножеств пространства X, а также совпадает с семейством всех замкнутых ограниченых подмножеств пространства X.

Теорема 1.1.1. Пусть X субметризуемое пространство, и пусть A подмножество X. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) A компакт;

2) A метризуемый компакт;

3) A секвенциальный компакт;

4) A счётно компактное подмножество;

5) A псевдокомпакт;

6) A C-компактное подмножество;

7) A замкнутое и ограниченное.

Пусть SC(X) семейство всех секвенциально компакных подмножеств X. Предбазу секвенциально компактно-открытой (sc-топологии) топологии образуют все множества вида {f C(X) : f(F ) U}, где F SC(X), а U открытое подмножество числовой прямой. Топологическое пространство C(X) с sc-топологией будем обозначать Csc(X).

Для любого f C(X), A SC(X) и > 0 обозначим f, A, = {g C(X) : |f(x) - g(x)| < для всех x A}. Тогда для любого f C(X) семейство { f, A, : A SC(X), > 0} образует базу в точке f. Семейство { f, A, : f C(X), A SC(X), > 0} образует базу топологии равномерной сходимости на семействе SC(X). Множество C(X) с топологией равномерной сходимости на семействе SC(X) будем обозначать как Csc,u(X).

Теорема 1.1.4. Для произвольного тихоновского пространства X выполняется Csc(X) = Csc,u(X).

Следующая теорема 1.1.9. характеризует пространство X при котором sc-топология совпадает с топологией равномерной сходимости Cu(X).

Теорема 1.1.9. Csc(X) = Cu(X) тогда и только тогда, когда в X есть всюду плотное секвенциально компактное подмножество.

Отметим, что для пространства X, обладающего всюду плотным секвенциально компактным подмножеством, свойства сепарабельность, счетность числа Суслина и линделёфовость пространства Csc(X) эквивалентны.

Теорема 1.1.13. Пусть X содержит плотное секвенциально компактно подмножество. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Csc(X) имеет счетное число Суслина;

2) Csc(X) сепарабельно;

3) Csc(X) линделёфово;

4) X метризуемый компакт.

Второй параграф первой главы посвящен исследованию вопроса о совпадении -открытой и -топологии на множестве C(X, D()), где D() дискрет мощности .

Если Y метрическое пространство с метрикой , а семейство подмножеств X, то на множестве C(X, Y ) определены -топология и открытая топология.

Базу -топологии в точке f C(X, Y ) образуют все множества вида < f, F, > = {g C(X, Y ) : a < x F (f(x), g(x)) a}, где F , > 0.

Предбазу -открытой топологии образуют все множества вида [F, U] = {f C(X, Y ) : f(F ) U}, где F , а U открытое подмножество Y.

Множество C(X, Y ) c -открытой и -топологией будем обозначать через C(X, Y ) и C,u(X, Y ) соответственно.

Определение 1.2.3. Пусть A X и Y произвольное пространство.

Множество A будем называть Y -компактным, если для любого непрерывного отображения f C(X, Y ) множество f(A) компактно в Y.

Следующая теорема отвечает на вопрос о совпадении этих топологий в случае, когда Y дискретное метрическое пространство ((y1, y2) = при любых y1 = y2 из Y ).

Теорема 1.2.5. Пусть Y дискретное метрическое пространство.

Тогда C(X, Y ) = C,u(X, Y ) в том и только том случае, когда выполнены одновременно два условия:

1) состоит из Y -компактных множеств;

2) для любого элемента F и любого открыто-замкнутого в X множества U, пересекающего F, найдётся F1, F2,..., Fn конечное чисn ло элементов семейства , таких что Fi U и для любого открытоi=n замкнутого V U такого, что V F = следует, что V ( Fi) = .

i=Для нульмерного пространства X и дискретного двоеточия D = {0, 1} получаем следующее следствие.

Следствие 1.2.8. Пусть пространство X нульмерно, а замкнуто относительно конечных объединений. Тогда C,u(X, D) = C(X, D) в том и только том случае, когда для любого открыто-замкнутого U X найдётся F , замыкание которого совпадает с пересечением и множества U.

В третем параграфе рассматривается множество C(X, Y ) непрерывных отображений из топологического пространства X в метризуемое векторное пространство (Y, ), наделённое множественно-открытой (-открытой) топологией или топологией равномерной сходимости на семействе (-топология).

Маккой и Нтанту27 получили следующий результат.

Предложение 1.3.1. Если состоит из компактных множеств, то C,u(X, Y ) C(X, Y ). Если дополнительно наследственно замкнуто (т.е. вместе с каждым своим элементом содержит все его замкнутые подмножества), то эти топологии совпадают.

В случае Y = R предложение 1.3.1. было усиленно Нохриным28.

Предложение 1.3.2. C,u(X) C(X) тогда и только тогда, когда состоит из C-компактных множеств.

Предложение 1.3.2. показывает, что C-компактность элементов семейства является существенным свойством при рассмотрении вопросов о совпадении -открытой и -топологии на пространствах функций.

Отметим некоторые свойства C-компактных подмножеств.

В случае A = X свойство множества A быть C-компактным совпадает с псевдокомпактностью пространства X. Очевидно, что любое псевдокомпактное подмножество является C-компактным и любое C-компактное множество является ограниченным.

Отметим, что существует пример 1.3.3. ( пространство ИсбелаМрувка-Фролика), в котором понятия псевдокомпактность, C- компактность и ограниченность отличаются даже для замкнутых подмножеств.

Утверждение 1.3.7. Пересечение C-компактного множества и нуль-множества является C-компактным множеством.

Утверждение 1.3.8. Если A X C-компактное множество, то A также R-компактное множество (т.е. для любой непрерывной функции, действующей из X в R образ A является компактным подмножеством R).

Теорема 1.3.9. Множество A является C-компактным подмножеством X тогда и только тогда, когда из любого счетного McCoy R.A., Ntantu I., "Topological properties of spaces of continuous functions. Lecture Notes in Mathematics". 1315. Berlin: Springer-Verlag, 1988. 124 p.

Нохрин С. Э. "Пространство непрерывных функций в множественно-открытых топологиях".

Диссертация на соискание ученой степени к.ф-м.н., Екатеринбург, 1997г.

функционально- открытого покрытия множества A можно выделить конечное подпокрытие.

Пусть дано семейство не пустых подмножеств пространства X, тогда обозначим через (C) = {A : для любого C-компактного подмножества B пространства X такого, что B A, множество [B, U] открыто в C(X, Y ) для любого открытого множества U пространства Y }.

Очевидно, что для разных семейств и µ, -открытая топология может совпадать c µ-открытой топологией т.е., C(X, Y ) = Cµ(X, Y ). Обо значим для фиксированного семейства через m = {µ : Cµ(X, Y ) = C(X, Y )}. Семейство m является единственным максимальным семейством, порождающим -открытую топологию.

Следующая теорема отвечает на вопрос о совпадении множественнооткрытой топологии и топологии равномерной сходимости на множестве C(X, Y ), где Y метризуемое топологическое векторное пространство.

Теорема 1.3.10. Пусть -сеть пространства X и Y метризуемое топологическое векторное пространство. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) C(X, Y ) = C,u(X, Y );

2) -открытая топология на C(X, Y ) инвариантна относительно сдвигов;

3) C(X, Y ) паратопологическая группа;

4) C(X, Y ) топологическая группа;

5) C(X, Y ) топологическое векторное пространство;

6) состоит из C-компактных подмножеств и = (C);

7) m состоит из C-компактных подмножеств и замкнуто относительно C-компактных подмножеств пространства X.

Более того, если Y является топологической алгеброй, то 8) C(X, Y ) топологическая алгебра.

Заметим, что теорема 1.3.10. выявляет свойства необходимые и достаточные для семейства при которых пространство C(X, Y ) является топологической группой, топологическим векторным пространством и топологической алгеброй.

Отметим, что для доказательства теоремы 1.3.10. применялись некоторые утверждения, которые имеют самостоятельный интерес.

К таким утверждениям относятся лемма 1.3.12., теорема 1.3.13. и теорема 1.3.14.

Лемма 1.3.12. Пусть семейство состоит из C-компактных множеств и C(X, Y ) = Cµ(X, Y ) для некоторого семейства µ. Тогда µ состоит из C-компактных множеств.

Теорема 1.3.13. Пусть семейство подмножеств такое, что C(X, Y ) = C,u(X, Y ). Тогда, семейство m замкнуто относительно C-компактных подмножеств т.е., для любого C-компактного подмножества B A, где A m следует, что B m.

Теорема 1.3.14. Предположим, что семейство состоит из C компактных подмножеств X таких, что A F для A и любого нуль-множества F с условием, что A IntF = . Тогда, C(X, Y ) = C,u(X, Y ).

Если Y = R, то теорема 1.3.10. имеет следующий вид.

Следствие 1.3.19. Пусть -сеть пространства X. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) C(X) = C,u(X);

2) -открытая топология инвариантна относительно сдвигов;

3) C(X) паратопологическая группа;

4) C(X) топологическая группа;

5) C(X) топологическое векторное пространство;

6) состоит из C-компактных подмножеств и = (C);

7) m состоит из C-компактных подмножеств и замкнуто относительно C-компактных подмножеств пространства X;

8) C(X) топологическая алгебра.

По теореме 1.1.1. следует, что для субметризуемых пространств X из того, что множественно-открытая топология на C(X) (или на C(X, Y ) для Y метризуемого ТВП) является инвариантной относительно сдвигов следует, что состоит из метризуемых компактных подмножеств и семейство замкнуто относительно замкнутых подмножеств.

Так как любое замкнутое ограниченное подмножество P -пространства является конечным, то при инвариантности относительно сдвигов множественно-открытой топологии на множестве C(X, Y ), где X P -пространство, следует, что состоит из конечных подмножеств. Если при этом = X, то C(X, Y ) = Cp(X, Y ).

В четвёртом параграфе первой главы изучаются свойства пространства C(X) в предположении, что C(X) топологическая группа.

Пусть G топологическая группа (относительно сложения) и бесконечный кардинал. Тогда G вполне -ограничена, если для каждой окрестности U группового нулевого элемента в G существует подмножество S из G такое, что |S| и G = {s + u: s S и u U}. Заметим, что G вполне -ограничена тогда и только тогда, когда G изоморфна подгруппе группы с числом Суслина, не превосходящим . Отметим, что Cp(X) обладает счетным числом Суслина и, значит, является вполне 0ограниченным.

X X Пусть w(X) = sup{w(A ): A }, где A замыкание в Хьюиттовском пополнении X множества A. Следующий результат является критерием вполне -ограниченности для топологической группы (по сложению) C(X).

Теорема 1.4.1. Пространство C(X) вполне -ограничено тогда и только тогда, когда w(X) .

Через l(C(X)) и c(C(X)) обозначим число Линделёфа и число Суслина пространства C(X) соответственно.

Теорема 1.4.3.Пусть X произвольное пространство. Тогда 1. Если l(C(X)) , то w(X) и w(X) .

2. Если c(C(X)) , то w(X) и w(X) .

Для = 0 получаем критерий без привлечения пополнения по Хьюитту X.

Теорема 1.4.4. Топологическая группа C(X) вполне 0-ограничена тогда и только тогда, когда семейство метризуемых компактных подмножеств пространства X.

Следствие 1.4.5. Пространство C(X) топологически изоморфно подгруппе топологической группы со счетным числом Суслина тогда и только тогда, когда семейство метризуемых компактных подмножеств в пространстве X.

Следствие 1.4.6. Если C(X) линделёфовая топологическая группа, то семейство метризуемых компактных подмножеств пространства X.

Вторая глава полностью посвящена C-компактно-открытой топологии на пространстве C(X). Важность этой топологии была замечена в теореме 1.3.10. Действительно, C-компактно-открытая топология на множестве C(X) является максимальной среди всех множественно-открытых топологий при которых C(X) является топологической группой, топологическим кольцом, топологической алгеброй или локально выпуклым топологическим векторным пространством.

Обозначим через RC(X) множество всех C-компактных подмножеств пространства X. Если семейство = RC(X), то множество C(X), наделённое C-компактно-открытой топологией, будем обозначать через Crc(X). Заметим, что по теореме 1.3.10., Crc(X) = Crc,u(X).

Топологию равномерной сходимости на семействе можно определить и другим путем. Для любого A определим полунорму pA на C(X):

pA(f) = sup{|f(x)|: x A}.

Для любых A и > 0 положим VA, = {f C(X): pA(f) < } и = {VA, : A , > 0}.

Очевидно, что для каждой точки f C(X) семейство f + = {f + V : V } является базой в точке f. Так как топология определяется семейством полунорм, она локально выпукла.

Таким образом, Crc(X) является локально выпуклым пространством.

Во втором параграфе второй главы строятся примеры пространств на пространстве функций которых -открытые топологии различаются.

Далее используются следующие обозначения подсемейств ограниченных подмножеств пространства X.

F (X) семейство всех конечных подмножеств X.

MK(X) семейство всех метризуемых компактных подмножеств X.

K(X) семейство всех компактных подмножеств X.

SC(X) семейство всех секвенциально компакных подмножеств X.

CC(X) семейство всех счетно-компактных подмножеств X.

P S(X) семейство всех псевдокомпактных подмножеств X.

RC(X) семейство всех C-компактных подмножеств X.

B(X) семейство всех ограниченных подмножеств X.

Заметим, что F (X) MK(X) K(X) CC(X) P S(X) RC(X) B(X) и F (X) MK(X) SC(X) CC(X).

Соответствующие топологические пространства C(X) будем обозначать:

Cp(X) при = F (X) (топология поточечной сходимости);

Cmk(X) при = MK(X) (топология равномерной сходимости на метризуемо компактных подмножествах);

Cc(X) при = K(X) (компактно-открытая топология);

Csc(X) при = SC(X) (секвенциально-компактно-открытая топология или sc-топология);

Ccc(X) при = CC(X) (счетно-компактно-открытая топология);

Cps(X) при = P S(X) (псевдокомпактно-открытая топология);

Crc(X) при = RC(X) (C-компактно-открытая топология).

Топологическое пространство C(X) с ограниченно-открытой топологией на семействе всех ограниченных подмножеств пространства X будем обозначать через Cb(X). Напомним, что предбазу ограниченно -открытой топологии (в отличии от -открытой топологии) образуют все множества вида {f C(X): f(F ) U}, где F ограниченное подмножество пространства X, а U открытое подмножество числовой прямой.

Следующая диаграмма иллюстрирует различные взаимоотношения между -открытыми топологиями и ограниченно-открытой топологией.

X Cp(X) Cmk(X) Cc(X) и Csc(X) Ccc(X) Cps(X) Crc(X) Cb(X) Cu(X) Пр.2.2.1 Cp(X) < Cmk(X) = Cc(X) < Csc(X) = Ccc(X) = Cps(X) = Crc(X) = Cb(X) = Cu(X) Пр.2.2.2 Cp(Y ) = Cmk(Y ) = Csc(Y ) < Cc(Y ) = Ccc(Y ) = Cps(Y ) = Crc(Y ) = Cb(Y ) = Cu(Y ) Пр.2.2.3 Cp(Z) < Cmk(Z) < Cc(Z) <> Csc(Z) < Ccc(Z) = Cps(Z) = Crc(Z) = Cb(Z) = Cu(Z) Пр.2.2.4 Cp(X) < Cmk(X) < Cc(X) = Csc(X) = Ccc(X) = Cps(X) = Crc(X) = Cb(X) = Cu(X) Пр.2.2.6 Cp(X) = Cmk(X) = Csc(X) = Cc(X) < Ccc(X) = Cps(X) = Crc(X) = Cb(X) = Cu(X) Пр.2.2.7 Cp(X) < Cmk(X) = Csc(X) = Cc(X) = Ccc(X) < Cps(X) = Crc(X) = Cb(X) = Cu(X) Пр.2.2.8 Cp(X) < Cmk(X) < Csc(X) < Cc(X) < Ccc(X) < Cps(X) = Crc(X) = Cb(X) = Cu(X) Пр.2.2.9 Cp(G) < Cmk(G) < Cc(G) < Csc(G) < Ccc(G) < Cps(G) = Crc(G) = Cb(G) = Cu(G) Пр.2.2.12 Cp(Z) < Cmk(Z) < Cc(Z) < Csc(Z) < Ccc(Z) < Cps(Z) < Crc(Z) < Cb(Z) < Cu(Z) X субметризуемое Cmk(X) = Cc(X) = Csc(X) = Ccc(X) = Cps(X) = Crc(X) = Cb(X) Третий параграф второй главы посвящен метризуемости и свойствам типа счетности пространства Crc(X).

Определение 2.3.10. Пространство X называется -Cкомпактным, если в X существует последовательность {An} C компактных подмножеств таких, что X = An. Пространство X n=называется почти -C-компактным, если в X существует плотное -C-компактное подмножество.

Каждое компактное (псевдокомпактное) подмножество в субметризуемом пространстве является G-множеством. Пространство X называется E0-пространством, если каждая его точка является G-множеством. Субметризуемые пространства являются E0-пространствами.

Следствие 2.3.14. Для любого пространства X следующие утверждения эквивалентны.

1. Crc(X) субметризуемо.

2. Crc(X) есть E0-пространство.

3. X почти -C-компактно.

Пространство X (точечно) счетного типа, если любое компактное множество (любая точка) содержится в компактном множестве счетного типа.

Пространство X называют q-пространством, если для каждой точки x X существует последовательность {Un : n N} окрестностей точки x такая, что если xn Un для каждого n, то последовательность {xn : n N} имеет предельную точку.

Более сильным свойством, чем быть q-пространством, является свойство быть M-пространством. Пространство X называют M- пространством, если X может быть отображено на метрическое пространство квази-совершенным отображением (т. е. непрерывным замкнутым отображением, в котором полный прообраз любой точки счетно компактен).

Пространство X назовем хеми-C-компактным, если существует последовательность C-компактных подмножеств {An : n N} в X такая, что для любого C-компактного подмножества A существует n0 N такое, что A An.

Следующее утверждение характеризует метризуемость пространства Crc(X) через топологические свойства пространства X.

Следствие 2.3.18. Для любого пространства X следующие утверждения эквивалентны.

1. Crc(X) метризуемо.

2. Crc(X) первой счетности.

3. Crc(X) счетного типа.

4. Crc(X) точечно счетного типа.

5. Crc(X) имеет плотное подмножество точечно счетного типа.

6. Crc(X) M-пространство.

7. Crc(X) q-пространство.

8. X хеми-C-компактно.

Следующая теорема характеризует свойство сепарабельности пространства Crc(X).

Теорема 2.3.19. Пусть сеть из C-компактных подмножеств пространства X. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1. C(X) сепарабельно.

2. Crc(X) сепарабельно.

3. Cc(X) сепарабельно.

4. Cp(X) сепарабельно.

5. X уплотняется на сепарабельное метризуемое пространство.

6. X субметризуемо и плотность d(X) не превосходит 2.

В четвертом параграфе второй главы исследуются свойства типа полноты пространства Crc(X).

Топология равномерной сходимости на C-компактных подмножествах пространства X индуцирована равномерностью равномерной сходимости на этих подмножествах. Напомним, что равномерное пространство E полно в том и только том случае, если каждый фильтр Коши в E сходится к точке пространства E.

Для характеризации полноты равномерного пространства Crc(X) необходимо определить rc-непрерывные функции и rcf-пространства.

Определение 2.4.1. Функцию f : X R будем называть rc- непрерывной, если для каждого C-компактного подмножества A X, существует непрерывная функция g : X R такая, что g|A = f|A. Пространство X будем называть rcf-пространством, если каждая rc-непрерывная функция на X является непрерывной.

Теорема 2.4.2. Равномерное пространство Crc(X) является полным тогда и только тогда, когда X является rcf-пространством.

Так как Crc(X) локально выпуклое пространство, Crc(X) является бэровским пространством, тогда и только тогда, когда Crc(X) второй категории. Так как локально выпуклое бэровское пространство является бочечным, мы найдем необходимое условие для того, чтобы Crc(X) было бочечным. Напомним, что локально выпуклое пространство X называется бочечным, если каждая бочка (замкнутое выпуклое уравновешенное поглощающее множество) в X является окрестностью 0X.

Теорема 2.4.3. Пусть пространство Crc(X) бочечно. Тогда каждое ограниченное подмножество пространства X содержится в Cкомпактном подмножестве X.

Получаем следующую характеристику метризуемости полной метрикой пространства Crc(X).

Теорема 2.4.5. Для любого пространства X эквивалентны следующие утверждения.

1. Crc(X) метризуемо полной метрикой.

2. Crc(X) полно по Чеху.

3. Crc(X) локально полно по Чеху.

4. Crc(X) открытый нерерывный образ паракомпактного полного по Чеху пространства.

5. Crc(X) открытый нерерывный образ полного по Чеху пространства.

6. X хеми-C-компактное rcf-пространство.

Пятый параграф второй главы исследует свойства локальновыпуклого пространства Crc(X) с точки зрения теории меры.

Функциональное пространство C(X), также как C(X), является векторной решеткой частично упорядоченным вещественным векторным пространством с отношением порядка: f g, если f(x) g(x) для всех x X. Обозначим f+(x) = max{f(x), 0} и f-(x) = max{-f(x), 0} для всех x X. Линейный функционал на C(X) (или C(X)) называется положительным, если (f) 0 для каждого f C(X) (или для каждого f C(X)) такого, что f 0. Будем обозначать положительный линейный функционал как 0 и множество положительных функционалов +(X) = { j(X) : 0}, где j = c, ps, rc, , будем называть j положительным конусом j(X).

Пусть линейный функционал на C(X) (или на C(X)) и A подмножество пространства X, тогда supp=A значит, что имеет носитель A, то есть для любого f C(X) (f C(X)) с условием f|A = выполняется, что (f) = 0. Заметим, что в силу линейности , равенство supp=A эквивалентно, что для любых f, g C(X) (или f, g C(X)) с условием f|A = g|A выполняется, что (f) = (g).

Теорема 2.5.1. Для каждого rc(X) существует C-компактное подмножество A пространства X такое, что supp=A. Верно и обратное, если положительный линейный функционал на C(X) c носителем на некотором C-компактном подмножестве, тогда + (X).

rc Напомним, что линейный функционал на пространстве C(X) (или C(X)) называется ограниченым, если для каждого g C(X) (или C(X)) g 0 существует M > 0 такое, что |(f)| M выполняется для всех f C(X) (f C(X)) при условии |f| g. Ясно, что каждый положительный линейный функционал на C(X) или на C(X) является ограниченным. Множество всех ограниченых линейных функционалов на C(X) (на C(X)) обозначим как C(X) (C(X)) и будем называть порядково ограниченным сопряженным к C(X) (C(X)).

Теорема 2.5.3. Для любого пространства X, 1. rc(X) C(X), 2. (X) = C(X).

Далее определим естественную норму на пространстве rc(X) которая согласуется с решетчетой структурой, то есть rc(X) будет рассматриваться как нормированная векторная решетка.

Напомним, что (X) пространство всех непрерывных линейных функционалов на банаховом пространстве C(X). Положим на пространстве (X) норму = sup{|(f)| : f C(X) и f 1}. Заметим, что тогда ((X),. ) банахова решетка.

Теорема 2.5.7. Для пространства X следующие утверждения эквивалентны.

1. X псевдокомпакт.

2. Crc(X) = Crc(X) = C(X).

3. rc(X) = (X).

4. (rc(X),. ) банахова решетка.

5. (+ (X), d) полное метрическое пространство.

rc Теорема 2.5.8. Для пространства X следующие утверждения эквивалентны.

1. Каждое замкнутое C-компактное подмножество пространства X является компактным.

2. Cc(X) = Crc(X).

3. c(X) = rc(X).

Алгебру порожденную замкнутыми подмножествами пространства X будем обозначать как Bo(X), а порожденную -алгебру как Bo(X). Борелевским множеством называем элемент -алгебры Bo(X).

Пусть M(X) линейное пространство всех замкнуто регулярных аддитивных борелевских мер определенных на Bo(X), Mc(X) = {µ M(X) : µ компактно регулярна } и Mrc(X) = {µ M(X) : µ имеет носитель на замкнутом C-компактном подмножестве пространства X }.

+ + Через M+(X), Mc (X) и Mrc(X) обозначим подмножества положительных мер в пространствах M(X), Mc(X) и Mrc(X) соответственно. Для µ M(X) определим норму µ = |µ|(X). Пусть µ и M(X), определим µ , если µ(A) (A) A Bo(X). Относительно этого порядка, пространство M(X), обладающее полно вариационной нормой µ, нормированная решетка.

Следующий результат доказывается в работе Кунду29.

Теорема 2.5.10. Пусть X нормальное счетно компактное пространство, тогда отображение F : (M(X),. ) ((X),. ), опре деленное как F (µ)(f) = fdµ, является изометрическим решетчеX Kundu S., "Spaces of continuous linear functionals: something old and something new". Topology Proccedings, (1989), № 14(1), P. 113–129, Theorem 4.6.

тым изоморфизмом M(X) на (X). При этом изоморфизме, M+(X) отождествляется с + (X).

Так как любое C-компактное подмножество нормального пространства является счётно компактным, то получаем следующую теорему.

Теорема 2.5.11. Пусть X нормальное пространство, тогда отображение F : (Mrc(X),. ) (rc(X),. ), определенное как F (µ)(f) = fdµ, является изометрическим решетчетым изоморфизX + мом Mrc(X) на rc(X). При этом изоморфизме, Mrc(X) отождествляется с + (X).

rc Пусть M(X) = {µ Mc(X) : существует C-компактное подмно+ жество A пространства X такое, что |µ|(X \ clXA) = 0} и M (X) = {µ M(X) : µ 0}. Заметим, что M(X) линейное подпространство Mc(X). Следующий результат отождествляет пространство M(X) с пространством rc(X).

Теорема 2.5.13. Для любого пространства X, отображение F :

(M(X),. ) (rc(X),. ) определенное как F (µ)(f) = fdµ, явX ляется изометрическим решетчетым изоморфизмом M(X) на rc(X).

+ При этом изоморфизме, M (X) отождествляется с + (X).

rc Исследуем некоторые условия эквивалентные сепарабельности пространства rc(X). Напомним, что норма. на пространстве Mrc(X) индуцирует метрику d, где d(µ, ) = µ- для µ, Mrc(X). В частности + (Mrc(X), d) метрическое пространство.

Теорема 2.5.14. Для пространства X, следующие условия эквивалентны.

1. (+ (X), d) сепарабельно.

rc 2. (rc(X),. ) сепарабельно.

3. X счетно.

+ 4. (Mrc(X), d) сепарабельно.

5. (Mrc(X),. ) сепарабельно.

В третьей главе на множестве C(X) рассматривается слабо множественно-открытая топология, изучаются ее топологические свойства и взаимоотношения с другими топологиями на множестве C(X).

В первом параграфе определяется слабо множественно-открытая топология на множестве C(X).

Пусть семейство подмножеств X, тогда слабо множественнооткрытая топология определяется предбазой вида: [A, U] = {f C(X) :

f(F ) U}, где F , а U открытое подмножество числовой прямой.

Соответствующее топологическое пространство будем обозначать C (X).

Второй параграф третьей главы посвящен теореме о совпадении слабо множественно - открытой топологии и топологии равномерной схо димости; теорема является критерием для пространства C (X, Y ) быть паратопологической группой, топологической группой, топологическим векторным пространством.

Пусть дано семейство не пустых подмножеств пространства X, тогда обозначим через (B) = {A : для любого ограниченного подмножества B пространства X такого, что B A, множество [B, U] открыто в C (X, Y ) для любого открытого множества U пространства Y }.

Очевидно, что для разных семейств и µ, слабо -открытая тополо гия может совпадать cо слабо µ-открытой топологией т.е., C (X, Y = ) Cµ (X, Y ). Обозначим для фиксированного семейства через m = {µ :

Cµ (X, Y ) = C (X, Y )}. Семейство m является единственным максимальным семейством, порождающим слабо -открытую топологию.

Теорема 3.2.1.Пусть -сеть пространства X и Y метризуемое топологическое векторное пространство. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) C (X, Y ) = C,u(X, Y );

2) слабо -открытая топология на C(X, Y ) инвариантна относительно сдвигов;

3) C (X, Y ) паратопологическая группа;

4) C (X, Y ) топологическая группа;

5) C (X, Y ) топологическое векторное пространство;

6) состоит из ограниченных подмножеств и = (B) 7) m состоит из ограниченных подмножеств и замкнуто относительно подмножеств.

Более того, если Y является топологической алгеброй, то 8) C (X, Y ) топологическая алгебра.

В третьем параграфе третьей главы исследуются кардиналь нозначные характеристики пространства C (X).

В этом параграфе семейство наследственно замкнутая, ограниченная -сеть пространства X замкнутая относительно конечных объедине ний. Такое семейство будем называть насыщенным, а если = X, то борнологией. Борнологию будем называть ограниченной (компактной), если все её элементы ограниченный (компактные) подмножества пространства X.

Напомним, что -покрытием пространства X называется семейство подмножеств пространства X такое, что каждый элемент содержится в некотором элементе этого семейства. Число -Аренса пространства X определяется как a(X) = + min{|| : и -покрытие X}. Когда состоит из компактных подмножеств пространства X, тогда -покрытие называется k-покрытием, и X называется хемикомпактом, если a(X) = . Если является множеством всех конечных подмножеств пространства X, тогда -покрытие называется -покрытием, и в этом случаи a(X) = |X|.

Если x X, семейство непустых открытых подмножеств пространства X называется локальная -база в точке x, если для каждой окрестности U точки x, существует V , которое содержтся в U. Определим -характер пространства X как (X) = + sup{(X, x) : x X}, где (X, x) = min{|| : локальная -база в точке x}.

Следующая теорема даёт характеризацию характера пространства C (X). Так как для любой топологической группы, характер и характер совпадают, теорема характеризует -характер пространства C (X).

Теорема 3.3.8. Пусть насыщенное семейство пространства X.

Тогда (C (X)) = (C (X)) = a(X).

Вопрос30. Существует ли внутренний ( без привлечения X) критерий для веса C (X) ? Семейство подмножеств пространства X называется f-сетью, если для любого множества A и любой функциональной окрестности V N.V. Velichko, "-Topologies on Function Spaces". Journal of Mathematical Sciences, 131, No. 4, (2005), pp. 5701-5737, Вопрос 1.

множества A, существует множество B такое, что A B V. Тогда f-сетевой вес пространства X определяется как fnw(X) = min{|| : f-сеть на X}.

Определим fw(X) = min{|| : f-сеть пространства X}.

Теорема 3.3.10. Пусть - насыщенное семейство пространства X.

Тогда fw(X) = fnw(X) a(X).

Следующая теорема даёт внутреннюю характеристику веса простран ства C (X).

Теорема 3.3.11. Пусть - насыщенное семейство пространства X.

Тогда w(C (X)) = w(C (X)) = fw(X).

Отметим несколько замечаний о числе Линделёфа. В Cp-теории, существует формула Асанова l(Cp(X)) t(X), где t(X) = sup{t(Xn) : n N} является супертеснотой пространства X.

Пусть ограниченная борнология пространства X. Существует есте ственное уплотнение C (X) на пространство Cp(X). Число Линделёфа не возрастает при непрерывных отображениях; таким образом, получаем формулу l(C (X)) l(Cp(X)) t(X).

Н.В. Величко была доказана следующая теорема.

Теорема 3.3.12. Пусть ограниченная борнология пространства X.

1. l(C (X)) t(X).

X 2. Вес любого A и, более того, вес A не превосходит l(C (X)).

В частности, мы имеем следующие следствия.

Следствие 3.3.13. Если C (X) линделёфовое пространство, тогда X имеет счётную супертесноту и каждое A , также как и замыкание в X, имеет счетную базу.

Следствие 3.3.14. Если C (X) линделёфово пространство и имеет счётный псевдохарактер, тогда X сепарабельное пространство со счётной супертеснотой и счётным -весом.

В самом деле, -вес и супертеснота пространства X счетны так как C (X) линделёфово пространство, и объединение некоторого счетного множества элементов (каждое из которых сепарабельно) является плот ным в X так как C (X) имеет счётный псевдохарактер.

Вопрос31. Будут ли элементы семейства компактными множествами в случаи уплотнения линделёфова пространства C (X) на Cp(X)? Следующая теорема отвечает положительно на данный вопрос в случаи, если C-компактная борнология пространства X.

Теорема 3.3.15. Пусть C-компактная борнология простран ства X и C (X) является линделёфовым. Тогда состоит из метризуемых компактных подмножеств пространства X.

Теорема 3.3.19. Пусть ограниченная борнология пространства X и C (X) имеет счетный характер. Тогда C (X) является линделёфовым тогда и только тогда, когда X является хемикомпактным 0-пространством.

В общем случаи ответ на вопрос Н.В. Величко отрицательный.

Е.А.Резниченко32 был построен замечательный пример компакта Талаграна X. В этом пространстве существует точка b X такая, что X стоун-чеховская компактификация пространства Y = X \ {b}. При этом Y псевдокомпактное и не замкнутое в X.

Рассмотрим пространство Y и семейство всех сепарабельных подмно жеств Y как семейство . Получаем, что пространство C (Y ) является линделёфовым (по теореме C.П. Гулько33), но семейство не является компактным.

Последняя четвертая глава относится к теории S(n)-замкнутых и S(n)-неуплотняемых пространств.

Пусть P некоторое топологическое свойство, тогда P-пространство называют P-неуплотняемым, если оно не имеет строго слабее топологию со свойством P. Далее через MU и MR будем обозначать урысоновское неуплотняемое и регулярно неуплотняемое пространства соответственно.

Определение 4.1.20. Множество A (n)-сходится к множеству B, если для любого S(n - 1)-покрытия = {U} множества B существует N.V. Velichko, "-Topologies on Function Spaces". Journal of Mathematical Sciences, 131, No. 4, (2005), pp. 5701-5737, Вопрос 4.

Резниченко Е.А., "О выпуклых и компактных подмножествах функциональных и локально выпуклых пространств". Диссертация на соискание ученой степени к.ф-м.н.,Москва, 1992, с. 114.

Гулько С.П., "О свойствах некоторых функциональных пространств". Док. РАН, (1978), с. 14201424.

k конечное семейство {U }k такое, что |A \ U )| < |A|.

i i=1 i=1 i Теорема 4.1.21. Для n N, S(n)-пространство X является S(n)неуплотняемым пространством тогда и только тогда, когда любое бесконечное множество A X (n)-сходится к множеству B своих точек полного (n)-накопления, и если существует точка x такая, что A не (n)-сходится к X \ {x}, тогда x точка полного накопления для множества A.

В работе Фредлера, Джироу, Петтей и Портера34 ставится вопрос о характеристике MU пространств. А именно, найти свойство Q из которого не следует U-замкнутость при этом выполняется, что пространство U-замкнуто и обладает свойством Q тогда и только тогда, когда оно MU.

Следующая теорема отвечает на вопрос Фредлера, Джироу, Петтей и Портера.

Теорема 4.1.23. Урысоновское пространство X MU тогда и только тогда, когда X U-замкнуто, и если существует точка x такая, что бесконечное множество A не (2)-сходится к множеству X \ {x}, тогда x точка полного накопления для множества A.

Определение 4.1.28. S(n)-пространство X S(n)F F C (S(n)CF C), если каждая непрерывная функция f на S(n)-пространство Y с условием, что f-1(y) конечно(компактно) для любого y Y является замкнутой функцией.

Теорема 4.1.29. Для n N, S(n)-пространство X S(n)F F C (S(n)CF C) тогда и только тогда, когда X S(n)-замкнуто, и если существует конечное (компактное) множество C такое, что бесконечное множество A не (n)-сходится к множеству B \ C, тогда C является множеством полного накопления для множества A.

В работе Фредлера, Джироу, Петтей и Портера35 ставится вопрос о характеристике MR пространств. А именно, найти свойство P из которого не следует R-замкнутость и для которого выполняется: R-замкнутое L. M. Friedler, M. Girou, D. H. Pettey and J. R. Porter, "A survey of R-, U-, and CH-closed spaces Topology Proceedings, (1992), Vol. 17, 71–96, Question 40.

L. M. Friedler, M. Girou, D. H. Pettey and J. R. Porter, "A survey of R-, U-, and CH-closed spaces Topology Proceedings, (1992), Vol. 17, 71–96, Question 39.

пространство имеет свойство P тогда и только тогда, когда пространство MR.

Следующая теорема отвечает на этот вопрос.

Теорема 4.1.34. Регулярное пространство X MR пространство тогда и только тогда, когда X R-замкнуто, и если существует точка x B такая, что бесконечное множество A не ()-сходится к X \ {x}, тогда x точка полного накопления множества A.

Второй параграф четвертой главы посвящен решению проблемы Портера и Дикманом о произведении CF C-пространств.

В 1984 году Р.Ф. Дикманом и Д.Р. Портером36 была поставлена задача:

будет ли произведение CF C-пространств являться CF C - пространством? Введем новый класс пространств, который будет некоторым расширением класса неуплотняемых пространств.

Определение 4.2.5. Отображение f : X Y будем называть C-отображением, если полный прообраз любой точки компактное подмножество мощности меньше .

При = 2 получаем уплотнение, при = конечно-кратное отображение и при таком, что |X| < , получаем компактное отображение.

Определение 4.2.6. Пространство X будем называть C-функционально-компактным (CF C) пространством, если всякое C- отображение f : X Y является замкнутым отображением.

При = 2 получаем неуплотняемое пространство, при = F F Cпространство и при таком, что |X| < , получаем CF C- пространство.

Определение 4.2.7. Пространство X будем называть Cполурегулярным, если для любого компактного подмножества K X такого, что |K| < и любой окрестности O(K) найдется канонически открытая окрестность V (K) множества K такая, что K V (K) O(K).

При = 2 получаем полурегулярность пространства X.

R.F. Dickman, J.R. Porter, "Between minimal Hausdorff and compact Hausdorff spaces". Topology Proceedings (1984), Vol. 9, 243–268.

Теорема 4.2.8. Следующие условия эквивалентны:

1. X CF C пространство;

2. X H-замкнутое и C-полурегулярное пространство.

Следующая теорема отвечает положительно на вопрос Портера и Дикмана.

Теорема 4.2.9. Для того, чтобы тихоновское произведение X = X было CF C- пространством, необходимо и достаточно, чтобы A каждое X было CF C- пространством.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Работы, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях (в соответствии с Перечнем ВАК) [1] Osipov A.V., "Weakly H-closed spaces". Proc. Steklov Inst. Math., 2004, suppl.1., pp.15–17.

[2] Osipov A.V., "Nearly H-closed spaces". Journal of Mathematical Sciences, 2008, T. 155, № 4, pp. 624–631.

[3] Осипов А.В., Нохрин С.Э., "К вопросу о совпадении множественнооткрытой и равномерной топологий". Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 2009, Т. 15, № 2, с. 177–184.

[4] Осипов А.В., "Слабо множественно-открытая топология". Тр. Инта математики и механики УрО РАН, 2010, Т. 16, № 2, с. 167–176.

[5] Osipov A.V., "The Set-Open topology". Topology Proccedings, 2011, № 37, P. 181–204.

[6] Осипов А.В., "Свойства C-компактно-открытой топологии на пространстве функций". Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 2011, T. 17, № 4, с. 258–277.

[7] Осипов А.В., Косолобов А.В., "О секвенциально-компактнооткрытой топологии". Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют.

науки, 2011, № 3, с. 75–84.

[8] Osipov A.V., "Topological-algebraic properties of function spaces with set-open topologies". Topology and its Applications. 2012, № 159, issue 3, P. 800–805.

[9] Осипов А.В., "Алгебраические структуры на пространстве непрерывных отображений". Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012, T. 17, № 1., с. 47-53.

[10] Осипов А.В., "O cвойствах типа полноты C-компактно-открытой топологии на C(X)". Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012, T. 18, № 2.

[11] Осипов А.В., "Сопряженное пространство к Crc(X)". Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2012, № 2.

[12] Osipov A.V., "Topological vector space of continuous functions with the weak set-open topology". Cambridge Scientific Publishers, 2012, pp.257– 264.

Работы, опубликованные в других изданиях [13] Осипов А.В., "P -замкнутые и P -неуплотняемые пространства".

ТюмГУ, Сборник научных трудов, Математический и прикладной анализ, Том 2, 2005, стр.120–143.

[14] Осипов А.В., "Заметка о слабо H-замкнутых пространствах". Труды 37-ой Региональной молодежной конференции Проблемы теоретической и прикладной математики, Екатеринбург, 2006, стр.66-69.

[15] Osipov A.V., "Different Kinds of Closedness in S(n)-Spaces".

Municipal library of Aegion, Greece, Abstracts of International conference on topology and its applications, 2006, p.125-128.

[16] Осипов А.В., "Множественно-открытая топология на пространстве непрерывных функций". Тезисы докладов Первого Российского Научного Форума "Демидовские чтения"на Урале, 2-3 марта 2006г, с.44-46.

[17] Осипов А.В., "О множественно-открытой топологии". Тезисы докладов Международной конференции по математике и механике, посвященной 130-летию Томского государственного университета, Томск, 2008, с.106.

[18] Осипов А.В., "P -замкнутые и P -неуплотняемые прстранства, часть 2". ТюмГУ, Сборник научных трудов, Математический и прикладной анализ, 2008, с.114-136.

[19] Осипов А.В., "Множественно-открытая топология". Труды 39той Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург, 2008, с.43-47.

[20] Осипов А.В., Нохрин С.Э., "R-компактные множества и их свойства". Труды 40-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". 2009, стр.54-59.

[21] Осипов А.В., Нохрин С.Э., "Совпадение -открытой и топологий". Труды 40-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". 2009, стр.63-66.

[22] Осипов А.В., "Мультипликативность компактно функциональнокомпактных пространств". Труды 40-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики 2009, стр.59-63.

[23] Osipov A.V., "Set-open topology". Abstracts of International conference on topology and its applications, Brno, Czech Republic, 2009,p.15.

[24] Осипов А.В., "Слабо-множественно-открытая топология". Труды 41-ой Всероссийской молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики Екатеринбург, 2010, с. 58-69.

[25] Osipov A.V., "Weakly Set-open topology". Abstracts of International conference on topology and its applications, Nafpaktos, Greece, 2010, p.75.

[26] Осипов А.В., "Регулярность множественно-отркрытой топологии".

Тезисы всероссийской конференции "Современные проблемы математики 42-я Всероссийская молодежная школа-конференция, 2011, с.271–272.

[27] Osipov A.V., "Group of isometries and groups of homeomorphisms" Тезисы Международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Старостина, с.186-189.

[28] Osipov A.V., "Topological-algebraic properties of function spaces with set-open topology". Abstracts of International conference on topology and its applications, ICTA 2011, Islamabad, Pakistan. P48.

[29] Osipov A.V. "The C-compact-open topology". Abstracts of 11th Prague Topological Symposium, 2011, (Czech Republic) p.95.

[30] Osipov A.V., "Cardinal functions of the linear space C(X)". Тезисы Международной молодежной школе-конференции "Современные проблемы математики"(г. Екатеринбург, 2012) с.186–188.

Подписано в печать Формат 60841/16.

Объём п.л. Тираж 100 экз. Заказ №.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.