WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Иванов Михаил Анатольевич

ПРОИЗВЕДЕНИЕ СТЕПЕННЫХ ВЫЧЕТОВ КАК ИНТЕГРАЛ ШНИРЕЛЬМАНА, И ОБОБЩЕНИЯ ЗАКОНА ВЗАИМНОСТИ ЭЙЗЕНШТЕЙНА

01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург – 2012

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел математико–механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор ВОСТОКОВ Сергей Владимирович

Официальные оппоненты: КУЗЬМИН Леонид Викторович доктор физико-математических наук, Институт информационных технологий НИЦ “Курчатовский институт”, ведущий научный сотрудник ЛУРЬЕ Борис Бениаминович доктор физико-математических наук, Петербургское отделение Математического института им. В. А.Стеклова РАН, старший научный сотрудник

Ведущая организация: Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Защита состоится « » 2012 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.29 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9, ауд. 133.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан « » 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Нежинский В. М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена классической проблеме в теории чисел — закону взаимности. Как известно, эта проблема имеет своим истоком работы Ферма и квадратичный закон взаимности Эйлера–Гаусса.

Практически весь 19-ый век в алгебраической теории чисел был так или иначе посвящён поиску явной формулы для произведения степенных вычетов.

Девятая проблема Гильберта связала произведение степенных вычетов с конечным произведением локальных символов Гильберта, что свело задачу к изучению локальных полей.

Проблема получения явных формул для символа Гильберта в произвольном локальном поле имеет длинную историю, которая началась с работы Артина и Хассе, получившими явные формулы для символа Гильберта при некоторых ограничениях в круговом поле Qp(p). Следующий шаг был сделан в работе Шафаревича, который нашел алгоритм вычисления символа Гильберта в произвольном локальном поле на так называемом каноническом базисе.

В случае произвольного локального поля K явные формулы для символа Гильберта были независимо получены Востоковым в 1978 году и Брюкнером в 1979 году для случая p = 2. В начале 1980-х годов появились явные формулы и для случая p = 2.

Довольно давно возникла идея об аналогии этого раздела теории чисел с теорией функций, но впервые чётко она была сформулирована, вероятно, Кронекером, который говорил, что простые идеалы играют ту же роль, что и точки римановой поверхности в полях алгебраических функций, простым делителям дискриминанта числового поля соответствуют точки ветвления римановой поверхности и т. д. Гильберт первым начал исследовать эти вопросы в числовых полях, проводя аналогию своего закона взаимности произведения символов норменного вычета с интегральной теоремой Коши. Шафаревич продолжил эту линию и показал, что с этой точки зрения локальный символ ( ) , норменного вычета является аналогом вычета абелева дифференци ала d в точке . Закон взаимности, впервые доказанный Хассе, согласно идеологии Гильберта–Шафаревича, должен быть аналогом интегральной теоремы, утверждающей, что абелев интеграл дифференциальной формы на римановой поверхности равен сумме вычетов этой формы в особых точках.

Первый шаг в получении аналогии классического закона взаимности с интегральной теоремой Коши был сделан Востоковым, разбиравшим классический закон взаимности отношения символов степенных вычетов в круговом поле как произведение конечного числа локальных символов норменных вычетов. Там было показано, что правая часть закона взаимности является полным аналогом суммы вычетов функции в особых точках, которыми являются корни из единицы. Основная цель диссертационной работы — показать в явном виде эту аналогию.

Эти представления произведения символов степенных вычетов удобно применить к изучению закона взаимности Эйзенштейна и его обобщений.

( ) ( ) Готтхольд Эйзенштейн изучал равенство степенных вычетов и в круговом поле Q(), где — первообразный корень простой степени p из 1, а и — числа из кольца Z[].

Далее этот вопрос изучал Хассе, обобщивший закон взаимности Эйзенштейна на достаточно произвольное круговое поле и получивший достаточное условие равенства символов в достаточно общем случае.

Дальнейшим развитием этого вопроса является перенесение этого результата на формальные группы Любина–Тейта — классического обобщения мультипликативной групы локального поля. Формулы для обобщенного символа норменного вычета в этой ситуации были получены Востоковым в 1979 году, но в них были ограничения, не позволяющие использовать их для этого. В настоящей работе мы избавляемся от этого ограничения и получаем закон взаимности Эйзенштейна.

Цель диссертационной работы состоит в получении новых явных формул, в некотором смысле аналогичных интегральной теореме Коши, для отношения степенных вычетов в круговых полях, а так же в последующем использовании этих формул для доказательства закона взаимности Эйзенштейна и его обобщений.

Методы исследования. В работе используются подходы к получению явных формул для символа норменного вычета (символа Гильберта), его обобщения на формальные группы и для отношения степенных вычетов в глобальном поле, разработанные С. В. Востоковым и его учениками. Так же мы используем теорию интеграла Шнирельмана. В третьей главе используются методы теории формальных групп, и, в частности, теория формальных групп Любина–Тейта.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

• Получено представление отношения символов степенных вычетов в виде интеграла Шнирельмана.

( ) ( ) a • Получено условие равенства символов и для любого в a pn pn локальном круговом поле в случае, если a лежит в Z.

p ( ) ( ) a • Получено условие равенства символов и для любого a pn pn в глобальном круговом поле в случае, если a лежит в Z, (a, n) = 1.

Более того, указано, что равенство символов для любого равносильно равенству для некоторого фиксированного .

• Построена новая формула для обобщенного символа Гильберта на формальных группах Любина–Тейта.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты второй главы диссертации могут быть использованы в разных задачах, связанных с символом норменного вычета локального поля и строением глобальных полей, в частности, нахождении степенных вычетов. Методы третьей главы диссертации могут быть использованы для исследования относительных групп Любина-Тейта и групп Хонды.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на X Белорусской математической конференции, Минск, 2008 г. ([1]), международной алгебраической конференции, посвящённой 70-летию А. В. Яковлева, Санкт-Петербург, 2010 г. ([3]), и международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В. В. Морозова, Казань, 2011 г. ([5]).

Публикация результатов. Результаты исследований отражены в шести печатных работах, из них три статьи в журналах, входящих в Перечень рецензируемых научных журналов и изданий ([2, 4, 6]) и три публикации в тезисах и материалах конференций [1, 3, 5].

В статье [2] соискателю принадлежат результаты параграфа 3: доказательство леммы о следе и основной теоремы об эквивалентности трех условий закона взаимности Эйзенштейна. В статье [4] соискателю принадлежат замечание 1.2 и лемма 1.3 определяющие структуру спаривания, леммы 1.4, 1.5, 1.6 и предложение 1.7, в совокупности дающие независимость спаривания относительно разложения по степеням униформизующей, основная теорема 1.9, и лемма 2.1 и теоремы 2.2 и 2.3, в которых получено обобщение закона взаимности Эйзенштейна. Остальные результаты в статьях [2] и [4] принадлежат соавторам. В работах [1, 3, 5] соавтору принадлежит постановка задачи и общее руководство.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав (первая глава содержит три раздела, вторая — четыре раздела, и третья — пять разделов) и библиографии. Общий объем диссертации — страниц. Библиография включает 23 наименования.

Содержание работы Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится формулировка основных результатов, а также кратко излагается структура работы.

В первой главе вводятся основные определения и приводятся вспомогательные утверждения. Напомним некоторые из определений: будем рассматривать локальное поле k (конечное расширение Qp) для некоторого нечетного простого p. Пусть T — его подполе инерции, а o — кольцо целых поля T.

Разложением элемента из k в степенной ряд по простому элементу с коэффицинтами из o, будем называть разложение = amm + am+1m+1 + am+2m+2 +..., где первый коэффициент лежит в o. Будем обозначать соответственно (X) = amXm + am+1Xm+1 + am+2Xm+2 +....

Заметим, что этот ряд лежит в o((X)).

На кольце o((X)) можно стандартным образом определить действие оператора Фробениуса расширения k/Qp. Тогда на нем определены логарифм и экспонента Артина–Хассе следующим образом:

( ) 1 p m() = log, (1) p (( )-1 ) ( ) Em() = exp 1 - = exp 1 + + +... (). (2) p p pЭти отображения индуцируют гомоморфизмы между o((X)) и Xo[[X]], причем являются изоморфизмами между 1 + Xo[[X]] и Xo[[X]].

В дальнейшем мы предполагаем, что поле k содержит все корни степени pn из 1. Пусть k : k Gal(kab/k) — отображение взаимности. Тогда определен символ норменного вычета (символ Гильберта):

Определение 1. Символом Гильберта будем называть спаривание (·, ·) = (·, ·)n,k : k k - µn k (, )n,k = ()/, n где p = , а µn — группа корней степени pn из 1.

Обозначим через o{{X}} двумерное локальное кольцо (T, p), то есть множество рядов вида i (X) = diXi, di o, |di| - 0.

iZ Это кольцо содержит, очевидно, в качестве подкольца кольцо o((X)). Как известно, элемент этого кольца обратим, если обратим хотя бы один его коэффициент.

В 1978 Востоковым была получена явная формула для символа Гильберта (,) res n p -(, ) = p, (3) n n где p — первообразный корень степени pn из 1, (, ) = m() d(m()) - m()-1d + m()-1d, (4) Вторая глава посвящена интегралу Шнирельмана и его применению для вывода формул в локальных и глобальных полях.

В первым параграфе определяется Интеграл Шнирельмана и изучаются его свойства.

Определение 2. Последовательность многочленов g1(X), g2(X),... из Z[X] будем называть допустимой, если для нее выполняются следующие условия:

1. gj(X) не имеют кратных корней.

j j,1 j,µ 2. Если gj(X) = Xn + cj,1Xn + · · · + cj,µXn + c0, то |nj|p = 1, |c0|p = 1 и nj - nj,1 , nj,µ .

Обозначим корни gj через 1, 2,..., n.

j Определение 3. Пусть U — некоторое подмножество Qalg, f(x) : U p Qalg, а gj — допустимая последовательность. Интегралом Шнирельмана с p центром x0 и радиусом r называется ri f(x) = lim f(x0 + ri), j nj gj(i)=x0,r,g если значения f(x) в точках x0 +ri определены и предел существует. Это определение является дискретным аналогом контурного интеграла f(z)dz.

z-zg( )=r Поэтому естественно называть последовательность gj “контуром”, по которому происходит интегрирование.

Основным результатом этого параграфа является следующая теорема, показывающая, что интеграл Шнирельмана обладает свойствами, аналогичными свойствам комплексного контурного интеграла:

Теорема 4. Пусть P (X) K[[X]] — степенной ряд, сходящийся в круге радиуса |r|p, а Q(X) K[X] — многочлен не имеющий корней равных по норме P (x) |r|p. Тогда значение определено и равно сумме вычетов функции x0,r,g Q(x) P (x) по всем полюсам внутри круга радиуса |r|p. Таким образом, значение Q(x) интеграла не зависит от выбора последовательности многочленов gj.

В дальнейшем мы опускаем индекс g в интеграле и считаем, что последовательность многочленов (“контур”) задана формулами:

j gj = Xn - 1, (nj, p) = 1.

Во втором параграфе мы формулируем и доказываем первый основной результат — представление в новой форме отношения символов степенных вычетов.

Теорема 5. Для отношения символов степенных вычетов выполнено ( ) ( )-1 (,) (,) ( ) n res n , 0, p -1 p -= = =, () pn pn pn где определено в (4), а деление в интеграле происходит в двумерном локальном кольце o{{X}}.

На основе этих формул в третьем параграфе доказывается закон взаимности Эйзенштейна в локальном поле, то есть дается необходимое и достаточное условие равенства единице символа, если один элемент лежит в Z.

p n Теорема 6. Пусть K = Qp (p ). Тогда для a Z p ( ) ( )-a ap-1 - = 1 0 mod pn.

a p pn pn В четвертом параграфе, воспользовавшись теоремой Востокова о глобальном законе взаимности в круговом поле, мы получаем закон взаимности Эйзенштейна в глобальном поле, то есть отвечаем на вопрос, когда отношение символов степенных вычетов равно единице, если один из аргументов целое число, взаимно простое с n. Пусть a — фиксированное целое рациональное число, такое что (a, n) = 1, тогда:

Теорема 7. Следующие условия эквивалентны 1. {a, }n = 1 для всех Z[n], (, n) = 1.

2. {a, 1 - (i - 1)}n = 1, 1 i r.

api-1-i 3. 0 mod pm, 1 i r.

i pi r Здесь, положив n = pa... pa, 1 r ( ) ( )- ai {, }n :=, i = p, = p...pr.

i n n Результаты второй главы опубликованы в работах [2, 6].

В третьей главе результаты §2.3 обобщаются на случай формальной группы Любина–Тейта.

Пусть F (X, Y ) — одномерная коммутативная формальная группа Любина–Тейта, определенная над кольцом целых o локального поля k характеристики 0 с полем вычетов нечетной характериcтики p. Пусть k — конечное расширение k, а M — максимальный идеал поля k. Тогда формальная группа F (X, Y ) определяет o-модуль F (M). Обозначим ее логарифм (X) = X + c2X2 + cjXj, (5) j=а изогению, соответствующую простому элементу поля k, [](X) = X + CX2 + Xq + giXi. (6) i=Пусть поле k содержит все корни изогении [n], и — первообразный корень этой изогении, то есть [n]() = 0, а [n-1]() = 0.

Обозначим T, T — подполя инерции в расширениях k/k и k/Qp соответственно. Таким образом, структура рассматриваемых полей имеет вид k Qp T k T Пусть — автоморфизм Фробениуса в расширении T /k, тогда на кольце oT ((X)) действует логарифм Артина–Хассе с нижним полем k, который был определен в (1).

Для формальной группы логарифм и экспонента Артина–Хассе задается формулой:

( ) F () = 1 - (), ( )- EF () = -1 1 - ().

Тогда на поле k определен обобщенный символ норменного вычета:

( ·, · )F,n : k F (M) ker[n]F, (, )F,n = - , (7) F где — автоморфизм из Gal(kalg/k), соответствующий элементу в системе локальной теории полей классов, а — элемент алгебраического замыкания поля k, получающийся делением точки на изогению [n]F, то есть [n]F () = .

Введем ряд (X) из oT [[X]] такой, что () = . Введем обозначение:

sm(X) = [m]((X)). В обозначении sn(X) индекс n будем опускать.

В 1979 Востоковым была получена явная формула для обобщенного символа (, )F, при этом в ней должен иметь вид Xm + am+1Xm+1 + am+2Xm+2 +..., где — представитель Тайхмюллера. Это ограничение не позволяет использовать эти формулы для наших целей. В настоящей работе мы избавляемся от этого ограничения.

Итак, разрешим представления элементов k произвольными обратимым рядом из oT ((X)) сняв требование, чтобы первый коэффициент был представителем Тайхмюллера. Для таких рядов логарифм Артина–Хассе можно определить так же.

Теперь определим спаривание как:

K F (M) ker[n]F, [ ] , = Tr res (, )V (), F где (8) ( ) (, ) = F () -1d - m() d () 1 1 C V = - c2 = +.

s s - Второе слагаемое в V определено в (5) и (6). В дальнейшем мы будем использовать то же обозначение для спаривания на рядах:

( ) , = Tr res (, )V mod n.

Для доказательства совпадения этого спаривания с определенным в (7) обобщенным символом Гильберта, нам необходимо доказать независимость от разложения по степеням униформизующей, от выбора униформизующей, после чего совпадение с символом на паре (, ). Сначала, в параграфе два, доказывается независимость спаривания ·, · по второму аргументу, то есть, что спаривание , не зависит от способа разложения элемента из F (M) в степенной ряд по униформизующей с коэффициентами из oT. В силу линейности спаривания по второму аргументу нам достаточно доказать Предложение 8. Если (X) oT [[X]], () = 0 и (X) oT ((X)), то выполнено равенство , = 0.

В параграфе три доказывается инвариантность спаривания относительно замены переменной. Пусть имеется замена переменной X = g(Y ) = rY (Y ), где r o, (Y ) 1 mod Y. Заметим, что так как (X) = EF (F ()), то из T формальной аддитивности функции EF и линейности спаривания по второму аргументу следует, что инвариантность достаточно доказать для пары X, EF (aXm), m 1, где a — представитель системы Тайхмюллера R.

Поскольку функции F и EF так же, как и , зависят от выбора переменной, то будем писать F,X, EF,X, X. Кроме того, для удобства обозначим [(X), (X)]X := resX X(, )V (X).

Тогда это свойсто сводится к Предложение 9. Пусть p = 2, X = g(Y ) = rY (Y ). Тогда [X, EF,X(aXm)]X = [g(Y ), EF,X(agm(Y ))]Y mod n.

Все это в совокупности дает нам Теорема 10. Для любого k и F (M) и рядов (X) oT ((X)), (X) oT [[X]] таких, что () = , () = имеем равенство , = (, )F.

Тем самым, (, )F = [Tr resX (, )V ](), где ряды и V определены в (8).

Последний параграф посвящен закону взаимности Эйзенштейна. Основными результатами параграфа являются две следующие теоремы:

Теорема 11. Пусть k = k(), []() = 0, = 0 — поле деления круга для формальной группы Любина–Тейта F (X, Y ). Тогда для a o, F (M) имеем aq-1 - (a, )F,1 = 0 (0) 0 mod , где (X) — произвольный ряд из кольца o[[X]], такой что () = .

Теорема 12. Пусть k = k (), [n]F () = 0, [n-1]F () = 0. Тогда для a o aq-1 - (a, )F,n = 0 0 mod n.

Результаты третьей главы опубликованы в работе [4].

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю Сергею Владимировичу Востокову за постановку задач, терпение и неоценимую помощь в работе над диссертацией.

Работы автора по теме диссертации 1. Востоков С. В., Иванов М. А. К одной работе Hasse о законе взаимности Эйзенштейна // Тезисы докладов X Белорусской математической конференции, Минск, 3–7 ноября 2008г. / Под ред. С. Г. Красовского, А. А. Лепина. Минск: Институт математики НАН Беларуси, 2008. С. 18–19.

2. Востоков С. В., Иванов М. А., Пак Г. К. К одной работе Хассе о законе взаимности Эйзенштейна // Зап. научн. сем. ПОМИ.

2009. Т. 365. С. 122–129.

3. Vostokov S. V., Ivanov M. A. Product of pn-power residues as an Snirel’mann’s integral // Материалы международной алгебраической конференции, посвящённой 70-летию проф. А. В. Яковлева. Санкт-Петербург: 2011.

С. 164–165.

4. Востоков С. В., Иванов М. А. Закон взаимности Эйзенштейна для формальных групп Любина–Тейта // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2011. Т. 386. С. 129–143.

5. Востоков С. В., Иванов М. А. Произведение символов pn-ых степенных вычетов как интеграл Шнирельмана // Алгебра и математическая логика, Материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В. В. Морозова. Казань: КФУ, 2011. С. 71–73.

6. Иванов М. А. Произведение символов pn степенных вычетов как абелев интеграл // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, № 2.

С. 120–129.







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.