WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Ерохин Александр Игоревич ПРИМЕНЕНИЕ ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ ВОЛНОВЕДУЩИХ И РЕЗОНАНСНЫХ СИСТЕМ С ОСОБЕННОСТЯМИ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Специальность 01.01.03 — математическая физика Москва – 2012

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им.

М.В. Ломоносова.

Научный консультант: профессор МГУ им. М.В. Ломоносова доктор физико-математических наук профессор Боголюбов Александр Николаевич

Официальные оппоненты: профессор МГУ им. М.В. Ломоносова доктор физико-математических наук профессор Ильинский Анатолий Серафимович Главный научный сотрудник Института радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова РАН доктор физико-математических наук профессор Кравченко Виктор Филиппович

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российский университет дружбы народов»

Защита диссертации состоится «22» ноября 2012 г. в 17 часов 30 минут на заседании Диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:

119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 2, физический факультет, Северная физическая аудитория.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан « » 2012 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 501.002.доктор физико-математических наук, профессор Поляков П.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ



Актуальность темы Современные технологии предлагают большие возможности по созданию различных электромагнитных систем с наперед заданными геометрическими и электродинамическими параметрами. Устройства, которые буквально несколько десятилетий назад были уникальными, становятся предметами массового использования. Поэтому одним из важнейших вопросов по-прежнему остается вопрос экономической эффективности и целесообразности создания устройств с заданными характеристиками. Во многих случаях достаточно совсем немного изменить хотя бы один параметр системы, чтобы получить как существенное улучшение, так и ухудшение выходных данных системы. Приближенные аналитические методы уже далеко не всегда могут удовлетворить потребности практики, поэтому возникает необходимость создания эффективных универсальных и высокоточных методов математического моделирования конкретных электродинамических структур.

Особенно важным математическое моделирование становится в случае, когда системы имеют особенности геометрического и электродинамического характера. Геометрические особенности могут являться следствием создания структур сложной геометрической формы или просто имеющих неоднородность поверхности. Примером такой электродинамической конструкции служит волновод с входящими ребрами. Подобные системы широко используются в микроволновых устройствах.

Входящие углы в волноводе могут быть по многим причинам, как по техническим, например, вследствие состыковки нескольких волноводов, так и для получения специального физического эффекта. К примеру, гребенчатый прямоугольный волновод, имеющий в своем поперечном сечении входящие углы, может использоваться в качестве фильтра для пассивного микроволнового устройства или настроечного элемента в нем. Гребенчатые волноводы обладают важными для практического применения свойствами, одним из которых является эффект аномально малого затухания некоторых типов нормальных волн при определенных соотношениях между геометрическими параметрами и длиной волны.

С помощью входящих углов в волноводе можно также моделировать наличие дефектов в поверхности системы (царапины, изломы и др.) или щупы, возбуждающие волновод.

Очень часто математические модели, описывающие системы с физическими особенностями, имеют особенности математического характера. Так в случае волновода с входящим ребром известно, что решение задачи, описывающей данную систему, имеет сингулярность, которая может значительно осложнить численный эксперимент. Решить эту проблему можно с помощью определения явного вида этой особенности инструментами математической физики и корректировки численного алгоритма с учетом полученных математических результатов.

К системам с особенностями электродинамического характера можно отнести конструкции, имеющие заполнение материалами с различными диэлектрическими и магнитными свойствами. Примером системы данного типа служит диэлектричекий резонатор, важными характеристиками которого являются спектр его резонансных частот и добротность. С помощью выбора диэлектрической проницаемости заполнения резонатора, его формы и размера, а также комбинации нескольких диэлектриков, можно существенно менять спектр частот, распределение полей, а также значительно увеличить добротность.

Резонансные системы широко используются при создании высокоточной измерительной аппаратуры, узкополосных фильтров, для стабилизации СВЧгенераторов.

Большой интерес представляют резонаторы аксиально-симметричных форм кусочно-постоянного радиуса. Помимо перечисленных свойств резонаторов, предполагается, что такие элементы могут найти применение при конструировании проводящих систем с малыми потерями. В частности, такие резонаторы экспериментально исследовались на кафедре колебаний физического факультета МГУ.

В настоящей работе исследуются цилиндрическая волноведущая система, имеющая в конечном ее участке входящие ребра постоянного раствора, и резонансная диэлектрическая структура с диэлектриком кусочно-постоянного радиуса. С помощью такой резонансной системы в случае малых диэлектрических потерь и при размерах поверхности резонатора много больших геометрических размеров диэлектрика можно моделировать открытые системы.

Цели диссертационной работы Цель диссертационной работы состояла в следующем:

1. Построение асимптотики решений спектральных задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа для двумерной области с входящими углами.

2. Построение математической двумерной модели волноведущей системы, содержащей входящие ребра в ее конечной части, и ее исследование проекционными методами различной модификации.

3. Построение векторной модели электродинамического волновода, содержащего входящие ребра в конечной его части, и ее исследование проекционными методами.

4. Исследование резонатора, заполнение которого представляет собой последовательность диэлектрических соосных цилиндров различных радиусов.

Научная новизна 1. Предложен и реализован метод расчета волноводов, содержащих входящие ребра, представляющий собой комбинацию проекционных методов – неполного метода Галеркина и проекционно-сеточного метода – и учитывающий особенности поведения решения задачи в окрестности входящего угла путем использования построенной асимптотики по гладкости решения соответствующей краевой задачи.

2. Доказаны теоремы существования и единственности решения поставленной задачи.

3. Доказано существование и единственность построенного приближенного решения этой задачи, показана его сходимость к точному решению.

4. Реализован алгоритм расчета диэлектрического резонатора, заполнение которого представляет собой последовательность диэлектрических соосных цилиндров различных радиусов.

Практическая ценность диссертации определяется тем, что результаты работы могут быть использованы для исследования широкого класса конкретных волноведущих систем с входящими ребрами, а также цилиндрических резонаторов с диэлектрическим заполнением аксиальносимметричной формы кусочно-постоянного радиуса. Волноведущие системы с входящими ребрами находят применение в широком круге устройств техники СВЧ (фильтры для пассивных микроволновых устройств, настроечные элементы в таких устройствах и т.д.). Кроме того, с помощью входящих углов в волноводе можно моделировать наличие дефектов в поверхности системы, например, царапины, или щупы, возбуждающие волновод. Резонансные системы находят широкое применение при создании узкополосных фильтров, прецизионной измерительной аппаратуры, для стабилизации СВЧ-генераторов, а также для создания чувствительных элементов для измерения различных физических и химических параметров окружающей среды.

Положения, выносимые на защиту Основные научные результаты состоят в следующем:

1. Показано, что задача возбуждения о распространении бегущих нормальных волн в волноводе, имеющем входящие ребра в конечной его части, имеет единственное решение.

2. Предложен алгоритм расчета волновода с входящими ребрами, представляющий собой комбинацию проекционных методов и учитывающий особенности поведения решения задачи в окрестности входящего угла путем использования построенной асимптотики по гладкости решения соответствующей краевой задачи.

3. На основе доказанных теорем делается вывод о целесообразности применения предложенного алгоритма к расчету рассматриваемых систем.

4. Аналитические результаты, полученные в диссертационной работе, подкреплены результатами численного моделирования волноведущей системы с входящмими ребрами.





5. Реализован алгоритм исследования цилиндрического резонатора, заполнение которого представляет собой последовательность диэлектрических соосных цилиндров различных радиусов. В качестве иллюстративного примера получено распределение полей для различного вида заполнения.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах и всероссийских и международных конференциях:

1. Семинар кафедры математики физического факультета МГУ им.

М.В. Ломоносова.

2. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам “Ломоносов-2008”, секция “Физика”, подсекция “Математики и информатики”, МГУ, физический факультет, 2008.

3. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам “Ломоносов-2011”, секция “Физика”, подсекция “Математика и информатика”, МГУ, физический факультет, 2011.

4. Вторая международная научная конференция “Моделирование нелинейных процессов и систем”, Москва, 06-10 июня 2011.

5. Научная конференция “Тихоновские чтения”, МГУ, факультет ВМиК, июнь 2011.

6. Научная конференция “Ломоносовские чтения – 2011”, секция физики, подсекция “Теоретическая и математическая физика”, МГУ, физический факультет, 2011.

7. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам “Ломоносов-2012”, секция “Физика”, подсекция “Математика и информатика”, МГУ, физический факультет, 2012.

8. Всероссийская конференция (с международным участием) “Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем”, секция “Математическое моделирование”, РУДН, 23-27 апреля 2012 г.

9. Progress in Electromagnetics Research Symposium in Moscow, Russia, on August 19-23, 2012.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликованы 5 статей в рецензируемых журналах по перечню ВАК и 8 публикаций в материалах конференций.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Список цитированной литературы содержит 1наименований. Текст диссертации содержит 123 страницы текста, включая рисунков.

Содержание работы Во введении приводится краткая характеристика диссертационной работы, обоснована актуальность темы, поставлены основные задачи исследования, а также кратко изложено содержание глав диссертации.

В главе I выписываются асимптотики скалярных спектральных задач для оператора Лапласа с граничными условиями Дирихле и Неймана в окрестности входящих углов для ограниченной двумерной области. Для каждого случая граничных условий спектральная задача рассматривается отдельно и разбивается на две части. В первой части выписывается асимптотика поведения решения соответствующей задачи для уравнения Пуассона в окрестности входящего угла.

Во второй части рассматривается непосредственно спектральная задача, которая сводится к задаче для уравнения Пуассона переносом слагаемого в правую часть. Задаче с граничными условиями Дирихле посвящены параграфы §1.1 и §1.2, а задаче с граничными условиями Неймана – §1.3 и §1.4.

В §1.1 рассматривается задача для уравнения Пуассона в ограниченной области, имеющей входящий угол, с граничными условиями Дирихле. Чтобы получить асимптотику решения данной задачи, она разбивается на два этапа – сначала рассматривается случай, когда область является неограниченной и представляет собой бесконечный сектор, после чего, используя срезающую функцию, полученные результаты переносятся на случай ограниченной области.

Обозначим бесконечный угол с раствором 0 через = : > 0, 0, . В полярной системе координат задача для уравнения Пуассона с граничными условиями Дирихле имеет следующий вид + = , , ,  , , 0 = 0, 0; +, (1) , = 0, 0; +, 0, < .

Для решения данной задачи используется методика, впервые предложенная в работах В.А. Кондратьева. Делается замена переменных { = - ln , = }, которая переводит угол в бесконечную полосу = :   -;  +, 0, . При этом краевая задача (1) принимает следующий вид + = = , , , , (2) , 0 = 0, 0; +, , = 0, 0; +.

Для описания решений задач (1) и (2) вводятся пространство с   (, ) нормой = ( ) и пространство   (, ) с нормой = . Пусть правая часть , задачи (1) принадлежит пространству . Тогда из равенства = следует, что правая часть , задачи (2) принадлежит пространству . Далее приводятся доказательства следующих теорем.

Теорема 1. Пусть , , = ±1, ±2, … Тогда существует и притом единственно решение задачи (2), для которого справедлива оценка . (3) Теорема 2. Пусть , + 1 - , = ±1, ±2, … Тогда существует и притом единственно решение S задачи (1), для которого справедлива оценка . (4) Далее считается, что правая часть , принадлежит пересечению пространств , где > . Используя явный вид формулы Грина и теорему о вычетах, доказывается следующая теорема, дающая асимптотическое представление решения краевой задачи для уравнения Пуассона в окрестности входящего угла.

Теорема 3. Пусть ,  где > и выполняются условия:

= + 1 - , = + 1 - , = ±1, ±2, … Тогда для решения задачи (1) справедливо следующее представление:

, = , + sin , : где = -, – постоянные коэффициенты, функция ,   и для нее справедлива следующая оценка . (5) Далее рассматривается случай конечной области S. Пусть существует такое d, что в круге Bd область S совпадает с сектором. Используя результаты предыдущих теорем, с помощью срезающей функции 0; ,   1, =, доказывается следующая теорема, дающая асимптотику 0, > решения уравнения Пуассона в окрестности входящего угла в случае конечной области.

Теорема 4. Пусть ,   < + 1.  Тогда решение () задачи (1) представимо в виде , = , + +() sin , (6) : где , C и – постоянные коэффициенты.

В §1.2 рассматривается спектральная задача для оператора Лапласа с граничными условиями Дирихле + = 0,   (7) | = 0.

Доказывается, что решение задачи (7) вдали от угловой точки является сколь угодно гладким. Перенося слагаемое в правую часть и используя результаты теоремы 2 и теоремы 4, доказывается следующая теорема.

Теорема 5. Решение спектральной задачи (7) представимо в виде , = sin  + , , (8) : где , (), и справедлива оценка , . (9) ( ) Продолжая данные рассуждения, можно выписать асимптотику спектральной задачи Дирихле в окрестности входящего угла до требуемого класса гладкости остаточного члена , .

В §1.3 аналогичная техника используется для исследования краевой задачи Неймана для уравнения Пуассона. Как и в случае граничных условий Дирихле, данная задача разбивается на две – задача в бесконечном угле и задача в конечной области.

Для случая бесконечного угла приводятся доказательства следующих теорем.

Теорема 6. Пусть , , = 0, ±1, ±2, … Тогда существует и притом единственно решение задачи Неймана, для которого справедлива оценка (3).

Теорема 7. Пусть , + 1 - , = 0, ±1, ±2, … Тогда существует и притом единственно решение S задачи Неймана, для которого справедлива оценка (4).

Теорема 8. Пусть ,  где > и выполняются условия:

= + 1 - , = + 1 - , = 0, ±1, ±2, … Тогда для решения задачи Неймана ,   справедливо следующее представление , = , + + cos + , ln , (10) : где = , функция ,  , для нее справедлива оценка (5), а коэффициенты и , являются непрерывными функционалами от f.

Для случая ограниченной области доказаны следующие теоремы.

Теорема 9. Пусть = + 1 - , (0, ), (). Тогда существует решение задачи (1.3.1) (), определяемое с точностью до константы, причем справедлива оценка (4).

Теорема 10. Пусть = - + + 1 , > 1, (). Тогда + : , = , + , (11) +, + где , , (), и справедлива оценка (5).

В §1.4 рассматривается спектральная задача Неймана для оператора Лапласа. Как и в случае спектральной задачи Дирихле, показывается, что решение задачи Неймана вдали от угловой точки сколь угодно гладко.

Доказывается теорема, дающая асимптотику по гладкости решения спектральной задачи Неймана в окрестности угловой точки.

Теорема 11. Решение спектральной задачи Неймана представимо в виде , = , + cos + , (12) : где , , , .

( ) Как и в случае граничных условий Дирихле асимптотику в окрестности входящего угла решения спектральной задачи Неймана можно выписать до требуемого класса гладкости остаточного члена.

В главе II рассматривается скалярная трехмерная задача возбуждения электромагнитных волн в волноводе при наличии входящих ребер. Приводится математическая постановка задачи, и исследуется существование и единственность ее решения. Приближенное решение рассматриваемой задачи строится с помощью неполного метода Галеркина, доказывается его существование и единственность, а также сходимость к точному решению.

Приводятся результаты численного моделирования. Алгоритмы решения поставленной задачи, развитые в данной главе, будут перенесены на векторную задачу, исследуемую в главе III.

В §2.1 приводится математическая постановка задачи, доказывается существование и единственность ее решения. Рассматривается бесконечный цилиндрический волновод круглого сечения с граничной поверхностью , на которой задается однородное условие Дирихле. В некоторой части волновода длинной , которая называется нерегулярной, сделан вырез, так что в его поперечном сечении имеется входящий острый угол. Обозначим через и соответственно амплитуду и постоянную распространения вдоль оси волновода бегущей слева направо волны, соответствующей -му собственному значению оператора Лапласа для сечения регулярной части волновода. Учитывая парциальные условия излучения, условия Мейкснера на ребре и условие сопряжения на границе регулярной и нерегулярной частей волновода, приходим к следующей краевой задаче для описания модовой структуры поля волновода + = 0, , 0; , | = 0, = 2 - , , (13) = , , где – постоянный коэффициент, = > 0, , . В задаче (13) используются обозначения: , – ортонормированные собственные функции и собственные значения поперечного сечения регулярной части волновода (без выреза), – сечение волновода с координатой , = . Обозначим через объем нерегулярной части волновода. Доказывается следующая теорема.

Теорема 12. Решение задачи (13) существует и единственно.

Приближенное решение задачи (13) ищется с помощью проекционного метода в форме неполного метода Галеркина, в котором в качестве базиса используются собственные функции оператора Лапласа для нерегулярного сечения. Так как в общем случае вырез не доходит до центра круга, то спектральная задача не имеет аналитического решения, и для ее решения необходимо использовать численные методы.

В §2.2 рассматривается численное решение спектральной задачи для оператора Лапласа в области с вырезом. В главе I была получена асимптотика решения данной задачи, поэтому в качестве численного метода удобно использовать проекционно-сеточный метод, а именно метод конечных элементов, в котором в набор пробных функций включены выделенные аддитивно сингулярности. Из представления (8) следует, что решение спектральной задачи принадлежит следующему пространству :

: = sin + ( ), : = (14) | = 0, , - произвольные  постоянные, = .

( ) В качестве конечномерного пространства пробных функций рассматривается пространство : = sin + , : = (15) | = 0, , - произвольные  постоянные, где пространство – пространство конечномерных функций, хорошо аппроксимирующих гладкую функцию . Для случая регулярной сетки, получаются следующие оценки для решения сеточной задачи - , - ,  (16)   - . (17) В §2.3 рассматривается решение задачи (13) неполным методом Галеркина.

Приближенное решение ищется в виде = (), 0; , (18) где () – ортонормированные собственные функции оператора Лапласа для сечения . После подстановки выражения (18) в краевую задачу (13) получается краевая задача для определения коэффициентов разложения:

+ = 0, = 1, …, ,   0 = 2 - 0, (19)   = , где = , , = , .

Доказываются следующие теоремы.

Теорема 13. Приближенное решение задачи (13) существует и единственно, причем справедливы оценки < , , < , , < , (20) где и – постоянные, не зависящие от .

Теорема 14. Приближенное решение сходится к решению задачи (13) в пространстве .

Использование в неполном методе Галеркина функций (), построенных с помощью метода конечных элементов, приводит к оценке - () + , (21) где 0 при .

В §1.4 приводятся результаты численного моделирования волновода с входящими ребрами на основе предложенной математической постановки задачи.

В главе III рассматривается векторная постановка задачи о возбуждении волновода с входящими ребрами бегущей нормальной волной. Доказывается существование и единственноть ее решения. Приближенное решение ищется неполным методом Галеркина, в котором базис строится с помощью собственных функций спектральных задач Дирихле и Неймана для сечения с вырезом. Доказывается сходимость приближенного решения к точному.

Приводятся результаты численного моделирования.

В §3.1 рассматривается векторная постановка задачи о возбуждении волновода бегущей волной. С учетом парциальных условий излучения, условия непрерывности касательных компонет электромагнитного поля на границе между регулярной и нерегулярной частями волновода и условий Мейкснера на ребре получается следующая математическая постановка задачи, решение которой описывает модовую структуру волновода:

(, ) = - (, ), , - < < +, (, ) = (, ),   = 0, = , = , = , = , (22) ээ , + = ээ - , , = , где – волновое число, диэлектрическая проницаемость – постоянная величина, > 0, > 0 (в области неоднородности), магнитная проницаемость – постоянная величина, > 0, > 0 (в области неоднородности), – вектор внешней нормали к поверхности волновода , э – амплитуда бегущей слева направо волны электрического типа с порядковым номером , и – коэффициенты отражения и прохождения через нерегулярный участок волновода нормальных волн соответственно, и – базис для представления поперечных компонент векторов и соответственно.

Векторный базис строится с помощью собственных функций сечения для задачи Дирихле и задачи Неймана следующим образом:

, = 2 + 1, = 0,1 …, = (23) , = 2, = 1,2, …, = 0,   и - , = 2 + 1, = (24) , = 2, = 0.

Вводится пространство = = , : = 0, = 0, , , с нормой = + + ( ) ( ) .

( ) Доказывается следующая теорема.

Теорема 15. Обобщенное решение , задачи (22) из пространства существует и единственно.

Как уже отмечалось, для построения векторного базиса используются собственные функции спектральных задач Дирихле и Неймана для сечения с вырезом, которые находятся численно.

В §3.2 рассматривается расчет спектральной задачи Неймана (спектральная задача Дирихле была рассмотрена в главе II). Как и в случае граничных условий Дирихле, для расчета задачи Неймана ограничимся асимптотикой решения, в которой остаточный член , принадлежит пространству :

, = , + cos + . (25) : Из представления (25) следует, что решение спектральной задачи Неймана принадлежит пространству :

: = cos + , : = (26) , - произвольные  постоянные.

= .

( ) В качестве конечномерного пространства пробных функций рассматривается пространство : = cos + , : = (27) | = 0, , - произвольные  постоянные, где пространство – пространство конечномерных функций, хорошо аппроксимирующих гладкую функцию . С использованием регулярного разбиения сетки, получаются следующие оценки для решения сеточной задачи - , - ,  (28)   - . (29) В §3.3 рассматривается приближенное решение задачи (22) неполным методом Галеркина. Решение ищется в виде = ,   , 0; , (30) = () (), где и имеют вид (23) и (24) соответственно, в которых собственные функции регулярного сечения и заменены на собственные функции нерегулярного сечения и .

Введем пространство = = , : = 0, = 0, , , , с нормой = + ( )     + +.

( ) ( ) ( ) Доказываются следующие теоремы.

Теорема 16. Построенное неполным методом Галеркина приближенное решение , существует и единственно.

Теорема 17. Построенное неполным методом Галеркина приближенное решение , сходится к точному решению по норме пространства .

С использованием в неполном методе Галеркина найденных с помощью метода конечных элементов функций () и (), получены оценки для электромагнитных полей:

- , +  , (31) - , +  . (32) где , 0 при .

В §3.4 приводятся результаты численного моделирования.

В главе IV рассматривается цилиндрический резонатор, заполнение которого представляет собой последовательность диэлектрических соосных цилиндров различных радиусов. Приводится математическая постановка задачи, для которой доказывается существование обобщенного решения. Приближенное решение ищется с помощью метода конечных элементов, доказывается его сходимость к точному. Приводятся результаты численного моделирования.

В §4.1 рассматривается цилиндрический резонатор длины , имеющий аксиально-симметричное диэлектрическое заполнение кусочно-постоянного радиуса = (). Объемную конструкцию резонатора можно получить путем вращения области (рис. 1) вокруг оси , являющейся аксиальным сечением резонатора.

Рис. 1. Аксиальное сечение резонатора, содержащего диэлектрик кусочно-постоянного радиуса = (), принимающего два значения, с секциями.

Учитывая аксиальную симметрию системы и вводя потенциал Боргниса , , = , , = 0, ±1, ±2, …, трехмерная векторная задача, описывающая модовую структуру данной системы, сводится к скалярной двумерной спектральной задаче: найти такие нетривиальные и соответствующие им значения , для которых справедливо:

- + = 0, , \ = 0, || = ||, = , (33) || || = , =,, = 0.

где , (,z) – декартова система координат, индексами 1 и обозначены величины, относящиеся к аксиально-симметричному диэлектрику кусочно-постоянного радиуса и окружающему его диэлектрику или вакууму ( = 1) соответственно, || – граница первого диэлектрика, параллельная оси 0, – перпендикулярная оси 0 (рис. 1), – граница области , – внешняя нормаль к первому диэлектрику.

Вводятся пространство функций \, удовлетворяющих граничному условию первого рода из (33), его подмножество , элементы которого удовлетворяют условиям || = ||, = , и подмножество , элементы которого удовлетворяют условиям || = ||, = .

Обобщенная постановка задачи (33) имеет следующий вид: найти такие нетривиальные и соответствующие им значения , для которых при любых справедливо равенство     , + = , (34) в котором первый интеграл по области понимается как сумма интегралов по облаcтям и \. Доказываются следующие теоремы.

Теорема 18. Обобщенное решение задачи (34) существует.

Теорема 19. Приближенное решение задачи (34), построенное методом конечных элементов, сходится к точному.

В §4.2 приводятся результаты численного моделирования задачи.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Показано, что задача о распространении бегущих нормальных волн в волноводе, имеющем входящие ребра в конечной его части, имеет единственное решение для случая скалярной и векторной постановок задачи.

Предложен алгоритм расчета волновода с входящими ребрами, представляющий собой комбинацию проекционных методов и учитывающий особенности поведения решения задачи в окрестности входящего угла путем использования построенной асимптотики по гладкости решения соответствующей краевой задачи. На основе доказанных теорем делается вывод о целесообразности применения предложенного алгоритма к расчету рассматриваемых систем. Аналитические результаты, полученные в диссертационной работе, подкреплены результатами численного моделирования волноведущей системы с входящмими ребрами.

Реализован алгоритм исследования цилиндрического резонатора с диэлектрическим заполнением аксиально-симметричной формы кусочнопостоянного радиуса. На основе доказанной теоремы существования решения поставленной задачи, а также теоремы о сходимости построенного приближенного решения к точному, делается вывод о достоверности результатов, полученных с помощью численного эксперимента.

В качестве иллюстративных примеров исследованы модовая структура поля волноведущей системы для различных параметров выреза и распределение поля диэлектрического резонатора для различного вида заполнения.

Продемонстрирован ряд интересных эффектов. В частности для волноведущей системы показан избирательный характер возбуждения бегущих мод при прохождении нормальной волной нерегулярного участка волновода. Для случая резонансной системы получен эффект отжимания поля к диэлектрику с высоким значением диэлектрической проницаемости, а также избирательный характер возбуждения диэлектрических секций в случаей частиной металлизации диэлектрика.

В приложении рассматриваются выводы некоторых математических выражений и формул, используемых в основных главах, которые в силу их громоздкости были вынесены отдельно.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Ерохин А.И. Расчет резонансных частот аксиально-симметричных диэлектрических структур кусочно-постоянного радиуса // Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам “Ломоносов-2008”. Секция “Физика”. Сборник тезисов докладов. М.:

2008. C. 72-73.

2. Боголюбов А.Н., Ерохин А.И., Могилевский И.Е., Шапкина Н.Е. Расчет резонансных частот открытого диэлектрического аксиально-симметричного резонатора с кусочно-постоянным радиусом // Вестн. Моск. Ун-та. Серия 3.

Физика. Астрономия. 2009. №2. С. 21-24.

3. Боголюбов А.Н., Ерохин А.И., Могилевский И.Е. Математическое моделирование цилиндрического волновода с деформацией боковой поверхности // Вестн. Моск. Ун-та. Серия 3. Физика. Астрономия. 2011. №6.

С. 127-130.

4. Ерохин А.И. Математическое моделирование волновода переменного поперечного сечения с входящими углами // Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам “Ломоносов-2011”. Секция “Физика”. Сборник тезисов докладов. Т. 1. М.:

2011. C. 116-117.

5. Ерохин А.И. Математическая модель нерегулярного волновода с входящими углами // Вторая международная научная конференция “Моделирование нелинейных процессов и систем”. Тезисы докладов. М. 2011. С. 73.

6. Боголюбов А.Н., Ерохин А.И., Могилевский И.Е. Математические задачи теории волноведущих систем при наличии входящих ребер. // Тихоновские чтения: Тезисы докладов. – М.: 2011. С. 12-13.

7. Боголюбов А.Н., Могилевский И.Е., Ерохин А.И. Моделирование волноведущих систем с негладкой границей // Ломоносовские чтения. Секция физики. Сборник тезисов докладов. М.: 2011. С. 144-146.

8. А.И. Ерохин. Применение проекционных методов к расчету волноведущих и резонансных структур с особенностями // Вычислительные методы и программирование. 2012. Раздел 1. С. 192-196. (http://num-meth.srcc.msu.ru/) 9. А. Н. Боголюбов, А. И. Ерохин, И. Е. Могилевский. Векторная модель волновода с входящими ребрами // Журнал радиоэлектроники. 2012. №2.

(http://jre.cplire.ru/jre/feb12/12/text.pdf) 10. Ерохин А.И. Векторная модель волновода с входящими ребрами на конечном участке // Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам “Ломоносов-2012”. Секция “Физика”.

Сборник тезисов докладов. Т. 1. М.: 2012. C.

11. Боголюбов А.Н., Ерохин А.И. Математическое моделирование волноведущей системы с особенностью // Всероссийская конференция (с международным участием) “Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем”, секция “Математическое иоделирование”, РУДН, 23-27 апреля 2012 г.

12. Боголюбов А.Н., Ерохин А.И., Могилевский И.Е. Математическое моделирование нерегулярного волновода с входящими ребрами // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т.52. №6. С.

1058-1062.

13. Bogolubov A.N., Erokhin A.I., Mogilevsky I.E. Projective Methods in Problems of Waveguide with Singularity // PIERS Proceedings, Moscow, Russia, August 19-23, 2012. P. 1225-1227. ISBN: 978-1-934142-22-6.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.