WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Губайдуллина Рената Камилевна

ПРИБЛИЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА ДВУМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань 2012

Работа выполнена на кафедре теории функций и приближений ФГАОУВПО “Казанский (Приволжский) федеральный университет”

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Габдулхаев Билсур Габдулхаевич Научный консультант: кандидат физико-математических наук, доцент Агачев Юрий Романович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Кац Борис Александрович кандидат физико-математических наук, доцент Шакиров Искандер Асгатович

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится "22" марта 2012 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д212.081.10 при ФГАОУВПО “Казанский (Приволжский) федеральный университет” по адресу: 420008, г.Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, ауд.337.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского ФГАОУВПО “Казанский (Приволжский) федеральный университет” по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

Автореферат разослан " " февраля 2012 г. и размещен на официальном сайте ФГАОУВПО “Казанский (Приволжский) федеральный университет”.

Ученый секретарь совета Д 212.081.к.ф.-м.н., доцент Е.К. Липачев I

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Многие прикладные задачи физики, механики, математической физики, в частности, контактные задачи теории упругости, некоторые задачи теории дифракции, теории статики и теории трещин приводят к многомерным интегральным уравнениям с полярными ядрами и ядрами типа Михлина-Трикоми-Жиро.

Первые значительные результаты по исследованию свойств решений таких уравнений и участвующих в них интегралов в двумерном случае появились в работах Ф. Трикоми, Ж. Жиро, С.Г. Михлина. Они, в частности, получили формулы дифференцирования соответствующих интегралов, формулы для композиции слабосингулярных и сингулярных интегралов и нашли случаи решения уравнений в замкнутой форме. В дальнейшем эти результаты были развиты в различных направлениях: распространение на случай евклидового пространства произвольной размерности; исследование уравнений, заданных в произвольной ограниченной области и на многообразиях с краем; изучение свойств интегралов с обобщенными слабосингулярными ядрами и свойств решений уравнений с такими интегралами;

исследование в пространствах Лебега Lp, 1 p < (возможно, с весом) и весовых пространствах Гельдера вопросов разрешимости соответствующих уравнений.

Систематическое исследование многомерных интегральных уравнений с полярными ядрами и с ядром Трикоми-Михлина-Жиро в случае задания уравнения на всем евклидовом пространстве и на ограниченном замкнутом множестве этого пространства проведено С.Г. Михлиным и изложено в его известных монографиях. В случаях открытого ограниченного множества исследование свойств решений многомерных слабосингулярных интегральных уравнений и некоторых классов сингулярных интегральных уравнений содержится в монографиях К.Е. Аткинсона, Г.М. Вайникко, И.К. Лифанова и Л.Н. Полтавского, С.Г. Михлина и С. Прёсдорфа, Г.С.Кита и М.В. Хая, И.В. Бойкова (см. также библиографию в них).

К настоящему времени теория для уравнений с полярными ядрами и ядрами типа Трикоми-Михлина-Жиро хорошо разработана. Из этой теории следует, что за исключением частных случаев такие уравнения в замкнутой форме не решаются. Поэтому как для теории, так и, в особенности, для практики важное значение имеют разработка приближенных методов решения соответствующих многомерных сингулярных интегральных уравнений и исследование вопросов их разрешимости.

Вопросами приближенного решения многомерных слабосингулярных интегральных уравнений и сингулярных интегральных уравнений с ядром Трикоми-Михлина-Жиро занимались С.Г. Михлин, С. Прёсдорф, Г.М. Вайникко, Б.Г. Габдулхаев, А.Б. Самохин, И.В. Бойков, их ученики и последователи. При этом значительное число работ посвящено итерационным методам решения указанных уравнений и лишь небольшое количество работ – построению приближенных решений с помощью прямых методов, таких, как: методы Галеркина и Ритца, методы коллокаций и квадратур на базе сплайновой аппроксимации. Однако, несмотря на сказанное, в этой области всё ещё остается ряд нерешенных задач. К ним, прежде всего, следует отнести следующие: нахождение новых достаточных условий разрешимости уравнений; построение в определенном смысле наилучших итерационных методов; разработка простых вычислительных схем прямых методов со строгим теоретическим обоснованием. Данная диссертационная работа в некоторой степени восполняет этот пробел.

Целью настоящей диссертации является разработка со строгим теоретико-функциональным обоснованием приближенных методов решения двумерных слабосингулярных и сингулярных интегральных уравнений в круге и исследование вопросов разрешимости соответствующих уравнений. При этом под теоретико-функциональным обоснованием, согласно Л. В. Канторовичу и Б. Г. Габдулхаеву, понимается следующий круг задач:

а) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующего уравнения;

б) установление оценок погрешности приближенного решения;

в) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и исследование скорости сходимости;

г) исследование устойчивости и обусловленности приближенных методов.

Методика исследования. При выводе и обосновании полученных в диссертации результатов существенно используются теория приближения функций многочленами и сплайнами, общая теория приближенных методов анализа, а также результаты из функционального анализа и теории сингулярных интегральных уравнений. При этом подходы и рассуждения, применяемые в работе, основываются на использовании результатов и методик исследований, предложенных в работах научного руководителя.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. В работе установлены достаточные условия однозначной разрешимости двумерных интегральных уравнений с полярным ядром и сингулярных интегральных уравнений с ядром Трикоми-Михлина-Жиро. Для исследуемых уравнений дано теоретическое обоснование вычислительных схем ряда итерационных и прямых методов их решения; в частности, получены эффективные оценки погрешности построенных приближенных решений в универсальных терминах конструктивной теории функций. Изучены свойства двумерного полиномиального оператора Лагранжа и предложены с обоснованием два способа вычисления двумерных слабосингулярных интегралов на основе полиномиальной и сплайновой аппроксимаций.

Теоретическое и практическое значение. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при разработке и исследовании точных и приближённых методов решения многомерных сингулярных и слабосингулярных интегральных уравнений, возникающих при решении конкретных прикладных задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на итоговых конференциях Казанского государственного университета за 2004 – 2006 гг., 2011 г., на Седьмой, Восьмой и Десятой международных Казанских летних школах-конференциях “Теория функций, её приложения и смежные вопросы” (Казань, 27 июня – 4 июля 2005 г., июня – 4 июля 2007 г., 1 - 7 июля 2011 г.), на Пятой, Шестой и Десятой молодёжных научных школах-конференциях “Лобачевские чтения” (Казань, 28 ноября – 2 декабря 2005 г., 28 ноября – 2 декабря 2006 г., 31 октября – 4 ноября 2011 г.), на Второй международной научно-практической конференции “Дни науки – 2006” (Днепропетровск, 17 – 28 июня 2006 г.). Кроме того, по мере получения результаты докладывались на городском научном семинаре при Казанском университете “Теория аппроксимации и ее приложения” (научный руководитель, профессор Б.Г. Габдулхаев) и на семинаре кафедры теории функций и приближений (научный руководитель, профессор Ф.Г. Авхадиев).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах научному руководителю и научному консультанту принадлежат постановка задач и определение общего подхода к исследованиям, соответствующие результаты получены лично диссертантом.

Структура и объем работы. Работа объемом 105 страниц состоит из введения, 2 глав, содержащих 13 параграфов и списка литературы, насчитывающего 114 наименований.

II Содержание работы Во введении обосновывается актуальность темы исследования, приводится обзор работ по теме диссертации и дается краткое изложение полученных автором результатов.

Первая глава диссертации посвящена построению и исследованию приближенных методов решения слабосингулярных интегральных уравнений (кратко: с.с.и.у.). В ней вводятся основные пространства, в которых ведутся исследования, строятся кубатурные формулы для вычисления двумерных слабосингулярных интегралов, исследуется разрешимость интегральных уравнений с полярными ядрами и разрабатываются вычислительные схемы приближенных методов решения таких уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием.

В §1 приводятся вспомогательные результаты из общей теории приближенных методов функционального анализа, теории приближения функций полиномами и доказываются некоторые новые результаты из конструктивной теории функций, необходимые во всем дальнейшем изложении.

§2 посвящен исследованию двух групп кубатурных формул для интеграла с фиксированной особенностью h(x, y)u(y) T u dy, x D, 0 < < 2.

r(0, y) D При этом для приближенного вычисления слабосингулярного интеграла использовались результаты построения кубатурных формул специального вида для регулярных интегралов, когда областью интегрирования является круг. Первая группа кубатурных формул построена с применением квадратурной формулы Гаусса с весовой функцией Якоби r1- на отрезке [0, 1] и квадратурной формулы наивысшей тригонометрической степени точности. Кубатурная формула в данном случае имеет следующий вид:

n m 2 T u Ak h( cos , sin ; rk cos i, rk sin i)u(rk cos i, rk sin i), m k=1 i=где u C(D), rk и Ak – узлы и коэффициенты квадратурной формулы Гаусса, а i – попарно неэквивалентные равноотстоящие узлы на отрезке длиной 2. Для построения второй группы кубатурных формул вместо классического аппарата полиномиального приближения использовался аппарат сплайн-функций, в частности, сплайнов нулевой и первой степеней.

Для обеих групп кубатурных формул установлены оценки погрешности.

В §3 установлены достаточные условия существования и единственности решения с.с.и.у.

h(x, y)u(y) Au a(x)u(x) + dy = f(x), x D, 0 < < 2. (1) r(x, y) D Здесь (и далее) D - круг единичного радиуса с центром в начале координат, x = (x1, x2), y = (y1, y2) – его точки, r(x, y) = |x - y| – евклидово расстояние между точками x и y, h(x, y), a(x) – непрерывные, а f(x) – квадратично-суммируемая (возможно, с весом) в круге D данные функции соответственно, u(x) – искомая функция. Приведем один из полученных результатов.

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия:

1) функция a(x) C(D) не обращается в нуль ни в одной точке области D;

2) h(x, y) C(D2);

3) функция h(x, y) + h(y, x) g(x, y) = r(x, y) разлагается в симметричный ряд g(x, y) = k(x)k(y), x, y D, k=сходящийся в пространстве L2(D2), где {k(s)} = {k(s1, s2)} – лиk=1 k=нейно независимая система функций из L2(D). Тогда с.с.и.у. (1) имеет единственное решение u(x) L2(D) при любой правой части f(x) L2(D) и u f, L2(D) L2(D) m где m – точная нижняя грань функции |a(x)|.

В §4 предлагается эффективный итерационный метод решения с.с.и.у.

(1). Исходное уравнение записывается в эквивалентном виде u = Bu + f, > 0, где B = B() = E -A : L2 L2 есть так называемый оператор перехода.

Выбирая здесь из условия минимальности нормы оператора B в L2, т.е.

= 0 = m/M2, где m – точная нижняя грань функции |a(x)|, а константа M ограничивает норму оператора A в пространстве L2(D), приближения к решению будем получать по следующему итерационному правилу:

m uk = B(0)uk-1 + 0f = uk-1 + (f - Auk-1), k = 1, 2,..., u0 L2(D).

MДоказывается, что при таком выборе параметра оператор B = B(0) является сжимающим отображением. Получены оценки погрешности и доказана устойчивость предложенного метода относительно исходных данных.

В §5 исследуется общий проекционный метод Галеркина решения с.с.и.у.

(1). Доказана однозначная разрешимость соответствующей системы линейных алгебраических уравнений, и установлена сходимость приближенных решений, полученных предложенным методом, к точному решению исследуемого уравнения.

В §6 предлагаются проекционно-итеративные методы, основанные на исследованных в §§4 и 5 итерационном и проекционном методах. Необходимость разработки таких методов заключается в том, что разрешимость системы линейных алгебраических уравнений проекционного метода возможна, вообще говоря, только при значениях n порядка системы, начиная с некоторого натурального. Поэтому при больших значениях n задача решения системы алгебраических уравнений становится трудоемкой.

Проекционно-итеративные методы позволяют в определенной степени эту проблему решить. Для предложенных проекционно-итеративных методов установлены эффективные оценки погрешности.

Среди прямых методов решения интегральных уравнений особое место занимает метод механических квадратур (кубатур). Это связано, прежде всего, с простой вычислительной схемой указанного метода. Вместе с тем его обоснование вызывает значительные трудности. В §§7 и 8 нами предлагаются вычислительные схемы метода кубатур решения с.с.и.у. (1).

§7 посвящен теоретическому обоснованию метода механических кубатур решения с.с.и.у. с фиксированной особенностью вида h(x, y)u(y) Au a(x)u(x) + dy = f(x), x D, 0 < < 2, r(0, y) D где a(x), f(x) и h(x, y) – данные непрерывные функции в D и D D соответственно. Вычислительная схема метода строится с применением одной из построенных в §2 кубатурных формул. В результате получим систему линейных алгебраических уравнений n m 2 csp + Ak h(s, p; rk, i)cki = f(s, p), s = 1, n, p = 1, m, m k=1 i=относительно приближенных значений {cki} искомой функции u(r, ) u(r cos , r sin ) в узлах кубатурной формулы (rk, i) (k = 1, n, i = 1, m), h(, ; r, ) h( cos , sin ; r cos , r sin ), f(, ) f( cos , sin ), где {rk} – нули многочлена Якоби из ортогональной системы на [0, 1] с весом r1-, {i} = 2i/m + , R. Доказывается сходимость метода и устанавливается оценка его погрешности в среднем. Как следствие сходимости метода в среднем, доказывается сходимость метода в узлах кубатурной формулы, а из нее, в свою очередь, сходимость в равномерной метрике.

В §8 предлагаются вычислительная схема и теоретическое обоснование метода механических кубатур решения с.с.и.у. (1). При построении вычислительной схемы метода используются результаты Б.Г. Габдулхаева и П.Н.

Душкова по решению методом механических квадратур одного одномерного сингулярного интегрального уравнения. Слабосингулярный интеграл из (1) преобразуется следующим образом:

h(x, y)u(y) h0(x, y)u(y) r(0, y) T (hu) dy = dy, h0(x, y)=h(x, y).

r(x, y) r(0, y) r(x, y) D D Рассматривается новый интегральный оператор hs(x, y)u(y) T (hsu) dy, 0 < s < 1, r(0, y) D где s – произвольно фиксированный параметр, а r-(x, y), r(x, y) s, hs(x, y) = h(x, y)r(0, y)vs(x, y), vs(x, y) = s-, r(x, y) s.

Тогда для с.с.и.у.

Asu u + T (hsu) = f становится возможным применить одну из построенных в §2 кубатурных формул. В результате мы приходим к вычислительной схеме метода кубатур решения уравнения (1):

n m 2 ctp + Ak hs(t, p; rk, i)cki = f(t, p), t = 1, n, p = 1, m, (2) m k=1 i=относительно приближенных значений {cki} искомой функции u(x)=u(r, ) в узлах (rk, i) (k = 1, n, i = 1, m). Доказана Теорема 8.1. При определенном согласовании параметров s, n и m система алгебраических уравнений метода механических кубатур однозначно разрешима (хотя бы при достаточно больших n и m). Для погрешности приближенных решений u в пространстве L2 верна оценка s(nm) - A-1 2 As 2,q u - u · u + s(nm) · f + nm, 2 2 2,q s(nm) 1 - 1 - s(nm) где As и f – оператор As и функция f после перехода к полярной системе координат, = (s, ) = CF < 1, |h(x, y)| C, F = max r(x, y)- - vs(x, y) dy, Ds(x) = {y R2|r(x, y) s}, xD Ds(x) -6 As 2,q s(nm) = En-1,(hs; )C + E,µ(hs; )C+ 2 - +En-1,(hs; r)C + E,µ(hs; )C, 2 nm 3 En-1,(f; )C + E,µ(f; )C, 2 - а En,(u; r)C – наилучшее равномерное приближение функции u(r, ) по переменной r алгебраическими многочленами степени не выше n, коэффициенты которых являются произвольными непрерывными функциями относительно переменной , E,µ(u; )C – наилучшее равномерное приближение функции u(r, ) по переменной тригонометрическими многочленами степени не выше µ = [(m - 1)/2], коэффициенты которых являются произвольными непрерывными функциями относительно переменной r.

В §9 для вычислительной схемы метода наименьших квадратов решения уравнения (1) дано его теоретическое обоснование в пространстве L2(D).

В главе II диссертации исследуются сингулярные интегральные уравнения вида f()h(x, y) x - y Au a(x)u(x) + u(y)dy = g(x), =, x D, (3) r2(x, y) r(x, y) D где a(x) C(D), g(x) L2(D) – данные, а u(x) L2(D) – искомая функции; характеристика f() L1[0, 2] удовлетворяет необходимому и достаточному условию существования сингулярного интеграла из (3) в смысле главного значения f()d = 0, - а функция h(x, y) C(D2) такова, что A L2(D)L2(D) M = const < .

Для уравнения (3) устанавливаются достаточные условия разрешимости, приводятся вычислительные схемы ряда приближенных методов и дается их теоретическое обоснование.

В §10 устанавливаются простые и эффективные условия, достаточные для существования и единственности решения уравнения (3) в пространстве квадратично-суммируемых в круге D функций. В частности, имеет место следующая Теорема 10.1. Пусть R, min |a(x)| m0 = const > xD и выполняется одно из условий:

) функция f() является нечетной функцией и для u L2(D) 1 f() [h(x, y) - h(y, x)] (S-u, u) u, S-u = u(y)dy;

2 r2(x, y) D ) f() является четной функцией и для u L2(D) 1 f() [h(x, y) + h(y, x)] (S+u, u) u, S+u = u(y)dy.

2 r2(x, y) D Если m = m0 + > 0, то оператор A : L2(D) L2(D) непрерывно обратим и A-1 L2L2 m-1 < .

Следствие. В условиях теоремы интегральное уравнение (3) имеет единственное решение u = A-1g L2(D) при любой правой части g L2(D), и для него справедливо неравенство u f.

L2(D) L2(D) m В §11 построены вычислительные схемы итерационных методов решения с.и.у. (3), обеспечивающие наилучшую скорость сходимости построенных приближений к точному решению, и получены оценки их погрешности в пространстве L2.

§12 посвящен теоретическому обоснованию проекционного метода решения с.и.у. (3). Приближенное решение уравнения (3) ищется в виде обобщенного многочлена n un(x) = kk(x), x D, n N, (4) k=где {k} – полная ортонормальная система функций в L2(D), а неизвестные коэффициенты {k} находятся из системы линейных алгебраических уравнений метода Галеркина n kcl(Ak) = cl(g), l = 1, n, (5) k=где cl(z) – коэффициенты Фурье функции z L2(D) по системе {k}. Для вычислительной схемы (3), (4), (5) справедлива Теорема 12.1. В условиях теоремы 10.1 система (5) однозначно разрешима при любых n N и приближенные решения (4) сходятся в L2(D) к точному решению u(x) уравнения (3). При этом погрешность приближенной формулы u(x) un(x) может быть оценена с помощью неравенств M En(u) u - un En(u), n N, m где En(u) - наилучшее среднеквадратическое приближение функции u L2(D) всевозможными элементами вида (4), M – константа, определяемая из неравенства A L2(D)L2(D) M.

В §13 исследуются проекционно-итеративные методы решения с.и.у. (3), построенные на основе исследованных в §§11 и 12 итерационном и проекционном методах. Согласно этому методу приближения к решению, полученному проекционным методом (4), (5), ищутся по итерационному правилу m uj = uj-1 + Png - Anuj-1, j = 1, 2,..., (6) n n n Mгде Pn : L2 Xn L2 – линейный проекционный оператор, Xn – линейная оболочка, натянутая на первые n N элементов линейно независимой полной ортонормальной системы функций {k}, n N, а u0 – произвольное n начальное приближение из Xn.

Теорема 13.1. В условиях теоремы 10.1 решение un Xn проекционного метода (4), (5) можно найти как предел в L2 итерационной последовательности (6), причем для u0 = (m/M2)Png справедливы оценки n qj+1 m m un - uj Png, q = 1 -, n, j N.

n 1 - q M2 MТеорема 13.2. В условиях теоремы 10.1 единственное решение u L2(D) уравнения (3) можно найти как предел u = lim un = lim lim uj n n n j в L2 итерационной последовательности (6). При этом для любых n, j N и u0 Xn справедлива оценка n M qj u - uj En(u) + u1 - u0 ;

n n n m 1 - q если же u0 = (m/M2)Png, то n M qj+1 m u - uj En(u) + · g.

n m 1 - q MПриведем здесь ещё один результат для проекционно-итеративного метода решения уравнения (3), основанного на итерационном правиле m uk = uk-1 + (g - Auk-1), k = 1, 2,....

MТеорема 13.3. Пусть за начальное приближение u0 L2(D) берется приближенное решение un Xn уравнения (3), полученное проекционным методом (4), (5). Тогда погрешность k-го приближения u - uk оценивается по формуле Mqk u - uk En(u), m где n, k N, q = 1 - m2/M2 < 1.

Заключение. В работе получены и выносятся на защиту следующие основные результаты:

1. Предложены достаточные условия существования и единственности решений двумерных слабосингулярных и сингулярных интегральных уравнений в круге, приводящихся к уравнениям второго рода.

2. Для двумерных интегральных уравнений с полярным ядром и двумерных сингулярных интегральных уравнений типа Трикоми-Михлина-Жиро в круге построены вычислительные схемы и проведено теоретическое обоснование итерационных методов, общего проекционного метода Галеркина и метода механических кубатур.

3. Для двумерных интегралов в круге с полярным ядром предложены с обоснованием два способа построения кубатурных формул.

III Публикации по теме диссертации 1. Габдулхаев, Б. Г. Методы решения одного класса многомерных сингулярных интегральных уравнений / Б. Г. Габдулхаев, Р. К. Губайдуллина // Материалы Седьмой международной Казанской летней научной школыконференции “Теория функций, её приложения и смежные вопросы” (Казань, 27 июня – 4 июля 2005 г.). – Труды мат. центра им. Н.И.Лобачевского, Том 30. – Казань: Изд-во Казан. мат. о-ва. – 2005. – С. 30 - 34.

2. Габдулхаев, Б. Г. О кубатурных формулах для одного класса многомерных слабо сингулярных интегралов / Б. Г. Габдулхаев, Р. К. Губайдуллина // Матерiали II Мiжнародно науково-практично конференцi “Днi науки – 2006”, Т. 35. Математика. – Днiпропетровськ: Наука и освiта. – 2006. – С. 12 - 18.

3. Габдулхаев, Б. Г. Приближенные методы решения одного класса многомерных сингулярных уравнений / Б. Г. Габдулхаев, Р. К. Губайдуллина // Известия вузов. Математика. – 2006.

– № 11. – С. 11 - 16.

4. Губайдуллина, Р. К. Метод наименьших квадратов решения многомерных слабосингулярных интегральных уравнений / Р. К. Губайдуллина// Материалы Пятой молодёжной научной школы-конференции “Лобачевские чтения –2006” (Казань, 28 ноября – 2 декабря 2006 г.). – Казань:

Изд-во Казан. мат. о-ва. – 2006. – С. 66 - 68.

5. Губайдуллина, Р. К. Приближенные методы решения одного класса многомерных слабосингулярных интегральных уравнений / Р. К. Губайдуллина // Сб. докладов конференции, посвященной 10-летию филиала КГУ в г. Зеленодольске “Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук”(23 ноября 2006 г.). – Казань: Казан. гос. ун-т. – 2006. – С. - 96.

6. Губайдуллина, Р. К. Об оценках операторов Лагранжа в многомерных пространствах / Р. К. Губайдуллина // Материалы Восьмой международной Казанской летней научной школы-конференции “Теория функций, её приложения и смежные вопросы” (Казань, 27 июня - 4 июля 2007 г.). – Труды мат. центра им. Н.И.Лобачевского, Том 35. – Казань: Изд-во Казан.

мат. о-ва. – 2007. – С.83 - 85.

7. Агачев, Ю. Р. Об одном многомерном слабосингулярном интегральном уравнении / Ю. Р. Агачев, Р. К. Губайдуллина // Известия вузов. Математика. – № 11. – 2007. – С. 3 - 11.

8. Губайдуллина, Р. К. Сходимость в среднем кубатурного метода для одного класса интегральных уравнений / Р. К. Губайдуллина // Тезисы докладов 14-й Саратовской зимней школы “Современные проблемы теории функций и их приложения”, посвященной памяти академика П.Л.Ульянова.

– Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. – 2008. – С. 59 - 60.

9. Агачев, Ю. Р. Кубатурный метод решения одного класса многомерных слабосингулярных интегральных уравнений / Ю. Р. Агачев, Р. К. Губайдуллина // Известия вузов. Математика. – № 12. – 2009. – C. 3 - 13.

10. Губайдуллина, Р. К. Метод механических кубатур решения одного класса двумерных слабо сингулярных интегральных уравенений / Р. К. Губайдуллина // Материалы Десятой международной Казанской летней научной школы-конференции “Теория функций, её приложения и смежные вопросы” (Казань, 1 - 7 июля 2011 г.). – Труды мат. центра им. Н.И.Лобачевского, Том 43. – Казань: Изд-во Казан. мат. о-ва. – 2011. – С. 106 - 109.







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.