WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

РЯБЦОВ ИГОРЬ СЕРГЕЕВИЧ

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФРЕЙМОВ ПАРСЕВАЛЯ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж – 2012

Работа выполнена на кафедре функционального анализа и теории функций Самарского государственного университета

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, доцент Новиков Сергей Яковлевич, Самарский государственный университет, декан механико-математического факультета

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Гельман Борис Данилович, Воронежский государственный университет, доцент кафедры математического анализа доктор физико-математических наук, профессор Терёхин Павел Александрович, Саратовский государственный университет, профессор кафедры математического анализа

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита состоится 18 декабря на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу:

394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " " ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.22, доктор физ.-мат. наук, профессор Гликлих Ю.Е.

Общая характеристика работы



Актуальность темы. В последние десятилетия наряду с классическим гармоническим анализом активно развивается негармонический, в котором большое внимание уделяется изучению фреймов линейно-зависимых полных систем векторов.

Понятие фрейма было введено в 1952 г. в работе авторов R.J. Duffin и A.C. Schaeffer, посвященной негармоническим рядам Фурье. Однако, до начала 90-х годов фреймы были малоизвестны, число публикаций по этой теме исчислялось единицами. Из ранних работ, посвящённых фреймам, можно отметить книги и статьи R. Young, I. Daubechies, A. Grossmann, Y. Meyer, C.

Heil, D. Walnut. С появлением и развитием теории вейвлетов ситуация изменилась, и теория фреймов стала бурно развиваться. Большое число исследовательских групп активно работают в этом направлении, среди которых можно отметить такие, наиболее крупные, как Frame Research Center в университете Миссури и NUHaG в университете Вены. Ежегодно публикуются сотни работ, посвящённых фреймам.

Фреймы нашли широкое применение в цифровой обработке сигналов и изображений, в кодировании и сжатии информации, в разработке фильтров для удаления различных шумов, в квантовой механике. Такой интерес к фреймам связан с отсутствием требования линейной независимости. С одной стороны, это позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема и сколь угодно большой избыточности. Эти свойства фреймов имеют определенную ценность для многих прикладных задач, так как избыточность фрейма позволяет восстановить исходный сигнал, даже если при передаче некоторые из его коэффициентов разложения были потеряны, искажены или зашумлены. С другой стороны, любой элемент гильбертова пространства можно разложить по фрейму, причём, в общем случае, разложение не является единственным, а, следовательно, существует возможность выбирать коэффициенты разложения, налагая на них дополнительные ограничения. Это свойство, в частности, используется в сравнительно новой парадигме цифровой обработки сигналов под названием Compressed Sensing. Нетривиальность ядра оператора синтеза фрейма даёт возможность устранять шумы полностью, если они целиком попадают в это ядро.

Особое место занимают фреймы в помехоустойчивом кодировании. При этом известно, что оптимальными фреймами в задачах помехоустойчивого кодирования являются жёсткие фреймы, в частности, равномерные фреймы Парсеваля, поскольку они обеспечивают максимально возможное подавление шума при заданной избыточности. Кроме того, использование жёстких фреймов предпочтительно с точки зрения вычислительной сложности операция обращения фреймового оператора для таких систем является тривиальной.

Несмотря на то, что построение произвольных фреймов Парсеваля не является сложным, задача построения равномерных фреймов Парсеваля является отнюдь не тривиальной. Поиск новых методов решения этой задачи является актуальным, на текущий момент, и будет затронут в диссертационной работе.

Важной областью исследований является изучение свойств подсистем фреймов. С прикладной точки зрения эта задача интересна, поскольку она позволяет анализировать устойчивость фрейма к потерям фреймовых коэффициентов при передаче. В теоретическом плане эта задача также важна.

Одна из переформулировок проблемы Кадиссона-Зингера, так называемая гипотеза Фейхтингера и её конечномерные аналоги, связаны со свойствами разбиений произвольных фреймов и фреймов Парсеваля.

Цель работы. Исследование возможности получения новых фреймов из произвольного фрейма при помощи изменения норм векторов; поиск условий, при которых из фрейма Парсеваля можно получить новые фреймы Парсеваля; анализ структурных свойств фреймов Парсеваля под действием изменений норм их векторов; поиск новых конструктивных методов построения жёстких фреймов с заданными характеристикам, в частности, равномерных фреймов Парсеваля; определение и описание класса простых фреймов Парсеваля; анализ основных свойств классов простых и составных фреймов Парсеваля, а также инвариантных преобразований этих классов; получение конкретных конструкций простых фреймов Парсеваля в конечномерных и бесконечномерных пространствах; поиск необходимых, достаточных условий, а также критериев простоты фреймов Парсеваля;

Методика исследований. Использовались методы теории функций и функционального анализа, элементы линейной алгебры и теории операторов.





Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие, наиболее важные:

1. Введены и описаны классы простых и составных фреймов Парсеваля в гильбертовых пространствах.

2. Получен новый метод построения фреймов Парсеваля с заданными характеристиками, который значительно проще существующих подходов.

При этом для конечных фреймов метод является универсальным, с его помощью возможно получить любой фрейм Парсеваля.

3. Найдены конкретные конструкции простых фреймов Парсеваля на основе равноугольных и блочных фреймов.

4. Доказана ограниченность числа векторов простых конечных фреймов N Парсеваля в.

5. Получены достаточные условия простоты конечных фреймов Парсеваля в конечномерных пространствах.

6. Доказан ряд критериев простоты фреймов Парсеваля в различных терминах.

7. Описаны топологические и проекционные свойства множества простых N фреймов в.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения жёстких фреймов в конечномерных и бесконечномерных пространствах. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для построения жёстких фреймов с заданными свойствами, а также найти применение в цифровой обработке сигналов.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах Самарского государственного университета; на семинаре кафедры высшей математики Санкт-Перебургского государственного университета; на второй международной конференции Математическая физика и её приложения в г. Самара, 2010 г.; на международной конференции Современные методы теории функций и смежные проблемы в г. Воронеж, 2011 г.; на десятой международной Казанской летней научной школе-конференции, 2011 г.; на конференции Дифференциальные уравнения и их приложения в г. Самара, 2011 г.; на международной научной студенческой конференции в г. Новосибирск, 2011, 2012 гг.; на международной Саратовской зимней математической школе Современные проблемы теории функций и их приложения, 2012 г.; на международной конференции "Wavelets and Applications" в г. Санкт-Петербург, 2012 г.

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в работах автора [1–16]. Из совместной работы [14] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично автором. Статьи [2, 8, 13, 14] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Объем диссертации 107 страниц. Библиографический список содержит 71 наименование.

Содержание диссертации Во введении описана краткая история возникновения проблемы данного исследования, обосновывается актуальность выбранной темы исследования, его связь с прикладными задачами. Далее формулируется ряд качественных вопросов, которые изучаются в данной работе, и ответы на которые приводятся в исследовании.

В первой главе рассматривается общая теория фреймов в сепарабельных гильбертовых пространствах над вещественным полем, специфические свойства конечномерных фреймов, описываются основные свойства фреймового потенциала и его значение в характеризации жёстких фреймов, исследуется класс равноугольных фреймов.

Пусть H полное сепарабельное пространство, наделённое скалярным произведением ·, · и согласованной нормой x = x, x, а I конечное или бесконечное множество индексов. В силу изоморфизма сепарабельных гильбертовых пространств, не ограничивая общность, можно рассматривать N исключительно пространства и.

Определение 1.5 Набор элементов F = {fi}iI пространства H называется фреймом, если существуют константы A, B > 0 такие, что для всех x из H выполнено двойное неравенство 2 A x | x, fi |2 B x.

iI Числа A и B называются соответственно нижней и верхней границами фрейма. Множество фреймов в пространстве H с границами A и B будет обозначать FA,B(H). Укажем некоторые специальные классы фреймов.

Определение 1.6 Фрейм F = {fi}iI называется равномерным, если существует константа b > 0 такая, что i I верно fi = b.

Определение 1.7 Фрейм F = {fi}iI называется нормированным, если i I верно fi = 1.

Определение 1.8 Фрейм F = {fi}iI называется ограниченным, если существует константа > 0 такая, что i I верно fi .

Определение 1.9 Назовём фрейм F = {fi}iI жёстким, если можно выбрать границы фреймы так, что A = B.

Определение 1.10 Назовём фрейм F = {fi}iI фреймом Парсеваля, если x H, | x, fi |2 = x.

iI Множество фреймов Парсеваля в пространстве H будем обозначать PF(H), а подмножество ограниченных фреймов Парсеваля BPF(H).

Рассмотрим произвольный фрейм F = {fi}iI в пространстве H.

Определение 1.12 Будем называть оператором синтеза фрейма F линейное отображение следующего вида T : (I) H, T {ci}iI = cifi.

iI Оператор синтеза фрейма F будем обозначать T = synthesis (F ).

Рассмотрим класс равноугольных фреймов над вещественным полем, который имеет не только теоретическое, но и прикладное значение.

Определение 1.17 Нормированную систему векторов F = {fi}M проi=N странства назовём равноугольной, если для некоторой константы c [0, 1) верно равенство 1, i = j, | fi, fj | = c, i = j.

Теорема 1.9 Пусть F = {fi}M произвольная равноугольная система i=N векторов в пространстве, тогда N(N + 1) M .

Важным частным случаем равноугольных фреймов являются жёсткие фреймы, при этом являющиеся равноугольными. Класс таких фреймов N N в пространстве будем обозначать ET F( ).

2 Во второй главе определяются и рассматриваются два непересекающихся класса фреймов простые и составные фреймы Парсеваля, объединение которых образует всё множество фреймов Парсеваля. Глава посвящена описанию основных свойств простых и составных фреймов, формулировке необходимых и достаточных условий принадлежности произвольного фрейма Парсеваля этим классам, поиску конструкций простых фреймов в различных пространствах. Основным результатом главы является теорема, которая показывает, что любой конечный фрейм Парсеваля может быть получен исключительно при помощи простых фреймов Парсеваля.

Определение 2.1 Назовём фрейм F = {fi}iI PF(H) составным, если существует набор констант {i}iI такой, что 1. Cистема векторов F = {ifi}iI PF(H), 2. Существует индекс k I такой, что k = 0, 3. Существует индекс l I такой, что l = inf i, iI i= 4. Существует индекс t I такой, что t = sup i.

iI i= Будем полагать, что все i 0. В дальнейшем будет показано, что это никак не отражается на определении составного фрейма.

Определение 2.2 Назовём фрейм F = {fi}iI PF(H) простым, если он не является составным.

Множество составных фреймов Парсеваля в пространстве H будем обозначать CPF(H), а простых PPF(H).

В работе получено ограничение на объем простого фрейма Парсеваля, аналогичное ограничению на объём равноугольного фрейма в теореме 1.9.

N Теорема 2.1 Если F = {fi}M PPF( ), то имеет место следующее i=1 ограничение числа векторов N(N + 1) M .

Сформулируем критерий простоты произвольного фрейма Парсеваля в операторной форме.

Теорема 2.3 Пусть F = {fi}iI PF(H), а T = synthesis (F ). Тогда следующие два условия эквивалентны (i) F CPF(H).

(ii) Существует диагональный оператор D : (I) (I), при этом вер2 ны утверждения:

1. Оператор D строго положителен, ограничен и является инъекцией, 2. T D2T = I, 3. D = I.

Рассмотрим произвольное гильбертово пространство H. Пусть F = {fi}iI произвольная система векторов из H, а вещественный скаляр. Условимся использовать сокращение F = {fi}iI.

Выберем произвольный вектор h H такой, что h = 1.

Определение 2.4 Если {aj}jJ набор ненулевых констант, удовлетворяющий условию a2 < , j jJ то систему векторов вида H = {hj}jJ, где hj = ajh для всех j J, будем называть классом коллинеарных векторов.

Определение 2.5 Будем называть вектор h нормальным элементом класса H и использовать для него следущее обозначение N (H) = h.

На множестве всех классов коллинеарных векторов определим следующий оператор R(H) = a2 N (H).

j jJ Рассмотрим произвольный фрейм F = {fi}iI, который может содержать попарно коллинеарные вектора. Разделим множество индексов I на непересекающиеся классы {Ik}kK так, что I = Ik.

kK Множество векторов фрейма F разбивается на классы коллинеарных векторов Hk = {fp}pI, F = Hk.

k kK На множестве всех фреймов определим следующий оператор FR(F ) = R(Hk).

kK Определение 2.6 Пусть {Fk}kK множество фреймов пространства H с границами {Ak}kK и {Bk}kK, причём Ak < , Bk < .

kK kK Тогда определим фреймовое объединение множества {Fk}kK следующим образом U ({Fk}kK) = FR Fk.

kK При это границы A и B полученного фрейма U ({Fk}kK) можно оценить следующим образом Ak A B Bk.

kK kK Определение 2.7 Пусть {Fk}kK множество фреймов Парсеваля пространства H. Выберем некоторый набор положительных весов {k}kK такой, что 2 = 1. Взвешенным фреймовым объединением множества k kK {Fk}kK фреймов с весами {k}kK назовём следующий фрейм Парсеваля WU ({Fk}kK, {k}kK) = U ({kFk}kK).

При этом требования определения 2.6 автоматически выполнены, и фреймовое объединение всегда имеет смысл.

Центральным результатом работы является следующая теорема о представлении произвольного фрейма Парсеваля.

Теорема 2.5 Любой фрейм Парсеваля F = {fi}iI CPF(H), не содержащий коллинеарных векторов, можно представить в виде взвешенного фреймового объединения двух фреймов Парсеваля вида F = WU({F, F}, {, }), при этом будут верны следующие утверждения:

1. F = {ifi}iI PF(H) и F = {ifi}iI PF(H), 2. Существует индексы l, l I такие, что l = inf i, l = inf i, iI iI i=0 i= 3. Существует индексы t, t I такие, что t = sup i, t = sup i, iI iI i=0 i= 4. Для пары наборов {i}iI и {i}iI существуют индексы k, k I, такие что k = k, при этом k = 0, k = 0, k = 0, k = 0, 5. = 0 и = 0 (разумеется 2 + 2 = 1).

Свойство 2.10 Если в формулировке теоремы 2.5 дополнительно предположить, что F = {fi}iI CPF(H) BPF(H), то F, F BPF(H).

N Теорема 2.6 Любой фрейм Парсеваля F = {fi}M PF( ), который не i=1 содержит коллинеарных векторов, можно представить в виде взвешенного фреймового объединения конечного числа простых фреймов Парсеваля. Иными словами, существует константа K N, для которой найдутся фреймы N F1,... FK PPF( ) и ненулевые веса 1,..., K (сумма квадратов весов равна единице) такие, что F = WU({Fk}K, {k}K ).

k=1 k=В работе получены некоторые конструкции простых фреймов Парсеваля.

N Определение 2.8 Пусть G = {gi}M ET F( ) с углом c (0, 1). Наi=1 N зовём равноугольным фреймом Парсеваля систему F = {fi}M PF( ), i=1 где N fi = gi, 1 i M.

M Теорема 2.8 Любой равноугольный фрейм Парсеваля F = {fi}M является i=простым.

Теорема 2.9 Пусть {Fk}K множество фреймов, которые будем назыk=вать блоками, таких, что k {1,..., K} верны утверждения Nk 1. Fk FA,Bk( ), k 2. |Fk| = Mk < .

Для удобства введём следующие обозначения K K Tk = synthesis (Fk), N = Nk, M = Mk.

k=1 k=Тогда система векторов F = {fi}M с оператором синтеза следующего вида i= T1 0 · · · 0 T2 · · · T = diag ({Tk}K ) =, k=1...

...

...

0 0 · · · TK N будет блочным фреймом в пространстве с оптимальными границами A = min Ak, B = max Bk.

1kK 1kK Теорема 2.10 Пусть {Fk}kK бесконечное множество фреймов, которые будем называть блоками, таких, что Nk 1. Fk FA,Bk( ), k K, k 2. |Fk| = Mk < , k K, 3. inf Ak > 0, kK 4. sup Bk < .

kK Для удобства введём обозначение Tk = synthesis (Fk). Тогда система векторов F = {fi}iI с оператором синтеза следующего вида T1 0 0 · · · 0 T2 0 · · · T = diag ({Tk}kK) = 0 0 T3 · · · ...

.

....

.

...

будет блочным фреймом в пространстве с оптимальными границами A = inf Ak, B = sup Bk.

kK kK Теорема 2.11 Если для всех k K блоки Fk являются простыми фреймами Парсеваля, то блочный фрейм F также является простым фреймом Парсеваля в конечном или бесконечномерном пространстве H.

В третьей главе описываются свойства простых и составных фреймов Парсеваля в конечномерных простанствах: достаточные условия и критерии простоты, топологические и проекционные свойства.

Для начала рассмотрим критерии, полученные в данной работе. Введём N матрицу V (F ) для F = {fi}M PF( ) следующего вида i=1 | f1, f1 |2... | f1, fM | ..

..

V (F ) =.

.. | fM, f1 |2... | fM, fM |Теорема 3.1 Следующие два утверждения эквивалентны N 1. F = {fi}M PPF( ).

i=1 2. det V (F ) = 0.

N Следствие 3.2 Блочный фрейм F PF( ) является простым тогда и только тогда, когда все его блоки {Fk}K являются простыми фреймами k=Парсеваля.

В работе доказан ряд достаточных условий простоты фреймов Парсеваля.

Введём величину взаимной когерентности векторов фрейма F = {fi}M i=N PF( ) по формуле µ(F ) = max | fi, fj |.

i =j N Теорема 3.2 Если для произвольного фрейма F = {fi}M PF( ) выполi=1 N нено неравенство µ(F ) < 1/ N, то фрейм F PPF( ).

N Теорема 3.3 Если для произвольного фрейма F = {fi}M PF( ), выполi=1 N нено неравенство fi > 1/ 2, то фрейм F PPF( ).

N Теорема 3.4 Если для произвольного фрейма F = {fi}M PF( ) верно i=1 N равенство M = N + 1, то фрейм F PPF( ).

Перейдём к топологическим свойствам простых и составных фреймов ПарN N севаля. Пусть F = {fi}M PF и G = {gi}M PF. Определим i=1 2 i=1 расстояние между фреймами F и G следующим образом (F, G) = max fi - gi.

1iM Следующая теорема показывает, что множество простых фреймов Парсеваля является открытым в смысле введённого расстояния.

N Теорема 3.5 Пусть F PPF. Тогда существует некоторая констанN та (F ) > 0 такая, что для любого G PF при (F, G) автомаN тически верно и G PPF.

В работе приводится расширение теоремы Наймарка, которое является критерием простоты произвольного фрейма Парсеваля.

N Теорема 3.6 Пусть F = {fi}M PF и P фиксированный ортопроi=1 M N ектор из в. По теореме Наймарка, существует ортонормированный 2 базис {ei}M такой, что P ei = fi при всех 1 i M. В этом случае i=следующие два условия эквивалентны N (i) F CPF.

(ii) Существует произвольная полная ортогональная система {hi}M таi=кая, что P hi = fi и hi = 0 при всех 1 i M, а также k : hk = 1.

Публикации автора по теме диссертации [1] Рябцов. И.С. Алгоритм нахождения коэффициентов фреймового представления с наименьшей -нормой / И.С. Рябцов // Тезисы докладов XXXIV самарской областной студенческой научной конференции.

Часть I. Общественные, естественные и технические науки. 2008.

С. 111.

[2] Рябцов. И.С. О представлении фреймов Парсеваля / И.С. Рябцов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2(23). 2011.

C. 194–199.

[3] Рябцов. И.С. О представлении фреймов Парсеваля / И.С. Рябцов // Материалы Воронежской зимней математической школы Современные методы теории функций и смежные проблемы. – Издательство Воронежского государственного университета. 2011. С. 292–293.

[4] Рябцов. И.С. О некоторых свойствах представления фреймов Парсеваля / И.С. Рябцов // Материалы десятой международной Казанской летней научной школы-конференции Теория функций, её приложения и смежные вопросы, труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Издательство Казанского математического общества, издательство Казанского государственного университета. 2011. T. 43.

С. 309–311.

[5] Рябцов. И.С. О представлении фреймов Парсеваля / И.С. Рябцов // Материалы XLIX Международной научной студенческой конференции Студент и научно-технический прогресс, Сер. Математика, Новосибирский гос. ун-т., Новосибирск. Редакционно-издательский центр НГУ.

2011. С. 110.

[6] Рябцов. И.С. О некоторых свойствах представления фреймов Парсеваля / И.С. Рябцов // СамДиф-2011 : конференция Дифференциальные уравнения и их приложения, г. Самара, 26-30 июня 2011 г. Тезисы докладов. – Самара : Издательство Универс групп. 2011. С. 99–100.

[7] Рябцов. И.С. О некоторых свойствах представления фреймов Парсеваля / И.С. Рябцов // Материалы IV Международной научной конференции Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования, Воронеж, 12–17 сентября 20г. Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. 2011. С. 254–255.

[8] Рябцов. И.С. О представлении фреймов Парсеваля в гильбертовых пространствах / И.С. Рябцов // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. 2011. 5(86). С. 60-–70.

[9] Рябцов. И.С. Критерий простоты фрейма Парсеваля / И.С. Рябцов // Материалы 16-ой Саратовской зимней школы Современные проблемы теории функций и их приложения. Саратов : ООО Издательство Научная книга. 2012. C. 147–148.

[10] Рябцов. И.С. Необходимые и достаточные условия простоты фреймов Парсеваля / И.С. Рябцов // XX Международная конференция Математика. Экономика. Образование. VII международный симпозиум Ряды Фурье и их приложения. VI Междисциплинарный семинар Фундаментальные проблемы информационных и коммуникационных технологий.

Тезисы докладов. Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ, Ростов н/Д. 2012.

С. 33–34.

[11] Рябцов. И.С. Некоторые свойства простых фреймов Парсеваля / И.С. Рябцов // Современные проблемы математики : тезисы Международной (43-ей Всероссийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург : Институт математики и механики УрО РАН. 2012. С. 259– 260.

[12] Рябцов. И.С. Критерий простоты фрейма Парсеваля / И.С. Рябцов // Материалы Юбилейной 50-ой международной научной студенческой конференции Студент и научно-технический прогресс. Сер. Математика, Новосибирский гос. ун-т., Новосибирск. 2012. С. 99.

[13] Рябцов. И.С. Необходимые и достаточные условия простоты фреймов Парсеваля / И.С. Рябцов // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. 2012. 4(95). С. 42-–48.

[14] Ryabtsov I.S. Optimization of Frame Representations for Compressed Sensing and Mercedes-Benz Frame / S.Ya. Novikov, I.S. Ryabtsov // Selected topics of mathematical physics and p-adic analysis, Collected papers, Tr. Mat. Inst. Steklova, 265, MAIK Nauka/Interperiodica, Moscow.

2009. P. 211–219.

[15] Ryabtsov I.S. An equivalence to Parseval frames / I.S. Ryabtsov // The Second International Conference "Mathematical Physics and its Applications". Samara. "Kniga" publisher. 2010. P. 365.

[16] Ryabtsov I.S. Prime Frame Criterion / I.S. Ryabtsov // The international conference "Wavelets and Applications, July 8–15, 2012, St. Petersburg, Russia." Abstracts. 2012. P. 85–87.

Статьи [2, 8, 13, 14] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ.

Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по разным специальностям





© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.