WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Охлупина Ольга Валентиновна

ПОТЕНЦИАЛЫ ТИПА ГРИНА И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЕСОВЫХ КЛАССОВ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 – вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2012

Работа выполнена на кафедре математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Шамоян Файзо Агитович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Григорян Сурен Аршакович кандидат физико-математических наук, доцент Шевцов Владислав Иванович

Ведущая организация: Смоленский государственный университет

Защита состоится «21» мая 2012 года в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.243.15 при Саратовском государственном университете имени Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского.

Автореферат разослан «___» _________ 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент В.В. Корнев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Субгармонические функции составляют один из важнейших классов функций, широко используемых как в комплексном анализе, так и в вещественном. Они тесно связаны с аналитическими гармоническими функциями и играют существенную роль в общей теории потенциала и математической физике.

Впервые субгармонические функции были введены в рассмотрение в начале 20-го столетия в классической работе Ф.Гартогса1.

Дальнейшее развитие теории субгармонических функций связано с основополагающими работами Р.Неванлинны2, Ф.Рисса3, И.И.Привалова4 и других классиков комплексного и вещественного анализа. Различным аспектам теории субгармонических функций посвящены работы современных авторов. Среди них отметим, прежде всего, У.Хеймана, Е.Д.Соломенцева, Н.С.Ландкофа, А.Ф.Гришина, Б.Я.Левина, В.С.Азарина, Р.С.Юлмухаметова, Б.Н.Хабибуллина, К.Л.Аветисяна, А.М.Джрбашяна и др.

В последние десятилетия по теории классов субгармонических функций и теории потенциала опубликовано несколько монографий.

Приведём обзор некоторых результатов, тесно связанных с тематикой диссертационной работы. Для этого введём необходимые обозначения.

Пусть C - комплексная плоскость, D z C : z 1 - единичный круг на комплексной плоскости, - единичная окружность с центром в начале коордиHartogs F. Zur Theorie der analytischen Functionen mehrer unabhngiger Vernderlichen insbesondere Uber die Darstellung derselen durch Reihen / F. Hartogs //Velche nach potenzen einer Veranderlichen fortschreiben. Math. Ann.

– 1906. – Bol. 62. - P. 1-88.

Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции / Р. Неванлинна. – М.: ИМГИТТЛ, 1941. - 388 с.

Riesz F. Sur les fonctions subharmoniques et leur rapport la theorie du potentiel / F. Riesz // Acta Math. – Vol. 48. – 1926. – P. 329-343.

Привалов И.И., Кузнецов П.И. Граничные задачи и различные классы гармонических и субгармонических функций, определённых в произвольных областях / И.И. Привалов, П.И. Кузнецов // Мат. сб. – 6(48):3 (1939). – С. 345-376.

нат, C z C : Im z 0 - верхняя полуплоскость комплексной плоскости, C z C : Im z 0.

Если G - некоторая область на комплексной плоскости, то через SH (G) будем обозначать множество всех субгармонических функций в G.

В теории субгармонических функций важную роль играет следующая теорема Ф.Рисса3 о представлении. Сформулируем её в случае единичного круга.

Если u SH (D), не равная тождественно , то в D существует единственная борелевская мера , такая что u z допускает представление:

r z u z ln d h z, (1) r2 z Dr где z D, D z : z r, h z гармоническая в D функция.

r r r Мера является ассоциированной по Риссу. В дальнейшем её назовём представляющей мерой субгармонической функции u.

Естественно возникает вопрос: при каких ограничениях на субгармоническую функцию u представление вида (1) справедливо во всей области субгармоничности функции u.

Впервые такая задача была решена в работе Р.Неванлинны2 при условии u z ln f z и И.И.Приваловым4 в общем случае.

Для формулировки этого результата введём понятие характеристики Неванлинны для субгармонической в D функции. Пусть u SH (D), u max u,0, тогда:

T r,u u rei d.

2 Следуя И.И.Привалову, обозначим через A класс субгармонических в D функций u, для которых supT r,u . (2) 0rТогда справедливо следующее утверждение.

Класс A совпадает с классом субгармонических в D функций, допускающих представление:

1 z 1 1 ru z d d , (3) ln 2 1 z 2 1 2r cos r D где - произвольная неотрицательная борелевская мера в единичном круге, для которой 1 d , D - произвольная функция конечной вариации на ;.

В том случае, когда функция u имеет вид u z ln f z, z D, где f - аналитическая в D функция, представление (3) совпадает с формулой Пуассона-Иенсена для функций ограниченного вида5.

Возникает задача о представлении субгармонических функций, для которых условие (2) не выполняется. То есть, вообще говоря, субгармонических функций u, не имеющих ограниченную характеристику, что равносильно отсутствию гармонической мажоранты.

Вопрос такого рода для случая, когда u имеет вид u z ln f z, f - го ломорфная в D функция, впервые был рассмотрен Р.Неванлинной2.

Он рассмотрел классы N голоморфных в D функций f, для которых характеристика Неванлинны T r, f удовлетворяет условию:

1 r T r, f dr . (4) Им было установлено следующее утверждение.

Пусть f N, 1, f zk 0, f тождественно не равна нулю, тогда Хейман У. Мероморфные функции / У. Хейман. - М.: Мир, 1966. - 447 с.

1 zk . (5) kПолное описание корневых множеств и факторизационное представление этого класса функций были получены в работах М.М.Джрбашяна6 и Ф.А.Шамояна7. Приведём эти результаты.

М.М.Джрбашяном было установлено, что, если f N, то f допускает представление f z K zm z, zk exp g z, z D, (6) где K - комплексная постоянная, m - порядок нуля функции f в начале координат, z, zk z, zk, z D, (7) A k ei 1 2 ln 1 1 2 1 zk z A z, zk dd, 1 exp zk 1 ei z 0 1 1 2 ln f ei g z d d.

1 ei z 0 Произведение z, zk равномерно сходится на компактных подмноже ствах круга D тогда и только тогда, когда последовательность zk k1 удов летворяет условию (5).

Отметим, что при 1 условие (5) совпадает с хорошо известным классическим условием Бляшке, а произведение (7) совпадает с произведением Бляшке.

Джрбашян М.М. К проблеме представимости аналитических функций / М.М. Джрбашян // Сообщения института математики и механики АН АрмССР. – 1948. – Вып. 2. – С. 3-35.

Шамоян Ф.А. Факторизационная теорема М. М. Джрбашяна и Характеризация нулей аналитических функций с мажорантой конечного роста / Ф.А. Шамоян // Известия АН Арм. ССР, математика. - Т. 13, №5. - 1978. - С.

405-422.

Естественно возникает вопрос: пусть f N, тогда f допускает представление (6). Принадлежат ли сомножители , exp g классу N ? В 1977 году Ф.А. Шамоян установил, что существуют функции из N, такие, что ни один из факторов в представлении (6), в отличие от факторизации функций ограниченного вида, не принадлежит классу N.

Но, тем не менее, если f N, то для произвольного в представлении (6), написанном в классе N, каждый из факторов z, zk, exp g z принадлежит классу N.

Тем самым установлено, что необходимое условие (5), найденное Р. Неванлинной, для корневых множеств функций класса N, является также достаточным.

В дальнейшем, Ф.А.Шамоян8 рассмотрел классы голоморфных в круге функций, для которых p 1 rT r, f dr , где 0 p , при некоторых ограничениях на весовую функцию .

Распространение результатов Ф.А.Шамояна на классы субгармонических функций рассмотрел К.Л.Аветисян9 при p 1.

Однако, применяемые им методы, не позволили ему получить аналогичные результаты в классах субгармонических в круге функций, характеристика которых принадлежит Lp - весовым классам или имеет степенной рост при приближении к единичной окружности.

Шамоян Ф.А. Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций / Ф.А. Шамоян // Сибирский матем. Журнал. – Т.40, №6. - 1999. - С. 1422-1440.

Аветисян К.Л. О представлениях некоторых классов субгармонических функций в единичном круге и в верхней полуплоскости / К.Л. Аветисян // Изв. Нац. АН Армении, Математика. - 1994. - Т.29, № 1.

Цель работы.

1. Изучение свойств представляющих мер классов субгармонических в круге и в полуплоскости функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым Lp - классам.

2. Построение параметрического представления классов субгармонических в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет степенной рост при приближении к границе области.

3. Обобщение классической теоремы Валирона на случай Lp - классов субгармонических функций в комплексной плоскости.

Методика исследования. В работе применяются методы комплексного и функционального анализа. Существенную роль играют потенциалы типа Грина, построенные на основе бесконечных произведений, впервые введенные М.М.Джрбашяном ещё в 1945 году.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

- получено полное описание класса субгармонических в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет степенной рост вблизи единичной окружности;

- получена полная характеристика представляющих мер классов субгармонических функций в единичном круге, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым Lp - пространствам 0 p ;

- построено параметрическое представление класса субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой Неванлинны из весовых Lp - пространств 0 p ;

- получено обобщение классической теоремы Валирона на случай целых функций и субгармонических в комплексной плоскости функций с характеристикой из весовых Lp - пространств 0 p ;

- получено интегральное представление субгармонических в комплексной плоскости функций, характеристика которых суммируема с экспоненциальным весом.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты исследования могут быть использованы в общей теории субгармонических функций, в комплексном анализе, гармоническом анализе, в теории потенциала и других смежных разделах комплексного анализа; а также могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов.

Апробация результатов работы. Результаты исследования докладывались на конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2005, 2007, 2009), на Воронежской зимней и весенней математической школе (Воронеж, 2006, 2009), на конференции «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2010, 2012), а также неоднократно на семинарах по комплексному анализу Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского.

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1] – [11], список которых приведен в конце автореферата. Работы [4], [10] входят в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 7 параграфов, и списка использованной литературы. Работа занимает 118 страниц. Библиография содержит 52 наименования.

Содержание работы Во введении излагается история вопроса, обосновывается актуальность темы и кратко излагается содержание работы.

В первой главе установлено полное описание класса субгармонических в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет степенной рост вблизи границы области и описан класс субгармонических функций в единичном круге, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым Lp - пространствам 0 p при достаточно общих условиях на весовую функ цию.

В §1.1 главы I введены основные обозначения и доказаны утверждения вспомогательного характера, применяемые в дальнейшем.

В этой главе диссертации существенную роль играют факторы бесконечного произведения М.М. Джрбашяна.

Для изложения результатов этой главы введём некоторые обозначения.

Пусть 0. Рассмотрим класс SH D функций u, субгармонических в единичном круге D, для которых справедлива следующая оценка Cu T r,u , 0 r 1, 1 r Cu - некоторая положительная константа, зависящая только от u.

При 0 класс SH D совпадает с классом функций u, допускающих в единичном круге D представление (3) При 0 метод, применяемый И.И. Приваловым при построении представления класса SH D, не проходит, так как функции класса SH D могут 0 не иметь граничных значений на единичной окружности. Подход, изложенный в работе Ф.А. Шамояна и Е.Н. Шубабко10, позволяет получить аналог вышеукаShamoyan F.A., Shubabko E.N. Parametrical representations of some classes of holomorphic functions in the disk / F.A. Shamoyan, E.N. Shubabko // Operator Theory: Advanced and Applications. - Vol. 113. - 2000.

занного представления класса SH D на всю шкалу SH D при всех 0.

Для этого сначала введем хорошо известный класс О. Бесова B1, на единичной s окружности Г :

1 t LB1, L1 ; : dt , s ts i t i t 2 где t ei , ;, t 0;1, 0 s 2.

e 2 ei e Для фиксированных z, D, 0, 1 будем обозначать через A z, следующее выражение:

2 t ln 1 1 t 2 z A z, dm2 t . (8) 1 exp D 1 tz Назовём его фактором в произведении М.М. Джрбашяна.

Основным результатом этого параграфа является теорема Теорема 1.1. Класс функций SH D совпадает с классом функций u, до пускающих следующее представление в D :

ei d u z A z, d Re , z D, ln 2 1 ei z D где ei - произвольная вещественнозначная функция из класса B1,, , 1, - неотрицательная борелевская мера в D, удовлетворяющая условию:

Cn r , 1 r n r D.

r Напомним, что D z C : z r, 0 r 1.

r В §1.2 главы I полностью описан класс субгармонических функций в единичном круге, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым Lp - пространствам 0 p .

i Пусть z re, z r. - множество измеримых положительных суммируемых функций на 0;1, для которых существуют числа m, M, q, при чём m,q 0;1 удовлетворяют оценке r m M, r r 0;1, q;1.

x Функция t имеет вид: t exp, где x , x t 0 1, 0 .

Такие функции называют ещё медленно изменяющимися функциями11.

Важным частным случаем функции из является степенная функция t t, 1.

Введем также в рассмотрение следующий класс субгармонических функций:

p p p SH D SH D :, u 1 rT r,udr p .

0 L D - обычное весовое Lp - пространство, т.е.:

p, p p 1 L D : rei d dr .

p, 1 r 0 Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Введение в теорию весовых Lp -классов мероморфных функций / Ф.А. Шамоян, Е.Н. Шубабко. – Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009. – 153 с.

В данном параграфе получено параметрическое представление класса функций u, вообще говоря, не имеющих ограниченную характеристику Неванлинны T r,u, но, принадлежащих пространству L D, т.е. класса функций p, и для которых:

p T r,u1 rdr , 0 p , .

Теорема 1.2. Для того, чтобы субгармоническая функция u принадлежаp ла классу SH D, 0 p , , необходимо и достаточно, чтобы в D u допускала представление u z A z, d h z, (9) ln D где - достаточно большое положительное число, зависящее только от :

1, 0 , произвольная борелевская неотрицательная - p мера в D, для которой:

p 1 r1 r np rdr , n r D, D z : z r, 0 r 1, h z - гармоническая функция в D, удовr r летворяющая условию:

p 1 h rei d dr .

1 r 0 Вторая глава диссертационной работы посвящена построению параметрического представления класса субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой Неванлинны из весовых Lp - пространств 0 p ; прове дению обобщения классической теоремы Ж.Валирона о целых функциях на случай целых и субгармонических в комплексной плоскости функций с характеристикой из весовых Lp - пространств 0 p ; описанию представляю щих мер субгармонических в комплексной плоскости функций, характеристика которых суммируема с экспоненциальным весом.

В §2.1 построено параметрическое представление класса субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой Неванлинны из весовых Lp - пространств 0 p .

Пусть z x iy, 0 , 0 p .

p Введем в рассмотрение класс SH C субгармонических в C функций u, для которых выполняются следующие условия:

p 1) y 1 u x iy dx dy ;

0 2) sup u x iy dx Cy , y0 0 ;

y y0 3) lim sup yu iy 0.

y Рассмотрим также следующие факторы, введенные А. М. Джрбашяном и Г. В. Микаеляном12:

2Im r dr a z, exp , (10) r i iz 0 где берётся главная ветвь степенной функции, C, 1 . При 0 :

z a0 z, .

z Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.

Теорема 2.1. Для того, чтобы субгармоническая функция u принадлеp жала классу SH C, 0 p , 0 , необходимо и достаточно, чтобы в C u допускала представление:

Джрбашян А.М., Микаелян Г.В. О граничных свойствах произведений типа Бляшке / А.М. Джрбашян, Г.В.

Микаелян // Изв. Нац. АН Армении, Математика. - 1991. - Т.26, № 5. - С. 435-442.

u z ln a z, d h z, C где h z - гармоническая функция в C, удовлетворяющая условию:

p y 1 h x iy dx dy , 0 - неотрицательная мера в C, для которой p p y y 1n y dy , где n y Cy, 1.

p В §2.2 проведено обобщение хорошо известной теоремы Ж.Валирона13 о целых функциях.

Пусть C - комплексная плоскость. H C - множество всех целых функ ций в C. Обозначим через класс положительных функций, определённых на R 0;, удовлетворяющих следующим условиям:

x dx .

1) x1 x 2) если 1 2, то C1 y x C2 y, где C1,C2 - положительные кон y станты.

Если f H C, то обозначим через n r - число нулей функции f в круге D, 0 r . Введем в рассмотрение класс целых функций r p ln M r, f r p A, C f H C : dr , (11) r1 где M r, f max f z, - порядок целой функции, 0 p .

z r Boas R.P. Entire Functions / R.P. Boas //Academic Press, Inc., New York, 1954.

Обозначим класс A1, C через A C.

Пусть A z, zk - фактор произведения Вейерштрасса q E z, zk z, zk, т.е.

q Aq k2 q z z 1 z 1 z A z, zk ... , (12) q 1 exp zk zk 2 zk q zk где z, zk C, 0 zk zk1, k 1,2,..., q - наибольшее целое число, для которо го tq1n t dt .

Ж.Валирон13 доказал следующее утверждение.

Пусть целая функция f A C, f тождественно не равна нулю, и zk k 1 - по следовательность нулей функции f, тогда zk .

k При Z верно и обратное: пусть zk k1 - последовательность чисел из C, для которых zk , тогда существует функция f A C, корневое k множество которой совпадает с последовательностью zk k1.

p Теорема 2.2. Пусть 0 p , , f A, C, f тождественно не равна нулю, zk k1- последовательность нулей функции f. Тогда np 2k 2k . (13) 2k k Теорема 2.3. Пусть zk k 1- последовательность комплексных чисел, zk zk1, k 1,2,..., zk , k , при этом np 2k , (14) 2k k p 0 p , Z. Тогда можно построить функцию f A C, такую, что p f zk 0, k 1,2,..., f тождественно не равна нулю.

В §2.3 вводится следующий класс субгармонических функций p u rei d r p SH, C SH C : dr , u r1 где 0, 0 p .

p p В случае r 1 для простоты введём обозначение: SH1, C SH C.

Пусть E z, z, - произведение Вейерштрасса, где z, C, q Aq k 0, q - наибольшее целое число, для которого tq1n t dt , q 0, n t Dt, где, как и прежде, Dt z C : z t.

Теорема 2.4. Пусть 0 p , 0, Z, и q Z удовлетворяет p неравенству 1 q .

p p p Тогда класс функций SH C совпадает с классом функций u, допускающих представление:

z u z A,q h z, (15) d ln C где z, C, h z - гармоническая функция в C, удовлетворяющая условию:

p h rei d dr , r1 - неотрицательная борелевская мера, для которой np r dr , r1 n r D, 0 r .

r Теорема 2.5. Пусть u - произвольная субгармоническая функция из класp са SH, C, 0 p , - неотрицательная борелевская мера, D n r, 0 r , . Тогда r np r (r) dr .

r1 В §2.4 изучаются представляющие меры субгармонических функций, характеристика Неванлинны которых суммируема с экспоненциальным весом.

Пусть 0, 0. Обозначим через SH, C - класс субгармонических в C функций u, для которых T r,u e r dr .

Обозначим фактор Вейерштрасса, как и выше:

j p z 1 z A z, , p 1 exp j j1 где z, C, 0, p определяется из равенства p max ,1, a - целая часть числа a, a R.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.6. Пусть функция u принадлежит классу SH, C. Тогда представляющая мера функции u удовлетворяет соотношению n(t)et dt , (16) t где n(t) Dt, z t.

Обратно: если - некоторая борелевская неотрицательная мера в C, для которой выполняется (16), то можно построить в явном виде субгармо ническую функцию из класса SH, C, где , такую, что явля ется представляющей мерой этой функции.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Ф.А. Шамояну за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертации [1] Охлупина О.В. Параметрическое представление некоторых классов субгармонических функций в единичном круге [Текст] / О.В. Охлупина // Вклад ученых и специалистов в нац. экономику: сборник научных трудов / БГИТА, под общ. ред. Е.Н. Самошкина. - Брянск, 2006. – С. 260-263.

[2] Охлупина О.В. О параметрическом представлении одного класса субгармонических в круге функций [Текст] / О.В. Охлупина // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы / Воронеж: ОАО «Центрально-Чернозёмное книжное изд-во. - 2006. – С. 126-127.

[3] Охлупина О.В. О параметрическом представлении некоторых весовых классов субгармонических в круге функций [Текст] / О.В. Охлупина // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы междунар.

конф. / Мин-во образования и науки РФ; Смоленский гос. университет.- Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2007. – Вып. 8. – С. 170-171.

[4] Охлупина О.В. Описание класса субгармонических в единичном круге функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым Lp пространствам [Текст] / О.В. Охлупина // Вестник Самарского ГУ. - Самара:

изд. СамГУ, 2008. - Вып.9/1(59). С. 108-120.

[5] Охлупина О.В. О представлении класса субгармонических функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым Lp -пространствам [Текст] / О.В. Охлупина // Вклад ученых и специалистов в нац. экономику:

сборник научных трудов / БГИТА, под общ. ред. Е.Н. Самошкина. - Брянск, 2008. – С. 336-339.

[6] Охлупина О.В. Описание класса субгармонических в полуплоскости функций с неограниченной характеристикой Неванлинны [Текст] / О.В. Охлупина // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы / Воронеж: ОАО «ЦентральноЧернозёмное книжное изд-во. - 2009. – С. 131-133.

[7] Охлупина О.В. О характеризации субгармонических в круге функций, имеющих степенной рост вблизи граничной окружности [Текст] / О.В. Охлупина // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы 10-й междунар. конф. / Мин-во образования и науки РФ; Смоленский гос. университет. - Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2009. – Вып. 10. – С. 199-201.

[8] Охлупина О.В. Характеризация некоторых классов субгармонических в круге функций, имеющих степенной рост вблизи единичной окружности [Текст] / О.В. Охлупина // Вестник Брянского государственного университета / Брянск: РИО БГУ. - 4(2009). - 2009. – С. 61-73.

[9] Охлупина О.В. Распределение корней в весовых пространствах целых функций [Текст] / О.В. Охлупина // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 15-й Саратовской зимней школы / Саратов: изд-во Саратовского университета, 2010. – С. 135-136.

[10] Охлупина О.В. Параметрическое представление классов субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой из Lp -весовых пространств [Текст] / О.В. Охлупина // Вестник Брянского государственного университета:

точные и естественные науки / Брянск: РИО БГУ. - 4(2010). - 2010.– С. 24-36.

[11] Охлупина О.В. О некоторых оценках в классах субгармонических функций на комплексной плоскости [Текст] / О.В. Охлупина // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 16-й Саратовской зимней школы / Саратов: изд-во Саратовского университета, 2012.– С. 127-129.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.