WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СУЛТАНБЕКОВ Андрей Аркадьевич АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ И СИНТЕЗ СТАБИЛИЗИРУЮЩИХ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ 05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2012

Работа выполнена на кафедре управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики — процессов управления СанктПетербургского государственного университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Александров Александр Юрьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Жабко Алексей Петрович (заведующий кафедрой ТУ, СПбГУ, ф-т ПМ-ПУ) кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Новиков Михаил Алексеевич (старший научный сотрудник, ИДСТУ СО РАН, г. Иркутск)

Ведущая организация: Российский Государственный Педагогический университет им А. И. Герцена (г. Санкт-Петербург)

Защита состоится «31» октября 2012 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9, Менделеевский Центр.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., дом 7/9.

Автореферат размещен на сайте www.spbu.ru Автореферат разослан «__» ________ 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор Г. И. Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из важных классов систем, описывающих динамические процессы и явления, являются разностные системы.

Они применяются в теории управляемых систем с дискретными регуляторами, при исследовании нелинейных импульсных систем, а также используются при численном интегрировании дифференциальных уравнений.

В современных реалиях задача устойчивости имеет особое значение в силу неизбежного присутствия возмущений в моделях, описывающих сложные природные явления. Многие приемы в области исследования устойчивости, разработанные для непрерывных систем, были распространены на системы разностных уравнений. Установлены условия устойчивости для линейных разностных уравнений, получен дискретный аналог прямого метода Ляпунова, с помощью которого доказана устойчивость по линейному и нелинейному приближениям и т. д.

На данный момент хорошо изучена проблема устойчивости линейных разностных систем. Хотя линейные модели удобны, однако, часто приходится рассматривать системы, у которых разложение правых частей в ряды по степеням искомых функций вообще не содержит линейных членов.

В исследовании устойчивости нелинейных дискретных систем существенные результаты были достигнуты в трудах А. Халанай, Д. Векcлер, М.

А. Скалкиной и многих других ученых, при этом основным методом анализа являлся второй метод Ляпунова. В работах А. Ю. Александрова, А. П.

Жабко были доказаны теоремы об устойчивости однородных разностных систем, установлены условия устойчивости по нелинейному приближению и т. д.

На основании полученных результатов ставилась и решалась задача стабилизации программных движений систем, описываемых линейными и нелинейными разностными уравнениями.

Однако, в настоящее время устойчивость нелинейных дискретных систем остается еще малоизученной. Особый интерес представляет нахождение условий устойчивости для нелинейных неавтономных разностных систем, а также разработка новых приемов в области анализа устойчивости по нелинейному приближению. К тому же данные результаты будут способствовать расширению способов построения управлений, гарантирующих устойчивость заданных движений.

Кроме того, важной задачей при изучении нелинейных разностных систем является исследование их на диссипативность. Условия диссипативности глубоко изучены для систем дифференциальных уравнений. Значимые результаты представлены в трудах Т. Йошизавы, Б. П. Демидовича, В. И. Зубова и ряда других авторов. При анализе диссипативности дифференциальных систем широко применяется прямой метод Ляпунова. В дальнейшем способы исследования диссипативности непрерывных систем также были распространены на системы разностных уравнений. Известен дискретный аналог теоремы Т. Йошизавы о равномерной диссипативности нелинейных систем. Стоит отметить, что условия равномерной диссипативности изучены только для некоторых специальных классов дискретных систем. Исследования в этом направлении представляют интерес для развития качественной теории разностных уравнений и имеют широкое практическое применение.

При переходе от непрерывных систем к дискретным актуальной проблемой является сохранение качественных характеристик исследуемых систем. Известно, что часто требуется коррекция разностных схем для обеспечения согласованности между свойствами решений непрерывных и дискретных уравнений. Коррекция заключается в построении консервативных численных методов, основанных на модификации вычислительных схем путем введения управления, что приводит к их усложнению. В связи с этим, весьма важно выделение таких классов систем, для которых имеет место сохранение качественных характеристик при переходе к дискретному виду без соответствующих коррекций.

Теория управления является одним из важных разделов современной науки. В большинстве практических задач управления в силу присутствия возмущений, помимо обеспечения наперед заданной динамики решения системы, требуется решение задачи стабилизации программного движения.

Следует заметить, что задача стабилизации тесно смыкается с общей задачей об устойчивости движения и является дальнейшим развитием проблемы устойчивости в приложении к теории управляемых систем. Нахождение условий устойчивости и разработка новых методов ее анализа открывают перспективы дальнейшего развития методов теории стабилизации.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию описанных выше задач, что позволяет сделать вывод о ее актуальности.

Целью диссертационной работы является изучение динамики существенно нелинейных разностных систем, нахождение условий их асимптотической устойчивости и равномерной диссипативности, построение управлений, стабилизирующих программные движения, а также управлений, обеспечивающих равномерную диссипативность и практическую устойчивость изучаемых движений. Помимо этого, в диссертации найдены классы систем, для которых имеет место согласованность свойств, в смысле сохранения асимптотической устойчивости и равномерной диссипативности, непрерывных и соответствующих им дискретных систем.

Методы исследования. В работе используются методы качественной теории разностных уравнений, теории устойчивости, математической теории управления. Основным аппаратом исследования является прямой метод Ляпунова.

Научная новизна. Новыми результатами, представленными в диссертации, являются:

• условия асимптотической устойчивости систем разностных уравнений по нелинейному неоднородному приближению;

• теоремы об асимптотической устойчивости нулевых решений нелинейных неавтономных дискретных систем;

• достаточные условия равномерной диссипативности нелинейных систем разностных уравнений;

• теорема о равномерной диссипативности сложных систем по нелинейному приближению;

• условия существования управлений, обеспечивающих асимптотическую устойчивость, равномерную диссипативность и практическую устойчивость нелинейных разностных систем.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа, в основном, носит теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы вносят определенный вклад в развитие качественной теории разностных систем. Полученные в ней результаты могут быть использованы при анализе асимптотической устойчивости и равномерной диссипативности дискретных моделей, используемых в прикладных задачах, а сформулированные и решенные задачи по обеспечению асимптотической устойчивости, равномерной диссипативности и практической устойчивости могут применяться при проектировании и разработке управляемых систем.

Апробация работы. Результаты исследования докладывались и обсуждались на международных конференциях "Процессы управления и устойчивость"(Санкт-Петербург, 2012 г.), "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования"(Воронеж, 2012 г.), на ежегодных семинарах кафедры управления медико-биологическими системами СПбГУ (2010-2012 гг.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 5 работ, три из которых [1, 2, 3] в журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных научных результатов. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы и приложения. Объем диссертации составляет 106 страниц машинописного текста. Работа содержит 2 рисунка. Список литературы включает 58 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы диссертационной работы, формулируется цель исследования и проводится обзор рукописи по главам и параграфам.

Первая глава посвящена изучению условий устойчивости решений разностных систем по нелинейному неоднородному приближению. В качестве системы нелинейного приближения рассматриваются существенно нелинейные уравнения специального вида, в правых частях которых, кроме однородных функций заданного порядка, присутствуют дополнительные члены меньшего порядка. Исследуется случай, когда изучаемые системы являются треугольными и имеют асимптотически устойчивые нулевые решения. Предполагается, что на рассматриваемые системы действуют возмущения. С помощью дискретного аналога прямого метода Ляпунова находятся условия, при которых возмущения не нарушают устойчивости нулевого решения. Изучены случаи, когда ограничения, полученные на параметры системы, можно ослабить.

В § 1 приводятся некоторые определения и теоремы дискретного аналога второго метода Ляпунова, применяемые в настоящей работе. Во 2-ом параграфе представлены известные результаты об устойчивости разностных систем с однородными правыми частями и теорема об устойчивости по нелинейному однородному приближению. Данная теорема утверждает, что возмущения не нарушают асимптотической устойчивости нулевого решения рассматриваемой системы, если их порядок превышает порядок однородности функций, входящих в правые части уравнений.

В § 3 исследуются системы вида x(k + 1) = x(k) + f(x(k)) + q(x(k)). (1) Здесь x(k) — n-мерный вектор, элементы векторной функции f(z) определены и непрерывны при всех z En и являются однородными функциями порядка µ > 1, векторная функция q(z) непрерывна при z < H и удовлетворяет неравенству q(z) Mz, M > 0, 0 < < µ. Предполагается, что нулевое решение рассматриваемой системы асимптотически устойчиво.

Показывается, что для возмущенной системы x(k + 1) = x(k) + f(x(k)) + q(x(k)) + r(k, x(k)), где векторная функция r(k, z) определена на множестве k = 0, 1,..., z < H, непрерывна по z, и справедлива оценка r(k, z) cz, c > 0, > 0, уже, вообще говоря, недостаточно выполнения условия > µ, чтобы она имела асимптотически устойчивое нулевое решение.

Далее в качестве нелинейного неоднородного приближения (1) рассматриваются системы вида x1(k + 1) = x1(k) + f1(x1(k)) + q(x(k)), (2) x2(k + 1) = x2(k) + f2(x2(k)).

1 Здесь x1(k) En, x2(k) En, n1 + n2 = n, x(k) = (x(k), x(k)), элемен1 ты векторов f1(z1) и f2(z2) — непрерывно дифференцируемые однородные 1 функции порядка µ > 1, z1 En, z2 En, z = (z, z), векторная 1 функция q(z) непрерывна в области z < H и удовлетворяет неравенству q(z) Mz1z2, H > 0, M > 0, 0, > 0, + < µ. Система (2) относится к классу так называемых треугольных систем.

Доказывается, что в случае асимптотической устойчивости нулевых решений однородных систем дифференциальных уравнений s = fs(zs), s = 1, 2, (3) нулевое решение треугольной системы (2) также асимптотически устойчиво.

Параграф 4 посвящен нахождению условий асимптотической устойчивости по нелинейному приближению. Наряду с системой (2), изучается возмущенная система x1(k + 1) = x1(k) + f1(x1(k)) + q(x(k)) + r1(k, x(k)), (4) x2(k + 1) = x2(k) + f2(x2(k)) + r2(k, x(k)), где векторные функции r1(k, z) и r2(k, z) при k = 0, 1,... непрерывны в области z < H и удовлетворяют условиям rs(k, z) Lsz. (5) Здесь > 1, Ls 0, s = 1, 2.

Теорема 4.1. Если выполнено неравенство > µ(µ - )/, (6) то нулевое решение системы (4) асимптотически устойчиво.

Замечание 4.1. В работе показано, что сформулированное в теореме 4.1 достаточное условие асимптотической устойчивости, в определенном смысле, является и необходимым.

Далее полученное условие асимптотической устойчивости (6) уточняется для случаев, когда порядки однородности функций f1(z1) и f2(z2) различны, а также, когда известен вклад каждой из переменных z1 и z2 в оценках ri(k, z).

В § 5 показано, что для некоторых типов функций q = q(k, z) асимптотическая устойчивость нулевого решения системы (4) сохраняется при менее жестких ограничениях на порядок возмущений по сравнению с условием (6).

Пусть в системе (4) f1(z1) и f2(z2) — непрерывно дифференцируемые однородные функции порядка µ > 1, векторные функции r1(k, z) и r2(k, z) при k = 0, 1,... непрерывны в области z < H и удовлетворяют неравенствам (5), q(k, z) = B(k)g(z2), где матрица B(k) ограничена при k 0, компоненты вектора g(z2) являются непрерывно дифференцируемыми однородными функциями порядка , 1 < < µ. Предполагается, что нулевые решения систем (3) асимптотически k-1устойчивы.

Положим C(0) = 0, C(k) = B(m), при k = 1, 2,... Считаем, что m=матрица C(k) ограничена для любого k = 0, 1,... В частности, элементы матрицы B(k) могут представлять собой периодические последовательности с нулевыми средними значениями. Тогда справедлива следующая Теорема 5.1. При выполнении неравенства > µ max {1; (µ + 1)(2)} нулевое решение системы (4) асимптотически устойчиво.

Замечание 5.1. Полученные теоремах 4.1 и 5.1 условия на возмущения для дискретных систем совпадают с условиями, установленными в работе А. Ю. Александрова и А. В. Платонова для непрерывных систем.

Пусть последовательность C(k) вообще говоря, не является ограниченной. Однако существует число , 0 < 1, такое, что C(k) d(k +1).

Здесь d — положительная постоянная. Такими свойствами обладают матрицы B(k), средние значения элементов которых равны нулю.

Теорема 5.2. Нулевое решение системы (4) является асимптотически устойчивым, если выполняются следующие условия µ2 при , µ µ(µ + 1) 2 - µ - 1 > при <, - (µ - 1) µ - 1 µ 2 2 - µ - µ при <.

µ - В § 6 рассматривается другой случай, когда асимптотическая устойчивость нулевого решения системы (4) сохраняется при менее жестких ограничениях на порядок возмущений по сравнению с условием (6).

Предполагается, что q = q(k, z) при k = 0, 1,... непрерывна в области z < H и удовлетворяет неравенству q(k, z) Mz1 z2, M > 0, 0, > 0, + < µ, r1(k, z) = B1(k)g1(z2), r2(k, z) = B2(k)g2(z1), где матрицы B1(k), B2(k) ограничены при k 0, компоненты векторов g1(z2), g2(z1) являются непрерывно дифференцируемыми однородными функциями порядка > 1. Тогда возмущенная система имеет вид x1(k + 1) = x1(k) + f1(x1(k)) + q(k, x(k)) + B1(k)g1(x2(k)), (7) x2(k + 1) = x2(k) + f2(x2(k)) + B2(k)g2(x1(k)).

Здесь, как и прежде, f1(z1) и f2(z2) — непрерывно дифференцируемые однородные функции порядка µ > 1. Снова считаем, что нулевые решения систем (3) асимптотически устойчивы.

( ) k-Пусть Ci(k) Ci(0) = 0, Ci(k) = Bi(s), при k = 1, 2,... ограниs=чены при k 0, i = 1, 2.

Теорема 6.1. При выполнении условия { } µ - µ + 1 µ - > max, µ - (µ - 1) 2 нулевое решение системы (7) является асимптотически устойчивым.

В § 7 снова исследуется система (4), где элементы векторов f1(z1) и 1 f2(z2) — непрерывно дифференцируемые при z1 En, z2 En однородные функции порядка µ > 1, вектор-функция q = q(z) непрерывна при z < H, возмущения r1(k, z) и r2(k, z) при k = 0, 1,... непрерывны в области z < H и удовлетворяют неравенствам r1(k, z) L1 z2, r2(k, z) L2 z1, L1, L2, 1, 2 — положительные постоянные. Пусть нулевые решения изолированных подсистем (3) асимптотически устойчивы.

Предполагается, что функцию V1(z1) можно выбрать так, чтобы при z < H имела место оценка ( V1( )) z1) q(z) -z1 -µ+z2.

zЗдесь > 0, 0, > 0. Тогда справедлива Теорема 7.1. Для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (4) достаточно, чтобы при < 1 параметр 2 удовлетворял условиям µ2/1 при 1 µ/(µ - ), 2 > µ/(1 - ) при µ/(µ - ) < 1 < /(1 - ), µ(1 - )/ при 1 > /(1 - ), а при 1 — условиям { µ2/1 при 1 µ/(µ - ), 2 > µ/(1 - ) при 1 > µ/(µ - ).

Замечание 7.1. В случае < 1 полученное в теореме 7.1 условие на возмущение для дискретных систем является более жестким по сравнению с условием, установленным в работе А. Ю. Александрова и А. В. Платонова для непрерывного случая.

Во второй главе рассматриваются существенно нелинейные разностные системы. Определяются условия, при которых данные системы являются асимптотически устойчивыми и равномерно диссипативными. Предполагается, что на такие системы действуют возмущения. С помощью прямого метода Ляпунова находятся условия, при которых возмущения не нарушают асимптотическую устойчивость нулевого решения. Также исследуется равномерная диссипативность разностных систем по нелинейному приближению. С помощью предложенных способов анализа равномерной диссипативности разностных систем исследуются условия равномерной диссипативности сложных систем по нелинейному приближению.

В § 1 рассматриваются разностные системы вида n xs(k + 1) = xs(k) + h rsjfj(xj(k)), s = 1,..., n, (8) j=где rsj — постоянные коэффициенты, h — шаг дискретизации (h > 0), функции fj(zj) определены и непрерывны при |zj| < H (0 < H +) и обладают свойством zjfj(zj) > 0 при zj = 0, j = 1,..., n. (9) Будем считать, что правые части системы (8) удовлетворяет следующему ограничению.

Предположение 1.1. Существуют положительные числа 1,..., n, для которых квадратичная форма n W (y) = srsjysyj s,j=отрицательно определена.

Пусть функции f1(z1),..., fn(zn) представимы в виде µj fj(zj) = zj, j = 1,..., n. (10) Здесь µj — рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, µj > 1. Не умаляя общности, будем считать, что µ1 ... µn.

Известно, что система (8) с нелинейностями вида (10) имеет асимптотически устойчивое нулевое решение.

Наряду с системой (8) рассмотрим возмущенную систему n j xs(k + 1) = xs(k) + h (rsj + bsj(k))xµ (k), s = 1,..., n, (11) j j=где функции bsj(k), s, j = 1,..., n, заданы и ограничены при k = 0, 1,...

Положим k- sj(0) = 0, sj(k) = bsj(m) при k = 1, 2,..., s, j = 1,..., n. (12) m=Будем считать, что последовательности (12), вообще говоря, не являются ограниченными. Однако существует число , 0 < 1, такое, что lim sj(k) = 0, s, j = 1,..., n.

k k Теорема 1.1. При выполнении неравенства (µ1 - 1)(µn + 1) . (13) (µ1 + 1)(µn - 1) нулевое решение системы (11) асимптотически устойчиво.

Во втором параграфе на систему (8) накладывается более жесткое ограничение.

Предположение 2.1. Пусть для любого рационального числа 1 с нечетными числителем и знаменателем существуют положительные числа 1,..., n, для которых функция n W (y) = srsjysyj s,j=отрицательно определена.

Тогда имеет место следующая Теорема 2.1. В случае, когда µ1 < µn, достаточным условием асимптотической устойчивости нулевого решения системы (11) является выполнение неравенства µn(µ1 - 1) <. (14) µ1(µn - 1) Если µ1 =... = µn, то достаточно, чтобы выполнялось условие 1.

Замечание 2.1. При µ1 < µn неравенство (14) задает большую область допустимых значений для , чем условие (13). В случае равенства µ1 и µn области допустимых значений параметра совпадают.

Замечание 2.2. Для любых положительных чисел s < µn/µs найдут ся такие числа , и L, что решения системы (11) с начальными данными ( ) /(µn-1) s k0 L, |xs(k0)| <, s = 1,..., n, kбудут удовлетворять следующим оценкам () /(µn-1) s |xs(k)| < при k k0, s = 1,..., n, k характеризующим скорость стремления решений к началу координат.

В третьем и последующих параграфах этой главы исследуются условия равномерной диссипативности некоторых классов нелинейных разностных систем.

Снова рассматривается система (8), где rsj — постоянные коэффициенты, функции fj(zj) определены и непрерывны при zj E.

Предположение 3.1. Пусть функции fs(zs) в области E удовлетворяют условию Липшица, т. е. можно указать положительную постоянную L такую, что для любых zs E, zs E будут справедливы неравенства |fs(zs) - fs(zs)| L|zs - zs|, s = 1,..., n.

При исследовании системы (8) на равномерную диссипативность ограничения (9) на функции fj(zj) можно исключить. Вместо этого будем считать, что, помимо предположений 1.1 и 3.1, имеют место дополнительные условия.

Предположение 3.2. Функции fs(zs) обладают свойством zs fs()d + при |zs| , и можно указать H > 0 такое, что fj(zj) = 0 при |zs| > H, s = 1..., n.

Теорема 3.1. Если выполнены предположения 1.1, 3.1, 3.2, то существует положительное число h0 такое, что при всех h (0, h0) система (8) равномерно диссипативна.

Например, условия теоремы 3.1 выполнены в случае, когда функции µj zj f1(z1),..., fn(zn) определяются по формулам fj(zj) =, j = 1,..., n.

j 1+zj Здесь µj — рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, j — рациональные числа с четными числителями и нечетными знаменателями, µj 1, j 0, |µj - j| 1.

Предположение 3.3. Пусть функции fs(zs) в области E удовлетворяют условию Гельдера, т. е. можно указать положительные постоянные L и 0 < s < 1 такие, что для любых zs E, zs E будут справедливы неравенства s |fs(zs) - fs(zs)| L|zs - zs|, s = 1,..., n.

Теорема 3.2. Если выполнены предположения 1.1, 3.2, 3.3, и к тому же |fs(zs)| + при |zs| , то система (8) равномерно диссипативна при любом h > 0.

Условия теоремы 3.2 выполнены для функций f1(z1),..., fn(zn) вида µs fs(zs) = zs, где µs — рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, 0 < µs < 1, s = 1,..., n. В этом случае показатели Гельдера s = µs.

В § 4 находятся условия, при которых возмущения не нарушают равномерной диссипативности рассматриваемых систем.

В § 5 исследуется равномерная диссипативность следующего класса нелинейных разностных систем x(k + 1) = x(k) + hF(x(k)) + hB(k)Q(x(k)), (15) где элементы векторной функции F(z) заданы и непрерывны при всех z En и являются однородными функциями порядка 0 < µ < 1, причем нулевое решение системы дифференциальных уравнений = F(z) асимптотически устойчиво, h — шаг дискретизации, h > 0, матрица B(k) ограничена при k 0, компоненты вектора Q(z) являются непрерывными однородными функциями порядка , 0 < < 1. Известно, что если < µ, то система (15) равномерно диссипативна при любом h > 0. В данном параграфе показывается, что для некоторых типов функций B(k)Q(x(k)) ограничение на можно ослабить.

k-Положим C(0) = 0, C(k) = B(m) при k = 1, 2,... Пусть матрица m=C(k) ограничена для любого k = 0, 1,... В частности, элементы матрицы B(k) могут представлять собой периодические последовательности с нулевыми средними значениями. Тогда справедлива следующая Теорема 5.1. Пусть функция V (z) G(k, z) = C(k + 1)Q(z) z непрерывно дифференцируема по z при любом фиксированном k. Тогда, если выполнено неравенство < (µ + 1)/2, система (15) равномерно диссипативна при любом h > 0.

Замечание 5.1. Данная теорема согласуется с известным результатом о равномерной диссипативности, полученным для непрерывных систем.

В § 6 показывается, что предложенные раннее способы анализа равномерной диссипативности разностных систем можно использовать для нахождения условий равномерной диссипативности сложных систем по нелинейному приближению. Рассматривается система ls xs(k + 1) = xs(k) + hFs(xs(k)) + h Qsj(k, x(k)), s = 1,..., m, (16) j=описывающая динамику сложной системы, состоящей из m взаимодействующих подсистем. Здесь xs(k) — векторы состояний размерности ns, x(k) = (x(k),..., x (k)); элементы векторов Fs(zs) являются непре1 m s рывными однородными функциями порядка µs, 0 < µs < 1, zs En, z = (z,..., z ); вектор-функции Qsj(k, z) определены при k = 0, 1,..., 1 m m z En, n = ns, непрерывны по z, ограничены во всякой ограниченs=ной области изменения z, и существует такое H > 0, что для любого k и (1) (m) sj sj z > H справедливы оценки Qsj(k, z) csjz1... zm, csj > 0, (i) sj 0, i = 1,..., m, j = 1,..., ls, s = 1,..., m.

Теорема 6.1. Пусть нулевые решения систем дифференциальных уравнений s = Fs(zs), s = 1,..., m, асимптотически устойчивы, и существуют положительные числа 1,..., m, удовлетворяющие неравенствам m (i) -µss + sj i < 0, j = 1,..., ls, s = 1,..., m.

i=Тогда при любом шаге h > 0 система (16) равномерно диссипативна.

Третья глава посвящена применению полученных в предыдущих главах результатов для построения стабилизирующих управлений и управлений, обеспечивающих равномерную диссипативность и практическую устойчивость. В § 1 дается постановка задачи стабилизации для нелинейных разностных систем. В § 2 представлены случаи, когда стабилизация осуществляется с полной и неполной обратными связями.

Пусть управляемая система представима в виде x1(k + 1) = x1(k) + hr1(k, x(k)) + hq(k, x(k)) + hu1(k), (17) x2(k + 1) = x2(k) + hr2(k, x(k)) + hu2(k).

Здесь xi(k) — ni-мерный вектор фазового состояния, x(k) = (x(k), x(k)), 1 n = n1 + n2, ui(k) — ni-мерный вектор управления, u(k) = (u(k), u(k)), 1 r(k, z) = (r(k, z), r(k, z)), вектор-функции ri(k, z) определены и непре1 рывны при k = 0, 1,..., z H, H > 0, и справедливы оценки ri(k, z) Liz, где > 1, Li > 0, i = 1, 2, векторная функция q(k, z) при k = 0, 1,... непрерывна в области z < H, и выполняется следующее неравенство q(k, z) Mz1 z2, M > 0, 0, > 0, + < .

В соответствии с результатами теоремы 4.2 главы 1 справедлива Теорема 2.1. Пусть множество значений µ1 и µ2, удовлетворяющих неравенствам µ1 > 1, µ2 > 1, µ1µ2 < 2, (µ1 - )µ2/ < , (18) непусто. Тогда для системы (17) существуют стабилизирующие управления вида ui(k) = fi(xi(k)), i = 1, 2, где элементы вектора fi(zi) — непрерывно дифференцируемые однородные функции порядка µi, а µ1 и µ2 взяты в соответствии с условиями (18), причем системы дифференциальных уравнений i = fi(zi), i = 1, 2, асимптотически устойчивы.

В § 3 формулируются задачи обеспечения как равномерной диссипативности, так и практической устойчивости. Рассматривается система в отклонениях, описывающая движение некоторого управляемого объекта x(k + 1) = F(k, x(k), u(k)). (19) Здесь x(k) En, u(k) = (u1(k),..., ur(k)) – r-мерный вектор управления, векторная функция F(k, z, u) определена при всех k = 0, 1,..., z En, u Er и непрерывна по z и u.

Будем говорить, что для системы (19) существует управление u = u(x(k)), обеспечивающее равномерную диссипативность, если замкнутая система равномерно диссипативна. Особый интерес представляет ситуация, когда область, в которую сходятся все решения, можно сделать сколь угодно малой.

Определение 3.2. Будем говорить, что для системы (19) существует управление, обеспечивающее практическую устойчивость, если для любых > 0 и R, < R < +, можно построить управление u = u(x(k)) такое, что найдется натуральное число N, для которого при всех k0 и k > k0 + N выполняется неравенство x(k, x0, k0) < , если только x0 R.

В § 4 получены условия существования управлений, обеспечивающих равномерную диссипативность. В пятом параграфе рассматриваются нелинейные разностные системы с постоянно действующими возмущениями.

В трудах В. И. Зубова и Е. С. Пятницкого для непрерывных систем с постоянно действующими возмущениями были предложены способы построения уравнений, обеспечивающих стремление решений системы к началу координат при возрастании времени. При этом полученные таким способом управления не являются непрерывными функциями состояния системы.

В некоторых случаях не требуется перевод системы в начало координат.

Достаточно, чтобы решения системы попадали в заданную окрестность начала координат, при этом управление должно быть непрерывным. Такие задачи решались в работе М. Корлесса и Г. Лайтмана.

В данном параграфе управления строятся в соответствии с подходом, предложенным в работе М. Корлесса и Г. Лайтмана, и находятся условия, при которых они обеспечивают практическую устойчивость изучаемых систем. Приводится пример, иллюстрирующий поведение возмущенных решений под действием таких управлений.

В § 6 рассмотрены управляемые нелинейные разностные системы, правые части которых представляют собой линейные комбинации степенных функций фазовых переменных. Найдены условия существования управлений, обеспечивающих асимптотическую и практическую устойчивость изучаемых систем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основными результатами, полученными в ходе диссертационного исследования и выносимыми на защиту, являются следующие:

• условия асимптотической устойчивости систем разностных уравнений по нелинейному неоднородному приближению;

• теоремы об асимптотической устойчивости нулевых решений нелинейных неавтономных дискретных систем;

• достаточные условия равномерной диссипативности нелинейных систем разностных уравнений;

• теорема о равномерной диссипативности сложных систем по нелинейному приближению;

• условия существования управлений, обеспечивающих асимптотическую устойчивость, равномерную диссипативность и практическую устойчивость нелинейных разностных систем.

В приложении представлен код программы, реализованный в пакете MATLAB для численного исследования примера из § 5 третьей главы.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Султанбеков А. А. Некоторые условия устойчивости нелинейных неавтономных разностных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2012. № 1.

С. 109–118.

2. Султанбеков А. А. Условия устойчивости одного класса существенно нелинейных разностных систем // Научно-технический вестн. Поволжья. 2012. № 1. С. 216–222.

3. Султанбеков А. А. Об устойчивости одного класса существенно нелинейных разностных систем // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.

Физико-математические науки. 2012. № 2(27). С. 132–143.

4. Султанбеков А. А. О равномерной диссипативности нелинейных разностных систем // Процессы управления и устойчивость: Труды XLIII международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб., 2–5 апреля 2012 г. / Под ред.

Н.В. Смирнова, Г.Ш. Тамасяна. СПб.: Изд-во С.- Петерб. ун-та, 2012. С. 37–42.

5. Султанбеков А. А. Некоторые условия равномерной диссипативности нелинейных разностных систем // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования: Материалы V-й Международной конференции "ПМТУММ-2012"/ под ред. А.В. Глушко, В.В. Провоторова. Воронеж: Изд.-полиг. центр ВГУ. 2012. С. 273–274.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.