WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Смирнова Елена Николаевна

ОСНОВЫ ДВОЙСТВЕННОЙ ТЕОРИИ РЕГУЛЯРНОГО ГИПЕРПОЛОСНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ПРОЕКТИВНО-МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.04 – геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Казань – 2012

Работа выполнена на кафедре геометрии ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Столяров Алексей Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Малаховский Владислав Степанович кандидат физико-математических наук, профессор Султанов Адгам Яхиевич

Ведущая организация: Тверской государственный университет

Защита состоится 24 мая 2012 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д. 212. 081. 10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, ауд.337.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н. И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан «____» апреля 2012 г.

Учёный секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук, доцент Липачёв Е. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ Постановка вопроса и актуальность темы.

Известно, что геометрия распределений m-мерных линейных элементов (неголономная геометрия) тесно связана с проблемой Пфаффа [39], то есть с проблемой описания интегральных многообразий максимальной размерности для системы уравнений Пфаффа a (*) 0,a 1,n m, a задаваемой набором n-m форм Пфаффа в некоторой области U однородного пространства M, линейно независимых в каждой точке xU ; с геометричеn ской точки зрения система (*) определяет распределение m-мерных линейных элементов x [17], [18]:

a x TxMn ,x 0.

Важность проблемы Пфаффа, а следовательно, и актуальность изучения геометрии распределений определяется тем, что систему дифференциальных уравнений в частных производных всегда можно трактовать как пфаффову систему [12], [27], то есть задача об интегрировании любой конечной системы дифференциальных уравнений с частными производными эквивалентна задаче об интегрировании некоторой системы Пфаффа.

Некоторые задачи движения механических систем, подчиненных добавочным линейным неголономным связям, задаваемым, например, неинтегрируемой системой уравнений Пфаффа, в пространстве конфигураций механической системы приводят к понятию неголономного многообразия (см., например, работы В.В. Вагнера [4], [5], А.В. Гохмана [10], П.К. Рашевского [27], С.А. Чаплыгина [35]).

Наряду с этим к понятию неголономного многообразия математики пришли и независимо от задач механики путем обобщения основных положений геометрии подпространств на случай, когда поле m-мерных пучков направлений не задает семейства m-мерных подпространств (см. работы В.В. Вагнера [3], [6], Д.М.

Синцова [28], Схоутена [40], монографии Врэнчану [41] и Михэйлеску [38]).

В 70-х годах прошлого века теория распределений m-мерных касательных элементов в пространстве представления некоторой группы Ли, а также обобщенная теория распределений m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности Pn,n (в частности, в проективном пространстве Pn ) получили дальнейшее развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г.Ф. Лаптева, Н.М. Остиану (см. [16], [17], [23], [24]); в случае распределений гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория получила свое отражение в работах В.И. Близникаса [1], [2]. Ю.Г. Лумисте [18] исследует распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа. А.П. Норден [21], [22] устанавливает связь теории многочленных композиций с теорией распределений.

А.В. Столяров [30] впервые ввёл понятие гиперполосного распределения в n-мерном проективном пространстве Pn как пары распределений первого рода – распределение m-мерных линейных элементов A, (m

m nВ исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в однородные и обобщенные пространства, важное место занимает теория связностей в различных расслоенных пространствах.

История теории связностей начинается с 1917 года с работы Т. ЛевиЧивита [37] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. В 1918 году Г. Вейль [42] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности.

Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [11] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В 19году В. В. Вагнер [8] и Ш. Эресман [36] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.

А. П. Норден [19], [20] разработал метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Г. Ф. Лаптев [14], следуя идеям Э. Картана, линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия.

Используя двойственный характер геометрии проективного пространства Pn, А. П. Норден [20], В. В. Вагнер [7], А. В. Чакмазян [34], Ю. И. Попов [26], М. А. Василян [9] и другие получили ряд глубоких результатов по изучению некоторых вопросов двойственной геометрии нормализованной гиперповерхности Vn1 Pn, гиперполосы Pn, нормализованного пространства Pn.

m В работе А.В. Столярова [31], используя данное им определение двойственных пространств с линейной связностью с точки зрения инволютивных преобразований структурных форм их связностей, значительно расширена двойственная теория оснащенных многообразий, погруженных в пространство проективной связности Pn,n.

Согласно А. П. Нордену [20], пространством n измерений с проективной метрикой или пространством n называется такое пространство, образом точки которого является точка проективного пространства, а фундаментальной группой – подгруппа проективных преобразований, сохраняющих некоторый поляритет (абсолют). Этот поляритет называется абсолютным поляритетом пространства n. В монографии А. П. Нордена изучаются некоторые вопросы геометрии пространства n с невырожденным абсолютом Qn1. В случае, когда абсолют Qn1 овального типа, поляритет называется гиперболическим.

Гиперболическое пространство n имеет особое значение в геометрии, ибо оно представляет собой проективную интерпретацию геометрии Лобачевского. С помощью этой интерпретации Ф. Клейн дал строгое доказательство её непротиворечивости.

Г.Ф. Лаптев [13] вводит понятие пространства проективно-метрической связности Kn,n : пространство Kn,n есть пространство проективной связности Pn,n, обладающее инвариантным полем локальных гиперквадрик Qn1 (локальных абсолютов). А.В. Столяровым [32] найдено инвариантное аналитическое условие, при выполнении которого пространство Pn,n становится пространством Kn,n.

Объектом исследования настоящей работы являются:

1) гиперполосное распределение m -мерных линейных элементов , погруженное в проективно-метрическое пространство Kn (глава I);

2) гиперполоса в пространстве Kn (глава I);

3) квадратичное гиперполосное распределение m -мерных линейных элементов, погруженное в проективно-метрическое пространство Kn (глава II).

Эти исследования являются актуальными и представляют большой научный интерес, ибо:

1) изучение двойственной геометрии неголономной гиперполосы (то есть гиперполосного распределения m -мерных линейных элементов) в проективнометрическом пространстве Kn до настоящего времени находилось в начальной стадии;

2) исследования по разработке двойственной теории квадратичных неголономных гиперполос, вложенных в пространство Kn, ранее геометрами не проводились.

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является разработка теории гиперполос и гиперполосных распределений m-мерных линейных элементов, в частности, теории квадратичных гиперполосных распределений, погруженных в проективно-метрическое пространство K. Достиn жение поставленной цели включает в себя решение следующих ключевых задач:

1) внутренним инвариантным образом построить основы двойственной и полярной геометрий регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов и m-мерной гиперполосы Hm в Kn ; при исследовании m-мерной гиперполосы Hm в Kn изучаются те факты геометрии распределения , которые определяются подпоследовательностью фундаментальных подобъn n ектов n,ij,n , n,n,ijk k2 многообразия (с привлечением полей ij ijk1 ij ijk1 i объектов v,n ,Nvj);

ij ij2) в проективно-метрическом пространстве Kn построить основы двойственной геометрии регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов, центр A которого принадлежит абсолюту пространства Kn (квадратичное гиперполосное распределение).

Методы исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, метод продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [13], метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [33] и метод нормализации А. П. Нордена [20]. Использование указанных методов позволило:

1) исследование геометрии оснащенных подмногообразий пространства Kn провести инвариантным образом путем построения и изучения полей геометрических объектов, охваченных полями фундаментальных и оснащающих объектов;

2) изучать дифференциально-геометрические факты исследуемых подмногообразий, связанные с дифференциальными окрестностями до третьего порядка включительно.

Все исследования проведены в минимально специализированных системах отнесения, что позволило получить результаты в инвариантной форме.

Результаты по геометрии связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [13], [15], [25].

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения поставленных задач, являются новыми. Научная новизна обусловлена тем, что до настоящего времени в математической литературе геометрия гиперполосного распределения и гиперполос, погруженных в проективно-метрическое пространство Kn, оставалась практически не разработанной. Кроме того, впервые рассмотрено квадратичное гиперполосное распределение m-мерных линейных элементов.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты дополняют исследования по изучению оснащенных подмногообразий, погруженных в проективно-метрическое пространство Kn, и могут быть использованы при дальнейшем изучении различных подмногообразий (как голономных, так и неголономных), погруженных в пространство проективно-метрической связности Kn,n [32].

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных и факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а также при выполнении ими курсовых, дипломных и научных работ.

Апробация. Основные результаты диссертации доказывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях по современным проблемам геометрии:

– на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева (г. Чебоксары, 2005 – 2012 гг.);

– на научных конференциях аспирантов, докторантов и научных сотрудников Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева (г. Чебоксары, 2005 – 2011 гг.);

– на 4-ой, 6-ой, 7-ой, 8-ой, 9-ой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (г. Казань, 2005-2010 гг.);

– на V Республиканском конкурсе научно-исследовательских работ студентов, аспирантов, молодых учёных и научно-технических работников (Чебоксары, 2008 г.);

– на XVII Международной конференции « Математика. Образование » (Чебоксары, 2009 г.);

– на международной конференции “Геометрия в Одессе – 2010” (Одесса, 2010г.).

Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертационную работу, опубликованы в 21 печатной работе автора (см. [1] – [21]).

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика и содержание диссертации), двух глав и списка литературы, включающего 123 наименования. Полный объем диссертации составляет 127 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ В первой главе строятся основы двойственной теории регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов и регулярной m-мерной гиперполосы в проективно-метрическом пространстве Kn.

m В § 1 приводится материал реферативного характера, необходимый в дальнейшем изложении. Здесь приведены определение проективно-метрического пространства и уравнение его абсолюта.

В §2, п.1 приведены понятия гиперполосного распределения H m-мерных линейных элементов, регулярного и взаимного гиперполосных распределений, а также дана их геометрическая характеристика.

В п.2 §2 методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [13] в первых трех дифференциальных окрестностях элемента распределения H пространства Kn построены поля геометрических объектов, необходимых в дальнейшем исследовании.

В § 3 найдено поле соприкасающихся гиперквадрик для гиперполосного распределения H и в случае симметрии тензора n доказано, что обращение в ij нуль тензора Дарбу есть условие соприкосновения третьего порядка поля соприкасающихся гиперквадрик с базисным распределением гиперполосного распределения H в Kn (теорема I.1).

В § 4 (п.1, 2) получен один из центральных результатов первой главы (теорема I.3):

в проективно-метрическом пространстве K с абсолютом Qn1 регулярn ное гиперполосное распределение m-мерных линейных элементов H инвариантным внутренним образом индуцирует:

1) в третьей дифференциальной окрестности проективно-метрическое пространство Kn, двойственное K относительно инволютивного преобразования n структурных форм;

2) во 2-й дифференциальной окрестности образующего элемента распределения многообразие H в Kn, двойственное исходному распределению H.

В §4, п.4 в разных дифференциальных окрестностях найдены внутренние инвариантные оснащения в смысле Нордена– Чакмазяна гиперполосного рас пределения H, в п.5 во второй дифференциальной окрестности приводятся примеры построения полей инвариантных двойственных нормалей распределения H в Kn.

Для регулярного гиперполосного распределения H, нормализованного i полями квазитензоров an, Gi, найдены (§5) двойственные аффинные связности 1 2 1 i и , индуцируемые нормализацией an,Gi, причем связности и обобщенно сопряжены относительно поля основного тензора n вдоль любой криij вой, принадлежащей базисному распределению многообразия Н. Пространство аффинной связности An,m (пространство An,m ) имеет нулевое кручение тогда и только тогда, когда распределение нормалей первого рода Nnm (второго рода Nm1 ) является голономным (теорема I.8).

§6 посвящен нахождению полярного образа гиперполосного распределения H m-мерных линейных элементов относительно абсолюта Qn1 проективнометрического пространства Kn. Доказано центральное утверждение этого параграфа (теорема I.9):

при задании в проективно-метрическом пространстве Kn с абсолютом Qn1 регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов Н (m < n-1) индуцируются полярные исходному гиперполосные распреде ~ ления H и H, базисными распределениями которых являются распределение m-мерных линейных элементов или распределение (n-m-1)-мерных линейных элементов соответственно, а оснащающее распределение представляет собой распределение гиперплоскостных элементов, у которого текущий элемент есть поляра центра 0 исходного подмногообразия Н.

Кроме того, в случае обращения в нуль тензора aiv справедливы следующие утверждения (теорема I.11, I.11*, I.12):

1) если исходное распределение H является регулярным, то и полярные ~ распределения H и H также регулярные;

2) если гиперполосное распределение H взаимное, то и полярное ~ распределение H также будет взаимным;

3) распределение H взаимное;

4) если исходное распределение H является голономным, то и полярное ~ распределение H также голономное.

В §7 исследуется связь между нормалями первого и второго родов, заданных на полярных гиперполосных распределениях m-мерных линейных эле~ ментов H и H и доказывается следующее важное утверждение (теорема I.15):

двойственная нормализация исходного регулярного гиперполосного распределения H m-мерных линейных элементов, заданного в проективнометрическом пространстве Kn с абсолютом Qn1 и допускающего обращение в нуль тензора aiv, определяет двойственную нормализацию полярного относи~ тельно абсолюта Qn1 распределения H m-мерных линейных элементов.

В п.1 §8 приведены основные понятия и уравнения, связанные с гиперполосой; в п.2 доказано утверждение (теорема I.16), аналогичное теореме I.(§ 4 п.1):

регулярная гиперполоса Hm проективно-метрического пространства Kn с абсолютом Qn1 индуцирует:

1) в третьей дифференциальной окрестности проективное пространство Pn (Vm ), двойственное Kn (Vm ) относительно инволютивного преобразования структурных форм;

2) во второй дифференциальной окрестности двойственную m-мерную гиперполосу H.

m Найдены аффинные связности (§8 п.3), индуцируемые на двойственно нормализованной регулярной гиперполосе H K и доказаны следующие m n утверждения:

1. на двойственно нормализованной регулярной гиперполосе H K в m n касательном расслоении Tm H индуцируются две двойственные аффинные m 1 связности и без кручения, причем эти связности сопряжены относительно n поля главного фундаментального тензора ij гиперполосы (теорема I.17);

1 2. связность , средняя по отношению к и , является вейлевой с по n лем невырожденного метрического тензора ij ; связность является римановой тогда и только тогда, когда обращается в нуль кососимметричный тензор Tst (теорема I.18) ;

1 3. аффинные связности и одновременно эквиаффинны тогда и только тогда, когда кососимметричный тензор Tst обращается в нуль. Средняя связ ность в этом случае является римановой (теорема I.19) ;

1 4. аффинные связности и совпадают тогда и только тогда, когда i нормализация гиперполосы H K полями квазитензоров , является m n n i полярной относительно поля соприкасающихся гиперквадрик и гиперполоса H имеет соприкосновение третьего порядка с гиперквадриками этого поля m (теорема I.20).

В п.п.4,5 §8 для гиперполосы H в Kn найдена полярная относительно m ~ абсолюта гиперполоса H.

m В главе II диссертации изучается двойственная геометрия квадратичного гиперполосного распределения m -мерных линейных элементов , погруженного в проективно-метрическое пространство Kn.

В §1 введено понятие квадратичного гиперполосного распределения, выведены дифференциальные уравнения подмногообразия , приведены поля его фундаментальных и некоторых охваченных геометрических объектов. Параллельно с квадратичным гиперполосным распределением m-мерных линей ных элементов вводится в рассмотрение квадратичное гиперполосное рас~ пределение H с базисным распределением (n-m-1)-мерных характеристик.

§2 посвящен доказательству существования двойственных образов квадратичных гиперполосных распределений. Центральным результатом §2 является утверждение (объединение теорем II.1 и II.2):

квадратичное гиперполосное распределение m-мерных линейных элементов H, погруженное в проективно-метрическое пространство K, в 1-й диффеn ренциальной окрестности его образующего элемента индуцирует:

1) тангенциальное проективно-метрическое пространство Kn, двойственное исходному Kn относительно инволютивного преобразования структурных форм;

~ 2) квадратичные гиперполосные распределения H в Kn и H в Kn, двой~ ственные исходным распределениям H и H соответственно.

В §3 строятся и изучаются инвариантные оснащения квадратичных рас~ пределений H и H в смысле А.П. Нордена (п.1), Э. Картана (п.2) и Э. Бортолотти (п.3).

В п.1 доказано, что для нормализованных в смысле А.П. Нордена полями i v квазитензоров ,i0,, квадратичных гиперполосных распределений H и n n v ~ H соответственно справедливы следующие предложения:

1. в каждом центре A0 нормали первого рода и N полярно соN mn m пряженных квадратичных гиперполосных распределений соответственно H и ~ H пересекаются по прямой h [A0Nn ], где i v Nn An Ai Av ;

n n 2. нормализация одного из регулярных квадратичных распределений H в K и H в K равносильна нормализации другого;

n n 3. условием взаимности (полярной сопряженности) относительно абсолюта полей нормалей I и II родов на распределении H в K является выполнеn ние следующих соотношений:

0 j gij gin;

i n ~ 4. аналогично, если на квадратичном гиперполосном распределении H в K заданы поля инвариантных нормалей первого рода Nm1 m и второго роn v да Nnm2 nm1, определяемые соответственно полями квазитензоров n и , то условие их взаимности относительно абсолюта проективноv метрического пространства имеет вид:

0 v guv gun;

u n 5. нормализация Нордена-Чакмазяна квадратичного распределения H в ~ K ( H в K ) взаимна относительно абсолюта Qn1 пространства K тогда и n n n ~ только тогда, когда взаимна нормализация двойственного образа H в K ( H в n K ) относительно абсолюта Qn2 пространства K.

n 1 n Относительно оснащения в смысле Э. Картана (§3 п.2) квадратичного гиперполосного распределения справедливы следующие предложения:

1. нормаль второго рода N (A0) на квадратичном гиперполосном nm~ распределении H можно принять за ось оснащающей плоскости Картана N (A0 ) на квадратичном распределении H ;

nm2. оснащение квадратичного гиперполосного распределения H в смысле Э. Картана влечет за собой оснащение подмногообразия H полем нормалей первого рода, а также нормализацию в смысле Нордена-Чакмазяна квадратич~ ного распределения H ;

3. если на распределении H задано поле нормалей первого рода, индуi цируемое полем нормалей , то такое оснащение подмногообразия H опредеn ляет его оснащение в смысле Э. Картана, так как в качестве одного из возможных охватов функции можно взять:

n 0 i i j 0 u gij au an ;

n ni n n m при таком охвате функции оснащающая плоскость называется плоскостью n i Кёнигса нормали .

n В п.3 доказаны утверждения относительно оснащения в смысле Бортолотти квадратичного гиперполосного распределения:

1. на квадратичном гиперполосном распределении m-мерных линейных элементов H ( m 1) оснащающая гиперплоскость Бортолотти Nn1A0 неподвижна тогда и только тогда, когда она “вращается” вокруг нормали второго рода Nm1A0 (теорема II.6);

2. если на квадратичном гиперполосном распределении H оснащающая гиперплоскость Бортолотти Nn1A0 неподвижна, то она в каждом центре Aявляется гиперплоскостью Кёнигса нормали ai0 второго рода (теорема II.7).

Центральным предложением §4, посвященного изучению аффинных ~ связностей на квадратичных гиперполосных распределениях H и H, является теорема II.8:

на нормализованном квадратичном гиперполосном распределении m-мерных линейных элементов H в Kn индуцируются две двойственные аф1 финные связности и , причем эти связности:

i 1) совпадают тогда и только тогда, когда нормализация ,i0 подмноn гообразия H является взаимной относительно абсолюта Qn1;

2) имеют нулевое кручение тогда и только тогда, когда квадратичное ги~ i перполосное распределение H голономно, т.е. N[ uv ] 0.

Доказано, что:

1 1. двойственные аффинные связности и на нормализованном квадратичном гиперполосном распределении H сопряжены относительно поля тен зора gij вдоль любой кривой l, принадлежащей базисному распределению многообразия H (теорема II.9);

2. взаимная нормализация квадратичного гиперполосного распределения H в Kn индуцирует вейлево пространство An1,m An1,m вдоль любой кривой l, принадлежащей базисному распределению подмногообразия H (теорема II.10).

Для квадратичного гиперполосного распределения (n-m-1)-мерных линей~ ных элементов H, нормализованного в смысле Нордена-Чакмазяна полями v квазитензоров ,, с точностью до замены индексов i, j,k,... u,v,w,... и n v i до замены функций u Nua справедливы аналогичные предложения.

ia В §5 на оснащенном в смысле Нордена-Картана квадратичном гиперполосном распределении H в расслоении нормалей первого рода найдены шесть 1нормальных связностей (теорема II.11).

Имеет место теорема II.12: если на оснащенном в смысле НорденаКартана квадратичном гиперполосном распределении H оснащающая плоскость Картана Nnm1 неподвижна, то индуцируемая в расслоении нормалей первого рода связность является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская.

На оснащенном в смысле Нордена-Бортолотти квадратичном гиперполосном распределении H в расслоении нормалей второго рода найдена нормальная связность и доказано, что если на оснащенном в смысле НорденаБортолотти квадратичном гиперполосном распределении H оснащающая гиперплоскость Бортолотти Nn1 неподвижна, то индуцируемая в расслоении нормалей второго рода связность является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская (теорема II.12*).

Доказано, что поле характеристик подмногообразия H параллельnmно в нормальной связности , поле m-мерных плоскостей базисного расm пределения параллельно в нормальной связности (п.3).

§6 посвящен рассмотрению автополярной нормализации невырожденного абсолюта Qn1 проективно-метрического пространства Kn. Доказано, что абсолютQn1 проективно-метрического пространства K нормализован автополярn но тогда и только тогда, когда двойственные аффинные связности и , индуцируемые на нормализованном абсолюте, совпадают (теорема II.13).

Автополярная нормализация невырожденного абсолюта Qn1 проективно метрического пространства Kn индуцирует вейлеву связность с полем мет def 0 n 0 c c n рического тензора gab и с дополнительной формой 0 n 0 c c n (теорема II.14).

Заметим, что в случае одновременного выполнения двух условий:

1) сопряженность поля нормалей первого рода абсолюту Qnc ( gb ]c 0 ), n[ a 2 2) гармоничность поля нормалей второго рода абсолюту Qn1 ( =0), [ ab ] согласно А.П. Нордену [20], нормализация называется вполне гармоничной абсолюту Qn1.

Показано, что автополярная нормализация невырожденного абсолюта Qn1 проективно-метрического пространства Kn индуцирует риманову связ ность с полем метрического тензора gab тогда и только тогда, когда нормализация вполне гармонична гиперквадрике Qn1 (теорема II.15).

В §7 главы II вводятся в рассмотрение ткани на квадратичном гиперполосном распределении и найдены некоторые приложения двойственных аффинных связностей к рассмотрению их частных классов.

Если на базисном распределении многообразия H в Kn задано m( m 2 ) линейно независимых гладких полей допустимых направлений A0Bi, где Bi aij Aj, aij 0, то линии, огибающие эти направления, принадлежат базисному распределению m-мерных линейных элементов и образуют на нем mткань . Доказаны следующие предложения:

Теорема II.18. Квадратичное гиперполосное распределение H в Kn, несущее сопряженную относительно поля тензора gis голономную m-ткань (m 3), является m -сопряженной системой в смысле Р.В.Смирнова [29].

Теорема II.19. Для квадратичного гиперполосного распределения H в Kn, несущего сопряженную относительно поля тензора gik ткань , принадлежащую распределению H, поля её инвариантных гармонических плоскостей i qn и qi0 нормализуют многообразие H взаимно.

Теорема II.20. Сопряженная относительно поля тензора gis m -ткань на квадратичном гиперполосном распределении H в Kn есть ткань с совпавшими псевдофокусами Fi j (с совпавшими псевдофокальными гиперплоскостями ij ) тогда и только тогда, когда относительно поля её гармонических плоскостей i qi0qn она является геодезической тканью второго (первого) рода.

Теорема II.21. Сопряженная относительно поля тензора gis чебышевская m -ткань первого (второго) рода, принадлежащая распределению H в Kn, является геодезической второго (первого) рода.

Следствие. Сопряженная относительно поля тензора gis чебышевская m -ткань первого (второго) рода, принадлежащая распределению H в Kn, относится к классу тканей с совпавшими псевдофокусами Fi j (псевдофокальными гиперплоскостями ij ).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ 1. В проективно-метрическом пространстве K с абсолютом Qn1 регулярn ное гиперполосное распределение m-мерных линейных элементов H m n 1 инвариантным внутренним образом индуцирует:

1) в третьей дифференциальной окрестности проективно-метрическое пространство Kn, двойственное K относительно инволютивного преобразования n структурных форм, 2) во 2-й дифференциальной окрестности образующего элемента распределения многообразие H в Kn, двойственное исходному подмногообразию H.

1 2. Найдены две двойственные аффинные связности и , индуцируемые на гиперполосном распределении, нормализованном полями квазитензоров i an,Gi; получен ряд свойств этих связностей.

~ 3. При некоторых условиях найдены гиперполосные распределения H m-мерных линейных элементов и H (n-m-1)-мерных линейных элементов полярные относительно абсолюта Qn1 исходному распределению H в K, докаn зано, что двойственная нормализация исходного регулярного гиперполосного распределения H определяет двойственную нормализацию полярного распре~ деления H.

4. На двойственно нормализованной регулярной гиперполосе H K m n m n 1 в касательном расслоении Tm H индуцируются две двойственные m 1 аффинные связности и без кручения; получен ряд свойств по изучению геометрии этих связностей.

5. Построены основы двойственной теории оснащенного квадратичного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов H, погруженного в проективно-метрическое пространство K : двойственные аффинные связn 1 ности и и их приложения к изучению геометрии m-тканей на H (чебышевские и геодезические ткани первого и второго родов), двойственные нормальные связности и и т.д.

Список литературы [1] Близникас В. И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства / В. И. Близникас // Ziet. mat. rinkinys: лит.

мат. сб., 1971. – Т. 11. – № 1. – С. 63-74.

[2] Близникас В. И. О неголономной поверхности трёхмерного пространства проективной связности / В. И. Близникас // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн.

информ. АН СССР. – М., 1971. – Т. 3. – С. 115-124.

[3] Вагнер В.В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий/ В.В.Вагнер // Сб. 8-го Межд. конкурса на соискание премий им. Лобачевского.– Казань, 1940. – С. 195-262.

[4] Вагнер В.В. Теория конгруэнций кругов и геометрия неголономного Vв R3 / В.В.Вагнер // Тр. семин. по векторному и тензорному анализу / МГУ. – 1941. – Вып. 5. – С. 271-283.

[5] Вагнер В.В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем / В.В.Вагнер // Тр. семин. по векторному и тензорному анализу / МГУ. – 1941. – Вып. 5. – С. 301-327.

[6] Вагнер В.В. Геометрия n 1-мерного неголономного многообразия в n -мерном пространстве / В.В.Вагнер // Тр. семин. по векторному и тензорному анализу / МГУ. – 1941. – Вып. 5. – С. 173-225.

[7] Вагнер В.В. Теория поля локальных гиперполос / В.В.Вагнер // Тр. семин. по векторному и тензорному анализу. – 1950. – В. 8. – С. 197-272.

[8] Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. – 1950. – Вып. 8. – С. 1172.

[9] Василян М.А. Об инвариантном оснащении гиперполосы / М.А. Василян. // Докл. АрмССР. – 1970. – Т.50. – №2. – С.65-70.

[10] Гохман А. В. Дифференциальная геометрия и классическая динамика систем / А. В. Гохман // Труды Геометр. семинара / ВИНИТИ АН СССР. – М., 1966. – Т. 1. – С. 111-138.

[11] Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан. – Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1962. – 210 с.

[12] Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения / Э. Картан. – М.: МГУ, 1962. – 237 с.

[13] Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / Г. Ф. Лаптев // Труды Моск. матем. о-ва. – 1953. – Т.2. – С.275-382.

[14] Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциальногеометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. съезда.– М., 1958. – Т. 3. – С. 409-418.

[15] Лаптев Г. Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства. / Г. Ф. Лаптев // В сб. “Труды 4-го Всес. матем. съезда (1961)”. – Ленинград, 1964. – Т. 2. – С. 226-238.

[16] Лаптев Г.Ф. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I / Г.Ф. Лаптев, Н.М. Остиану // Труды Геометрического семинара – М., 1971. – Т.3. – С.49-94.

[17] Лаптев Г. Ф. Распределения касательных элементов / Г. Ф. Лаптев // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. – М., 1971. – Т. 3. – С. 2948.

[18] Лумисте Ю. Г. Распределения на однородных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. – М., 1977. – Т. 8. – С. 5-24.

[19] Норден А. П. О внутренних геометриях поверхностей проективного пространства / А. П. Норден // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. – М., 1948. – Вып. 6. – С. 125-224; Вып. 7. – С. 31-64.

[20] Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. – М.:

Наука, 1976. – 432 с.

[21] Норден А. П. Теория композиций / А. П. Норден // Итоги науки и техн.

Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. – М., 1978. – Т. 10. – С. 117-145.

[22] Норден А. П. Многочленные композиции и теория распределений / А. П. Норден // Известия вузов. Матем. – 1978. – №11. – С. 87-97.

[23] Остиану Н. М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II / Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара/ Ин-т научн. информ. АН СССР. – М., 1971. – Т. 3. – С. 95-114.

[24] Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. – М., 1973. – Т. 4. – С. 71-120.

[25] Остиану Н. М. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева. / Н. М. Остиану, В.В. Рыжков, П.И. Швейкин // Тр. Геом. семинара/ Ин-т научн. информ. АН СССР. – М., 1973. – Т. 4. – С. 7-70.

[26] Попов Ю. И. О двойственности трёхсоставных распределений / Ю. И. Попов // Калинингр. гос. ун-т. – Калининград, 2004. – 17 с. – Деп. в ВИНИТИ 26.01.2004, №131–В2004Деп.

[27] Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными / П.К. Рашевский. – М.: Гостехиздат, 1947. – 354 с.

[28] Синцов Д. М. Работы по неголономной геометрии / Д.М. Синцов. – Киев: Вища школа, 1972.– 294 с.

[29] Смирнов Р.В. Преобразования Лапласа p-сопряженных систем / Р.В. Смирнов // ДАН СССР. – 1950. – Т.71. - №3. – С.437-439.

[30] Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов / А. В. Столяров// Проблемы геометрии / Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. – 1975. – Т.7. – C.117-151.

[31] Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография / А. В. Столяров. – Чебоксары: Чувашский гос. пед. институт им. И.Я. Яковлева, 1994. – 290 c.

[32] Столяров А. В. Пространство проективно-метрической связности / А. В. Столяров // Известия вузов. Математика. – 2003. – №11. – С. 70-76.

[33] Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников – М. – Л.: ГИТТЛ, 1948. – 432 c.

[34] Чакмазян А.В. Двойственная нормализация / А.В. Чакмазян // Докл.

АН АрмССР. – 1959. – Т.28. – №4. – С. 151-157.

[35] Чаплыгин С. А. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе. / С.А. Чаплыгин. – Л.: Полн. собр. соч., 1933. – Т.1. – С.212-214.

[36] Ehresmann C. Les connexions infinitesimals dans un space fibr diffrentiable / C. Ehresmann // Collque de Topologie (Bruxelles, 1950). – Paris, 1951. – P. 29-55.

[37] Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. matem. – Palermo, 1917, 42. – P. 173-205.

[38] Michilescu T. Geometrie differential projectiv / T. Michilescu // Bucureti Acad. RPR, 1958. – 394 p.

[39] Pfaff J. – Berl. Abh. / J. Pfaff – 1814. – S. 76-135.

[40] Schouten J. A. Ricci Calculus / J. A. Schouten. – Berlin. 2nd ed. – 1954.

[41] Vranceanu L. Les spaces non-holonomes / L. Vranceanu // Mmorial des Sci Math., fasc. LXXXV. – Paris, 1936.

[42] Weyl H. Raum, Zeit, Materie / H. Weyl. – Berlin, 1918.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ [1] Смирнова Е.Н. Оснащения по А.П.Нордену взаимно-полярных неголономных гиперполос в проективно-метрическом пространстве / Е.Н. Смирнова // ВИНИТИ РАН. – М., 2005. – №746 – В2005 – 11 с.

[2] Смирнова Е.Н. Номализация взаимно-полярных гиперполосных распределений в проективно-метрическом пространстве / Е.Н. Смирнова // Научно – информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. №1 (5): в 2 т.

Т.1. – Чебоксары : ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2005. – С. 10–14.

[3] Смирнова Е.Н. Оснащения по А.П.Нордену взаимно-полярных неголономных гиперполос в проективно-метрическом пространстве / Е.Н. Смирнова // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 31: материалы Четвёртой молодёжной науч. школы-конф. – Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва, 2005. – С. 60–63.

[4] Смирнова Е.Н. Тангенциальное проективно-метрическое пространство, индуцируемое взаимной неголономной гиперполосой / Е.Н. Смирнова // ВИНИТИ РАН. – М., 2007. – №1015 – В2007 – 18с.

[5] Смирнова Е.Н. Двойственная геометрия взаимной регулярной неголономной гиперполосы в проективно-метрическом пространстве / Е.Н. Смирнова// Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т.36: материалы Шестой молодёжной науч. школы-конф. – Казань: Изд-во Казанского мат. обва, 2007. – С. 199–202.

[6] Смирнова Е.Н. Двойственные поля геометрических объектов на регулярной неголономной гиперполосе в проективно-метрическом пространстве / Е.Н. Смирнова // ВИНИТИ РАН. – М., 2008. – №283 – В2008 – 25 с.

[7] Смирнова Е.Н. Е.Н. Двойственность квадратичного гиперполосного распределения в проективно-метрическом пространстве / Е.Н. Смирнова // Научно – информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. №1 (11):

в 2 т. Т.1. – Чебоксары : ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2008. – С. 24–29.

[8] Смирнова Е.Н. Квадратичное гиперполосное распределение в проективно-метрическом пространстве / Е.Н. Смирнова // Межвузовский тематический сб. науч. тр. – Калининград: Изд-во Российского гос. университета им. И. Канта, 2008. – Вып. 39 – С. 124-129.

[8] Смирнова Е.Н. Двойственность неголономной квадратичной гиперполосы в проективно-метрическом пространстве / Е.Н. Смирнова // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т.37: материалы Седьмой молодежной науч. школы-конф. – Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва, 2008. – С. 164-167.

[10] Смирнова Е.Н. Двойственные аффинные связности на квадратичном гиперполосном распределении в проективно-метрическом пространстве и их приложения. / Е.Н. Смирнова // Наука XXI века. Сборник статей по материалам V Республиканского конкурса научно-исследовательских работ студентов, аспирантов, молодых ученых и научно-технических работников (в области естеств.-матем. и тех. наук). – Чебоксары: ЧГИГН, 2008. – С.14-18.

[11] Смирнова Е.Н. Внутренняя геометрия квадратичного гиперполосного распределения в проективно-метрическом пространстве / Е.Н. Смирнова // ВИНИТИ РАН. – М., 2009. - №4 – В2009. – 24 с.

[12] Смирнова Е.Н. Двойственные аффинные связности на квадратичном гиперполосном распределении в проективно-метрическом пространстве и их приложения / Е.Н. Смирнова // Известия высших учебных заведений. Математика. – Казань: Издательство Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина, 2009. - №5. – С. 73-77.

[13] Смирнова Е.Н. Нормальные связности на квадратичном гиперполосном распределении / Е.Н. Смирнова // ВИНИТИ РАН. – М., 2009. – №333– В2009. – 27 с.

[14] Смирнова Е.Н. Инвариантные оснащения квадратичного гиперполосного распределения / Е.Н. Смирнова // Математика. Образование: Материалы XVII международной конференции.– Чебоксары: Изд-во Чуваш. гос. ун-та, 2009. – С. 306.

[15] Смирнова Е.Н. Полярные гиперполосы в проективно-метрическом пространстве / Е.Н. Смирнова // ВИНИТИ РАН. – М., 2009. – №524 – В2009.– 14 с.

[16] Смирнова Е.Н. Нормализация полярных гиперполос в проективнометрическом пространстве / Е.Н. Смирнова // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т.39 : материалы Восьмой молодежной науч. школыконф. – Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва, 2009. – С. 344-347.

[17] Смирнова Е.Н. Аффинные связности на полярных гиперполосах в проективно-метрическом пространстве / Е.Н. Смирнова // ВИНИТИ РАН. – М., 2010. – №299 – В2010. – 27 с.

[18] Смирнова Е.Н. Оснащение полярной гиперполосы в проективнометрическом пространстве. / Е.Н. Смирнова // Геометрия в Одессе – 2010: Тезисы докладов международной конференции. – Одесса: Фонд “Наука”, 2010. – С. 56.

[19] Смирнова Е.Н. Двойственные аффинные связности на гиперполосе в проективно-метрическом пространстве / Е.Н. Смирнова // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т.40 : материалы Девятой молодежной науч. школы-конф. – Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва, 2010. – С.312-315.

[20] Смирнова Е.Н. Двойственная нормализация полярных неголономных гиперполос в проективно-метрическом пространстве / Е.Н. Смирнова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. – Чебоксары: ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2011. – №2(70) – Ч.I. – С.140-144.

[21] Смирнова Е.Н. Двойственность гиперполосного распределения в проективно-метрическом пространстве / Е.Н. Смирнова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. – Чебоксары:

ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2011. – №2(70) – Ч.I. – С.145-149.

Подписано к печати 06.04.2012. Формат 60 84 /16.

Бумага писчая. Печать оперативная.

Усл. печ. л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ №67.

Отдел полиграфии ФГБОУ ВПО «Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева» 428000, Чебоксары, ул. К. Маркса, 38.







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.