WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Фарков Юрий Анатольевич

Оптимальные методы приближения функций обобщенными полиномами и всплесками

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2012

Работа выполнена в Российском государственном геологоразведочном университете имени Серго Орджоникидзе.

Официальные оппоненты:

Магарил-Ильяев Георгий Георгиевич, доктор физико-математических наук, профессор, Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА), профессор кафедры высшей математики;

Осипенко Константин Юрьевич, доктор физико-математических наук, профессор, Российский государственный технологический университет имени К. Э. Циолковского, зав. кафедрой высшей математики;

Скопина Мария Александровна, доктор физико-математических наук, профессор, Санкт-Петербургский государственный университет, профессор кафедры высшей математики факультета прикладной математики – процессов управления.

Ведущая организация:

Институт математики и механики Уральского отделения РАН.

Защита состоится « » 2012 года в ч. мин.

на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 при Российском университете дружбы народов по адресу: 117198 г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, ауд. 495 а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского университета дружбы народов.

Автореферат разослан « » 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Россовский Леонид Ефимович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Оптимальные методы приближения функций составляют раздел теории приближений, начало которому было положено А.Н.Колмогоровым. Введенный им поперечник отвечает на следующий вопрос:

какой точности приближения заданного класса можно достигнуть, если использовать в качестве аппарата приближения подпространства заданной размерности? В дальнейшем для изучения оптимальности различных методов приближения (линейных, интерполяционных и др.) были введены линейные, гельфандовские, александровские, бернштейновские и некоторые другие поперечники. Методы теории поперечников играют важную роль в общей теории оптимальных алгоритмов и в некоторых современных задачах теории восстановления, отраженных в работах Б.С.Кашина, С.В.Конягина, Г.Г.Магарил-Ильяева, К.Ю.Осипенко, В.Н.Темлякова, А.Пинкуса, Д.Донохо и др. В статье В.М.Тихомирова1 среди актуальных задач теории приближений названа следующая: "Необходимо создавать модифицированную теорию, которая позволит создавать специальные функции и специальные методы аппроксимации для гладких и аналитических функций многих переменных". В связи с этой задачей отметим, что в данной диссертации приведены методы аппроксимации, оптимальные (в смысле колмогоровских и линейных поперечников) для некоторых классов функций, голоморфных в шаре из Cn. Кроме того, с использованием поперечников построен специальный метод аппроксимации функций, аналитических в окрестности нескольких континуумов.

Всплесковые методы аппроксимации начали активно развиваться во второй половине 80-х годов прошлого века после основополагающих работ Ива Мейера, Ингрид Добеши, Стефана Малла, Гросмана, Морле, Койфмана, Чуи и ряда других математиков. В предисловии к монографии С.Малла2 отмечается, что по сравнению с методом Фурье современная теория всплесков "дает возможность рассмотреть многие явления, связанные с обработкой сигналов, хранением и передачей информации на более высоком, более общем уровне. Эта наука дает возможность создать эффективный теоретический и технический аппарат в таких областях знаний, как теория приближения функций, обработка сигналов, теория информации и кодирования ". Важнейшие элементы современной теории всплесков, включая основные методы построения ортогональных и биортогональных систем всплесков и их аппроксимационные свойства, изложены в монографии И.Я. Новикова, В.Ю. Протасова и М.А. Скопиной3 (перевод на английский язык издан в прошлом году Американским математическим обществом в серии Translations of Mathematical Monographs).

Классическими примерами ортогональных систем всплесков являются системы Хаара, Шеннона, Лемарье-Баттла и Добеши. Напомним, что масштабирующая функция Добеши порядка N является решением функционального уравнения 2N- (x) = 2 hk(2x - k), x R, k=и обладает следующими свойствами: 1) supp = [0, 2N -1], 2) система {(·-k) : k Z } ортонормирована в L2(R); 3) порождает кратномасштабный анализ в L2(R). При N = 1 конструкция Добеши приводит к функции Хаара: = 1[0,1) (в этом случае h0 = h1 = 1/ 2). Для 2 N 10 значения коэффициентов hk приведены в разделе 6. книги Добеши4. При N = 2 функция удовлетворяет условию Липшица Тихомиров В.М. Теория приближений в XX столетии. В кн.: Математические события XX века. М.: ФАЗИС, 2003.

С. 425-4Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005.

Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2001.

| (t) - (x)| C | t - x|, t, x R, с показателем 0, 5500. Точное значение показателя (и соответствующих величин для N = 3 и N = 4) было найдено Добеши и Лагариасом в 1992 г. Для масштабирующих функций Добеши порядков N 5 точные значения показателей гладкости не известны.

В настоящее время теория преобразований Уолша и их обобщений представляет собой активно развивающийся раздел гармонического анализа5. Существенный вклад в развитие этой теории внесли Б. И. Голубов, А. В. Ефимов, В. А. Скворцов, С. В. Конягин, Л. А. Балашов, М. С. Беспалов, С. В. Бочкарев, С. С. Волосивец, С. Ф. Лукомский, G. Alexits, P. L. Butzer, S. Fridli, F. Mricz, C. W. Onneweer, J. Pl,. J. Price, F. Schipp, Bl. Sendov, A. H. Siddiqi, R. S. Stankovi, M. H. Taibleson, W. R. Wade, H. J. Wagner, C. Watari и др. Интерпретация функций Уолша как характеров канторовой диадической группы была предложена И.М.Гельфандом. Н.Я.

Виленкиным был определен широкий класс локально компактных абелевых групп (называемых в современной литературе группами Виленкина), содержащий группу Кантора как специальный случай. Для данного p 2 группа Виленкина может быть определена как слабое прямое произведение счетного множества циклических групп p -го порядка, рассматриваемых с дискретной топологией. В случае p = группа Виленкина изоморфна канторовой диадической группе. Специфика построения всплесков на группах Кантора и Виленкина связана с тем обстоятельством, что эти группы (как и аддитивная группа поля p -адических чисел) содержат открытые компактные подгруппы. На международной конференции по дискретному анализу и его приложениям, состоявшейся в Салониках 27-29 сентября 2008 г., среди обсуждавшихся тем были следующие: анализ Уолша, гармонический анализ на группах Виленкина, p адические всплески, анализ Фурье на некоммуттативных группах, производная Гиббса и ее обобщения, нелинейные методы кодирования. Статья автора о кратномасштабном анализе и всплесках на группах Виленкина опубликована в специальном выпуске журнала Facta Universitatis, посвященном этой конференции.

В апреле 1996 г. автором в совместном с Д. Ю. Перловым докладе на международной конференции "Новые достижения в науках о Земле"(Москва, МГГА) был определен кратномасштабный анализ Хаара на группах Виленкина. В том же году Ленгом6 были построены первые примеры ортогональных всплесков с компактными носителями на группе Кантора, отличные от всплесков Хаара.Через два года вышли две работы Лэнга, в которых определен кратномасштабный анализ в L2-пространстве на группе Кантора, выявлена мультифрактальная структура построенных им ортогональных всплесков и найдены условия, при которых эти всплески порождают безусловные базисы в соответствующих Lq -пространствах для всех 1 < q < . Отметим, что аналоги всплесков Добеши были определены Лэнгом только в случае, когда масштабирующее уравнение содержит четыре коэффициента.

Адаптивная схема кратномасштабного анализа на канторовой диадической группе построена Бл.Сендовым7 с помощью найденной им модификации функций Уолша.

Оптимальность ортогональных всплесковых базисов при аппроксимациях в L2пространствах на группах Кантора и Виленкина (в том числе и в смысле линейных и колмогоровских поперечников8) следует из общих свойств ортогональных систем в гильбертовых пространствах.

Цель работы.

1. Найти новые оптимальные методы приближения функций обобщенными полиномами и всплесками.

Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения. Изд. 2-е. М.:

Изд-во ЛКИ, 2008.

Lang W.C. Orthogonal wavelets on the Cantor dyadic group. SIAM J. Math. Anal. 1996. V.27. № 1. P.305-312.

Sendov Bl. Multiresolution analysis of functions defined on the dyadic topological group // East J. Approx. 1997. V.3. № 2. P.225-239.

Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. Berlin/New York: Springer-Verlag, 1985.

2. Получить новые точные и асимптотически точные результаты о поперечниках и -энтропии классов аналитических функций.

3. Определить аналоги всплесков Шеннона и Лемарье-Баттла на локально компактных абелевых группах.

4. Для произвольного натурального n построить диадические всплески с компактными носителями на канторовой диадической группе, отвечающие масштабирующему уравнению с 2n коэффициентами, и получить оценки гладкости этих всплесков.

5. Построить ортогональные и биортогональные всплески с компактными носителями на p -адической группе Виленкина и их дискретные аналоги в пространствах последовательностей.

6. Построить периодические всплески на p -адической группе Виленкина.

7. Построить фреймы Парсеваля и жесткие фреймы на диадической группе Кантора.

8. Вычислительными экспериментами по обработке изображений и фрактальных функций выявить преимущества построенных всплесковых систем по сравнению с базисами Хаара и Добеши, а также с биортогональным базисом 9/7, используемым в стандарте JPEG2000.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Разработаны новые конструкции и методы исследований, найдены новые оптимальные методы приближения функций обобщенными полиномами и всплесками. Получены новые результаты о поперечниках и -энтропии классов аналитических функций, найдены соответствующие оптимальные методы аппроксимации. Построены и изучены новые ортогональные и биортогональный всплески на группах Кантора и Виленкина, построены новые фреймы Парсеваля и жесткие фреймы, найдены новые периодические всплески и их дискретные аналоги в пространствах последовательностей. Доказана безусловная сходимость всплесковых разложений в диадическом пространстве Харди на канторовой группе. Вычислительными экспериментами продемонстрированы преимущества построенных всплесковых систем по сравнению с несколькими известными и широко применяемыми системами всплесков.

Методы исследования. В работе использованы методы теории функций и функционального анализа, гармонического анализа, теории приближений, дискретной математики и некоторые методы анализа сигналов. Известный в теории всплесков метод кратномасштабного анализа адаптирован к построению ортогональных и биортогональных всплесков на группах Кантора и Виленкина, а также некоторых их аналогов и модификаций. При построении оптимальных базисов в пространствах аналитических функций применяются методы теории поперечников, методы конформных отображений и элементы теории голоморфных функций многих переменных.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят как теоретический, так и практический характер. Они могут найти применения в гармоническом анализе, теории приближений, теории ортогональных рядов и преобразований, а также в таких областях как цифровая обработка информации, кодирование изображений, исследование случайных процессов, анализ динамики линейных и нелинейных систем, разработка систем оптимального управления и построение многоканальных систем связи. Часть материалов диссертации включена автором в учебное пособие "Элементы анализа Фурье и теории всплесков", допущенного УМО по образованию в области Прикладной математики и управления качеством в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 230400 "Прикладная математика".

Апробация. Результаты диссертации докладывались в МГУ на семинарах под руководством В.М.Тихомирова (1983, 1988, 1993, 1996, 1997, 2000, 2004), на семинарах под руководством П.Л.Ульянова и Б.С.Кашина (1997) и на семинаре под руководством Б.С.Кашина и С.В.Конягина (2009), в Математическом институте им. В.А.Стеклова на семинарах под руководством А.А.Гончара (1997), С.А.Теляковского (1996, 2000, 2007) и И.В.Воловича (2007), в Математическом институте Академии наук КНР на семинаре под руководством Хан Лин Чена (Han-Lin Chen, 1999), в Российском университете дружбы народов на семинаре под руководством В.Д.Степанова и А.Л.Скубачевского (2011), на зимних математических школах в Саратове (1986, 1988, 1996, 2000, 2010), а также на следующих конференциях:

Международная конференция "Теория приближения и задачи вычислительной математики" (Днепропетровск, 1993), Special Semester in Approximation Theory (Technion, 1994), Третья суслинская конференция (Саратов, 1994), Minisemester "Approximation and Computational Complexity" (Stefan Banach International Mathematical Center, Warsaw, 1995), Международная конференция "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ" (Москва, 1995), International Conference on Approximation Theory (Kaluga, 1996), International Conference "Computational Modelling and Computing in Physics"(Dubna, 1996), Международная конференция "Новые достижения в науках о Земле" (Москва, 1996), Международная конференция по комплексному анализу и смежным вопросам (Н.Новгород, 1997), Международная конференция "Средства математического моделирования"(СанктПетербург, 1999), International conference OFEA’2001 (St. Petersburg, 2001), International conference “Wavelets and splines” (St. Petersburg, 2003), VI Международная конференция "Новые идеи в науках о Земле"(Российский государственный геологоразведочный университет, Москва, 2003), International conference “Extremal problems and approximation” dedicated to the 70th birthday of V.M.Tikhomirov (Moscow State University, 2004), VIII Международная конференция «Новые идеи в науках о Земле» (Российский государственный геологоразведочный университет, Москва, 2007), International conference "Extremal Problems in Complex and Real Analysis"(Peoples’ Friendship University of Russia, Moscow, 2007), International conference "The Third International Conference on p -Adic Mathematical Physics: From Planck scale physics to complex systems to biology. p -ADIC MATHPHYS.2007"(Steklov Mathematical Institute, Moscow, 2007), International conference "Wavelets and Applications"(St. Petersburg, 2009), IX Международная конференция «Новые идеи в науках о Земле» (Российский государственный геологоразведочный университет, Москва, 2009), Международная конференция "Теория приближений"(ММИ им. Л. Эйлера, СанктПетербург, 2010), Seminar on Dyadic Analysis (University of Nis, Serbia, 2010), I Jaen Conference on Approximation Theory (Ubeda, Spain, 2010), First International Conference of the Georgian Mathematical Union (Batumi, Georgia, 2010), X Международная конференция «Новые идеи в науках о Земле» (Российский государственный геологоразведочный университет, Москва, 2011), Международная конференция по современному анализу (Донецк, Украина, 2011), The 8-th Congress of the International Society for Analysis, its Applications, and Computation (Peoples’ Friendship University of Russia, Moscow, 2011), International Conference “Harmonic Analysis and Approximations, V” (Tsaghkadzor, Armenia, 2011), International Workshop on Wavelets, Frames and Applications (Delhi, India, 2011).

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 28 печатных работах, из них 21 статья в рецензируемых журналах [1-21] и 7 статей в сборниках трудов конференций [22-28]. Работы [12], [19] и [20] написаны в соавторстве с аспирантами, которым принадлежат компьютерные программы, использованные в этих публикациях.

Структура и объем диссертации. Диссертация, изложенная на 264 страницах, состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 130 наименований, включая основные работы автора по теме диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен обзор работ по теме диссертации и сформулированы основные полученные в ней результаты. В первой главе основное внимание уделяется обобщению и развитию методов приближения, возникших в работах К.И.Бабенко9 и В.Д.Ерохина10 об асимптотике -энтропии классов аналитических функций. Изложены свойства обобщеного ядра Бабенко и приведены результаты автора о поперечниках некоторых классов функций, аналитических в круге, получены многомерные аналоги результатов В.М.Тихомирова, Л.В.Тайкова и А.Пинкуса о поперечниках класса ХардиСоболева и доказана асимптотическая формула для -энтропии этого класса функций.

Построены оптимальные в смысле поперечников и -энтропии базисы для некоторых классов функций, аналитических в окреcтности нескольких континуумов комплексной плоскости.

Напомним, что линейный n-поперечник подмножества A нормированного пространства X определяется равенством n(A, X) := inf sup ||f - nf||, n fA где нижняя грань берется по всем линейным ограниченным операторам n ранга n, отображающих X в себя. Уклонением множества A от подпространства L в X называют величину d(A, L, X) := sup inf ||x - y||, yL xA а n-поперечник по Колмогорову множества A в X определяется равенством dn(A, X) := inf d(A, Ln, X), Ln где Ln - произвольные подпространства из X размерности n. Из определений видно, что dn(A, X) n(A, X). Бернштейновский n-поперечник множества A в X определяется по формуле bn(A, X) := sup sup{r | B(Ln+1) A}, Ln+где B(Ln+1) - единичный шар подпространства Ln+1. Для предкомпактного множества A через N(A; X) обозначают минимальное число точек в -сети для A в X. Величина Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв. АН СССР. Сер. матем.

1958. Т. 22. № 5. C.631-640.

Ерохин В.Д. Об асимптотике -энтропии аналитических функций // Докл. АН СССР. 1958. Т. 120. № 5. C.949-952.

H(A, X) := log2 N(A, X) называется -энтропией множества A относительно X.

Пусть - открытое множество на плоскости C, E - компактное подмножество в .

Через UR обозначается круг радиуса R с границей TR, а через U - единичный круг.

Пространство H() состоит из функций f, аналитических в и имеющих конечную норму ||f||H () := sup{|f(z)| : z }. Обозначим через BH() сужение на E замкнутого единичного шара пространства H() и через cap (E, ) емкость Грина множества E относительно (например, если E = U и = UR, то cap (E, UR) = 1/ log R). Если - односвязная область Жордана и : UR - отображение Римана, то dn(BH(), C(E)) = dn(BH(UR), C((E))) для любого компакта E .

В случае Фабера в качестве E берется континуум K, не разбивающий плоскость, а является канонической окрестностью GR континуума K (граница GR совпадает с прообразом окружности TR при конформном отображении дополнения K на дополнение единичного круга U в расширенной комплексной плоскости). Для K = U и K = [-1, 1] аппроксимации Фабера совпадают соответствено с аппроксимациями Тейлора и Чебышева (о свойствах многочленов Фабера см., например, монографию П.К.Суетина11). Для широкого класса континуумов K (например, в случаях, когда K выпуклый компакт или замкнутая область Радона) приближения функций частичными суммами ряда Фабера позволяют доказать (см. § 1.5) порядковые оценки n(BH(GR), C(K)) dn(BH(GR), C(K)) R-n.

Задача о вычислении асимптотики -энтропии класса BH() в метрике C(E) поставлена А.Н.Колмогоровым. Условия, при которых имеет место асимптотическая формула cap (E, ) H(BH(), C(E)) (log2(1/))2 ( 0), (1) log2 e изучали К.И.Бабенко, А.Г.Витушкин, В.Д.Ерохин, В.М.Тихомиров, В.П.Захарюта, Г.Видом и др. (эти результаты подробно изложены в обзорной работе В. М. Тихомирова12). Известно, в частности, что формула (1) является следствием равенства lim [dn(BH(), C(E))]1/n = exp(-1/cap (E, )). (2) n Кроме того, если - многосвязная область либо конечное дизъюнктное объединение таких областей, то dn(BH(), C(E)) c1 exp(-n/cap (E, )). (3) В общем случае равенство (2) доказывается с помощью приближений функций f из класса BH() рациональными функциями с нулями и полюсами, равномерно распределенными относительно некоторых мер, определяемых по E и . В главе Суетин П.К. Ряды по многочленам Фабера. М.: Наука, 1984.

Тихомиров В.М. Теория приближений. "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.(Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР)." М., 1987. С.103-260.

приводятся оптимальные линейные методы приближения, позволяющие с помощью разложений в ряды функций f из BH() доказать формулу lim [n(BH(), C(E))]1/n = exp(-1/cap (E, )), (4) n а в случае достаточно гладких границ , E и оценку n(BH(), C(E)) c2 exp(-n/cap (E, )). (5) Из (3) и (5) имеем слабые асимптотики n(BH(), C(E)) dn(BH(), C(E)) exp(-n/cap (E, )).

Указываются пары (E, ), для которых существуют аналитические в функции fk такие, что:

1) любая функция f, аналитическая в , единственным образом представима рядом f(z) = ak fk(z), z , k=равномерно и абсолютно сходящимся на любом компакте из ;

2) если f BH(), то n- lim sup ||f - ak fk||1/n exp(-1/cap (E, )).

C(E) n k=Для некоторых пар (E, ) излагаемые методы приводят к соотношениям n(BH(), Lq(E)) dn(BH(), Lq(E)) n-1/q exp(-n/cap (E, )), где 1 q < . Основное внимание уделено случаю, когда - многосвязная область либо дизъюнктное объединение конечного числа таких областей, а E - континуум, разбивающий плоскость, либо объединение конечного числа попарно непересекающихся континуумов. В этих случаях формула (4) и оценка (5) доказываются с помощью базисов типа Ерохина, определенных в работе [1] и обобщающих классические базисы Тейлора, Чебышева, Лорана, Фабера, Якоби и Уолша. Этот результат отмечался В.М.Тихомировым13 среди наиболее важных результатов об -энтропии.

Остальные результаты главы 1 связаны с многомерными аналогами некоторых результатов К.И.Бабенко, В.М.Тихомирова, Л.В.Тайкова и А.Пинкуса об аппроксимациях голоморфных функций с ограниченными производными. Основной результат (теорема 1.3.1) содержит точные значения поперечников класса ХардиСоболева HR(l, p, d) и опубликован в [14]. В работе14 показано, что приведенное в [14] доказательство теоремы 1.3.1 без существенных изменений переносится на классы голоморфных функций в трубчатых областях. В § 1.3 сформулированы аналоги этих результатов для классов функций с ограниченными дробными производными.

Пусть HR(l, p, d) - множество функций f из HR(l, p, d), для которых в однородном полиномиальном разложении разложении первые l слагаемых нулевые. Положим Xp := d Lp() для 1 p < и X := C(B ), где использованы обозначения из книги ). В § 1.4 (см. также [7]) доказана следующая теорема.

Тихомиров В.М. А.Н.Колмогоров и теория приближений//Успехи матем. наук. 1989. Т. 26. № 1. С.83-122.

Ding H., Gross K.I., Richards D.S.P. The N-widths of spaces of holomorphic functions on bounded symmetric domains of tube type, I // J. Approx. Theory. 2000. V.104. P.121-141.

Рудин У. Теория функций в единичном шаре из Cn. М.: Мир, 1984.

Теорема 1.4.1 Пусть 1 p , R > 1, l, d N. Тогда при 0 справедлива асимптотическая формула ( )d+2 H(HR(l, p, d); Xp) = log (d + 1)!(log R)d (( )d) ( )d 2l 1 1 - log log log + O log.

d!(log R)d Во второй главе диссертации излагаются полученные автором результаты о построении ортогональных всплесков на локально компактных абелевых группах в рамках кратномасштабного анализа. Пусть G — локально компактная абелева группа, H — дискретная подгруппа в G, такая, что факторгруппа G/H компактна, A — автоморфизм группы G, такой, что A(H) — собственная подгруппа в H.

Кратномасштабным анализом (сокращенно: КМА) в L2(G), ассоциированным с подгруппой H и автоморфизмом A, называется семейство замкнутых подпространств Vj L2(G), j Z, удовлетворяющих следующим условиям:

(i) Vj Vj+1 для j Z;

(ii) Vj = L2(G) и Vj = {0};

(iii) f(·) Vj f(A·) Vj+1 для j Z;

(iv) f(·) V0 = f(· - h) V0 для h H;

(v) существует функция L2(G) такая, что система {(· - h) | h H} является ортонормированным базисом в V0.

Пару (G, A) будем называть допустимой, если 1) группа G метризуема, причем выполняется вторая аксиома счетности, и 2) автоморфизм A непрерывен, а его обратный A-1 является сжатием. Пусть {1,..., s} — полный набор представителей для H/A(H). Множество M G называется самоподобным относительно A, если s M = (A-1(M) + A-1(j)).

j=Для всякой допустимой пары (G, A) существует фундаментальная область F, F G, 0 F, H + F = G(h + F ) F = для всех h H/{0}, самоподобная относительно A. Более того, в работе Данкла16 построена итерационная процедура, позволяющая для данной тройки (G, H, A) находить соответствующую самоподобную область F.

Для фундаментальной области F подгруппы H и для натурального m пусть N1 = F, Nm := Nm-1 N1 (m 2). Аналог интерполяционной теоремы Шенберга для системы {Nm} установлен В.М. Тихомировым17. Ниже используются стандартные обозначения преобразований Фурье функций f L2(G) и последовательностей L2(H), а также для характеров группы G.

В предположении, что функция L2(G) удовлетворяет уравнению (g) = b(h)(Ag - h), b L2(H), g G, (6) hH Dahlke S. Multiresolution analysis and wavelets on locally compact abelian groups // In: Wavelets, Images and Surface Fitting (P. J. Laurent, A. Le Mehaute, and L. L. Schumaker, eds.). A. K. Peters, Wellesley, 1994.

Тихомиров В.М. Гармоники и сплайны как оптимальные средства приближения и восстановления // Успехи матем.

наук. 1995. Т. 50. № 2. С.125-174.

положим V () := closL (G) span{ (· - h) | h H}, Vj := {f(Aj·) | f V ()}, j Z.

Из равенства (6) следует, что Vj Vj+1 для всех j Z. Ортогональное дополнение к Vj в Vj+1 обозначается через Wj. Семейство подпространств {Vj} является КМА в L2(G), если наряду с включениями Vj Vj+1 выполнены равенства Vj = 0, Vj = L2(G) и система H -сдвигов {(· - h) | h H} ортонормирована в L2(G). В этом случае функция является масштабирующей функцией и построение соответствующих ортогональных всплесков в L2(G) сводится к решению следующей задачи.

Задача А. Найти функции 1,..., s-1 в L2(G), такие, что W0 является прямой суммой подпространств (i) W0 := closL2 span{ i(· - h) | h H}, i = 1,..., s - 1.

(G) Решение задачи A приводит к ортогональному базису {i(Aj · -h) | 1 i s- 1, j Z, h H} в L2(G), а сами всплески 1,..., s-1 определяются по следующей схеме.

Шаг 1. Принять c0 := (A·)L2, 0 := (c0/ s)b.

(G) Шаг 2. Пусть {h,..., h } — аннулятор подгруппы A(H) в H. Hайти 1,..., s-1 0 s-L2(H), такие, что матрица (i(· + h))s-1 унитарна на H.

k i,k=Шаг 3. Для i = 1,..., s - 1 принять s i(·) = i(h)(A · -h).

c0 hH Следующие две теоремы в случае G = R, H = Z, Ax = 2x приводят к всплескам Лемарье-Баттла и Шеннона.

Теорема 2.1.1. Пусть = Nm/[Nm, Nm]1/2. Если пара (G, A) допустима и фундаментальная область F самоподобна относительно A, то {Vj} — КМА в L2(G) и соответствующие ортогональные всплески 1,..., s-1 конструируются по приведенной выше схеме.

Пусть E — множество в G, такое, что и := µ(E) > 0 и {-1/2 ch(h, ·) |E}hH — ортонормированный базис в L2(E). Положим VE := closL2 span{ch(·, g) | g E}, E(·) := ch(·, g)dµ(g).

(G) E В цитированной выше работе В.М. Тихомирова о гармониках и сплайнах (УМН, 1995) отмечается, что E(· f(·) = f(h) - h) для всех f VE.

hH Отсюда в случае G = R, = Z, E = [-, ] следует классическое разложение УиттекераКотельникова-Шеннона для f L2(R), supp f [-, ].

Теорема 2.1.2. Пусть = E, 0 E и пара (G, A) допустима. Тогда {Vj} — КМА в L2(G) и соответствующие ортогональные всплески 1,..., s-1 находятся по указанной выше схеме.

Отметим, что при условиях теоремы 2.1.2 равенство L2(G) = Wj представляет jZ собой аналог двоичного разложения Литлвуда-Пэли.

Теоремы 2.1.1 и 2.1.2 неприменимы к группам Виленкина, поскольку на этих группах (как и на любой локально компактной группе, содержащей открытые компактные подгруппы) всплески Хаара и Шеннона совпадают18. Изложим алгоритм построения ортогональных всплесков с компактными носителями на группах Кантора и Виленкина.

Напомним, что для данного p 2 группа Виленкина Gp состоит из последовательностей вида x = (xj) = (..., 0, 0, xk, xk+1, xk+2,...), где xj {0, 1,..., p - 1} для j Z и xj = 0 для j < k = k(x). Групповая операция на G = Gp обозначается и определяется как покоординатное сложение по модулю p :

(zj) = (xj) (yj) zj = xj + yj (mod p) для j Z, а топология в G вводится полной системой окрестностей нуля:

Ul = {(xj) G | xj = 0 для j l}, l Z.

Множества Ul являются открытыми компактными подгруппами в G и обладают свойствами:

Ul+1 Ul, Ul = {}, Ul = G.

Положим U = U0 и обозначим через операцию, обратную (так что x x = , где - нулевая последовательность). Мера Хаара µ на G нормируется условием µ(U) = 1.

При p = 2 группа G совпадает с канторовой диадической группой C, а операция совпадает с .

Группа, двойственная G, обозначается G и состоит из последовательнос- тей вида = (j) = (..., 0, 0, k, k+1, k+2,...), где j {0, 1,..., p - 1} для j Z и j = 0 для j < k = k(). Операции сложения и вычитания, окрестности нуля {Ul} и мера Хаара µ вводятся для G так же, как и для G. Каждый характер группы G может быть задан по формуле ( ) 2i (x, ) = exp xj1-j, x G, p jZ для некоторого G.

Выделим в G дискретную подгруппу H = {(xj) G | xj = 0 для j > 0} и определим автоморфизм A Aut G по формуле (Ax)j = xj+1. Фактор-группа H/A(H) содержит p элементов, а аннулятор H подгруппы H состоит из последовательностей (j) G, у которых j = 0 для j > 0.

Отображение : G R+ определим равенством (x) = xjp-j, x = (xj) G.

jZ Benedetto J.J., Benedetto R.L. A wavelet theory for local fields and related groups // J. Geometric Analysis. 2004. V.14.

P.423-456.

Отметим, что отображение переводит множество U в отрезок [0,1] и задает изоморфизм пространств с мерой (G, µ) и (R+, µ+), где µ+ - мера Лебега на R+. Образом подгруппы H при отображении является множество целых неотрицательных чисел:

(H) = Z+. Для каждого Z+ через h[] обозначим элемент из H такой, что (h[]) = ; в частности, h[0] = . Отображение : G R+, автоморфизм B Aut G, подгруппа U в G и элементы [] из H определяются аналогично , A, U и h[] соответственно. Отметим, что (Ax, ) = (x, B) для x G, G. Иногда для произвольного x G используется обозначение |x| := (x).

Обобщенные функции Уолша для группы G могут быть заданы равенством W(x) = (x, []), Z+, x G.

Эти функции непрерывны на G и удовлетворяют соотношениям ортогональности W(x)W(x)dµ(x) = ,, , Z+, U где , - символ Кронекера. Известно также, что система {W} полна в L2(U).

Соответствующая система для группы G определяется равенством W() = (h[], ), Z+, G.

Система {W} является ортонормированным базисом в L2(U).

Для любой функции f L1(G) L2(G) преобразование Фурье f, определенное по формуле f() = f(x)(x, )dµ(x), G, G принадлежит пространству L2(G). Оператор Фурье F : L1(G) L2(G) L2(G), Ff = f, стандартным образом продолжается на все пространство L2(G). Множество функций из L2(G), имеющих компактные носители, обозначается L2(G).

c Для произвольной функции L2(G) положим j,h(x) = pj/2(Ajx h), j Z, h H.

Будем говорить, что функция генерирует (или порождает) КМА в L2(G), если, во-первых система {(· h) | h H} ортонормирована в L2(G) и, во-вторых, семейство подпространств Vj = closL2 span {j,h| h H}, j Z, (G) является КМА в L2(G). Если функция генерирует КМА в L2(G), то при каждом j Z система {j,h | h H} является ортонормированным базисом в Vj и по указанному ниже алгоритму определяются ортогональные всплески 1,..., p-1 таким образом, что функции l,j,h(x) = pj/2l(Ajx h), 1 l p - 1, j Z, h H, образуют ортонормированный базис в L2(G).

() Пусть функция L2(G) удовлетворяет условию = 1 и уравнению c pn- (x) = p a(Ax h[]). (7) =Применив преобразование Фурье, из (7) получим () = m0(B-1)(B-1), где n p - m0() = aW() (8) =- обобщенный полином Уолша, называемый маской уравнения (7).

Множества Un, s := B-n([s]) B-n(U), 0 s pn - 1, являются смежными классами группы U по подгруппе B-n(U). Каждая из функций W() при 0 pn - 1 постоянна на множествах Un, s. Коэффициенты масштабирующего уравнения (6) связаны со значениями bs маски (7) на смежных классах Un,s прямым и обратным дискретными преобразованиями Виленкина - Крестенсона:

pn- a = bsW(B-n[s]), 0 pn - 1, (9) pn s=pn- bs = a W(B-n[s]), 0 s pn - 1. (10) =Для реализации этих преобразований имеются быстрые алгоритмы. Таким образом, выбор значений маски (8) на множествах Un, s одновременно определяет коэффициенты .

уравнения (7), которому удовлетворяет соответствующая функция Компактное множество E G называется конгруэнтным U по модулю H, если µ(E) = 1 и для любого E существует элемент h H такой, что h U. Пусть m0 - маска уравнения (7). Будем говорить, что m0 удовлетворяет модифицированному условию Коэна, если в группе G найдется компактное подмножество E, содержащее окрестность нулевого элемента и такое, что 1) E конгруэнтно U по модулю H;

2) выполнено неравенство inf inf |m0(B-j)| > 0. (11) jN E При условии m0() = 1 в силу компактности множества E существует номер j0 такой, что m0(B-j) = 1 для всех j > j0, E. Поэтому неравенство (11) выполнено, если полином m0() не обращается в нуль на множествах B-1(E),..., B-j (E).

Пусть M U и p-} { TpM = B-1[l] + B-1() | M.

l=Множество M называется блокирующим (для маски m0), если оно представимо в виде объединения некоторых из множеств Un-1, s = B1-n([s]) B1-n(U), 0 s pn-1 - 1, не содержит множества Un-1, 0 и обладает свойством TpM M N(m0), где N(m0) множество всех нулей маски m0 на подгруппе U. Очевидно, каждая маска может иметь только конечное число блокирующих множеств.

Теорема 2.3.2. Пусть маска m финитного L2-решения уравнения (7) удовлетворяет условиям b0 = 1, |bj|2 + |bj+p n-1|2 +... + |bj+(p-1)p n-1|2 = 1, 0 j pn-1 - 1. (12) и пусть () = 1.Тогда следующие три утверждения эквивалентны:

(a) функция генерирует КМА в L2(G);

(b) маска m удовлетворяет модифицированному условию Коэна;

(c) маска m не имеет блокирующих множеств.

Из приведенных выше результатов получается следующий алгоритм построения ортогональных всплесков в L2(G).

Шаг 1. Выбрать числа bs, 0 s pn - 1, для которых выполнены условия (12).

Шаг 2. По формуле (9) вычислить коэффициенты a, 0 pn - 1, и проверить, что маска n p - m0() = aW().

=не имеет блокирующих множеств (или, что равносильно, удовлетворяет модифицированному условию Коэна).

Шаг 3. Найти ml() = a(l)W(), 1 l p - 1, Z+ такие, что матрица (ml( k))p-1 унитарна.

l,k=Шаг 4. Определить 1,..., p-1 по формуле l(x) = p a(l)(Ax h[]), 1 l p - 1. (13) Z+ Два метода реализации третьего шага этого алгоритма для произвольного p > изложены в § 2.4 (см. также [17] и [20]). В случае p = 2 в разложении (13) можно n положить a(1) = (-1)a1 или a(1) = (-1)a2 -1- для 0 2n - 1 (и a(1) = 0 для остальных ).

Предположим, что L2(G) является решением уравнения (7), маска которого c удовлетворяет условию (12), которое можно записать в виде p- m0() = 1 и | m0( l)|2 = 1, G.

l= Для такой функции в § 2.4 выводится разложение (x) = (1/pn-1)1U(A1-nx)(1 + dl()Wl(A1-nx)), x G, (14) l N(p,n) где N(p, n) и dl() определяются следующим образом. Представим каждое l Z+ в виде p-ичного разложения k l = µjpj, µj {0, 1,..., p - 1}, µk = 0, k = k(l) Z+, (15) j=и обозначим через N0(p, n) множество всех натуральных чисел l pn-1, для которых в (15) среди упорядоченных наборов (µj, µj+1,..., µj+n-1) нет ни одного из следующих наборов (0, 0,..., 0, 1), (0, 0,..., 0, 2),..., (0, 0,..., 0, p - 1).

Тогда N(p, n) = {1, 2,..., pn-1 - 1} N0(p, n). Далее, пусть (i1, i2,..., in) = bs, s = i1p0 + i2p1 +... + inpn-1, ij {0, 1,..., p - 1}, где bs берутся как в (12). Коэффициенты разложения (14) вычисляются по формулам dl() = (µ0, 0, 0,..., 0, 0), если k(l) = 0;

dl() = (µ1, 0, 0,..., 0, 0)(µ0, µ1, 0,..., 0, 0), если k(l) = 1;

...................................................................

dl() = (µk, 0,..., 0, 0)(µk-1, µk, 0,..., 0, 0)... (µ0, µ1,..., µn-2, µn-1), если k = k(l) n - 1. Отметим, что в последнем произведении индексы каждого множителя, начиная со второго, получаются "сдвигом" индексов предыдущего множителя на одну позицию вправо и добавлением на освободившееся первое место одной новой цифры из разложения (15).

Для p = n = 2 разложение (14) установлено Лэнгом. В работе19 им отмечалось, что уже в случае p = 2, n = 3 "no simple patterns appear in the coefficients"для разложения .

в ряд Уолша функции По-видимому, это замечание Лэнга отчасти объясняет тот факт, что в течение нескольких лет построенный им пример всплесков на канторовой группе рассматривался как "экзотический" и не получил развития. Разложение (14) для любых n и p приведено в первой работе автора по этой тематике (см. [8]).

В случае p = 2 масштабирующее уравнение (9) принимает вид 2n- (x) = ck(Ax h[k]), x C. (16) k=В § 2.5 для n 4 получены точные значения показателей гладкости решений уравнения (16) таких, что: 1) supp U1-n, 2) система {(· k) : k Z+} ортонормирована в L2(C), 3) порождает кратномасштабный анализ в L2(C). В доказательствах оценок снизу применялись разложения диадических масштабирующих функций в ряды Уолша (и в этом состоит главное отличие нашего метода от применяемых ранее методов оценки гладкости всплесков).

Lang W.C. Wavelet analysis on the Cantor dyadic group // Houston J. Math. 1998. V.24. P.533-544.

Диадический модуль непрерывности функции определяется по формуле (, ) := sup{| (x y) - (x)| : x, y G, |y| < }, > 0.

Если функция такова, что (, 2-j) C2-j, j N для некоторого > 0, то существует константа C(, ) такая, что (, ) C(, ) . (17) Обозначим через точную верхнюю грань множества всех значений > 0, для которых выполнено неравенство (17).

Напомним, что совместный спектральный радиус двух комплексных матриц A0 и Aразмера N N определяется по формуле (A0, A1) := lim max{Ad Ad... Ad 1/k : dj {0, 1}, 1 j k}, 1 2 k k где · - произвольная норма в CNN. Очевидно, если A0 = A1, то величина (A0, A1) совпадает со спектральным радиусом (A0). Ряд важных результатов о применении совместного спектрального радиуса к оценкам гладкостей фрактальных кривых и всплесков недавно получен В.Ю. Протасовым20.

Пусть n = 3 и коэффициенты масштабирующего уравнения (20) определены с помощью дискретного преобразования Уолша по параметрам b0 = 1, b1 = a, b2 = b, b3 = c, b4 = 0, b5 = , b6 = , b7 = , где |a|2 + ||2 = |b|2 + ||2 = |c|2 + ||2 = 1. Пусть - совместный спектральный радиус матриц ( ) ( ) 0 b 0 - b 0 c 0 - c A0 =, A1 =.

0 0 - 0 Согласно теореме 2.5.1 тогда |, если b = 0, | c| = 1, 0 | | < 1, | = max{ | |, | |}, если | b| = 1, 0 | | < 1, 0 | | < 1, | |, если | a| = 1, 0 | | < и при этом = - log2 . Аналогичный результат в § 2.5 получен и для n = 4, где отмечено также несколько случаев, когда (A0, A1) = 0 и решения уравнения (20) на своих носителях совпадают с конечными линейными комбинациями обобщенных функций Уолша. Эти результаты опубликованы в совместной с Е.А.Родионовым статье [12], где с привлечением компьютерных методов использовался подход, впервые примененный автором в [8] для случая n = 2.

Ив Мейер21 доказал, что разложения по "регулярным"всплескам на вещественной прямой сходятся безусловно в пространствах Лебега Lq (R), 1 < q < . Им было замечено, что интегральный оператор, соответствующий таким вслесковым разложениям, является сингулярным оператором Кальдерона-Зигмунда и, следовательно, является оператором типа (1,1). Отсюда с помощью интерполяционной теоремы Марцинкевича выводится, что этот оператор ограничен во всех пространствах Lq (R), 1 < q < . Используя эту технику, Лэнг в 1998 г. доказал следующую теорему.

Протасов В.Ю. Фрактальные кривые и всплески // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. Т. 70. № 5. С.123-162.

Meyer Y. Wavelets and Operators. Cambridge: Cambridge University Press, 1992.

Теорема. Пусть L2(C) - решение уравнения (16), порождающее КМА в c L2(C), и пусть - соответствующий ортогональный всплеск. Предположим, что существует константа C > 0 такая, что |(x) - (y)| C(x y) для всех x, y C.

Тогда всплесковые разложения по системе {j, h} сходятся безусловно во всех пространствах Lq(C), 1 < q < .

Привлекая технику атомических разложений, мы дополняем в § 2.6 эту теорему соответствующим результатом о безусловной сходимости всплесковых разложений в диадическом пространстве Харди H1(C). Для всплесков на вещественной прямой R аналогичная теорема была доказана Мейером.

Третья глава посвящена нескольким модификациям ортогональной конструкции всплесков на группах Кантора и Виленкина. В § 3.1 при построении биортогональных всплесковых систем на p -адической группе Виленкина G используются КМА с базисами Рисса. Соответственно, функция порождает КМА в L2(G), если, во-первых, семейство { ( ·h) | h H } является системой Рисса в L2(G) и, во-вторых, замкнутые подпространства Vj := span {j,h | h H}, j Z, обладают свойствами Vj Vj+1 для j Z, Vj = L2(G) и Vj = {0} (в этом случае семейство {Vj} является КМА с базисом Рисса в L2(G)).

, Пусть даны две масштабирующие функции соответственно с масками pn-1 p- m() = aW(), m() = aW().

=0 =Положим m() = m()m() и N = max{n, n}. Если системы {(· h) | h H}, {(· h) | h H} являются биортонормированными в L2(G), то p- m( l) = 1 для всех G.

l=Это условие можно записать в эквивалентной форме:

p- (N) N-b(N) bl+p = 1, 0 l p - 1, (18) N-N-l+p =где b(N) = m(B-N[l]), b(N) = m(B-N[l]).

l l Пусть p и p обозначают соответственно операции сложения и вычитания целых чисел по модулю p. Полагая a = a = 0 для pn, pn, получим pN -1 pN - m() = a W(), a = aa, p =0 = и определим функцию по формуле (x) = (t x)(t) dµ(t).

G Нетрудно убедиться, что функция удовлетворяет уравнению pN - (x) = p a (Ax ), x G, = т.е. полином m является маской функции. Доказано (предложение 3.1.4), что если одна из масок m, m, m имеет блокирующее множество, то системы {(· h) | h H}, {(· h) | h H} не являются биортонормированными в L2(G).

, Теорема 3.1.1. Пусть - масштабирующие функции такие, что их маски () = () = 1. Тогда следующие m, m удовлетворяют условию (22), и пусть утверждения эквивалентны :

(a) системы {(· h) | h H}, {(· h) | h H} являются биортонормированными в L2(G) ;

(b) существует множество E, конгруэнтное U по модулю H, содержащее окрестность нулевого элемента группы G, и такое, что inf inf | m(B-j)| > 0, inf inf | m(B-j)| > 0. (19) jN E jN E ) Эта теорема в ортогональном случае (т.е. для = следует из приведенной выше теоремы 2.3.2.

Напомним, что совместный спектральный радиус конечномерных линейных операторов L0, L1,..., Lp-1 определяется как совместный спектральный радиус их матриц в произвольном фиксированном базисе соответствующего линейного пространства.

Пусть r = pn-1. Для данного масштабирующего уравнения (7) положим c = p a и зададим матрицы T0, T1,..., Tp-1 размера (r r) по формулам (T0)i,j = c(pi-p) (j-1), (T1)i,j = c(pi-p+1) (j-1),..., (Tp-1)i,j = c(pi-1) (j-1), p p p где i, j {1, 2,..., r}. Определим подпространство V := {u = (u1,..., ur)t | u1 +... + ur = 0} и обозначим через L0, L1,..., Lp-1 сужения на подпространство V линейных операторов, r заданных на всем пространстве C соответственно матрицами T0, T1,..., Tp-1.

Предложение 3.1.5. Пусть маска m масштабирующего уравнения (7) удовлетворяет условиям m() = 1, m(1) = m(2) =... = m(p-1) = 0, и пусть [m] := (L0, L1,..., Lp-1) < 1. Тогда функция , заданная по формуле (14), удовлетворяет уравнению (7) и непрерывна на G.

, Пример 3.1.1. Пусть p = 2, n = n = 2 и маски масштабирующих функций имеют вид 1, U2, 0, 1, U2, 0, a, U2, 1, a, U2, 1, m() = m() = 0, U2, 2, 0, U2, 2, b, U2, 3, b, U2, 3, где aa + b b = 1. Если a = 0 или a = 0, то класс U1, 1 является блокирующим множеством для m или m, а в остальных случаях блокирующим множеств для масок m, m, m не существует. Предположим дополнительно, что | b| < 1 и | b| < 1. Тогда aa = 0, блокирующие множества отсутствуют и условие (19) выполнено для E = U. Кроме того, имеет место разложение (x) = (1/2)1U(A-1x)(1 + a bjW2j+1 (A-1x)), -j=, , и аналогичное разложение верно для причем обе функции непрерывны на G.

Поскольку [m] = | b|, [m] = | b| (эти равенства следуют из примера 4.3 в [8]), можно применить предложение 3.1.5. Таким образом, при условиях aa + b b = 1, | b| < 1, | b| < 1, , H -сдвиги масштабирующих функций образуют биортонормированную систему в L2(G).

Пусть {Vj}, {Vj} - два КМА в L2(G). Будем говорить, что функции () V1, () V1, = 1,..., p - 1, образуют биортогональный набор всплесков относительно пары {Vj}, {Vj}, если () V0, () V0 для всех = 1,..., p - 1, и (()( · h[]), ()( · h[])) = , ,, , {1,..., p - 1}, , Z+.

Напомним, что через M обозначается матрица, сопряженная к матрице M, а через I - единичная матрица.

Теорема 3.1.2. Пусть КМА {Vj}, {Vj} соответственно порождены , масштабирующими функциями с масками m = m0, m = m0 и системы ( ( { · h) | h H}, { · h) | h H} являются биортонормированными. Если матрицы M = {m( k)}p-1, M = {m( k)}p-1, ,k=0 ,k=где m, m L2(U), для почти всех U удовлетворяют условию MM = I, (20) то функции (), (), = 1,..., p - 1, определенные равенствами ()() = m(B-1)(B-1), ()() = m(B-1)(B-1), образуют биортогональный набор всплесков относительно пары {Vj}, {Vj}.

Из теорем 3.1.1 и 3.1.2 получается следующая процедура построения биортогональных всплесков в L2(G).

Шаг 1. Выбрать числа bs, bs, 0 s pN - 1, удовлетворяющие условию (18).

Шаг 2. С помощью преобразования Виленкина-Крестенсона (9) вычислить a(0) = a, a(0) = a, 0 pN - 1 и проверить, что маски pn-1 p- m0() = a(0)W(), m0() = a(0)W().

=0 =удовлетворяют условию (b) теоремы 3.1.1.

Шаг 3. Найти m() = a()W(), m() = a()W(), 1 p - 1, Z+ Z+ такие, что равенство (20) выполнено для почти всех U.

Шаг 4. Определить () и () по формулам ()(x) = p a()(Ax h[]), ()(x) = p a()(Ax h[]), Z+ Z+ где 1 p - 1.

В этой процедуре центральным является третий шаг. Один из алгоритмов его реализации приведен в недавней работе [20].

В § 3.2 для пространств комплексных периодических последовательностей с помощью преобразования Виленкина-Крестенсона вводятся аналоги ортогональных всплесков, изучавшихся в главе 2, и указываются алгоритмы для их построения.

Отмечается, что аналогичные конструкции могут быть реализованы для биортогональных всплесков, а также (как в ортогональном, так и биортогональном случаях) для пространства 2(Z+). Кроме того, при построении p -адических базисов в пространствах последовательностей условие отсутствия блокирующих множеств оказывается несущественным: "вырожденные" наборы параметров для всплесков на группах Кантора и Виленкина приводят к ортогональным или ортонормированным базисам в пространствах последовательностей. С помощью ядер типа ДирихлеУолша в § 3.3 построены периодические всплесковые базисы на p -адической группе Виленкина, а в § 3.4 приведены примеры фреймов Парсеваля на группе Кантора.

В § 3.5 доказаны аналоги теоремы Гроссмана-Морле об обратимости непрерывного всплеского преобразования и показано, как с помощью B -сплайнов можно осуществить дискретизацию аналога этого преобразования по выборкам значений функций на сфере в Rd. В § 3.6 излагается конструкция биортогональных диадических всплесков на R+, аналогичная конструкции из § 3.1 для случая p = 2. Показано, что для обработки некоторых изображений и фрактальных функций построенные биортогональные и периодические всплески имеют преимущества по сравнению с классическими всплесками Хаара, всплесками Добеши и биортогональными 9/7 всплесками.

Список литературы [1] Фарков Ю.А. Базисные функции Фабера-Ерохина в окрестности нескольких континуумов // Матем. заметки. 1984. Т.36. № 6. С.883-892.

[2] Фарков Ю.А. О поперечниках некоторых классов аналитических функций // Успехи матем. наук. 1984. Т.39. № 1. С.161-162.

[3] Фарков Ю.А. О поперечниках классов аналитических функций с ограниченными производными // Изв. вузов. Математика. 1988. № 4. C.84-86.

[4] Фарков Ю.А. Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре из Cn // Успехи матем. наук. 1990. Т.45. N 5. С.197-198.

[5] Фарков Ю.А. О поперечниках и копоперечниках пространств Харди // Успехи матем. наук. 1994. Т.49. № 1. С.231-232.

[6] Фарков Ю.А. Ортогональные всплески на локально компактных абелевых группах // Функциональный анализ и его приложения. 1997. T.31. № 4. С.86-88.

[7] Фарков Ю.А. Об -энтропии классов голоморфных функций// Матем. заметки.

2000. Т.68. № 2. С.286-293.

[8] Фарков Ю.А. Ортогональные вейвлеты с компактными носителями на локально компактных абелевых группах // Изв. РАН. Сер. матем. 2005. Т. 69. № 3. С. 193220.

[9] Фарков Ю.А. Биортогональные диадические вейвлеты на R+ // Успехи матем.

наук. 2007. Т.62. Вып. 6. С.189-190.

[10] Фарков Ю.А. Ортогональные вейвлеты на прямых произведениях циклических групп // Матем. заметки. 2007. Т.82. Вып. 6. С. 934-952.

[11] Фарков Ю.А. Биортогональные всплески на группах Виленкина // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 2009. Т.265. С.110-124.

[12] Фарков Ю.А., Родионов Е.А. Оценки гладкости диадических ортогональных всплесков типа Добеши // Матем. заметки. 2009. Т.86. № 3. С. 429-444.

[13] Фарков Ю.А. Дискретные вейвлеты и преобразование Виленкина-Крестенсона // Матем. заметки. 2011. Т. 89. Вып. 6. С. 914-928.

[14] Farkov Yu.A. The N-widths of Hardy-Sobolev spaces of several complex variables // J.

Approx. Theory. 1993. V.75. P.183-197.

[15] Farkov Yu.A. n-Widths, Faber expansion, and computation of analytic functions // J.

Complexity. 1996. V. 12. P.58-79.

[16] Farkov Yu.A. Multiresolution analysis and wavelets on Vilenkin groups// Facta Universitatis (Ni). Ser.: Elec. Energ. 2008. V. 21. № 3. P.309-325.

[17] Farkov Yu.A. On wavelets related to the Walsh series// J. Approx. Theory. 2009. V.161.

№ 1. P. 259-279.

[18] Farkov Yu.A. Wavelets and frames based on Walsh-Dirichlet type kernels// Communic.

Math. Appl. 2010. V.1. № 1. P.27-46.

[19] Farkov Yu.A., Maksimov A.Yu., Stroganov S.A. On biorthogonal wavelets related to the Walsh functions// Int. J. Wavelets Multiresolut. Inf. Process. 2011. V.9. № 3. P.485-499.

[20] Farkov Yu.A., Rodionov E.A. Algorithms for wavelet construction on Vilenkin groups// p -Adic Numb. Ultr. Anal. Appl. 2011. V.3. № 3. P.181-195.

[21] Farkov Yu.A. Periodic wavelets on the p -adic Vilenkin group// p -Adic Numb. Ultr.

Anal. Appl. 2011. V.3. № 4. P.281-287.

[22] Фарков Ю.А. О поперечниках и энтропии классов аналитических функций с ограниченными производными // Теория функций и приближений. Труды 2-й Саратовской зимней школы. Ч.3. 1986. C.117-120.

[23] Фарков Ю.А. О поперечниках классов аналитических функций в конечном числе областей // Теория функций и приближений. Труды 3-й Саратовской зимней школы. Ч.3. 1988. С.72-74.

[24] Фарков Ю.А. О поперечниках пространств Харди-Соболева // Теория функций и приближений. Труды 7-й Саратовской зимней школы. - Саратов: СГУ, 1995. С.120122.

[25] Фарков Ю.А. Об обратном сферическом всплесковом преобразовании // Труды второй международной конференции "Средства математического моделирования"(Россия, Санкт-Петербург, 14-16 июня 1999). Санкт-Петербург:

Изд-во СПбГТУ, 1999. С.239-246.

[26] Farkov Yu.A. B - spline wavelets on the sphere // Proc. Intern. Workshop "Self-Similar Systems"(July 30 - August 7, 1998). Editors V.B.Priezzhev and V.P.Spiridonov. Dubna:

Joint Institute for Nuclear Research, 1999. P. 79-82.

[27] Farkov Yu.A. Orthogonal p -wavelets on R+ // Proc. Intern. Conf. “Wavelets and splines” (St. Petersburg, Russia, July 3-8). Editor M.A.Skopina. St. Petersburg: St. Petersburg University Press, 2005. P. 4–26.

[28] Фарков Ю.А. Функции Уолша и непрерывное вейвлет-преобразование // XVI Международная конференция "Математика. Экономика. Образование". V Международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Труды. – Ростов н/Д:

Изд-во "ЦВВР", 2008. С. 27-32.

Аннотация (на русском и английском языках) Ю. А. Фарков Оптимальные методы приближения функций обобщенными полиномами и всплесками В данной работе выводятся точные значения и асимптотически точные оценки поперечников и -энтропии классов аналитических функций. Определены аналоги всплесков Шеннона и Лемарье-Баттла на локально компактных абелевых группах.

Построены ортогональные и биортогональные всплески с компактными носителями на p -адической группе Виленкина и их дискретные аналоги в пространствах последовательностей. Получены точные оценки гладкости диадических всплесков с компактными носителями на канторовой диадической группе. Доказана безусловная сходимость всплескового разложения в диадическом пространстве Харди на канторовой группе. Кроме того, построены периодические всплески с компактными носителями на p -адической группе Виленкина, а также фреймы Парсеваля и жесткие фреймы на диадической группе Кантора. Вычислительными экспериментами по обработке изображений и кодированию фрактальных функций выявлены преимущества построенных всплесков по сравнению с всплесками Хаара, Добеши и с биортогональными всплесками 9/7.

Yu. A. Farkov Optimal methods of approximation of functions by generalized polynomials and wavelets In this work, we deduce the exact values and asymptotically sharp estimations for widths and -entropy of classes of analytic functions. Some analogs of the Shannon and BattleLemari wavelets on locally compact abelian groups are defined. Orthogonal and biorthogonal compactly supported wavelets for the p-adic Vilenkin group and their analogs in sequence spaces are constructed. The sharp estimations for the exponents of regularity of dyadic compactly supported wavelets on the Cantor dyadic group are presented. The unconditional convergence of a dyadic wavelet expansion in the dyadic Hardy space on the Cantor group is proved. Furthermore, periodic compactly supported wavelets on the p -adic Vilenkin group as well as some Parseval and tight frames on the Cantor dyadic group are constructed. A series of numerical experiments for image processing and fractal function coding some advantages of constructed wavelets over the Haar, Daubeshies’, and biorthogonal 9/7 wavelets are pointed out.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.