WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

УДК 517.51 Попова

Ольга Владимировна ВЕСОВЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА НА КОНУСАХ МОНОТОННЫХ И КВАЗИВОГНУТЫХ ФУНКЦИЙ

Специальность 01.01.01. – вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2012

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Российского университета дружбы народов.

Научный консультант: Доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН Степанов В. Д.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, профессор Российского университета дружбы народов Гольдман М.Л.

Кандидат физико-математических наук, доцент Российского государственного университета нефти и газа им. И.М.Губкина Скориков А.В.

Ведущая организация: Московский энергетический институт (Технический университет)

Защита состоится 30 октября 2012 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 при Российском университете дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. № 495a.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов.

Автореферат разослан 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета:

Кандидат физико-математических наук, доцент Россовский Л.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ



Актуальность темы Изучение интегральных неравенств берет начало в классических работах Д.Гильберта, Т. Карлемана, Г.Г.Харди, Э.Ландау, Д.Е.Литтлвуда, Г. Пойа и других авторов. К настоящему времени их роль и значение для многих разделов функционального анализа, интегральных и дифференциальных уравнений значительно возросло. Наиболее интенсивно развивающейся областью последних двух десятилетий является нахождение критериев выполнения интегральных неравенств в весовых пространствах Лебега, берущих начало с неравенства Харди.

Дадим необходимые определения. Пусть 0 < p < , u(x) 0- измеримая функция на полуоси (0, ). Весовое пространство Лебега Lp(u) состоит из всех измеримых функций, таких что p f := |f(x)|pu(x)dx < .

p,u Неравенство Харди в весовом пространстве Лебега имеет вид 1 q x q p f(t)dt u(x)dx C fp(x)v(x)dx, f(x) 0, 0 0 (0.0.1) где 0 < q < , 1 p < . Задача характеризации данного и других интегральных неравенств состоит в нахождении необходимых и достаточных условий на весовые функции u и v для их выполнения. К настоящему моменту неравенство (0.0.1) характеризовано полностью. Критерии выполнения (0.0.1) для различных значений параметров p и q были найдены в работах Б.Мукенхаупта, В.Г.Мазьи, Г.Синнамона и ряда других авторов.

Для измеримой функции f определим невозрастающую перестановку f(t) := inf {y > 0 : f(y) t}, где f- функция распределения f(y) := mes {x X : |f(x)| > y}.

– 3 – Пространство Лоренца p(w), 0 < p < состоит из всех измеримых функций, таких что p f = (f(t))p w(t)dt < .

p,w Хорошо известная задача об исследовании ограниченности различных операторов, действующих в пространствах Лоренца, приводит к изучению неравенств на конусе неубывающих функций. Например, в гармоническом анализе важную роль играет максимальный оператор Харди-Литтлвуда (Mf) (x) := sup |f(z)|dz, x Rn, |Q| xQ Q где Q- куб в пространстве Rn, стороны которого параллельны координатным осям, а |Q|- его мера Лебега. Хорошо известно, что t (Mf) (t) f(s)ds, t > 0.

t Таким образом, задача характеризации весовых функций u и v, для которых оператор M : p(v) q(u), 1 < p, q < , ограничен, эквивалентна задаче характеризации весовых функций u и v, для которых интегральный оператор осреднения t (P f) (t) := f(s)ds, t 0, t ограничен из Lp(v) в Lq(u), 0 < p, q < на конусе неотрицательных убывающих функций 0 f . Это означает, что задача сводится к нахождению условий на весовые функции, для которых неравенство q t q p f(s)ds u(t)dt C fp(t)v(t)dt (0.0.2) t 0 0 выполняется для всех убывающих функций f 0.

В отличие от неравенства (0.0.1) на множестве всех неотрицательных функций, неравенство (0.0.2) на конусе всех убывающих функций f оно имеет смысл для всех значений параметров 0 < p, q < и к настоящему моменту полностью изучено в работах М.Ариньо и Б. Мукенхаупта, – 4 – Г.Беннетта и К.Гроссе-Эрдмана, М.Л. Гольдмана, Е. Сойера, В.Д. Степанова и других авторов.

Основной задачей диссертационной работы является изучение неравенства 1 q p (Kf)qdµ C fpd, 0 f , (0.0.3) [0,) [0,) где 0 < p, q < , Kf(x) := k(x, y)f(y)d(y), (0.0.4) [0,x] , µ и - положительные -конечные меры Бореля на R+ := [0, ). Более того, мы рассматривем измеримое ядро k(x, y) 0, удовлетворяющее условию Ойнарова, т.е. когда существует константа D 1, для которой выполняется D-1(k(x, z) + k(z, y)) k(x, y) D(k(x, z) + k(z, y)), x z y. (0.0.5) Неравенства (0.0.3) с интегральным оператором (0.0.4) на конусах монотонных функций начали изучаться сравнительно недавно. В данной работе мы получаем необходимые и достаточные условия для случая 0 < p < , 1 q < , дополняя уже известные результаты.





Кроме монотонных функций, особый интерес представляют конусы квазивогнутых функций, удовлетворяющих одновременно двум разным условиям монотонности.

Частным случаем функции, удовлетворяющей двум разным условиям u(t) монотонности, является такая функция u(t), что u(t) не убывает, а не t возрастает. Такие функции называются квазивогнутыми, поскольку было доказано, что они эквивалентны вогнутым функциям.

Анализ действия операторов на конусах вогнутых и квазивогнутых функций имеет большое значение, т.к. многие объекты гармонического анализа, теории интерполяции, теории операторов и других областей математики обладают свойством квазивогнутости, поэтому нашей второй задачей является изучение неравенств типа (0.0.3) на конусах квазивогнутых функций.

Определение 1. Пусть - непрерывная, строго возрастающая на [0, ) функция, такая что (0) = 0 и limt (t) = . Такая функция называется допустимой.

Определение 2. Функция f называется -квазивогнутой, если f экf вивалентна неубывающей функции на [0, ), и эквивалентна невозрас тающей функции на (0, ).

– 5 – Очевидно, что класс функций, удовлетворяющих двум различным условиям квазимонотонности, и класс квазивогнутых функций являются частными случаями класса -квазивогнутых функций.

Задача нахождения условий на весовые функции v и w и параметров p и q, для которых выполняется вложение Lp,v в Lq,u на множестве квазивогнутых функций, является основным вопросом для понимания свойств этих функций. Для случая 0 < p q < эта задача была решена Л.

Малиграндой, а достаточные условия для случая 0 < q = 1 < p < были получены В.Д. Степановым. Поскольку квазивогнутая функция u(t) может быть представлена в виде u(t) v(s)ds для некоторой невоз[0,t] растающей функции v(t), несложно увидеть, что характеризация вложения Lp,v Lq,u на конусе квазивогнутых функций эквивалентна характеризации вложения p,v q,u. Необходимые и достаточные условия на весовые функции v и u и параметры 0 < p, q < для того, чтобы выполнялись вложения p,v q,u и p,v 1,u, были получены в работе М.Л. Гольдмана, Х.П. Хайнига и В.Д. Степанова. Этот результат был получен посредством метода дискретизации, поэтому ответ дан в терминах дискретных последовательностей, что усложняет его проверку и использование. То же можно сказать и о критериях, полученных М.Л. Гольдманом и М.В. Сорокиной для весовых неравенств типа Харди на конусе -квазивогнутых функций. Несколько лет спустя Г. Синнамон смог получить условия на весовые функции в интегральной форме, используя совершенно другой метод. Он также представил метод редукции для операторов, действующих на конусе квазивогнутых функций (более точно, на конусах функций с двумя условиями квазимонотонности). Примерно в то же время А. Гогатишвили и Л. Пик6 представили подход, основанный не только на методе дискретизации, но и, что еще более существенно, на методе антидискретизации, что позволило им получить в интегральной форме критерии вложений межMaligranda L. Weighted inequalities for quasi-monotone functions. // J. London Math. Soc. (2) 1998.

V. 57. № 2. P. 363-370.

Stepanov V.D. Integral operators on the cone of monotone functions. // J. London Math. Soc. (2) 1993.

V. 48. № 3. P. 465-487.

Goldman M.L., Heinig H.P., Stepanov V.D. On the principle of duality in Lorentz spaces. // Canad. J.

Math. 1996. V. 48. № 5. P. 959-979.

Гольдман М.Л., Сорокина М.В. Трехвесовые неравенства типа Харди на конусе квазимонотонных функций. // Доклады АН. 2005. Т. 401. № 3. С. 301-305.

Sinnamon G. Embeddings of concave functions and duals of Lorentz spaces. // Publ. Mat. 2002. V. 46.

№ 2. P. 489-515.

Gogatishvili A., Pick L. Discretization and anti-discretization of rearrangement-invariant norms. // Publ.

Mat. 2003. V. 47. № 2. P. 311-358.

– 6 – ду пространствами Лоренца, в частности, p,v q,u и p,v q,u, при 0 < p, q < .

Цель работы Целью работы является получение критериев выполнения интегральных неравенств на конусах монотонных и квазивогнутых функций.

Методика исследования В работе используются методы теории функций, математического и функционального анализа.

Научная новизна Основные результаты диссертации является новыми и обобщают или дополняют ранее известные.

Теоретическая значимость Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться во многих разделах функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.

Аппробация работы Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались на научном семинаре РУДН по функциональному анализу под руководством чл–корр. РАН В. Д. Степанова, на Российской школе-конференции с международным участием "Математика, информатика и их приложения и роль в образовании, 2009 ".

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях, 2 препринтах и тезисах доклада на научной конференции.

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы (наименований). Объем диссертации составляет 131 страницу.

Содержание работы Первая глава "Весовые интегральные неравенства на конусах моно– 7 – тонных функций." Данная глава содержит следующие основные результаты.

Пусть - положительная -конечная мера Бореля на R+ := [0, ).

Пусть M+- класс всех борелевских функций f : [0, ) [0, +], а M (M ) - подкласс M+, состоящий из всех невозрастающих (неубывающих) функций f M+. Положим (x) := d и будем предполагать, что [0,x] (x) < для всех x R+.

Теорема 1. Пусть 1 < . Тогда для всех f M , f 0 выполняется fd d(x) 1 [0,) [x,) .

1 ( + 1) fd [0,) Пусть 0 < < 1, тогда f M , f fd d(x) [0,) [x,) 0 < c() .

fd [0,) Теорема 2. Пусть -1 < < 0. Тогда для всех f M , f(x) > 0 - п.в.

fd d 1 [0,) [0,x] (-) 1.

fd [0,) Теорема 3. Пусть -1. Тогда для всех f M , f(x) > 0, - п.в.

выполняется fd d [0,) [0,x] 0 < c 1.

fd [0,) Результаты раздела резюмируются в следующем замечании.

Замечание 1. Следующие неравенства эквивалентны:

(1) fd d(x) < , [0,) [x,) +(2) fd dµf < , [0,) [x,) – 8 – (3) ess supf(y)(y) d(x) < , [0,) yx +(4) ess supf(y)(y) dµf(x) < , [0,) yx (5) fd < [0,) в смысле fM(+0) fM(+0) fM fM (2) (1) (5) (3) (4).

В следующем параграфе первой главы рассматривается неравенство 1 q q p fd d(x) C fpdµ (0.0.6) [0,) [x,) [0,) на конусе невозрастающих функций. Для наименьшей возможной константы в неравенстве (0.0.6) Jpq мы имеем Jpq Spq, где q qd [0,x] Spq = sup, 0 < p q < , p xdµ [0,x] и r r -r q q Spq qd dµ dµ(x), 0 < q < p < , [0,) [0,x] [0,x] при условиях -1 -dµ = , dµ c dµ dµ(t).

[0,) [0,x] [x,) [0,t] Полученные критерии мы сравниваем с критериями, полученными в работе М.Л. Гольдмана для более общей формы неравенства (0.0.6).

Тем же методом, что и неравенство (0.0.6), охарактеризованы:

- неравенство 1 q q p fd d(x) C fpdµ (0.0.7) [0,) [0,x] [0,) Гольдман М.Л. Точные оценки норм операторов типа Харди на конусах квазимонотонных функций.

// Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 115-143.

– 9 – при p, q > 0 на конусе неубывающих функций как для случая p, q > 0, так и для случая p, q < 0;

- неравенство 1 q q p fd d(x) C fpdµ [0,) [x,) [0,) на конусе невозрастающих функций при p, q < 0;

- неравенство 1 q p q p fdµ dµ(x) C fd d(x) [0,) [x,) [0,) [x,) на конусе невозрастающих функций при p, q > 0 (аналогично характеризуется последнее неравенство для отрицательных значений p, q, а также двойственное ему на конусе неубывающих функций).

В заключительном параграфе первой главы рассматривается неравенство (0.0.3) при 0 < p < , 1 q < для оператора (0.0.4) с ядром, удовлетворяющим условию Ойнарова (0.0.5). Для данного неравенства при указанных значениях параметров получены необходимые и достаточные условия.

Теорема 4. Пусть 0 < p < , 1 q < , и при p > 1 выполнены условия -1 -d = , d c d d(t).

[0,) [0,x] [x,) [0,t] Пусть также определены функции k(x) := k(x, y)d(y), [0,x] k(x) := k(y, x)dµ(y), [x,) (x) := d(y).

[0,x] Тогда неравенство (0.0.3) для оператора (0.0.4) выполняется для всех функций f M тогда и только тогда, когда A0 < , p q = 1, – 10 – B0 < , 1 = q < p, A1 + A2,1 + A + A2,2 < , 1 < p q, 2, B1 + B2,1 + B2,1 + B2,2 < , 1 < q < p, D1 + D2 + D3 < , 0 < p 1 < q, где p A0 := sup kd d, x[0,x] [0,x] p p k(t)d(t) B0 := d(x), d [0,) [x,) [0,t] 1 p q A1 := sup -p d kqdµ, t[t,) [0,t] 1 q p A2,1 := sup (x)-p (x)p k(t, x)p d(x) dµ, t[0,t] [t,) 1 p q A := sup -p p d k(y, t)qdµ(y), 2,t[0,t] [t,) 1 q p A2,2 := sup -p kp d dµ ;

t[0,t] [t,) r r q q r B1 := kqdµ -p d (x)-p d(x), [0,) [0,x] [x,) r r p p r B2,1 := (x)-p (x)p k(t, x)p d(x) dµ dµ(t), [0,) [0,t] [t,) r q r B2,1 := -p p d [0,) [0,t] r q k(y, t)qdµ(y) (t)-p (t)p d(t), [t,) r r q q r B2,2 := dµ -p kp d (x)-p k(x)p d(x), [0,) [x,) [0,x] – 11 – 1 1 где = - ;

r q p q p D1 := sup kqdµ (x)-, x[0,x] q p D2 := sup k(y, x)qdµ(y) (x)(x)-, x[x,) q p D3 := sup dµ k(x)(x)-.

x[x,) Аналогичные критерии получены для неравенства 1 p q p (Kf)qdµ C fd d (0.0.8) [0,) [0,) [x,) при 0 < p < , 1 q < для оператора (0.0.4) с ядром, удовлетворяющим условию (0.0.5).

Вторая глава "Весовые интегральные неравенства на конусах квазивогнутых функций." Пусть - допустимая функция. Обозначим через подмножество функций из M+, таких что f(t) не возрастает, а (t)f(t) не убывает.

Основной результат второго параграфа представляет собой необходимые и достаточные условия, при которых неравенство вида 1 q p (Af)q d C fpd, (0.0.9) [0,) [0,) где Af(t) = fdµ, (0.0.10) [0,t] q 1, p > 0, выполняется для всех функций из .

Определение 3. Пусть функция - допустимая. Будем говорить, что мера d невырождена относительно функции , если для любого t (0, ) выполняется d(s) d(s) < , = d(s) = .

(s) + (t) (s) [0,) [0,1] [1,) – 12 – Теорема 5. Пусть q 1, p > 0, мера v(x)dx невырождена относительно функции p(x). Тогда неравенство 1 q q p f(s)u(s)ds w(t)dt C fpv(t)dt (0.0.11) [0,) [0,t] [0,) выполняется для всех функций из тогда и только тогда, когда:

(i) A1 < при q = 1, 0 < p 1, где p A1 := sup U(z, y)w(z)dz d(y) V(t)- ;

t[0,t] [y,) (ii) A2 < при q = 1, 1 < p < , где p p A2 := U(t, z)w(t)dt d(z) V(t)d(p(t)) ;

[0,) [0,t] [z,) (iii) A3 < при q > 1, 0 < p 1, где q q min(s,t) p A3 := sup U(s, y)d(y) w(s)ds V(t)- ;

t>[0,) (iv) A4,1 + A4,2 + A4,3 + A4,4 < при 1 < p q < , где 1 q p A4,1 := sup V(s)d(p(s)) Uq(s)w(s)ds, t[t,) [0,t] 1 q p A4,2 := sup U(t, s)p V(s)(s)p d(p(s)) wq(s)ds, t[0,t] [t,) 1 q p A4,3 := sup V(s)(s)p d(p(s)) U(y, t)qw(y)qdy, t[0,t] [t,) 1 q p A4,4 := sup V(s)U(s)p d(p(s)) w ;

t[0,t] [t,) (v) A5,1 + A5,2 + A5,3 + A5,4 < при 1 < q < p < , где r q A5,1 := Uq(s)w(s)ds [0,) [0,x] r r q V(s)d(p(s)) V(x)d(p(x)), [x,) – 13 – r p A5,2 := U(t, x)p V(x)(x)p d(p(x)) [0,) [0,t] r r p wq w(t)qdt, [t,) r r q q A5,3 := V(s)(s)p d(p(s)) U(y, t)qw(y)dy [0,) [0,t] [t,) r V(t)(t)p d(p(t)), r r q q A5,4 := w(t)dt V(t)U(t)p d(p(t)) [0,) [x,) [0,x] r V(x)U(x)p d(p(x)).

Здесь V (t) := v, U(t) := u, [0,t] [0,t] V(t) := V (t) + (t)p (s)-pv(s)ds, [t,) V(t) := V(t)-p -1V (t) (s)-pv(s)ds [t,) и u(s) U(t, y) := ds.

(s) [y,t] При остальных значениях параметров p, q для неравенства (0.0.9) с оператором (0.0.10) получены достаточные условия.

В заключительном разделе с помощью принципиально другого метода характеризовано неравенство вида (0.0.9) для оператора Bf(t) = fdµ (0.0.12) [t,) при тех же значениях параметров. Для этого оценка нормы вложения Lp v Lq на конусе квазивогнутых функций при 0 < p, q < , полученная Г.

u – 14 – Синнамоном, была расширена нами на конус -квазивогнутых функций.

Приведем формулировку данного результата.

Для допустимой функции (t) вводится класс функций , состоящий , из функций f(t) M+, таких что (t)f(t) не убывает, а (t)-f(t) не возрастает. В частности, класс состоит из всех функций f(t), таких 0,f(t) что f(t) не убывает, а не возрастает.

(t) Также определены операторы H,h(x) := (x)- (t)h(t)dt [0,x] и H,h(x) := (x) (t)-h(t)dt.

[x,) При + > 0 также используется оператор , H,h(x) = H,h(x) + H,h(x) (t) (x) = min, h(t)dt.

(x) (t) [0,) Теорема 6. (i) Пусть 0 < q < p < , u, v M+, тогда r r r f q,u p p ,0 ,sup H,pv H,q u u.

f [0,) f p,v 0,(ii) Пусть 0 < p q < , u, v M+, тогда 1 -p f q,u q ,0 ,sup sup H,pv H,q u.

f f p,v t>0,Также сделано замечание о том, каким образом неравенство (0.0.9) с оператором (0.0.12) может быть сведено к тому же неравенству с оператором (0.0.10).

Третья глава "Ограниченность в Г-пространствах Лоренца некоторых операторов классического анализа." Sinnamon G. Embeddings of concave functions and duals of Lorentz spaces. // Publ. Mat. 2002. V. 46.

№ 2. P. 489-515.

– 15 – В данной главе получены необходимые и достаточные условия ограниченности преобразования Гильберта f(x - y) Hf(x) := lim dy (0.0.13) y <|y| и потенциалов Рисса f(y) I(f) := dy, 0 < < n, (0.0.14) |x - y|n- Rn в -пространствах Лоренца.

Укажем один из полученных результатов.

Теорема 7. Пусть 0 < p < , 1 < q < , и мера v(t)dt невырождена относительно функции tp. Положим V (t) := v, [0,t] v(s) V(t) := V (t) + tp ds, sp [t,) v(s) V(t) := V(t)-p -1V (t) ds tp-1.

sp [t,) Для того, чтобы преобразование Гильберта (0.0.13) было ограничено из p(v) в q(w), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

(i) A := max Ai < , i = 1, 6 при 1 < p 1 < , где 1 q p A1 := sup w V, t>[0,t] [t,) 1 q p w(s) A2 := sup ds sp V(s)ds, sq t>[0,t] [t,) 1 q p s w(s) A3 := sup lnq ds sp V(s)ds, t sq t>[t,) [t,) 1 q p w(s) s A4 := sup ds sp lnp V(s)ds, sq t t>[t,) [t,) 1 q p s A5 := sup w lnp V(s)ds, t t>[0,t] [t,) – 16 – 1 q p t A6 := sup lnq w(s)ds V ;

s t>[0,t] [t,) (ii) B := max Bi < , i = 1, 6 при 1 < q < p < , где r r r p p B1 := w V w(t)dt, [0,) [0,t] [t,) r r r p p w(s) w(t) B2 := ds sp V(s)ds dt, sq tq [0,) [t,) [0,t] r r r p p w(s) t w(t) B3 := ds sp lnp V(s)ds dt, sq s tq [0,) [t,) [0,t] r r r q q w(s) t B4 := ds sp lnp V(s)ds tp V(t)dt, sq s [0,) [t,) [0,t] r r r p p s B5 := w lnp V(s)ds w(t)dt, t [0,) [0,t] [t,) r r r q q t B6 := lnq w(s)ds V(s)ds V(t)dt ;

s [0,) [0,t] [t,) (iii) D := max Di < , i = 1, 4 при 0 < p 1 < q < , где q p D1 := sup w V(t)-, t>[0,t] q w(s) p D2 := sup ds tV(t)-, sq t>[t,) q s w(s) p D3 := sup lnq ds tV(t)-, t sq t>[t,) q t p D4 := sup lnq w(s)ds V(t)- ;

s t>[0,t] – 17 – (iv) F < при 0 < p < 1 = q, где 1 t y w(y) F := sup ln w(y)dy + ln dy t y t y t>[0,t] [t,) 1 w(y) p + w(y)dy + dy V(t)- ;

t y [0,t] [t,) (v) G < при q = 1 < p < , где 1 t y w(y) G := ln w(y)dy + ln dy t y t y [0,) [0,t] [t,) p p 1 w(y) + w(y)dy + dy V(t)dt.

t y [0,t] [t,) Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Степанову В.Д. за постоянную поддержку и ценные замечания, а также Российскому Фонду Фундаментальных Исследований за частиную финансовую поддержку в рамках проектов 09-01-00093 и 12-01-00554.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Степанов В.Д., Перссон Л.-Е., Попова О.В. Двусторонние неравенства типа Харди для монотонных функций. // Докл. АН. 2009. Т. 429.

№ 2. С. 159-162.

2. Попова О.В. Двусторонние неравенства типа Харди для монотонных функций.// "Математика, информатика, их приложения и роль в образовании," Тезисы докладов Российской Школы- конференции с международным участием, РУДН, 2009. С. 40.

3. Persson L.-E., Popova O.V., Stepanov V.D. Two-sided Hardy-type inequalities for monotone functions. // Complex Var. Elliptic Equ. 2010.

V. 55. № 8-10. P. 973-989.

4. Попова О.В. Неравенства типа Харди на конусах монотонных функций. // Сибирский матем. журнал. 2012. Т. 53. № 1. С. 187-204.

– 18 – 5. Popova O.V. Weighted Hardy-type inequalities on the cones of quasiconcave functions. // Research Report, Department of Engineering Sciences and Mathematics. Lule University of Technology, Lule. 2012.

№ 1.

6. Popova O.V. On the reduction principle for weighted inequalities on the cone of quasi-concave functions and applications. // Research Report, Department of Engineering Sciences and Mathematics. Lule University of Technology, Lule. 2012. № 3.

– 19 – Попова О.В.

Весовые интегральные неравенства на конусах монотонных и квазивогнутых функций.

Аннотация В работе получены необходимые и достаточные условия выполнения интегральных неравенств, в том числе, неравенств с интегральными операторами типа Вольтерра с ядрами Ойнарова, на конусах монотонных функций.

Получены необходимые и достаточные условия выполнения некоторых интегральных неравенств на конусе квазивогнутых функций, а также критерии ограниченности преобразования Гильберта и потенциалов Рисса в -пространствах Лоренца.

Popova O.V.

Weighted integral inequalities on the cones of monotone and quasi-concave functions.

Abstract In this work we obtain necessary and sufficient conditions for integral inequalities, especially the inequalities with Volterra integral operators involving Oinarov’s kernel, to hold on the cones of monotone functions.

We derive necessary and sufficient conditions for some integral inequalities to hold on the cone of quasi-concave functions and also establish the criteria of boundedness for the Hilbert transform and the Riesz potentials between the Lorentz -spaces.

– 20 –






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.