WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

 

На правах рукописи

Шахпазова Ирина Фридуновна

О существовании периодических и почти периодических решений функционально-дифференциальных уравнений n-го порядка в гильбертовом пространстве

01.01.02 – Дифференциальные уравнения,

динамические системы и оптимальное

управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону

2012

Работа выполнена в Дагестанском государственном университете на кафедре математического анализа 

Научный руководитель:         доктор физико-математических наук,

       профессор Алиев Рзахан Гюльмагомедович

                                               Дагестанский государственный университет

                                               Профессор кафедры математического анализа

Официальные оппоненты:                доктор физико-математических наук,

       профессор Каменский Михаил Игоревич

                                               Воронежский государственный университет

                                               зав. кафедрой функционального анализа и

                                               операторных уравнений

                                               доктор физико-математических наук,

                                               доцент Жуков Михаил Юрьевич

                                               Южный федеральный университет

                                               зав. кафедрой математической физики и

                                               вычислительной математики

Ведущая организация:                Кубанский государственный университет

Защита состоится «___» __________ 2012 г. в _____ часов на заседании совета

Д 212.208.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкина, 148

Автореферат разослан «___» _ноябрь__ 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета  Кряквин В.Д.

Д.212.208.29

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) принадлежит к числу сравнительно молодых и бурно развивающихся разделов общей теории дифференциальных уравнений.

Особое место в этой теории занимают дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последствием, находят много приложений: в теории автоматического регулирования, в теории автоколебательных систем, при изучении проблем связанных с горением в ракетном двигателе, ряд экономических, биофизических проблем и т.д.

Впервые дифференциально-разностное уравнение вида

было рассмотрено еще в XVIII веке в связи с решением задачи Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте.

Изучением скалярных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом занимались многие математики, в числе которых мы назовем А.Д.Мышкиса, С.Б. Норкина, Л.Э. Эльсгольца, Р. Беллмана, К. Кука, Н.В.Азбелева, З.Б. Цалюка, А.М. Зверкина и др.

В последнее время ученые-математики занимались изучением абстрактных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в банаховом пространстве. Систематическим изучением абстрактных дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве занимались Р.Г. Алиев и его ученики.

В данной диссертации исследованы вопросы существования периодических и почти периодических решений функционально-дифференциальных уравнений n-го порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве.

Наличие отклонения аргумента требует наложения дополнительных условий на те коэффициенты уравнений, при которых присутствует оператор сдвига. Таковым является условие полной непрерывности упомянутых операторных коэффициентов, что было впервые замечено в работах Р.Г.Алиева.

Целью работы является:

  1. Выяснение условий существования периодического решения ФДУ n-го порядка с помощью функции Грина.
  2. Получение условий существования и единственности периодического решения ФДУ n-го порядка с маловозмущенными периодическими операторными коэффициентами и отклонениями аргумента.
  3. Получение условий однозначной разрешимости уравнений с почти периодическими операторными коэффициентами в некоторых пространствах почти периодических функций.
  4. Выяснение условий нормальной разрешимости уравнения с произвольными периодическими операторными коэффициентами и отклонениями аргумента.

Методика исследования. При получении результатов диссертации использованы методы функционального анализа и теории разложений функций в ряды Фурье.

Научная новизна. Получены условия на резольвенту, отклонения аргумента и на операторные коэффициенты уравнения n-го порядка, обеспечивающие однозначную разрешимость исследуемых уравнений в некоторых пространствах периодических и почти периодических функций, а также нормальной разрешимости в случае уравнения с периодическими операторными коэффициентами и отклонениями аргумента.

  • Доказана теорема о существовании и единственности периодического решения исследуемого уравнения с помощью функции Грина в случае постоянных операторных коэффициентов и отклонений аргумента.
  • Получены достаточные условия однозначной разрешимости исследуемых уравнений с периодическими операторными коэффициентами и отклонениями аргумента на языке резольвенты.
  • Доказана теорема о нормальной разрешимости уравнения.
  • Отдельно рассмотрен случай уравнения n-го порядка с почти периодическими операторными коэффициентами.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты дополняют абстрактную теорию ФДУ высших порядков и могут быть применены в тех областях, в которых возникают уравнения n-го порядка. Эта теория может быть применена к уравнениям в частных производных и к бесконечным системам уравнений ввиду неограниченности операторных коэффициентов.

Апробация работы. Основные результаты работы доложены на XXXIV Научной конференции студентов и молодых ученых вузов Южного Федерального округа, (г. Краснодар, март 2007г.), на Третьей и Четвертой Международных конференциях «ФДУ и их приложения» (г. Махачкала, сентябрь, 2007г., 2009г.), на семинарах кафедры дифференциальных уравнений ДГУ, на годичных научных конференциях профессорско-преподавательского состава ДГУ (2006-2010гг.), на кафедре математической физики и вычислительной математики ФГУУ ВПО «Южного Федерального Университета» (г. Ростов-на-Дону, июнь, 2010г.).

Публикации автора. По материалам диссертации опубликованы 10 работ, из них 2 в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК РФ, список которых приводится в конце автореферата. В работе [1] постановка задачи и указание методов исследования принадлежат Р.Г.Алиеву Подробное проведение доказательств принадлежит автору диссертации.

Личный вклад автора. Постановка задачи исследования, анализ и обсуждение полученных результатов, формулировка основных выводов и положений, выносимых на защиту, осуществлялись совместно с научным руководителем, профессор Алиевым Рзаханом Гюльмагомедовичем. Личный вклад автора состоит в формулировке и доказательстве всех теорем, представленных в работе.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 109 страницах и состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов и списка литературы, включающего 67 наименований.

Содержание работы

Настоящая диссертация посвящена вопросам разрешимости функционально-дифференциальных уравнений n-го порядка с неограниченными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента в гильбертовых пространствах периодических и почти периодических функций. Во введении дается краткий обзор работ, примыкающих к теме диссертации, обосновывается актуальность темы, приводятся основные результаты диссертации.

В диссертационной работе приняты следующие обозначения:

X, Y – гильбертовы пространства, ;

– множество линейных ограниченных операторов из X в Y;

– множество линейных замкнутых неограниченных операторов из Y в Y;

– множество линейных вполне непрерывных операторов из X в Y;

– множество фредгольмовых операторов из в ;

;

– n-мерное евклидово пространство, ;

– множество абсолютно непрерывных скалярных функций, определенных на ;

– носитель определенной и непрерывной на открытом множестве функции u(t);

С – плоскость комплексного переменного;

– множество бесконечно дифференцируемых на открытом множестве G функций с комплексными в G носителями;

– пространство суммируемых с квадратом на интервале скалярных функций;

– пополнение множества сильно непрерывных функций u(t) с компактными носителями и со значениями в Х по норме

;

– характеристическая функция оператора А. Она вводится для вполне непрерывных операторов и определяется из неравенства

;

– постоянная, зависящая от ;

Под будем понимать пополнение множества - периодических функций u(t), , имеющих сильно непрерывные n-1–производные в Х и сильно непрерывные n-е производные в Y по норме

;

Пространство определяется как пополнение множества сильно непрерывных в Y функций по норме

;

– пополнение множества почти периодических функций имеющих сильно непрерывные производные до (n-1)-го порядка в Х и сильно непрерывные производные n-го порядка в Y по норме

;

– пополнение множества сильно непрерывных почти периодических функций по норме

.

Обозначения для некоторых операторов

.

Обозначения для резольвентных операторов

;

;

.

Постановка задачи. Требуется выяснить условия существования и единственности периодических и почти периодических решений уравнений

,

и условия нормальной разрешимости уравнения с периодическими операторными коэффициентами и отклонениями аргументов.

Основные результаты работы:

  1. Доказана теорема существования и единственности периодического решения уравнения с помощью функции Грина;
  2. Доказана теорема существования и единственности периодического решения уравнения с постоянными и с маловозмущенными периодическими операторными коэффициентами и отклонениями аргумента;
  3. Доказана теорема о нормальной разрешимости уравнения с периодическими неограниченными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента;
  4. Доказана теорема существования единственного почти периодического решения уравнения с постоянными и с маловозмущенными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента;
  5. Приведены примеры ФДУ для иллюстрации абстрактной теории.

Первая глава диссертации содержит четыре параграфа и посвящена вопросам существования периодических решений уравнений, порождаемых операторами

В §1.1 строится функция Грина, с помощью которой доказывается теорема о существовании единственного решения уравнения при некоторых условиях на резольвенту оператора

:

Теорема 1.1.1. Если спектр оператора не содержит точек действительной оси и выполнены условия

= О(1), , = О(1),

то уравнение

при любой -периодической функции f(t) имеет единственное решение u(t) с периодом .

Это решение дается формулой

Здесь – функция Грина, определяемая формулой

В §1.2 доказывается теорема о непрерывной обратимости оператора , при некоторых условиях на резольвенту оператора .

Теорема 1.2.1. Если существует Rn, то оператор непрерывно обратим.

В §1.3 приводится формулировка основной леммы и доказывается теорема о непрерывной обратимости оператора для случая малых периодических переменных частей коэффициентов и отклонений аргументов.

Лемма 1.3.1. Если - замкнутый, - вполне непрерывный, то для любого существует , что имеет место неравенство .

Теорема 1.3.1. Пусть выполнены условия:

а) – замкнутые, – вполне непрерывные

б) для любого целого l существует ,

в) .

Тогда существует такое, что при выполнении условий оператор непрерывно обратим.

В §1.4 выясняются условия существования периодического решения уравнения с сосредоточенными и распределенными запаздываниями с помощью функции Грина. Доказывается теорема о существовании единственного периодического решения рассматриваемого уравнения.

Теорема 1.4.1 Если спектр оператора не содержит точек действительной оси и выполнены условия

= О(1), , = О(1), ,

то уравнение

при любой -периодической функции f(t) имеет единственное решение u(t) с периодом . Это решение дается формулой

Таким образом, первая глава диссертации посвящена вопросам непрерывной обратимости операторов, порождаемых исследуемыми уравнениями. При не выполнении условий теорем из первой главы, может иметь место существование конечного или бесконечного числа решений. Интерес представляет случай, когда существует конечное число решений, то есть фредгольмовость оператора .

Вторая глава содержит два параграфа и посвящена вопросу фредгольмовости оператора и равенству нулю индекса оператора .

В § 2.1 доказываются две теоремы о конечномерности ядра и коядра оператора .

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия:

а) для любого замкнутые, вполне непрерывные операторы, непрерывно зависят от , абсолютно непрерывные функции, в точках существования производной, ,

б) для любого целого существует ,

 

Тогда ядро оператора конечномерно.

Теорема 2.1.2. Пусть выполнены условия:

а) для любого замкнутые, вполне непрерывные операторы, непрерывно зависят от , hkj(t) – абсолютно непрерывные функции, в точках существования производной, ,

б) для любого целого числа существует

,

,

,

Тогда коядро оператора конечномерно.

Следствие 2.1.1. Пусть выполнены условия:

а) для любого – замкнутые, – вполне непрерывные операторы, непрерывно зависят от , – абсолютно непрерывные функции, в точках существования производной,

б) для любого целого l и существует

,

,

,

Тогда оператор является фредгольмовым.

В § 2.2 доказываются две теоремы о равенстве нулю ядра и коядра оператора для больших значений .

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия:

б) для любого целого l существует

Тогда ядро оператора при больших значениях равно нулю.

Теорема 2.2.2. Пусть выполнены условия:

б) для любого целого l и существует ,

.

Тогда коядро оператора при достаточно больших значениях равно нулю.

Следствие 2.2.1. Пусть выполнены условия:

б) резольвенты , регулярны

для .

Тогда индекс оператора равен нулю.

Следствие 2.2.2. В условиях следствия 2.2.1. из единственности решения уравнения в пространстве следует его существование.

Третья глава посвящена уравнению с почти периодическими коэффициентами.

В первом параграфе рассматривается вспомогательная лемма.

Лемма 3.1.1. Если – почти периодическая функция, то справедливо неравенство

В § 3.2 доказывается теорема о существовании и единственности решения уравнения .

Теорема 3.2.1. Пусть выполнены условия:

а) резольвента регулярна,

, ;

б)

Тогда существует единственное решение уравнения .

В § 3.3 доказывается теорема для случая уравнения с маловозмущенными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента.

Теорема 3.3.1. Пусть выполнены условия:

а)

б) резольвента регулярна,

, ;

в)

Тогда существует такое, что если то существует единственное решение u(t) уравнения , принадлежащее пространству .

В конце диссертации приведены примеры, иллюстрирующие абстрактную теорию.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

I. Публикации в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК.

  1. Алиев Р.Г. Существование периодического решения функционально-дифференциального уравнения n-го порядка с сосредоточенными и распределенными запаздываниями в гильбертовом пространстве/ Алиев Р.Г., Шахпазова И.Ф. // Известия высших учебных заведений. Северо–Кавказский регион. Естественные науки. Ростов-на-Дону, 2011г., №5, с. 5-8.
  2. Шахпазова И.Ф. О нормальной разрешимости функционально-дифференциального уравнения n-го порядка в гильбертовом пространстве // Известия высших учебных заведений. Северо–Кавказский регион. Естественные науки. Ростов-на-Дону, 2008г., №6, с. 26-29.

II. Статьи в научных журналах и сборниках:

  1. Шахпазова И.Ф. К вопросу о существовании периодических решений функционально – дифференциальных уравнений n-го порядка // Вестник ДГУ. Естественные науки, Вып.1, г. Махачкала, 2007, с. 89-94.
  2. Шахпазова И.Ф. О существовании и единственности периодического решения уравнения n-го порядка в гильбертовом пространстве // Труды молодых ученных ДГУ, Естественные науки, Вып.3, г. Махачкала, 2007, с. 20-22.
  3. Шахпазова И.Ф. О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений n-го порядка с маловозмущенными периодическими операторными коэффициентами и отклонениями аргументов в гильбертовом пространстве. // Научное образование: Сборник статей Ассоциации молодых ученых Дагестана. Вып. 37, Махачкала, 2007, с. 142-147.
  4. Шахпазова И.Ф. Теоремы о равенстве нулю ядра и коядра оператора, порождаемого функционально-дифференциальным уравнением n-го порядка. // Региональный вестник молодых ученных. – М.: ИЦ СМУР «Academy», №1(15), 2008г, с. 5-6.
  5. Шахпазова И.Ф. Функционально-дифференциальные уравнения n-го порядка с маловозмущенными периодическими операторными коэффициентами и отклонениями аргументов в гильбертовом пространстве. // XXXIV Научная конференция студентов и молодых ученых вузов Южного Федерального округа, г. Краснодар, часть II, январь-март 2007г, с. 226-227.
  6. Шахпазова И.Ф. Функционально-дифференциальные уравнения n-го порядка с почти периодическими коэффициентами в гильбертовом пространстве. // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения (материалы третьей Международной Научной конференции, 23-25 сентября 2007г.) Махачкала, издательство ДГУ, 2007г, с. 207-215.
  7. Шахпазова И.Ф. Существование периодического решения функционально-дифференциального уравнения n-го порядка.// Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Межвузовский научно-тематический сборник, выпуск №5, Махачкала, издательство ДГУ, 2009г, с. 108-111.
  8. Шахпазова И.Ф. К вопросу периодических решений функционально-дифференциальных уравнений n-го порядка с сосредоточенным и распределенным запаздыванием. // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения (материалы четвертой Международной Научной конференции, 21-24 сентября 2009г.) Махачкала, издательство ДГУ, 2009г, с. 203-206.



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.