WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Семенов Сергей Леонидович

О разрешимости уравнений на стратифицированных множествах с жестким оператором Лапласа

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ — 2012

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Каменский Михаил Игоревич, Воронежский государственный университет зав. кафедрой функционального анализа и операторных уравнений

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Пенкин Олег Михайлович, Белгородский государственный университет профессор кафедры математического анализа доктор физико-математических наук, профессор Костин Владимир Алексеевич, Воронежский государственный университет зав. кафедры математического моделирования

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 19 июня 2012 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д.212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл.1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " " мая 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.212.038.доктор физ.-мат. наук, профессор Гликлих Ю.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Моделирование статических и динамических процессов в сложных физических системах часто сводится к исследованию уравнений на стратифицированных множествах (связных объединениях многообразий — стратов различной размерности). Например, задача о малых перемещениях механической системы, составленной из струн, мембран и упругих тел или задача о диффузии в слоистой среде. С другой стороны теория дифференциальных уравнений на стратифицированных множествах позволяет применять общие методы к различным задачам классической теории дифференциальных уравнений. В частности классические краевые задачи Неймана и Вентцеля для уравнения Лапласа не различимы с точки зрения теории уравнений на стратифицированных множествах.

Теория дифференциальных уравнений на стратифицированных множествах в настоящий момент активно разрабатывается. Для частных случаев одномерных стратифицированных множеств – графов, построение такой теории ведется с начала 80-х годов прошлого столетия. Задача о диффузии в системе каналов исследована Люмером Г. Уравнения Пуассона для лапласиана на геометрических графах изучались Покорным Ю.В., а также Никезом С., спектральные и полугрупповые свойства лапласиана на графе исследовались Каменским М.И. Волновые процессы и уравнения четвертого порядка на графах изучались Боровских А.В. В настоящее время исследования дифференциальных уравнений на стратифицированных множествах в общем виде активно проводятся Пенкиным О.М., Никезом С.

Существенной особенностью теории дифференциальных уравнений на стратифицированных множествах является то, что для существования решений уравнений, помимо наложения ограничений на гладкость коэффициентов, входящих в уравнение, необходимо вводить ограничения на структуру стратифицированного множества. Доказано, что для существования слабого решения задачи Пуассона для лапласиана нужно накладывать на множество стратов условие прочности, которое означает, что для каждого страта существует цепочка из стратов соединяющая его с границей стратифицированного множества, причем размерности соседних стратов цепочки отличаются не больше чем на 1, и сама цепочка содержит только один страт принадлежащий границе стратифицированного множества. При выполнении условия прочности еще одним важным результатом является то, что расширение по Фридрихсу лапласиана (понимаемого в слабом смысле) является сильно позитивным производящим оператором сильно непрерывной полугруппы операторов в L2.

Прямым следствием последнего является разрешимость уравнения теплопроводности на прочных стратифицированных множествах в слабом смысле.

Роль условий типа условия прочности в задачах диффузии на множествах со сложной геометрией (вплоть до фрактальной), по-видимому, впервые была отмечена Жиковым В.В. В то же время условие прочности является недостаточным для существования классического решения. В связи с задачей о разрешимости в классическом смысле были введены понятия «жесткого»и «мягкого»лапласиана. «Мягкий»лапласиан представляет собой несколько упрощенный оператор в том смысле, что обнуляются дифференциальные соотношения содержащие производные на стратах размерности меньшей, чем размерность самого множества (под размерностью множества понимается максимальная размерность входящих в него стратов). В настоящий момент доказано существование классического решения для «мягкого»лапласиана, при выполнении более строгого ограничения на структуру множества. А именно, классическая разрешимость обеспечивается на стратифицированном множестве, у которого достаточно малая окрестность любого страта, размерность которого меньше на 2 или более максимальной размерности стратов множества, остается связной, если из этой окрестности изъять сам этот страт.

Задача о существовании классического решения дифференциальных уравнений с «жестким»лапласианом на стратифицированных множествах в настоящий момент не решена. Пенкиным О.М. формулировались в качестве гипотезы дополнительные ограничения накладываемые на стратифицированное множество, достаточные для обеспечения существования классического решения для эллиптических уравнений: каждый страт можно соединить с любым другим прочной цепочкой. Предложенный подход при доказательстве классической разрешимости для «мягкого»лапласиана основан на модификации классического метода Перрона и, для переноса его на случай «жесткого»лапласиана, требуется существование классического решения в стратифицированном шаре для «жесткого»лапласиана. Последнее для произвольного стратифицированного шара является нетривиальной задачей, которая в настоящий момент не решена. Частным случаем довольно тривиального стратифицированного множества, состоящего из области и его границы, является задача Вентцеля для оператора Лапласа, классическая разрешимость которой установлена В.

В. Лукьяновым и А. И. Назаровым, причем граница множества предполагается гладкой, что является существенным ограничением, поскольку в случае стратифицированных множеств граница страта в виде ломанной линии возникает естественным образом, например, в случае моделирования системы струн и мембран.

Таким образом дифференциальные уравнения на стратифицированныхмножествах образуют новый развивающийся раздел уравнений математической физики и задачи о доказательстве существования решений в классическом смысле для дифференциальных уравнений содержащих «жесткий»лапласиан являются безусловно актуальными.

Цель работы: найти достаточные условия на структуру стратифицированного множества обеспечивающие существование и единственность решения в классическом смысле задачи Пуассона на двумерных стратифицированных множествах для уравнений Лапласа и теплопроводности.

Методы исследования. При исследовании применялись теория потенциалов, общие методы теории дифференциальных уравнений в частных производных и методы функционального анализа в пространствах с топологией заданной системой полунорм.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми:

• Теорема о существовании и единственности решения в классическом смысле задачи Пуассона для уравнения Лапласа на двумерном стратифицированном множестве с плоскими стратами.

• Неравенства коэрцитивности для задачи Пуассона для уравнения Лапласа на двумерном стратифицированном множестве с плоскими стратами.

• Теорема о существовании и единственности решения в классическом смысле задачи Пуассона для уравнения теплопроводности на двумерном стратифицированном множестве с плоскими стратами.

• Неравенства коэрцитивности для задачи Пуассона для уравнения теплопроводности на двумерном стратифицированном множестве с плоскими стратами.

Практическая ценность работы.Работа носит теоретический характер.

Полученные в данной работе результаты могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений на стратифицированных множествах. Так же они могут быть использованы в задачах качественного описания процессов в системах составленных из струн и мембран при малых механических перемещениях или процессов теплообмена.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на • Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж, 2011.

• Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач», Воронеж, 2011.

• IV Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования», Воронеж 2011.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 научных работы, в том числе одна опубликована в журнале из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Все публикации выполнены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, глав, разбитых на 7 параграфов, и списка цитируемой литературы, содержащим 40 источников. Общий объем диссертации – 102 страницы.

Содержание работы Первая глава состоит из 3 параграфов. В первом параграфе даны общие обозначения и определения. Во втором параграфе сформулированы необходимые известные факты и определения теории дифференциальных уравнений на стратифицированных множествах.

Пусть Rn и D и даны E() и F (D) – банаховы пространства функций, действующих из в R1 и из D в R1 соответственно. Тогда пересечением пространств E() и F (D) назовем E()F (D) = { : E(), |D F (D)} с топологией, образованной конечными пересечениями шаров из F (D) и из E() соответственно.

Пусть – компактное множество в Rn. Пространство C0() определяется как пространство непрерывных на функций, обращающихся в ноль на – границе множества .

Пространство C() определяется как пространство непрерывных по Гель|f(x)-f(y)| деру функций, с нормой ||f||C = max f(x) + sup.

() |x-y| x x,y Пространство C+µ(P Q) определяется как пространство непрерывных по Гельдеру функций, с нормой ||f(x, y)||C = max f(x) + () x |f(x1,y)-f(x2,y)| |f(x,y1)-f(x,y2)| + sup + sup.

|x1-x2| |y1-y2|µ x1,x2P,yQ y1,y2Q,xP x x t Пространство Cn+ +µt,m+ +µ(P Q) определяется какпространство непре рывных по Гельдеру функций, с нормой ||f|| = ||Dxf||C(P Q)+ || n + ||Dxf||Cx+µt + ||Dy f||C(P Q) + ||Dxf||C (P Q).

(P Q) x+µt ||=n || m ||=m Пространство Lp() – пространство суммируемых со степенью p на функ( )1\p ций с нормой |f(x)|pdx.

Под G и G понимаются соответственно операторы порожденные функциями Грина для задач Пуассона и Дирихле на множестве .

Стратифицированным множеством называется подмножество пространd() n(k) ства Rd, представленное в виде объединения = ( kj) – конечного чисk=0 j=ла многообразий без края (стратов) kj – подмногообразий пространства Rd. В обозначении kj первый индекс показывает размерность страта, а второй – его номер при автономной нумерации стратов данной размерности k. Будем писать kj li, если k > l и li kj. Здесь kj означает границу страта kj в упомянутой выше топологии, легко видеть, что она равна разности kj \ kj.

Черта над буквой, как всегда, означает замыкание.

Границей стратифицированного множества будем называть неко торое фиксированное множество стратов ij, что ij = ij.

ij ij Внутренностью int стратифицированного множества будем называть множество \ .

Лапласиан на стратифицированном множестве определяется подобно тому, как и в классическом случае – дивергенция градиента скалярной функции:

U pU(x) = (pU)(x) = p,(n-1)U(x) - (x) x n-1,j, где p,(n-1) i kik-1,j является классическим (n - 1)-мерным лапласианом, и p C(). Причем p может терпеть разрывы при переходе со страта на страт.

В случае p > 0 на всем стратифицированном множестве оператор p называется жестким оператором Лапласа. В случае p > 0 на стратах старшей размерности и p = 0 на всех остальных оператор p называется мягким оператором Лапласа. Если p 1, оператор Лапласа обозначается .

В третьем параграфе приведена постановка задачи о существовании решения в классическом смысле для задачи Пуассона на стратифицированном множестве для жесткого оператора Лапласа и начально-краевой задачи для оператора теплопроводности, содержащего жесткий оператор Лапласа.

Пусть – стратифицированное множество, все страты которого плоские и их размерности не превосходят двух, граница непуста и 0 < < 1.

Задача Пуассона для оператора Лапласа: для любых функций F и , что F C(), C(), доказать существование функции U, непрерывной на , удовлетворяющей поточечно равенствам U(x) = F (x), x int , U|x = . (1) Здесь все производные понимаются в обычном смысле.

Уравнение для оператора теплопроводности: для любых функций F, и , что F C() (0, T ], C( [0, T ]), C(), (x, 0) = (x), при x , доказать существование функции U, непрерывной на [0, T ], удовлетворяющей поточечно равенствам U(x, t) - U(x, t) = F (x, t), x int, t (0, T ], t (2) U|t=0 = , U|x = .

В обеих задачах под понимается «жесткий»оператор Лапласа по пространственным переменным с p 1.

Вторая глава посвящена задаче Пуассона на стратифицированном множестве для жесткого оператора Лапласа. В первом параграфе излагаются необходимые факты теории потенциалов. Приводятся обобщения потенциалов двойного слоя на случай кусочно плоской поверхности и теоремы о скачках прямого значения потенциала двойного слоя, определенного на кусочно плоской поверхности и теоремы об обратимости операторов (n - 2)n - + W = f, при n > 2, W = - + W , при n = 2, где W – потенциал двойного слоя, а черта сверху W обозначает, что взято прямое значение в точке поверхности , n – площадь поверхности n-мерной сферы единичного радиуса.

k+ Далее вводятся специальные пространства Ek+() и E0 (), топология которых определяется системой норм.

Пусть дано замкнутое множество Rn n > 0, причем - кусочно гладкая поверхность, и даны последовательности открытых множеств {Di} и {Bi}, где Di – гладкая поверхность, D1 D2 D3... i=1 i= и Di = , 0 < < 1, k N, Bi – гладкая n - 1-мерная поверхность, i=B1 B2 B3... , Bi = , Bi = , B1 B2 ... и \ = (B1 ). Тогда определим пространство Ek+() = { : i C(), Ck+(Di) i = 1, 2, 3...} с топологией заданной системой норм p0() = ||||C(), pi() = ||||Ck+ i = 1, 2, 3..., (Di) и пространство Ek+,m+ (, )={ : E2+(), C1+ (Bi) i = 1, 2, 3...} с топологией, заданной системой норм:

p0() = ||||C(), pi() = ||||Ck+ + ||||C (Bi) i = 1, 2, 3....

m+ (Di) k+,m+ k+ k+ Пространства E0 () и E0 (, ) определяется как E0 () = { : k+,m+ C0(), Ek+()} и E0 (, ) = { : C0(), Ek+(, )}.

Доказывается основная теорема о непрерывности нормальных производных оператора, порождаемым функцией Грина задачи Дирихле, для классического оператора Лапласа.

Теорема 1. Пусть область в R2 с кусочно плоской границей, — отрезок, , — нормаль к , G — функция Грина задачи Дирихле для уравне 1+ ния Лапласа. Тогда оператор G действует непрерывно из E0 () в L().

1+ Пусть D , тогда оператор G действует непрерывно из E0 () в C (D), где 0 < < < 1.

Во втором параграфе рассматривается уравнение с жестким оператором Лапласа на стратифицированном множестве. Все утверждения главы доказываются для двумерных стратифицированных множеств с плоскими стратами, удовлетворяют следующим требованиям:

• любые два страта могут быть соеденены прочной цепочкой стратов;

• для каждого страта ij выполняется условие: если найдется страт i+1,m, что ij i+1,m, то i+1,m является замкнутой поверхностью ограничивающей i+1,m, в то время, как i+1,m \ ij замкнутой поверхностью не является. Данную поверхность, ограничивающую i+1,m, будем обозначать P (ij, i+1,m).

Для описания решений уравнений на стратифицированных множествах вводятся специальные функциональные пространства. Пусть – стратифицированное множество, 0 < < 1, 0 < < 1, k N. Тогда определим про странства E2+,1+ (, ) = { : C(), E2+(1j), C1(1j) E2+,1+ (2j, 2j)}, Ek+() = { : C(), C1(1j) Ek+(ij)} и C() = { : C(ij)}. Доказывается теорема, позволяющая строить продолжение функции, определенной только на одном страте, на все стратифицированное множество. Доопределенная таким образом функция будет обозначаться чертой сверху.

Теорема 2. Пусть стратифицированное множество, – его некоторый страт и C0(). Тогда существует продолжение на все представимое на каждом страте lm в виде G Al,m, где G – функция Грина для задачи lm lm Пуассона на страте lm и Al,m такова, что • нулевой оператор, если lm ij n+• действует непрерывно из C0() в C(lm) и из E0 () в En+ (lm), n N и 0 < < 1 < 1, если ij lm Далее производится замена дифференциального уравнения U(x) = F (x), x int , U|x = (3) 2+ на операторное уравнение. Обозначив Ui,j функцию из E0 (ij) при i 1 и 2+,1+ E0 (2j, ), решение задачи (3) ищется в виде суммы продолжений Ui,j на . Подстановка U = Ui,j в (3) дает следующие операторные уравнения:

i,j Ul,m + Gl,m(x, y) Ui,j(y)dy = F (x), x lm; lm , m,k i,j k:lml+1,k lm (4) Ul,m + Ui,j(x) = l,m(x), x lm, lm , (i,j)=(l,m) где l,m C0(lm) и сумма всех продолжений i,j на страт lm равна |x.

lm Установлена непрерывность и корректность осуществленных преобразований и доказаны теоремы о корректности замены задачи (3) на (4) и о существовании только тривиального решения однородной задачи (4). Кроме того доказана вспомогательная лемма об разрешимости операторных уравнений вида (I + A)f = g в пространствах с счетной системой норм.

Теорема 3. Пусть дано замкнутое множество Rn и замкнутые мно жества Di такие что D1 D2 ... и Di = . Пусть E() и i=F (Di) — банаховы пространства функций, действующих из в R1 и из Di в R1 соответственно, пространство E() F (Di) – полное и его топоi=логия задана такой системой норм, что выполнены следующие неравенства:

|| · ||F () M|| · ||E(), || · ||F (D1) M2|| · ||F (D2)... Mi|| · ||F (Di)..., где нормы || · ||F (Di) применяются к сужениям функций на Di. Если опера тор A действует из E() F (Di) в E() F (Di) непрерывно, опеi=1 i=раторное уравнение (I + A) = 0 имеет только тривиальное решение и Mi для всякого i существуют такие числа ki > i, Ni < 1, Ni < и операMki торы Li и Bi, что Ax = Lix + Bix, ||Lix||E()F (Dki) Pi||x||E()F (Dki), ki ki ||Lix||E()F (Dki) Ni||x||E()F (Di) для всякого x E() F (Di) и операki i i= тор Bi компактно действует из пополнения пространства E() F (Di) i= по норме || · ||E()F (Dki) в пространство E() F (Di), тогда оператор I + A i непрерывно обратим в E() F (Di) i=В конце параграфа доказывается основное утверждение этой главы о классической разрешимости задачи Пуассона для жесткого оператора Лапласа и оценки коэрцитивности.

Теорема 4. Пусть дано стратифицированное множество с непустой границей, удовлетворяющее следующим условиям:

• все страты плоские и размерность каждого не превосходит 2;

• любые два страта могут быть соединены прочной цепочкой стратов;

• если страт 1m такой, что 1j 2m, тогда 2m является замкнутой кривой содержащей 1j, а 2m \ 1j замкнутой кривой не является.

Тогда задача Пуассона для жесткого оператора Лапласа U(x) = f(x), x int, U|x = , (5) где 0 < < 1, f C(), C() разрешима единственным образом в классе функций E2+,1+ (, ) и решение представляется в виде U = 2+,1+ 2+ Ui,j, где Ui,j C1(ij) E0 (ij) для i 1 и E0 (ij, ) для i = i,j 2, если ij и Ui,j C0(ij), если ij . Функции Ui,j являются решением следующего операторного уравнения x lm, lm , Ul,m(x) + Gl,m(x, y) Ui,j(y)dy = F (x), F C2+(lm), m,k i,j k:l,klm lm Ul,m(x) + Ui,j(x) = (x), x lm, lm , (i,j)=(l,m) и для решения U имеет место оценка норм i,j ||U||C() M||||C() + N||f||C(), ||U||C (Dk ) Mk||||C() + Nk||f||C, 2+ () 2,j ||U||C (Bk ) Mk||||C() + Nk||f||C, 1+ () i,j 2,j где множества Dk ij и Bk 2j взяты из определений пространств E2+(ij) и E2+,1+(ij, ).

Третья глава посвящена задаче Пуассона на стратифицированном множестве для оператора теплопроводности, содержащим жесткий оператор Лапласа. В этой главе рассуждения примененные к уравнению с жестким оператором Лапласа переносятся на уравнение теплопроводности. В первом параграфе излагаются необходимые факты теории тепловых потенциалов. Приводятся обобщения потенциалов двойного слоя на случай кусочно плоской поверхности , теоремы о скачках прямого значения потенциала двойного слоя, определенного на кусочно плоской поверхности и теоремы об обратимости оператора W = -1 + W , где W обозначает тепловой потенциал двойного слоя и черта сверху W означает, что взято прямое значение в точке поверхности .

Далее вводится ряд функциональных пространств, имеющих, однако, более сложную топологию, чем их аналоги для уравнения Лапласа. Пусть даны множества: отрезок [0, T ] R1, Rn n > 0, причем - кусочно гладкая поверхность. Для дана последовательность открытых множеств {Di}, что i= Di – гладкая поверхность, D1 D2 D3... и Di = , 0 < < 1, i=0 < < 1, k N. И дана числовая положительная монотонно убывающая последовательность {ai}, сходящаяся к нулю, ai < T. Тогда определяетi=x x t ся пространство Ek+ +µt,m+ +µ( [0, T ]) = { : C( [0, T ]), x x t Ck+ +µt,m+ +µ(Di [ai, T ]) i = 1, 2, 3...} с топологией, заданной системой норм: p0() = ||||C([0,T ]), pi() = ||||C.

k+x+µt,m+ x+µt (Di[ai,T ]) В случае, когда является одноточечным множеством, будем считать, что x x t Ek+ +µt,m+ +µ( [0, T ]) = Cm+µ [ai, T ] C[0, T ].

i k+x+µt,m+ +µ x t Функциональное пространство E0 ([0, T ]) определяется слеk+x+µt,m+ +µ x t дующим образом: E0 ( [0, T ]) = { : |(x,t)[0,T ] = 0, |t=0 = x x t 0, Ek+ +µt,m+ +µ ( [0, T ])}.

Вводится пространство функций, имеющих непрерывные производные в каждой точке , за исключением заранее определенного подмножества .

Пусть дано замкнутое множество Rn, n > 0, причем - кусочно гладкая замкнутая (n - 1)-мерная поверхность, кусочно гладкая поверхность и дана последовательность замкнутых множеств {Bi}, что Bi – гладкая i=(n - 1)-мерная поверхность, B1 B2 B3... ,Bi = , Bi = , B1 B2 ... и \ = (B1 ), 0 < < 1, 0 < < 1, i 0 < < 1. И дана числовая положительная монотонно убывающая последовательность {ai}, сходящаяся к нулю последовательность, ai < T. Тоi=x x t гда определяется пространство Ek+ +µt,n+,m++µ( [0, T ], ) = { : x x t x Ek+ +µt,m++µ( [0, T ]), C1+,0(Bi [ai, T ]) i = 1, 2, 3...} с топологией, заданной системой норм p0() = ||||C([0,T ]), pi() = ||||C + ||||C (Bi[ai,T ]).

k+x+µt,m++µ 1+ x x,t (Di[ai,T ]) k+x+µt,n+,m++µ x t Пространство E0 ( [0, T ], ) = { : |(x,t)[0,T ] = x x t 0, |t=0 = 0, Ek+ +µt,n+,m++µ( [0, T ], )}.

Далее доказывается ряд лемм и промежуточных теорем о непрерывности ( )-операторов W и -1 + W , главным следствием которых является теорема:

Теорема 5. Пусть – кусочно плоская кривая в R2, ограничивающая об ласть и дан – отрезок , обозначает производную взятую по нормали к . Пусть {ai} последовательность монотонно сходящаяся к нулю, 0 < ai < T. Тогда оператор G G действует непрерывно из пространства 2+ 2+x,1+x t t x x 2 C1,1( [ai, T ]) E0 ( [0, T ]) в E0 +,1+ + ( [0, T ]), и из i 2+x,1+x t C1,1( [ai, T ]) E0 ( [0, T ]) в C1, ( [0, T ]), где 0 < < 1, i 2+x,1+x 0 < < 1, и для всякого C1,1([ai, T ])E0 ([0, T ]) выполнена i оценка G G C (C([0,T ]) ||||C([0,T ]) и оператор G G имеет 1, t 2+x,1+x продолжение до оператора, непрерывно действующего из E0 ([0, T ]) t в C1, ( [0, T ]).

Во втором параграфе рассматривается начально-краевая задача для оператора теплопроводности с жестким оператором Лапласа на стратифицированном множестве. Все утверждения главы доказываются для двумерных стратифицированных множеств с плоскими стратами, удовлетворяющим следующим требованиям:

• любые два страта могут быть соеденены прочной цепочкой стратов;

• для каждого страта ij выполняется условие: если найдется страт i+1,m, что ij i+1,m, то i+1,m является замкнутой поверхностью, ограничивающей i+1,m, в то время как i+1,m \ ij замкнутой поверхностью не является.

Пусть – стратифицированное множество и 0 < < 1. Тогда определяются следующие функциональные пространства:

,,µ x F ( [0, T ], ) = { : C( T E2+ +µt,1+x+µt(1j [0, ]), x [0, T ]), E2+ +µt,1+,1+x+µt(2j [0, T ], 1i ( 2j)), i C1,1(kj [ai, T ])};

kj ,,µ ,,µ F0 ([0, T ], )={ : F ([0, T ], )|(x,t)[0,T ] = 0,|t=0 = 0};

C( [0, T ]) = { : C(ij [0, T ])};

C0( [0, T ]) = { : C( [0, T ]), |x = 0}.

Далее строится специальная процедура продолжения функции, определенной на ij [0, T ], на множество [0, T ].

Теорема 6. Пусть дано двумерное стратифицированное множество ,некоторый страт и C0( [0, T ]). Тогда существует продление на все [0, T ], представимое на каждом множестве lm [0, T ] в виде G Al,m, lm где Al,m:

• нулевой оператор, если dim > l или lm = ;

• оператор, продолжающий нулем функцию на lm, если lm ;

• оператор, действующий непрерывно из пространства C1,1([ai, T ]) i x x x E2+ +µt,1+x+µt( [0, T ]) в C,1(lm [ai, T ]) E2+ +µt,1+x+µt(lm i [0, T ]), если lm = и lm .

С учетом последней теоремы начально-краевая задача U(x, t) - xU(x, t) = F (x, t), x int (0, T ], t (6) U|x(0,T ] = , U|t=0,x = может быть заменена на операторное уравнение. Пусть Ui,j функции из про2+x,1+x 2+x,1+,1+x странства E0 (ij [0, T ]) при i 1 и E0 (2j [0, T ], ).

Решение задачи (6) ищется в виде суммы Ui,j на . Подстановка их в (6) дает следующие соотношения:

Ul,m + G m,k Ui,j(x, t) = G F (x, t), x lm, lm ;

lm lm k:lml+1,k i,j Ul,m + Ui,j(x) = l,m(x), x lm, lm ;

(i,j)=(l,m) Ui,j(x, 0) = 0, i,j (7) где l,m C0(lm) и сумма всех продолжений i,j на страт lm равна |x.

lm Далее доказывается, что замена дифференциальных уравнений на задачу (7) корректна, и, что однородная задача (7) имеет только тривиальное решение. В конце главы формулируется теорема, в которой доказываются разрешимость уравнения (6) в классическом смысле и оценки коэрцитивности.

Теорема 7. Пусть дано стратифицированное множество с непустой границей удовлетворяющее следующим условиям:

• все страты плоские и размерность каждого не превосходит 2;

• любые два страта могут быть соеденены прочной цепочкой стратов;

• если страт 1m такой, что 1j 2m, тогда 2m является замкнутой кривой, содержащей 1j, а кривая 2m \ 1j замкнутой не является.

Даны функции f C( [0, T ]), C( [0, T ]), C(), (x, 0) = (x), x .

Тогда первая краевая задача для уравнения теплопроводности с жестким оператором Лапласа U(x, t) - xU(x, t) = f(x, t), (x, t) int (0, T ], t U|(x,t)[0,T ] = , (8) U|(x,t){0} = ,, имеет единственное решение в F ( [0, T ], [0, T ]), 0 < < < и решение представляется в виде U = Ui,j + V, где i,j ,, • V F ( [0, T ], [0, T ]), V |t=0 = , 2+x+,1+ +x t t 2 • Ui,j C1,1(ij (0, T ]) E0 (ij [0, T ]), если i 1, ij , 2+x+,1+,1+ t+x t 2 • Ui,j C1,1(ij (0, T ]) E0 (ij [0, T ], ), если i = 2, ij , • Ui,j C0(ij [0, T ]), если ij , • Ui,j|t=0 = 0.

Функции Ui,j являются решением следующего операторного уравнения ( ) Ul,m(x, t) + Gl,m m,k Ui,j (x, t) = (x, t) lm [0, T ], k:l,klm i,j = (Gl,mf)(x, t), lm , (9) Ul,m(x, t) + Ui,j(x, t) = (x, t), x lm, lm , (i,j)=(l,m) и для решения U задачи (8) имеет место оценка норм ||U||C([0,T ]) M||||C([0,T ]) + N||f||C([0,T ]) + K||||C(), ||U|| Mk||||C([0,T ]) + Nk||f||C + K||||C(), i,j ([0,T ]) C2+x+ 2 t,1+ 2 t+x(Dk [ai,T ]) 2,j ||U||C (Bk [ai,T ]) Mk||||C([0,T ]) + Nk||f||C + K||||C(), 1+,([0,T ]) i,j 2,j где ai и множества Dk ij и Bk взяты из определений про2j x x странств E2+,1+x(ij) и E2+,1+,t+x(im, 1m ).

l ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Семенов С.Л. Разрешимость задачи Дирихле для уравнения Лапласа на двумерном стратифицированном множестве в классическом смысле./ С.Л. Семенов // Материалы конференции Воронежской зимней математической школы, Воронеж: ВГУ, 2011. — С.308.

2. Семенов С.Л. О свойствах решений начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности заданной на области с негладкой границей./С.Л. Семенов // Материалы конференции Воронежской весенней математической школы, Воронеж: ВГУ, 2011. — С.165.

3. Семенов С.Л. Разрешимость первой краевой задачи для уравнения теплопроводности на двумерном стратифицированном множестве в классическом смысле./С.Л. Семенов // Материалы IV международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования Воронеж: ВГУ, 2011.

— С.266.

4. Семенов С.Л. Разрешимость в классическом смысле задачи Пуассона для оператора Лапласа на двумерных стратифицированных множествах./ С.Л. Семенов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика.

Информатика, 2012. Т. 12 Вып. 1. — С. 38-52.

Работа [4] опубликована в журнале из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.