WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Горлов Владимир Александрович

О корректной разрешимости некоторых задач для эволюционных уравнений в обобщенных пространствах Степанова

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук

В О Р О Н Е Ж — 2012

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный консультант: доктор физико–математических наук, профессор Костин Владимир Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико–математических наук, профессор Каменский Михаил Игоревич доктор физико–математических наук профессор Родин Владимир Александрович

Ведущая организация: Южно-Уральский государственный университет

Защита состоится 21 февраля 2012г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан января 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.доктор ф.–м. наук, профессор Гликлих Ю.Е.

Актуальность темы. Исследование корректной разрешимости начальнокраевых задач для эволюционных уравнений является одной из актуальных проблем в современной математике. В приложениях к различным проблемам естествознания важную роль играют математические модели с нестационарными граничными условиями. Сюда, в частности, относятся задачи, возникающие в явлениях тепломассопереноса.

Понятие корректной постановки задач математической физики было введено Ж. Адамаром в связи с желанием выяснить, какие типы граничных условий наиболее естественны для различных типов дифференциальных уравнений.

Пусть F и U - метрические пространства с соответствующими метриками F и U. Согласно Адамару, задача определения решения u U уравнения Au = f, (1) где f F задано, называется корректно поставленной на паре метрических пространств (F, U), если выполняются условия:

1) для всякого f F существует u U решение уравнения (1);

2) решение определяется однозначно;

3) задача устойчива на пространствах (F, U), если для любого > 0 можно указать такое () > 0, что из неравенства F (f1, f2) () следует U(u1, u2) .

Обычно топологии определяются постановкой задачи и не могут выбираться произвольно.

В связи с этим возникает следующая проблема, связанная с выбором топологий в пространствах данных задачи F и решений U:

а) с одной стороны, желательно, чтобы эти топологии не зависели от оператора A. Например, в случае, когда A = A() - оператор зависящий от некоторого параметра , важно, чтобы область определения обратного оператора A-1() ( например, резольвенты R(, A) = (A - I)-1) была не зависящей от параметра ;

б) с другой стороны, хотелось бы иметь наиболее широкие пространства данной задачи F, при которых решение задачи остается в некотором "достаточно хорошем"классе U.

В диссертации рассматривается только тот случай, когда оператор A линейный, а пространства U и F банаховы. В этом случае для того чтобы линейная задача (1) была корректной в паре банаховых пространств (U, F ) необходимо и достаточно, чтобы существовал оператор R = A-1, действующий из F в U, причем область определения оператора D(R) совпадает с F и оператор R был ограниченным из F в U.

Отметим, что абстрактная теория полугрупп операторов была построена с целью изучения корректной разрешимости задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве.

При этом важным является вопрос о поведении полугруппы при t 0.

Решению проблем связанных с этим фактом посвящены многочисленные работы таких математиков как: А.Г. Баскаков - теория отношений;

Федоров В.Е., Свиридюк Г.А. - задача Коши для дифференциального уравнения неразрешенного относительного производной Lu = Au; Ю.Т.

Сильченко - уравнения с неплотно определенным оператором A.

Отметим, что полугрупповое свойство обеспечивает экспоненциальный рост решения, а, следовательно, и полугруппы U(t) при t , что позволяет к их исследованию применять преобразование Лапласа.

Однако существует обширный круг задач, в которых решение растет быстрее экспоненты. Для таких задач применение к исследованию преобразования невозможно. В тоже время к ним может быть применен другой метод - метод С.Г. Крейна.

Например, вопрос об устойчивости по начальным данным решения задачи:

u(t, x) 2u(t, x) =, 0 < x < , 0 < t < ; (2) t xu |x=0 = q(t); (3) x lim u(t, x) = 0; (4) x u(0, x) = 0, (5) а, следовательно, о ее корректной разрешимости сводится к указанию пространств функций, в которых оператор дробного интегрирования t 1 q(s)ds u(t, 0) = - (6) t - s является ограниченным.

Однако оператор заданный выражением (6) и определенный в классических пространствах Lp,(0, ) и C[0, ] со степенными весами (t) = (1 + t) не является ограниченным. И, следовательно, задача (2)-(5) в этих пространствах не является корректной.

С этой же точки зрения важны исследования и левого интеграла дробного интегрирования (I-f)(t) = (s - t)-1f(s)ds, > 0. (7) () t В связи с этим возникла задача поиска класса функциональных пространств отличных от экспоненциально-весовых. И, в частности, включающих в себя функции растущие или убывающие быстрее экспоненты.

В настоящей диссертации вводятся и изучаются весовые пространства естественным образом обобщающие и включающие классические пространства Lp, C[-,], Sp[0, ), а также пространства Sp,, введенные В.А. Костиным, А.В. Костиным, в которых операторы (6) и (7) ограничены. Что позволит показать корректную разрешимость задачи (2)-(5) в этих пространствах.

При исследовании корректной разрешимости различных задач приходится изучать возникающие интегральные операторы и вводить соответствующие пространства, в которых эти операторы ограниченно действуют.

В частности, с этой целью В.А. Костиным введены n-мерные пространства Степанова Sp,l(Rn), в которых исследовались полугруппа ГауссаВейрштрасса и оператор Лапласа.

В диссертации с целью изучения равномерной корректной разрешимости задачи Коши, используя подход С.М. Никольского и результаты, полученные В.А. Костиным для пространств Sp,l(Rn), вводятся и исследуются анизотропные пространства Степанова - множество локально интегрируемых на Rn функций, для которых имеет место норма fS = sup T (t)fL,Il.

p p,l tRn Цель работы. Основная цель диссертационной работы - исследование корректной разрешимости в новых функциональных классах с использованием методов исследования теории дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. С этой целью используется теория весовых пространств, теория сильно непрерывных полугрупп, метод С.Г.

Крейна.

Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы теории полугрупп,теории функций и функционального анализа, метод С.Г. Крейна, методы теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Введены весовые классы функций, содержащие классические пространства Степанова. Показана инвариантность относительно операции дробного интегрирования в этих пространствах.

2. Получена корректная разрешимость в весовых пространствах Степанова с надэкспоненциально растущими и подэкспоненциально убывающими весами некоторых нестационарных задач для уравнения теплопроводности с исходными данными не преобразуемыми по Лапласу.

3. Определен оператор Лапласа в анизотропных пространствах СоболеваСтепанова-Никольского и показано, что он является генератором C0полугруппы Гаусса-Вейерштрасса в анизотропных пространствах Степанова.

4. Доказана теорема о сильной непрерывности полугруппы ГауссаВейерштрасса в анизотропных пространствах Степанова.

5. Получена корректная разрешимость в анизотропных пространствах Степанова.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты, представленные в диссертации, могут найти применение при решении обширного круга задач, в частности, разнообразных моделей тепломассопереноса.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна (Воронеж, 20г.), Воронежской зимней математической школе - 2011 (Воронеж, 20г.), семинаре по глобальному и стохастическому анализу (ВГУ, 2010 г.), Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения - XII"(Воронеж, 2011 г.), семинаре ВГУ по нелинейному анализу (рук. проф. Ю.И. Сапронов).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 8 работах.Из совместных публикаций [2], [7] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [7] соответствует списку ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы из 51 наименования.

Общий объем диссертации — 94 стр.

Краткое содержание работы Первая глава содержит необходимые сведения из теории полугрупп операторов и дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.

В §1.6 приводится понятие решения задачи Коши dx(t) = Ax(t); (8) dt x(t0) = x0 D(A). (9) понятие корректности постановки задачи Коши, а также, что решение корректно поставленной задачи Коши (8)-(9) задается x(t) = U(t)x0 (x0 D(A)), (10) где U(t) - сильно непрерывная полугруппа операторов.

В §1.6.2, §1.6.3 приведены сведения о равномерной корректности задачи Коши и понятие ослабленного решения задачи Коши.

Основные результаты содержатся главах 2 и 3.

Вторая глава посвящена исследованию корректной разрешимости нестационарных задач в функциональных пространствах с надэкспоненциально растущими и подэкспоненциально убывающими весами некоторых нестационарных задач для уравнения теплопроводности с исходными данными не преобразуемыми по Лапласу.

В §2.1 вводятся классы весовых функций + и -:

Определение 1 Через +(0, ) = + обозначим множество положительных, монотонно возрастающих и дифференцируемых функций +(t), t (0, ), таких, что: а)(0) = 1, б) (0) > и для которых выполняется соотношение +(t)+(s) +(t + s). (11) Определение 2 Через - обозначим множество положительных, дифференцируемых и монотонно убывающих функций -(t), t (0, ) таких, что: а)(0) = 1; б)(0) < 0;

в) для которых выполняется соотношение -(t)-(s) -(t + s)(t, s 0). (12) Для этих классов получены оценки на интегралы дробного порядка Римана-Лиувилля t 1 |(I++)(t)| = (t - s)-1+(s)ds +(t), (13) () ((0)) 1 |(I--)(t)| = (s - t)-1-(s)ds |-(t)|, (14) () ((0)) t где + и - функции из классов + и - соответственно.

1 Заметим, что константы и в оценках (13) и (14) точные.

( (0)) | (0)| + Они достигаются, например, на функциях +(t) = et и -(t) = e-t.

В §2.3 для таким образом определенных весов вводятся соответствующие классы функций, содержащие классические пространства Степанова.

+ Определение 3 Через Sp,, обозначается множество локально интегрируемых по Лебегу функций f(t) на [0, ), для которых конечна норма t p + fS = sup[ e(s-t) |f(s)|pds], (15) p,, +(s) tгде + +, p [1, ).

Определение 4 Через Sp,, обозначается множество локально интегрируемых по Лебегу функций f(t) на [0, ), для которых конечна норма p fS- = sup[ e(t-s) |f(s)|pds], (16) p,, -(s) tt где - -, p [1, ).

Для введенных таким образом пространств доказывается теорема:

Теорема 1 Операторы дробного интегрирования I+ и I- заданные выражениями t (I+f)(t) = (t - s)-1f(s)ds, (17) () (I-f)(t) = (s - t)-1f(s)ds (18) () t + являются линейными и ограниченными в пространствах Sp,, и Sp,, соответственно.

Эти результаты в дальнейшем используются при исследовании корректной разрешимости некоторой нестационарной задачи. При этом вводятся более общие классы пространств.

+ Определение 5 Через Sp,, обозначим множество локально интегрируемых по Лебегу функций f(t) на (0, ), для которых конечна норма -1(µ+1) ((s)) p + fS = sup[ |f(s)|pds], p,, +((s)) µ>-1(µ) где + +, p [1, ), (s) = -1(s).

Определение 6 Через Sp,, обозначим множество локально интегрируемых по Лебегу функций f(t) на (0, ), для которых конечна норма -1(µ+1) ((s)) p fS- = sup[ |f(s)|pds], p,, -((s)) µ>-1(µ) где - -, p [1, ), (s) = -1(s).

И рассматривается задача о корректной разрешимости при t 0, x 0 следующего уравнения:

2u(t, x) u(t, x) = a(t), (19) x2 t где a(t) непрерывная при t > 0 положительная функция, которая может стремится к нулю или бесконечности как при t 0, так и при t , x 0.

Отметим, что подобная задача изучалась В.П. Глушко, но в ней на решение задачи накладывается условие гладкости данного решения при t = 0.

В настоящей диссертации рассматривается задача, в которой условие гладкости решения не требуется.

Ставится задача о нахождении значения решения уравнения (19) на границы раздела сред x = 0, т.е. u(t, 0), при выполнении следующих условий u(0, x) = 0; (20) lim u(t, x) = 0; (21) x u |x=0 = q(t); (22) x 0 < x < , t > 0, a(t) > 0.

Каким условиям должна удовлетворять функция q(t), чтобы эта задача была равномерно корректна в смысле однозначной разрешимости и устойчивости по исходным данным.

На этот вопрос отвечают следующие теоремы:

+ Теорема 2 Если q(t) Sp,,, то задача 2u(t, x) u(t, x) = a(t) ; (23) x2 t u(0, x) = 0; (24) lim u(t, x) = 0; (25) x u |x=0 = q(t); (26) x 0 < x < , t > 0, a(t) > равномерно корректна и ее решение представимо в виде 1 u(, 0) = ( - s)- (s)ds, (27) t d где (t) =, () = q(t()).

0 a() При этом справедлива оценка p + + uS qS. (28) p,, p,, (0) + Теорема 3 Если q(t) Sp,,, то задача 2u(t, x) u(t, x) = a(t) ; (29) x2 t u(0, x) = 0; (30) lim u(t, x) = 0; (31) x u |x=0 = q(t); (32) x 0 < x < , t > 0, a(t) > равномерно корректна и ее решение представимо в виде 1 u(, 0) = (s - )- (s)ds, (33) d где (t) =, () = q(t()).

t a() При этом справедлива оценка p uS- qS-. (34) p,, p,, | (0)| Третья глава посвящена изучению равномерной корректной разрешимости задачи Коши в анизотропных пространствах Степанова, введенных в данной главе с использованием подхода С.М. Никольского и результатов, полученных В.А. Костиным для пространств Sp,l(Rn).

Определение 7 Через Sp,l обозначим множество локально интегрируемых на Rn функций, для которых имеет место норма fS = sup T (t)fL,Il. (35) p p,l tRn и будем называть их анизотропные пространства Степанова.

Определение 8 Через Sp,l(Rn) обозначим множество локально интегрируемых на Rn функций f Sp,l(Rn), обладающих свойством непре рывности в целом:

lim f(x + h) - f(x)S (Rn) = 0.

p, l |h| и будем называть их анизотропные пространства Степанова класса Sp,l(Rn).

В §3.3 доказывается теорема о сильной непрерывности полугруппы Гаусса-Вейерштрасса:

Теорема 4 Операторы W (t), заданные выражением |x-s|4t (W (t))(x) = e- (s)ds (t > 0) (2 t)n Rn и условием W (0) = отображают пространства Sp,l(Rn) в себя и образуют сильно непрерывную сжимающую полугруппу в этих пространствах.

С целью показать, что оператор A, заданный дифференциальным выражением n 2u(t, x) u(t, x) = xi i=является генератором полугруппы класса C0 вводится и исследуется (l) новый класс функций W Sp,l(Rn).

(l) Определение 9 Через W Sp,l(Rn) обозначим множество локально суммируемых в Rn функций u(x) вместе со всеми производными до порядка l включительно и для которых конечна норма uW Sp,l(Rn) = sup TauW (Kn) = sup uW (Kn,a) (36) (l) (l) (l) p aRn aRn p и будем называть их анизотропные пространства Соболева-СтепановаНикольского.

После чего доказывается следующая теорема:

Теорема 5 Оператор , заданный дифференциальным выражением n 2u(x) u(x) = и областью определения D() = W Sp,l(Rn) явi=xi ляется генератором полугруппы Гаусса-Вейерштрасса в пространствах Sp,l(Rn).

Из полученных результатов формулируется теорема о корректной разрешимости задачи Коши:

Теорема 6 Задача Коши u(t, x) = xu(t, x), (37) t u(0, x) = (x), (38) равномерно корректна в пространствах Sp,l(Rn) и ее решение представимо в виде |x-s|4t u(t, x) = e- (s)ds.

(2 t)n Rn При этом справедлива оценка u(t, x)S ) S ). (39).

n n p,(R p,(R l l Публикации автора по теме диссертации [1] Горлов В.А. Интегралы дробного порядка в Lp, (Lp, ) / В.А. Гор+ лов // Материалы Воронежской весенней математической школы: Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения - XIIВоронеж : ВГУ, 2011, с. 54.

(m) [2] Горлов В.А. Пространства Sp (R) / В.А. Костин, В.А. Горлов // Математические модели и операторные уравнения. Сборник статей под ред. В.А. Костина и Ю.И. Сапронова. Т. 6. Воронеж: ВорГУ, 2009, с.

59-62.

[3] Горлов В.А. Анизотропные пространства Степанова класса Sp,l(Rn) / В.А. Горлов // Семинар по глобальному и стохастическому анализу (сборник научных статей). - Воронеж : ВорГУ, 2010. - Вып. 5, с. 37-42.

[4] Горлов В.А. Итерационные пространства Степанова в R1 и полугруппа Гаусса-Вейерштрасса / В.А. Горлов // Воронежская зимняя математическая школа-2010. - Воронеж : ВорГУ, - 2010, с. 46.

[5] Горлов В.А. Пространства Sp,l(Rn) и их полнота / В.А. Горлов // Воронежская зимняя математическая школа-2011. - Воронеж : ВорГУ, 2011, с. 92-93.

[6] Горлов В.А. Корректность задачи Коши в анизотропных простран ствах Степанова класса Sp,l(Rn) / В.А. Горлов // Математические модели и операторные уравнения. Сборник статей под ред. В.А. Костина и Ю.И. Сапронова. Т. 7. Воронеж: ВорГУ, 2011, с. 28-30.

[7] Горлов В.А. О двойственности анизотропных пространств Степанова и Никольского / В.А. Костин, А.В. Костин, В.А. Горлов // Доклады Академии Наук. - М., 2010. - Т. 435, ном. 6. - С. 736-739.

[8] Горлов В.А. Корректная разрешимость некоторых нестационарных задач в S-весовых пространствах Степанова с надэкспоненциально растущими и подэкспоненциально убывающими весами. Препринт №НИИМ ВГУ. Воронеж: изд-во ВорГУ. 2011. 13 с.

Работа [7] соответствует списку ВАК.







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.