WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


на правах рукописи Филюшина Елена Владимировна

НОВЫЕ РЕШ ЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВУМ ЕРНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ

Специальность 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск – 2012

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева» (СибГАУ) г. Красноярск

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Сенашов Сергей Иванович

Официальные оппоненты: Садовский Владимир М ихайлович доктор физико-математических наук, профессор, Институт вычислительной математики СО РАН, заместитель директора по научной работе Хромов Александр Игоревич доктор физико-математических наук, профессор, Самарский государственный аэрокосмический университет, заведующий кафедрой прочности летательных аппаратов Ведущая организация Новосибирский государственный технический университет, г. Новосибирск

Защита состоится «30» мая 2012 г. в 14 ч. на заседании диссертационного совета Д 212.249.04 при ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева» по адресу: 660014, г. Красноярск, проспект имени газеты «Красноярский рабочий», 31.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный аэрокосмический университет имени Академика М.Ф. Решетнева» Автореферат разослан « » апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук О.В. Гомонова ОБЩ АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность В настоящее время математическая теория пластичности является одной из хорошо разработанных частей механики деформируемого твердого тела. Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесятым годам XIX века и связаны с именами А. Треска, Б. Сен-Венана, М.Леви.

Система дифференциальных уравнений двумерной идеальной пластичности является важной основой, как для механиков, так и для инженеров, потому что служит моделью для расчета различных технологических процессов.

Систематическое исследование двумерных полей напряжений при пластическом состоянии было начато в 20-х годах XX века. В его основе лежит метод, основанный на изучении характеристик гиперболической системы пластичности. Эти характеристики, известные как линии скольжения, обладают рядом замечательных свойств и позволяют построить решения многих практических задач. Развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности связано с именами Г. Гейрингер, Г. Генки, В. Койтера, Е. Ли, А. Надаи, Е. Оната, В.

Прагера, Л. Прандтля, Р. Хилла и др. Вопросам и задачам теории идеальной пластичности, упругопластичности посвящены многочисленные работы отечественных авторов: Б.Д. Аннина, Г.И. Быковцева, Ю.Н.

Радаева, Д.Д. Ивлева, А.Ю. Ишлинского, Л.М. Качанова, Р.И. Непершина, В.В. Соколовского, С.А. Христиановича, А.И. Хромова, В.М. Садовского и др.

Однако до настоящего времени уравнения теории пластичности не исследованы в полной мере. Вся сложность заключается в нелинейности системы дифференциальных уравнений, как в двумерном, так и в пространственном случаях. Точные решения в замкнутом виде приведены в работах Л. Прандтля, А. Надаи, Д.Д. Ивлева, В.В. Соколовского, Б.Д.

Аннина, С.И. Сенашова и др.

Для системы двумерных уравнений пластичности известно несколько точных решений позволяющих анализировать механические процессы. Точные решения используются для тестирования численных методов; оценки надежности несущих конструкций и т.п. Поэтому каждое новое точное решение представляет несомненный теоретический и практический интерес.

Одним из современных методов поиска точных решений дифференциальных уравнений механики является групповой анализ, базой которого являются группы непрерывных преобразований (или точечные симметрии), допускаемые уравнениями. Симметрии позволяют искать различные виды решений, получать новые решения из известных и т.п. В данной работе продолжаются исследования в этом направлении, начатые Б.Д. Анниным, С.И. Сенашовым для двумерных уравнений идеальной пластичности.

Целью работы является построение новых точных решений уравнений анизотропной теории пластичности с применением методов группового анализа, а также использование законов сохранения для нахождения аналитического решения задачи о волне нагрузки в упругопластическом стержне.

М етодика исследования. В основу исследования положены: методы группового анализа, а также методы уравнений в частных производных.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

Основные элементы новизны в диссертации:

• предложена методика построения решений уравнений идеальной пластичности с помощью высших симметрий;

• найдены новые точные решения уравнений анизотропной пластичности в двумерном случае с помощью группы непрерывных преобразований;

• решена задача о распространении продольной плоской волны нагрузки в однородном полубесконечном упругопластическом стержне с помощью законов сохранения.

Теоретическое и практическое значение работы заключается в построении новых точных решений системы уравнений анизотропной пластической среды, которые найдут применение в теоретических и практических исследованиях при изучении поведения материалов при пластических деформациях, установлении законов деформирования материалов. Найденные решения могут быть использованы как тестовые при численных расчетах.

Апробация. Результаты, полученные в работе на разных этапах ее выполнения докладывались и обсуждались на:

1. LXV Международной конференции «Герценовские чтения-2012» (Санкт-Петербург, 2012 г.);

2. II Всероссийской конференции "Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций", посвященной 85-летию со дня рождения профессора О.В. Соснина (Новосибирск, 2011 г.);

3. XIV Международной научной конференции, имени академика М. Ф. Решетнева «Решетневские чтения» (Красноярск, 2010 г.);

Полученные результаты докладывались на научных семинарах СибГАУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять печатных работ. Из них две статьи в изданиях из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 67 наименований и занимает 129 страницы машинописного текста.

Для удобства ссылок, нумерация формул здесь соответствует нумерации, приводимой в диссертации.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖ АНИЕ РАБОТЫ Настоящая диссертационная работа посвящена построению новых решений нелинейных дифференциальных уравнений двумерной идеальной анизотропной пластичности методами группового анализа, а также использованию законов сохранения для нахождения аналитического решения задачи о волне нагрузки в упругопластическом стержне.

Во введении дано обоснование актуальности выбранной темы, приведен обзор работ по данной тематике и необходимые сведения о системе уравнений пластичности, дана краткая аннотация разделов диссертации.

В первой главе содержатся общие теоретические положения, необходимые для дальнейшего понимания диссертационной работы. Здесь приводятся сведения из группового анализа: формулируется понятие точечных и высших симметрий и способов их вычисления, вводятся понятия о законах сохранения, их свойствах и применении.

В § 1 второй главы приведены уравнения анизотропной теории пластичности и их свойства.

Система уравнений анизотропной теории пластичности в двумерном случае имеет вид:

x + = 0, x y (2.1) ( - ) x y 2 (2.2) + 4 = 4k.

1- c где ,, – компоненты тензора напряжения, 1- c = – параметр x y анизотропии*), k – предел текучести при сдвиге.

Во § 2 второй главы найдена группа непрерывных преобразований, допускаемых системой (2.1), (2.2) записанной виде:

- 2 cos 2 + sin 2 = 0, x x y (2.4) - 2 sin 2 - cos 2 = 0.

y x y Показано, что система (2.4) допускает алгебру Ли, порождаемую операторами:

X1 = x + y, X =, x y (2.42) X = x0 (, ) + y0 (, ), + x y где (x0, y0 ) – произвольное решение системы уравнений:

y y0 x - 2- cos2 + sin2 = 0, x0 y0 x - 2 sin2 + cos2 = 0.

В § 3 второй главы рассмотрены известные решения уравнений анизотропной пластичности и их свойства.

В § 4 второй главы найдены новые решения уравнений анизотропной теории пластичности.

Найдено инвариантное решение системы (2.4) вида (1- )sin 2 + Cf, 2 x = - - sin 2 + 2 Аy = cos 2 - 2 + Cg.

где C,Cg – произвольные постоянные.

f *) Хилл, Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл // М.: Гостехиздат, 1954. – 407 с.

Это решение является инвариантным решением относительно оператора X, построенного на основе решения (аналог решения + Прандтля) = -x + 2 1- y.

(2.44) y = cos2 На основе решения А1 аналогично построено новое решение системы (2.4) (1- )sin 2 + - 3 2 1 x = - sin2 + 6 - 2 sin2 + + cos2 - sin3 2 + sin3 2 + Cf, 6 А2 y = 2 cos2 - - 2 cos2 -2 sin2 - 4 cos2 + 1 + cos3 2 + cos2 - cos3 2 + Cg.

12 4 Из решений A, A, A можно построить комбинированное решение 0 1 вида: A0 + 1A1, A1 + 1A2 и так далее, где ,,..., 1,2,...n – 1 2 n произвольные постоянные. Таким образом, можно построить бесконечную серию решений уравнений системы (2.4). Этот процесс можно представить в виде «дерева» решений (рис. 28).

… АA0+1A1=B0 B0+1B2=C0 … … X+ … A0+2A2=BB0+2B1=C1 … AA1+3A2=B2 … X+ B1+3B2=C2 … X+ X+ A… … B3 BX+ … … C… … … … … … … … … Рисунок 28 – Дерево решений В § 5 второй главы построены характеристики решений уравнений анизотропной пластичности, найденных в § 4 второй главы.

Для решения А1 два семейства характеристик (x+, y+),(x-, y-) имеют вид:

2 x+ = -2( cos2 2 + sin2 2 d) - 2 sin2 cos2 2 + sin2 2 d + (1- )sin 2 + C1, + y+ = 2cos2 2 cos2 2 + sin2 2 d - 2 + С2, x- = -2( cos2 2 + sin2 2 d) + 2 sin2 2 cos2 2 + sin2 2 d + (1- )sin 2 + С3, + y- = -2cos2 2 cos2 2 + sin2 2 d - 2 + С4.

где C1,C2,C3,С4 – произвольные постоянные.

Например при = 0,5 характеристики решения А1 будут выглядеть следующим образом:

Характеристики (x-, y-) решения АХарактеристики (x+, y+) решения АДля решения А2 два семейства характеристик (x+, y+),(x-, y-) имеют вид:

3 x+ = - ( 2 cos2 2 + sin2 2 d) - 2 sin2( 2 cos2 2 + sin2 2 d) + (1- )sin 2 + - 1 + sin2 + cos2 - sin3 2 + sin3 2, 2 2 6 y+ = -cos2( cos2 2 + sin2 2 d) - 2 2 cos2 2 + sin2 2 d 1 1 - cos2 - sin2 - cos2 + cos3 2 + cos2 - cos3 2.

2 4 12 4 3 x- = ( 2 cos2 2 + sin2 2 d) - 2 sin2( 2 cos2 2 + sin2 2 d) + (1- )sin 2 + - 1 + sin2 + cos2 - sin3 2 + sin3 2, 2 2 6 y- = -cos2( cos2 2 + sin2 2 d) + 2 2 cos2 2 + sin2 2 d 1 1 - cos2 - sin2 - cos2 + cos3 2 + cos2 - cos3 2.

2 4 12 4 Решения А1, А2 можно использовать для анализа пластического состояния слоя, сжимаемого жесткой плитой.

В § 1 третьей главы рассмотрена высшая симметрия уравнений (3.1) вида:

y = - 1 , y 2 где x = x cos + y sin, y = -x sin + y cos, = -, = +, – 2k 2k инварианты Римана системы уравнений идеальной пластичности в плоском случае:

F1 = - 2k(cos2 + sin 2 ) = 0, x x y (3.1) F2 = - 2k(sin2 - cos2 ) = 0.

y x y В § 2 третьей главы рассмотрено действие высшей симметрии на решение Прандтля, описывающее сжатие пластического слоя жесткими плитами.

Показано что на данном решении высшая симметрия сводится к преобразованию вида x = x exp t, y = y expt, где t – непрерывный параметр.

Поэтому новых решений из решения Прандтля построить не удается.

В § 3 третьей главы рассмотрено действие высшей симметрии на решение Надаи, описывающее пластическое течение в плоском сходящемся канале. Оно имеет вид:

= -2kc ln r + k cos2 - kcln(c - cos2 ), rr = -2kc ln r - k cos 2 - kc ln(c - cos 2 ), = k sin 2, - = 2k cos 2 > 0, r r где – угол между первым главным направлением тензора напряжений и полярным радиусом.

Постоянная c связана с углом канала 2 соотношением:

c c + + = arctg, c > 0, 0 < < 4 2.

c -c2 -Тогда уравнение первого семейства характеристик этого решения имеют вид - (c1 + )S ( ), y(,c1)= xT( ).

-x(,c1)= exp c 2 где S( ) = c + cT ( ) + sin 2[1 - T ( )]- 2T( )cos 2, c -1 c2 - T( )= tg + - arctg tg ( + ).

4 c + 1 c Здесь с1 – постоянная, определяющая характеристику, (0, ) – параметр.

В этом случае уравнение преобразованных характеристик первого семейства решения Надаи под действием симметрий , будут иметь вид 1 ( - ) x(,, c1) = x(, c1) exp- d, 4 2 - 1 ( - ) y(,, c1) = y(, c1) exp- d.

4 2 - Аналогично выписываются преобразованные характеристики и второго семейства. Предварительные компьютерные расчеты показывают, что в этом случае высшая симметрия дает новое решение.

В § 1 четвертой главы рассмотрен процесс распространения пластических деформаций в полубесконечном упругопластическом стержне, вызванных приложенной к концу стержня динамической нагрузкой p(t), неубывающей во времени (т.е. dp / dt 0 ); рассмотрен простейший случай распространения волн нагружения в однородном полубесконечном стержне, находившемся в начальный момент в невозмущенном состоянии.

В пластической области напряженно деформированное состояние стержня описывается уравнением v =, t x v 2 = , (4.14) t x - =, 0 < < 1.

где = – компонента тензора напряжений, v – скорость частиц среды xx вдоль оси 0x, – плотность, далее полагаем что =1, – постоянная, 2 2 ( )= – скорость распространения продольных волн в стержне.

В § 2 четвертой главы для уравнений (4.14) построена бесконечная система законов сохранения вида:

x A + B = 0, (4.15*) y где A,B произвольные решения системы уравнений:

A B + = 0, (4.16) A B - + = 0.

Используя законы сохранения (4.16), найдено аналитическое решение задачи о волне нагрузки в упругопластическом стержне.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Основные результаты диссертационного исследования:

• предложен метод построения решений уравнений идеальной пластичности с помощью высших симметрий, построены новые решения;

• найдены некоторые новые точные решения, которые являются аналогами точных решений в изотропном случае, с помощью группы непрерывных преобразований, допускаемой системой уравнений анизотропной пластичности в двумерном случае;

• с помощью законов сохранения решена задача о распространении продольной плоской волны нагрузки в однородном полубесконечном упругопластическом стержне.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах.

Публикации в журналах из перечня ВАК:

1. Филюшина, Е.В. Преобразование точных решений уравнений пластичности высшими симметриями / С.И. Сенашов, Е.В. Филюшина // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева – 2011/ – Т. 4 (37). – C.90-92.

2. Филюшина, Е.В. Некоторые точные решения уравнений анизотропной теории пластичности / С.И. Сенашов, Е.В. Филюшина // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева – 2011/ – Т. 5 (38). – C.92-95.

Прочие публикации по теме диссертационного исследования:

3. Филюшина, Е.В. Законы сохранения и их использование для решения задач пластичности / С.И. Сенашов, Е.В. Филюшина //Решетневские чтения: материалы XIV Междунар. науч. конф., имени академика М. Ф. Решетнева / Сиб. гос. аэрокосм. ун-т. – Красноярск, 2010.

– Ч.2. – С. 649-64. Филюшина, Е.В. Аналитические решения задачи о волне нагрузки в упругопластическом стержне / С.И. Сенашов, Е.В. Филюшина // Динамика сплошной среды. Вып. 127 — Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 2012.

5. Филюшина, Е.В. Новые точные решения уравнений анизотропной теории пластичности / С.И. Сенашов, Е.В. Филюшина, О.В.

Гомонова // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения-2012 г. – СПб.:БАН, 2012. – С. 103-1 Филюшина Елена Владимировна Новые решения уравнений двумерной анизотропной пластичности Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Подписано в печать Заказ № Формат 6084/16. Усл. печ. л.. Тираж 100 экз.

Отпечатано в отделе копировально-множительной техники СибГАУ 660014, г. Красноярск, пр. им. газеты «Красноярский рабочий»,







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.