WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

МЕДВЕДСКИЙ АЛЕКСАНДР ЛЕОНИДОВИЧ

НЕСТАЦИОНАРНЫЙ КОНТАКТ СТРУКТУРНО-НЕОДНОРОДНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ

Специальность 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва – 2012

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» на факультете «Прикладная механика».

Научный консультант: Тарлаковский Дмитрий Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Солдатенков Иван Алексеевич, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, ведущий научный сотрудник Учреждения Российской академии наук Института проблем механики им.

А.Ю. Ишлинского РАН Димитриенко Юрий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана Пшеничнов Сергей Геннадиевич, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, ведущий научный сотрудник Научно исследовательского института механики МГУ им. М.В. Ломоносова

Ведущая организация: ФГБУН Институт машиноведения им.

А.А. Благонравова Российской академии наук (ИМАШ РАН)

Защита состоится «26» сентября 2012 г. в 1500 часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.05 при ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» по адресу: 125993, г. Москва, Волоколамское шоссе, д. 4, МАИ.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»

Автореферат разослан «____» _______ 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Федотенков Г.В.

Общая характеристика работы

Современная техника предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам элементов конструкций, уменьшению их веса и размеров, что приводит к необходимости создания новых методов расчета, наиболее полно и адекватно учитывающих свойства реальных материалов. За последние годы это обстоятельство заметно усилило внимание исследователей к динамическим задачам теории упругости неоднородных тел.

При этом различают кусочно-однородные тела, у которых указанные функции являются кусочно-постоянными, и упругие тела с непрерывной неоднородностью. Задачи второго класса в настоящее время являются наименее исследованными, так как с математической точки зрения они сводятся к интегрированию систем дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных) с переменными коэффициентами. Согласно установившейся терминологии, среды такого типа называют функционально - градиентными.

Другой тип неоднородности возникает в процессе нестационарного контактного взаимодействия деформируемых тел. Этот тип неоднородности связан с различием физико-механических характеристик взаимодействующих тел, зависимостью граничных условий от времени и, в общем случае, многосвязанностью области контакта.

В настоящей работе дана математическая постановка, разработаны и реализованы методы решения задач о нестационарном контакте неоднородных упругих тел для различных типов структурной неоднородности. Построены решения задач о дифракции акустических и упругих волн на препятствиях сферической и цилиндрической формы, материал которых является функциональноградиентным по радиальной координате, а также обладает трансверсально изотропным типом анизотропии. Для неоднородных тел указанной формы и абсолютно жесткого полупространства решены нестационарные контактные задачи при начальных временах взаимодействия. Также построены решения нестационарных контактных задач для абсолютно твердых ударников, неоднородность которых связана с наличием «несовершенств», и однородного изотропного полупространства.

Актуальность темы. Различные аспекты постановки и решения задач о нестационарном взаимодействии сред и систем изложены в работах Григолюка Э.И., Горшкова А.Г., Тарлаковского Д.В., Поручикова В.Б., Гузя А.Н., Кубенко В.Д., Бабаешко В.А., Замышляева Б.В., Яковлева Ю.С., Слепяна Л.И., Сагомоняна А.Я., Перцева А.К., Мнева Е.Н., Векслера Н.Д., Толоконникова Л.А., Сеймова В.М., Джонсона К., Александрова В.М., Галина Л.И., Бураго Н.Г., Баженова В.Г., Кондаурова В.И., Robinson A.R, Thompson J.C., Stradter J.T., Kukuchi N., Oden J.T., Felippa C.A., Mindlin R.D., Bleeich H.H., Haywood J.H., Belytschko T.

Как показывают результаты проведенного анализа публикаций, в настоящее время наименее исследованными являются задачи нестационарной динамики деформируемых сплошных сред, обладающих различными видами структурной неоднородности.

Актуальность работы также связана с необходимостью разработки и развития новых подходов к численно-аналитическим методам решения задач о нестационарном взаимодействии упругих тел, связанных со снижением размерности задачи за счет использования интегральных соотношений на контактных границах. В практическом плане актуальность исследований определяется потребностями различных отраслей промышленности в создании методик расчета напряженно-деформированного состояния и прогнозирования свойств элементов конструкции, изготовленных из перспективных функциональноградиентных материалов при высокоинтенсивных воздействиях различной природы.

Развитие средств вычислительной техники и специализированных программных комплексов компьютерной алгебры стимулирует создание новых методов решения нестационарного взаимодействия структурно-неоднородных сред и конструкций. Использование общей теории фундаментальных решений для линейных дифференциальных операторов, которыми описываются модели механики сплошной среды, позволяет построить ряд новых решений в соответствующем классе начально-краевых задач.

Разработка таких методов направлена на развитие, с одной стороны, фундаментальной науки, а с другой стороны стимулируется такими наукоемкими отраслями промышленности как авиационно - космическая, атомная, энергетика и др.

Целью работы является 1. Математическая постановка задачи о нестационарном контакте структурно-неоднородных упругих тел, обладающих функционально-градиентным типом неоднородности материала, а также геометрическими неоднородностями, связанными с несовершенствами граничной контактной поверхности.

2. Развитие метода решения задач нестационарного взаимодействия структурно-неоднородных сред и систем, описываемых линейными дифференциальными операторами, основанного на использовании поверхностных функций влияния.

3. Решение нового класса задач о дифракции нестационарных упругих и акустических волн на функционально-градиентном трансверсально изотропном включении сферической и цилиндрической формы при различных условиях на контактирующих поверхностях.

4. Решение новых внешних и внутренних задач о дифракции упругих и акустических волн на радиально-неоднородном включении со сферической и цилиндрической границей.

5. Исследование динамики неоднородного трансверсально изотропного упругого шара, а также однородного шара (цилиндра) при ударе по абсолютно жесткому полупространству на сверхзвуковом этапе взаимодействия.

6. Исследование динамики абсолютно твердого тела, имеющего геометрические неоднородности (несовершенства), при взаимодействии с упругим полупространством в условиях жесткого сцепления и многосвязности области контакта (плоская задача).

7. Построение на базе метода поверхностных функций влияния системы функциональных уравнений для плоской нестационарной контактной задачи с многосвязной областью контакта на произвольном этапе взаимодействия. Решение с использованием этой системы задач об ударе по поверхности полупространства эллиптического ударника и ударника с несовершенствами, направляющая которого имеет немонотонную кривизну.

Научную новизну работы составляют следующие результаты:

1. Развитие и обобщение метода решения задач нестационарного взаимодействия структурно-неоднородных упругих тел, основанного на методе поверхностных функций влияния.

2. Решение на базе разработанного метода новых внешних и внутренних нестационарных задач о дифракции упругих и акустических волн на функционально-градиентных трансверсально изотропных включениях сферической и цилиндрической формы с радиальным типом неоднородности.

3. Решение новых нестационарных контактных задач для неоднородного трансверсально изотропного шара (цилиндра) и абсолютно жесткого полупространства при малых временах взаимодействия.

4. Разработка и реализация численно-аналитического метода решения плоских нестационарных контактных задач для абсолютно твердого ударника с геометрическими неоднородностями (несовершенствами) и однородного упругого изотропного полупространства, основанного на использовании поверхностных функций влияния.

5. Построение на базе разработанного метода решений задач о нестационарном взаимодействии упругого полупространства и эллиптического ударника, а также ударника с несовершенствами, направляющая которого имеет немонотонную кривизну.

Практическая значимость. Полученные в работе результаты и разработанные алгоритмы могут быть использованы в различных отраслях промышленности с целью создания методик расчета напряженно-деформированного состояния и прогнозирования свойств элементов конструкции, изготовленных из перспективных функционально-градиентных материалов при высокоинтенсивных воздействиях различной природы.

Методы исследования. В основу работы положен аппарат поверхностных функций влияния для нестационарных операторов, описывающих динамику сплошных сред в рамках линейных моделей. Указанный подход позволяет получить интегральные соотношения на граничных поверхностях и тем самым снизить «размерность» задачи. Для решения полученных интегральных уравнений, а также начально-краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных с граничными условиями интегрального вида используются проекционные методы.

Достоверность полученных результатов обеспечивается математически строгой и физически корректной постановкой задач, применением апробированных математических методов, классических постановок задач теорий упругости и механики жидкости. Полученные результаты в частных случаях полностью совпадают с известными результатами других авторов и не противоречат имеющимся физическим представлениям.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Всесоюзной научной конференции «Импульсные процессы в механике сплошных сред» (г. Николаев, 1994 г.); Всесоюзной научной конференции «Моделирование и исследование устойчивости систем» (г. Киев,1995 г.); Международной конференции «Modeling and investigation of system stability.

Mechanical systems» (Kiev, 1997 г.); Международной научно-практической конференции «Проблемы безопасности на транспорте» (г. Гомель, 1997); Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы развития транспортных систем» (г. Гомель, 1998 г.); Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (г. Москва, 2002 г.); EUROMECH Colloquium 434 «Contact Mechanics of Coated Bodies» (г. Москва, 2002 г.); Международной конференции «Полимерные композиты» (г. Гомель, 2003 г.); V Международной научной школы-семинара «Импульсные процессы в механике сплошных сред», (г. Николаев, 2003); Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященная 80-летию со дня рождения профессора Л.А.Толоконникова, (г. Тула, 2003); 3-й Международной конференции «Авиация и космонавтика-2004» (г. Москва, 2004 г.); Академических чтениях по космонавтике «Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики» (г.

Москва, 2005); XXI Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (г. Санкт Петербург, 2005 г.); XXII Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов» (г. Санкт Петербург, 2007 г.); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (г. Нижний Новгород, 2006 г.); 5-ой Международной конференции «Авиация и космонавтика-2006» (г. Москва, 2006 г.);

I- XVIII Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 1995 - 2012 г.г.);

на научных семинарах кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин» Московского авиационного института (государственного технического университета); на научном семинаре кафедры «Механика деформируемого твердого тела» Саратовского государственного технического университета; на научном семинаре Института прикладной механики РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 36 работ, в том числе научных статей в изданиях, рекомендуемых Перечнем ВАК при Министерстве образования и науки РФ для опубликования результатов докторских диссертаций, а также 1 монография.

Результаты диссертационной работы вошли в цикл работ «Динамические контактные задачи», за которые автору в составе коллектива присуждена Государственная премия Российской Федерации в области науки и техники за 20год.

На различных этапах работа поддерживалась грантами РФФИ (коды проектов № 93-01-16508-а, № 96-01-01083-а, № 99-01-00255-а, № 00-01-81198-Бел, № 02-01-00374-а, № 03-01-00422-а, № 03-01-96658-р, № 05-01-00042-а, № 0508-01214-а, № 05-08-01497-а, № 06-01-00525-а, № 06-08-00436-а, № 07-0112066-офи, № 07-01-13520-офи_ц, № 07-01-96417-р_центр_а, №09-01-00731-а).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников, включающего 298 наименований. Общий объем диссертации составляет 269 страниц.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы основные цели, задачи и научная новизна, а также представлены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации приводится операторная постановка задач нестационарного взаимодействия сплошных сред.

Рассматривается движение системы материальных тел G, занимающих геометрические области G 3 1,2. В частном случае область G1 может быть полуограниченной, при этом G2 G1.

В начальный момент времени t 0 тела G контактируют друг с другом, по крайней мере, в одной точке (рис. 1.1). Ограничимся рассмотрением линейных задач:

L() u() 0, L() w() 0, T T (1.1) w() w() u().

T Здесь w() - вектор перемеще ния точек тела G, w() - вектор пеT ремещения точек тела G как абсолютно твердого, u() - вектор перемещения за счет деформации сплошной среды, L() - операторы, T Рис. 1.описывающее движение среды, как абсолютно твердого тела, а операторы L() зависят от модели среды.

Операторы L() определяются уравнением движения центра масс и вращеT нием тела вокруг центра масс. Для рассматриваемых в работе моделей сплошных сред L() являются линейными дифференциальными операторами относительно вектора u() (параметр опущен) L M A, t (1.2) 2n j j ( j A , M diag i mm, A aij) .

A mm j Здесь - криволинейные координаты, связанные с телом, а количество неизвестных m и определяющее порядок дифференциальных операторов число n зависят от модели.

Контакт осуществляется как по всей поверхности одного из тел G2, погру женного в сплошную среду G1 (задачи дифракции), так и по части границ тел G1 G2 (контактные задачи). В рамках линейного приближения граничные условия задачи формулируются на недеформируемых граничных поверхностях тел T с векторами внешней нормали ().

К первому классу, в частности, относятся задачи о дифракции нестацио нарных упругих и акустических волн на теле G2, в этом случае 1T 2T T.

В работе рассматриваются два типа краевых условий, реализуемых на границе T.

1) свободное проскальзывание:

w(1), T w(2), T, (1) (2), (1) (2) 0; (1.3) T T T T T T 2) абсолютно жесткое сцепление w(1) w(2), (1) (2), (1) (2). (1.4) T T T T T T Во втором классе задач граница области контакта определяется условием геометрического пересечения недеформируемых, но подвижных поверхностей T, при этом контактирующие поверхности могут воспринимать только сжимающие напряжения, а граничные условия ставятся на поверхности *, граница которой определяется так:

* : U(1) r(1) U(2) r(2), M * () 0. (1.5) c y c y Рассматривается два типа граничных условий в области контакта: свободное проскальзывание и абсолютно жесткое сцепление.

На не контактирующих поверхностях T \ * граничных поверхно стей тел G заданы либо кинематические связи, либо внешние поверхностные нагрузки:

w w0, p q0. (1.6) В результате постановка начально-краевой задачи взаимодействия материальных тел имеет следующий вид (для краткости номер среды опущен):

Lu f, (1,2,3)G, t 0, (1.7) u u 1, 2, (1.8) tt tn j j ( j u g, t 0, B , B bij) . (1.9) B G mm В случае полуограниченности области G к граничным условиям (1.9) необходимо добавить условия ограниченности решения на бесконечности:

ui O(1), r , r r, i 1,m. (1.10) Далее в работе рассмотрена трансверсально изотропная неоднородная упругая среда с криволинейным (сферическим или цилиндрическим) типом анизотропии. Причем предполагается, модули упругости материала зависят только от одной криволинейной координаты r, а коэффициенты Пуассона предполагаются постоянными:

E E(1), G G(1), E1 E1(1), G1 G1(1), (1.11) const, 1 const, 2 const.

Здесь E1,G1 - модуль упругости первого и второго родов в трансверсальном направлении, E,G - модуль упругости в направлении поверхности изотропии, - коэффициент Пуассона, характеризующий поперечное обжатие в плоскости изотропии, при растяжении в этой плоскости, 1,2 - коэффициент Пуассона, характеризующий поперечное обжатие при растяжении в трансверсальном направлении.

Уравнения движения неоднородной упругой среды относительно компонент вектора перемещений W в сферической системе координат для осесимметричного случая имеют вид:

2W T LW , L Lij 22, W ur,u, (1.12) где 2ur E1 ur 1 E G1 2ur L11 ur E1 E1 E1 2 , ur r2 r r r r r2 1 2u 3G1 E u L12 u E1 G1 E1 2, r 1 r r r r (1.13) 1 2ur 1 E G1 ur G L21 ur E1 G1 2, 1 r r r r r r 2u E 2u G1 u 2 GG G L22 u G1 .

1 u r2 r2 r r r2 1 r Аналогичные по структуре уравнения движения получены для случая цилиндрической анизотропии (плоская задача).

Для описания динамики однородной изотропной упругой среды используются волновые уравнения относительно потенциалов и :

2 2 2 c1 , c2. (1.14) t2 tЗдесь c1,c2 - скорости распространения волн растяжения-сжатия и формоизменения соответственно, а оператор определяется выбором криволинейной системы координат.

Частным случаем упругой однородной изотропной среды является акустическая среда, также рассмотренная в работе. Уравнения ее движения также представляются волновым уравнением относительно потенциала a вектора скорости va :

2a a c2a , p , va grada, (1.15) t2 t где с - скорость распространения акустических волн в жидкости, p - давление.

Решение задач в сферической и цилиндрической системах координат строится с использованием метода неполного разделения переменных Фурье по полной системе функций fkn() k r,. Для этого искомые функции в сфе рической системе координат представляются в виде разложений по ортогональным полиномам Лежандра P cos и Гегенбауэра Cn2 cos, а в цилинд n рической системе координат используется полная система экспоненциальных функций ein.

После отделения угловой координаты уравнения движения трансверсально изотропной неоднородной упругой среды представляются в виде системы уравнения в частных производных первого порядка относительно векторов Un, n0 0 :

Un Un R r M r Un 0, (1.16) n n r T U0 u10 u30 u50, u20 u40 u60 0, T Un u1n u2n u3n u4n u5n u6n, n , urn (1.17) u1n urn, u2n un, u3n , u n urn u n u4n , u5n , u6n , r r (0) R0 r rij r, M0 r , m r ij 33 (1.18) (n) R r rij r, M r mijn r n.

n n 66Здесь ненулевые компоненты матриц R r и M r зависят от модулей упру n n гости и коэффициентов Пуассона материала и их производных по пространственной координате r.

Уравнения движения однородной упругой изотропной среды после отделения переменной будут иметь вид ( m 0 - цилиндрическая система координат, m 1 - сферическая система координат):

2n 2n 2 m 1 n(n m) 2 с1 n, с2 n, . (1.19) nm 2 nm 2 nm r2 r r rВ случае формулировки начально-краевой задачи относительно коэффициентов рядов в ортогональных системах собственных функций fkn() соответствующие начальные и граничные условия формулируются с использованием коэффициентов разложений в соответствующие ряды начальных и краевых условий.

Для неоднородной трансверсально изотропной среды начальные условия формулируются для системы уравнений в частных производных первого порядка (1.16) в следующем виде Un 0 U(0), n0;

n T U(0) u(0),v(0),w(0), (1.20) 0 r 0 r0 r T ( ( ( ( ( ( U(0) ur0),u0),vr0),v0),wr0),w0), n.

n 0 0 0 0 0 Начальные условия для однородных упругих сред формулируются относительно потенциалов n и n :

n t0 n10, n t0 n20, (1.21) n t0 n10, n t0 n20. (1.22) В случае акустической среды начальные условия сводятся к соотношениям (1.21) относительно потенциала вектора скорости.

Граничные условия для упругой однородной и неоднородной сред формулируются либо в кинематическом ukn rR0 wkn0, (1.23) либо в динамическом виде rkn rR0 qkn0. (1.24) Для акустической среды на границе расчетной области r R0 задается или нормальная к границе компонента вектора скорости vkn rR0 vkn0, (1.25) или давление pn rR0 pn0. (1.26) Коэффициенты разложений нагрузки hkn0 k r, определяются разло жениями по ортогональным системам функций fkn() в сферической и цилиндрической системах координат:

(hk 0, fkn ()) hkn0 , k r,. (1.27) fkn () В работе также используются линеаризованные уравнения плоскопараллельного движения абсолютно твердого тела в плоскости Ox1x2, которые имеют вид:

mU R1, mU R2, J3y M, (1.28) c1 c2 yгде m, J3 - масса и момент инерции тела относительно оси O1y3 связанной системы координат O1y1y2 y3, Uci - координаты центра масс O1 в неподвижной системе координат Ox1x2x3, Ri и M - компоненты главного вектора и главного yмомента сил, действующих на тело.

Во второй главе развит метод использования поверхностных функций влияния операторов механики деформируемого твердого тела в задачах о нестационарном взаимодействии.

Поверхностные фундаментальные решения Gi x,t;, определяются из решения следующих задач:

Gi L Gi 0, Gi 0, 0, Gi hi, (2.1) t t tгде компоненты вектора hi определяются так hij ijG (x ,t ), kj - символы Кронекера, G (z) - дельта-функция Дирака, сосредоточенная на G.

Компоненты тензора напряжения ( G) (1,2,t) 3k (1,2,t) (2.2),ki 3 0 являются поверхностными функциями влияния первого рода для упругого тела G, если на границе тела выполняются следующие краевые условия:

k u ki(1)(2)(). (2.3) Поверхностными функциями влияния второго рода являются компоненты вектора перемещения на поверхности ( k Gu)(1,2,t) u(1,2,3,t), (2.4),ki 3 0 удовлетворяющие краевым условиям:

3k ki(1)(2)(). (2.5) Далее показано, что введение поверхностных функций влияния ( ( ( G), Gu), для упругого тела, а также функций G(), Gav,) для акустической,kl,kl p i среды позволяет сформулировать начально-краевую задачу только для тела G со специальным типом краевых условий, содержащих интегральный оператор типа свертки, и тем самым понизить размерность решаемой задачи нестационарного взаимодействия.

Случай несмешанных краевых условий. К данному классу относятся задачи дифракции, в которых влияние массовых сил мало, а в начальный момент времени среды находятся в невозмущенном состоянии. Взаимодействие сред описывается следующей начально-краевой задачей:

u() ( (2) u(2) (2) u*2) .(2.6) L() u() 0, u() 0, 0, (1) u(1) t t t В работе получены варианты начально-краевых задач для тела G1 с ис пользованием поверхностных функций влияния для тела G2.

1) Жесткое сцепление упругих сред. Начально-краевая задача для тела Gимеет вид:

u(1) L(1) u(1) 0, u(1) 0, 0, tt (2.7) tk k (2) 3i 3i u1 (,t) u*2(,t) Gu,ki(,t) (,t) *2(,t).

2) Свободное проскальзывание упругих сред. Граничные условия в задаче (1.25) преобразуются к виду:

3 3 ( 33 33 u1 (,t) u*2 (,t) Gu2) (,t) (,t) *2 (,t), 1 j 0, j 1,2.(2.8), 3) Абсолютно твердое тело G1, помещенное в акустическую среду G2. За дача Коши для тела G1 :

(1) L(1) U(1),Vc(1),(1),(1) f R(1),M(1), T c (2.9) U(1) U0, Vc(1) V0, (1) 0, (1) 0, c t0 t0 t0 t(1) F(1) p r(1), n(1) dS, M(1) p r(1),,n(1) dS, (2.10) r p(,t) p*2(,t) p12(,t) p22(,t), (2.11) p12(,t) Gp(,t) v*2(,t), p22(,t) Gp(,t) V3(1).

Здесь p12 соответствует давлению отражения от неподвижного абсолютно твердого тела G1, а p22 - давление излучения, связанное с движением тела G1.

Случай смешанных краевых условий. К данному классу относятся зада чи контактного взаимодействия двух тел G1 и G2. В работе получены системы функциональных уравнений, описывающие упругое поведение тела G1.

1) Жесткое сцепление контактирующих тел. Система функциональных уравнений для тела G1 имеет вид:

- уравнения движения (1) L(1) u(1) 0, L(1) U(1),Vc(1),(1),(1) f (R(1),M(1)), (2.12) T c - начальные условия u(1) u(1) 0, 0, (2.13) tt t(1) U(1) U(1), V(1) V(1), (1) (1), (1) 0, c c0 c c0 t0 t0 t0 t- граничные условия на контактной поверхности (2)(t) :

u t i 3i u20(1,2,t) G(2) (1 1,2 2,t )10(1,2,t)d, (2.14) 2 2 u,ki 2 2 2 2 2 d ( 2) (t ) u - граничные условия на поверхности 2 \ (2)(t), имеющие кинематичеu ский или силовой вид (1.6);

- кинематические соотношения i (1) (2) (1) j (1) (2) (2) (2) ( u20 Uck pki (1) ckj p(2) u10qkj cki Uck pki (2)dki2), i 1,2,3; (2.15) k ji k - связь векторов главного вектора R(1) и момента M(1), действующих на аб солютно твердое тело G1, с контактными напряжениями:

3 R(1) 1 j(1)э3dS, M(1) 1 j(1) r1,э3 dS, (2.16) j j y ( ( 2) (t ) u2) (t) u а также кинематических соотношений (1.5), определяющих контактную поверхность (2)(t).

u Динамика тела G2 при этом описывается уравнениями движения абсолютно твердого тела и соответствующими начальными условиями:

(2) L(2) U(2),Vc(2),(2),(2) f (R(2),M(2)), (2.17) T c U(2) U(2), V(2) V(2), (2) (2), (2) (2), (2.18) c c0 c c0 0 t0 t0 t0 tR(2) R(1), M(2) M(1). (2.19) Таким образом, отпадает необходимость в решении начально-краевой задачи для оператора L(2) u(2) 0.

2) Свободное проскальзывание контактирующих тел. Интегральное представление (2.14) примет вид:

t 3 u20(1,2,t) G(2) (1 1,2 2,t )10(1,2,t)d, (2.20) 2 2 u,33 2 2 2 2 2 d ( 2) (t ) u а в (2.15) надо положить i 3. При этом, также как и в случае жесткого сцепления, необходимость в решении задачи для оператора L(2) u(2) 0 отпадает.

Далее рассмотрены частные случаи взаимодействия контактирующих тел.

А) Контактная задача для абсолютно твердого тела G1 (u(1) 0) и упругого неподвижного тела G2 (U(2) 0 ).

c Б) Удар упругим телом G1 по неподвижной абсолютно твердой преграде G (U(2) 0, u(2) 0 ).

c Таким образом, использование граничных функций влияния для тела G в нестационарных контактных задачах избавляет от необходимости решать начально-краевую задачу для оператора L() u() 0 и тем самым снижает раз мерность решаемой задачи.

В главе также с использованием интегрального преобразования Лапласа по времени построены поверхностные функции влияния для упругого пространства с полостью и шара в сферической системе координат, а также для аналогичных задач в цилиндрической системе координат.

В третьей главе получены решения нестационарных задач о дифракции упругих (акустических) волн на неоднородной трансверсально изотропной сфере (цилиндре). Решение задачи строится с использованием общего метода применения поверхностных функций влияния в задачах дифракции, изложенного в Рис. 3.главе 2.

Исследуется дифракция нестационарных волн на упругом неоднородном трансверсально изотропном включении сферической или цилиндрической формы с внутренним радиусом r2 и внешним r1 R, окруженным и заполненным упругими однородными изотропными средами с разными характеристиками.

Задача решается в осесимметричной постановке для сферического включения и в цилиндрической системе координат для цилиндра (плоская задача). Внешняя среда характеризуется параметрами Ламе 1,1 и плотностью 1, а внутренняя - 2,2 и 2. В акустическом случае среды характеризуются соответствующими плотностями i и скоростями звука ci Материал рассматриваемого толстостенного препятствия является неоднородным и функционально-градиентным.

Предполагается, что упругие характеристики материала зависят от радиальной координаты r.

В начальный момент времени вся система находится в невозмущенном состоянии. Фронт волны, распространяющейся во внешней среде, в начальный момент времени 0 касается точки сферы A. Рассматриваются внешние и внутренние задачи о дифракции нестационарных сферических или плоских волн (рис. 3.1).

Задача решается в безразмерной постановке методом разложения решений в ряды по угловой координате . Постановка задачи относительно коэффициентов рядов дается следующими соотношениями:

- уравнения движения неоднородного трансверсально изотропного препятствия Un Un R r M r Un 0, (3.1) n n r - уравнения движения внешней и внутренней однородных изотропных упругих сред (сферическое препятствие) 2i 2 i i 2i n n n1 n сi2 n, r2 r r r2 1 (3.2) 2i 2 i i 2i n n n1 n сi2 n.

r2 r r r2 2 - граничные условия относительно коэффициентов разложений:

i miu*i urn urn rri, (3.3) rn rri rri mi*i i rr n rri, i 1,2, rr n rri rr n rri mi*i i rn rri ki miu*i ui un.

rn n n rri rn rri rri - начальные условия для уравнений (3.1)-(3.2) являются однородными:

i i n n i 0, i 0, i 1,2, (3.4) n n 0 0 urn un urn 0 un 0 0, 0.

0 - условия ограниченности решения:

1(r,) O 1, 1(r,) O 1, r , (3.5) n n 2(r,) O 1, 2(r,) O 1, r 0.

n n Аналогично по структуре уравнения движения получаются в случае акустических сред.

Поверхностные функции влияния для однородной изотропной упругой (акустической) среды в сферической и цилиндрической системах координат позволяют свести задачу о дифракции к следующей начально-краевой задаче с граничными условиями интегрального типа:

Un Un R r M r Un 0, (3.6) n n r Un 0 0, n 0 , (3.7) Mi A ri Un ri, Cmn ri Un ri,i B ri, Un ri, P ri,. (3.8) n m n n mЗдесь B ri, - матрица, содержащая граничные функции влияния для внеш n ней и внутренней сред; символом обозначена покомпонентная свертка функций по времени. Конкретный вид матриц A ri, B ri,, Cmn ri и вектора n n P ri, определяется типом граничных условий задачи.

n Для решения начально-краевой задачи (3.6) – (3.8) разработана конечнообъемная схема типа Куранта - Изаксона – Риса (номер члена ряда n далее опущен).

wk1 wk K Wj1 2 Wj1 2 hD wk 0, j 2, M 1, j j j j j 1 k Wm1 2 wk wk Sm wk wm1, m m1 m 2 (3.9) S diag sign1 x,...,sign3n x , m m m xj, D D xj, j j где L r w L r U, U R r w, D r r M r L R r. (3.10) r Здесь R r - матрица, составленная из правых собственных векторов матрицы R r, а k r k 1,...,3n соответствующие собственные значения матрицы.

Для определения граничных значений векторов wk1 m 1, M на k 1 слое m по времени получена система линейных алгебраических уравнений:

H wk1 Fk, m m m C Qm m k k k H m , Fk , P1k 1w1 K1 wk w1 hD1w1, (3.11) m E Pk m m k PM M wk KM wk wk hDMwk.

M M M 1 M Построенная конечно-разностная схема (3.9) с аппроксимацией граничных условий (3.11) имеет первый порядок аппроксимации по пространственной и временной координатам O hx h при условии, что для вычисления интегра l лов используют квадратурные формулы Ньютона-Котеса порядка O h, l 1.

Исследование устойчивости схемы методом спектрального анализа приводит к условиям вида C max Ck r 1 Ck r Kk r, k 1,n, (3.12) k1,n r 1, где k r - собственные значения матрицы R r.

В качестве тестовой рассматривалась задача о радиальных колебаниях неоднородной сферы с внутренним радиусом rи внешним r1 R 1, находящейся в неограниченной акустической среде с параметрами a и ca и нагруженной внутренним давлением p* . При степенном ти пе неоднородности методами интегральных преобразований ЛапРис. 3.ласа по времени построено аналитическое решение задачи при малых временах взаимодействия. Эта же задача при произвольных временах решена численным методом с использованием конечно-объемной схемы (3.9) – (3.11).

На рисунке 3.2. показана зависимость радиального напряжения rr ,1 на поверхности контакта упругой ( a 0,5; 0,36 ; 2 0,1) и акустической (1 0,22, c1 1,98) сред при действии скачка давления p* H на внут ренней поверхности сферы r2 1 2 при удержании различного количества N членов ряда в асимптотическом разложении решения.

Сплошной линией показаны результаты расчета с помощью разработанной конечно-разностной схемы (C 0,95 ) с удержанием 20 членов ряда. На рисунке четко прослеживается волновой характер нестационарного процесса. С течением времени напряжения затухают, что объясняется демпфирующими свойствами неограниченной акустической среды.

С использованием разработанного алгоритма решен новый класс задач о дифракции упругих и акустических волн на неоднородном сферическом или цилиндрическом препятствиях при различных законах изменения жесткостных параметров включения по радиальной координате. В частности, рассмотрена задача для неоднородной трансверсально изотропной сферы, заполненной упругой средой с параметрами 2, 2, 2. Содержащая сферу среда также является однородной изотропной упругой с параметрами 1, 1, 1. Предполагается, что на границах раздела упругих сред r ri i 1,2 реализуются условия жесткого сцепления. В качестве внешнего воздействия рассматривалась плоская волна напряжения амплитуды p*. В таблице 3.1 приведены безразмерные физикомеханические характеристики материалов исследуемой системы. Параметры внешней среды соответствуют алюминию, а внутренней – свинцу. Свойства материала неоднородной сферы близки к физико-механическим характеристикам вольфрама. Неоднородность свойств материала сферы принималась в виде:

E1 r E r G1 r rk, k . (3.13) Таблица 3.Внешняя Внутренняя сре- Неоднородная сфера среда да 1 1 1 2 2 2 E1 1 GE 0,25 0,12 0,14 0,58 0,46 0,62 1 0,5 0,25 0,28 0,2 Расчет проводился на конечно-разностной сетке с шагом по пространству h 0,005 и числом Куранта C 0,95. Для вычисления интегральных операторов использовались квадратуры метода трапеции. Результаты расчетов задачи о дифракции плоской волны ( p* 1, параметр неоднородности k 3 2 ) приведены на рисунках 3.3 – 3.4. В расчетах удерживалось 15 членов рядов по полиномам Лежандра. На рисунках 3.3 – 3.4 представлены пространственные распределения интенсивности напряжений is r,,. На графиках четко прослежи вается волновой характер процесса распространения возмущений по неоднородной сфере. Максимальный уровень интенсивности достигается в сечении сферы, соответствующему полюсу 0 при 2, что соответствует момен ту охвата внешней волны сферического включения.

Рис. 3.3. Интенсивность напряжений Рис. 3.4. Интенсивность напряжений is 0,5 is С использованием разработанного подхода решены также внутренние задачи о дифракции сферических волн на неоднородной сфере. Рассмотрена неоднородная трансверсальноизотропная сфера с внутренним радиусом r2, заполненную однородной изотропной средой с параметрами 2, 2, и 2. Внешняя поверхность r 1 сферы свободна от нагрузки, а на внутренней r r2 реализуются условия жесткого сцепления упругих Рис. 3.сред. В качестве внешнего воздействия рассматривается источник сферических волн, лежащий на расстоянии d r2 на оси симметрии Ox1 (рис. 3.5). В начальный момент времени 0 фронт сферической волны касается внутренней поверхности сферы в точка A. Давление на фронте волны в момент касания равно p*. Физико-механические характеристики внутренней среды соответствуют свинцу (см. таблицу 3.1). В результате решения задачи проанализировано влияние степенного параметра k неоднородности материала вида (3.13) k 5 2,5 2. Источник возмущения располагается на расстоянии d 0,3.

При расчетах удерживалось 20 членов ряда по полиномам Лежандра, шаг конечно-разностной сетки h 0,005, число Куранта C 0,93.

Результаты расчетов показывают, что максимальный уровень интенсивности напряжений при рассмотренных временах взаимодействия локализуется в окрестности точки A, причем в отличие от дифракции плоской волны максимальный уровень is достигается в начальные моменты времени. На рисунке 3.– 3.7 показано распределение пиковых значений is при параметрах неоднородности k 5 2, k 0 (k 0 соответствует однородному материалу).

Рис. 3.6. Интенсивность на- Рис. 3.7. Интенсивность напря пряжений is ( 0,1; k 2,5) жений is ( 0,1; k 0) На рисунках 3.8 – 3.11 представлены результаты решения задачи о дифракции упругих волн на трансверсально изотропном цилиндре, изготовленном из функционально-градиентного материала со следующим законом изменения жесткостных параметров:

1 1 E1 r E10e r1, E r E0e r1, G1 r G10e r1, const, (3.14) k 1,2; k .

На границах раздела упругих сред r Ri i 1,2 реализованы условия же сткого сцепления. В качестве внешнего воздействия рассматривалась плоская волна напряжения амплитуды 0 1, параметры неоднородности принимались равными 1 0,8; 2 0,6.

Параметры внешней среды соответствуют стали E 2,11011Па; 0,33; 7800кг м3, а внутренней – алюминию E 0,7 1011Па; 0,34; 2700кг м3. Свойства материала неоднородного цилиндра близки к физико-механическим характеристикам цинка, обладающего в общем случае гексагональной симметрией свойств ( E1 0,82 1011Па;

E1 0,311011Па; G1 0,181011Па; 1 0,21; 0,27 7800кг м3 ). В таблице 3.2 приведены безразмерные параметры упругих сред.

Таблица 3.Внешняя среда Внутренняя среда Неоднородный цилиндр 1 1 1 2 2 2 E10 E0 1 G0,68 0,23 1,1 0,43 0,17 0,34 1 0,38 0,27 0,22 0,2 Расчет проводился для цилиндра с безразмерным внутренним радиусом R2 0,2 на конечно-разностной сетке с шагом по пространству h 0,001 и числом Куранта C 0,94. В расчетах удерживалось 20 членов ряда по экспоненциальной системе функций. На рисунках 3.8 – 3.11 представлены пространственные распределения интенсивности напряжений is r,, в моменты вре мени 0,5 (рис. 3.8), 1,5 (рис. 3.9), 2,5 (рис. 3.10) и 3,5 (рис. 3.11).

В отличие от неоднородной сферы при экспоненциальном законе изменения жесткостных параметров, максимальный уровень интенсивности напряжений не реализуется в сечении цилиндра, соответствующему полюсу 0.

Рис. 3.8. Интенсивность напря- Рис. 3.9. Интенсивность напряжежений is 0,5 ний is 1, Рис. 3.10. Интенсивность напря- Рис. 3.11. Интенсивность напряжений is 2,5 жений is 3, В четвертой главе диссертации рассмотрены задачи о вертикальном ударе упругим неоднородным (однородным) ударником в форме шара или цилиндра по абсолютно жесткому полупространству. Для упругого шара задача решается в осесимметричной постановке, для цилиндрического ударника - в плоской постановке.

В начальный момент времени 0 упругий шар (цилиндр) радиуса R0 1 касается абсолютно жесткого полупространства x1 0 в точке O прямоугольной декартовой системы координатOx1x2x3 (рис. 4.1).

Предполагается, что материал ударника явРис. 4.ляется сферически трансверсально изотропным и функционально-градиентным.

В момент времени 0 все точки ударника имеют начальную скорость v V0e1.

В процессе внедрения на упругий ударник действует внешняя нагрузка R R e1 и результирующая контактных напряжений R Riei.

e e Динамика ударника, как абсолютно твердого тела, описывается задачей Коши относительно глубины погружения:

mh R R, h(0) 0, h(0) V0. (4.1) e Для сферического ударника задача решается в осесимметричной постановке в сферической системе координат, связанной с центром шара. Выражение для результирующей контактных напряжений определяется так:

* () R() 2 rr cos r sin sin d. (4.2) rПри этом область контакта в первом приближении определяется из геометрических условий:

() (,)2 | ,, 0,*(), h() 1 cos*(). (4.3) Упругое деформирование неоднородного ударника описывается в следующей начально-краевой задачей:

2W T LW , L Lij 22, W ur,u, (4.4) ur 0 u 0 0, ur 0 V0 cos, u 0 V0 sin , (4.5) при этом рассматриваются два типа смешанных граничных условий.

Задача 1 (свободное проскальзывание):

rr r1 0, 0,*, ur r1 u0(,), 0,*, r r1 0, 0,, (4.6) ur ,r, O 1, u ,r, O 1, r 0.

Задача 2 (жесткое сцепление):

ur r1 u0(,), u r1 v0(,), 0,*, rr r1 r r1 0, 0,*, (4.7) ur ,r, O 1, u ,r, O 1, r 0.

В случае однородного изотропного ударника изменения коснуться уравнений упругой части задачи (4.4), которые заменяются на соотношения (1.14).

Для ударников, ограниченных гладкими поверхностями, вводится сверхзвуковой этап взаимодействия, при котором скорость расширения границы области контакта больше максимальной скорости распространения возмущений c1 в упругой среды. В этом случае граничные условия контактных задач (4.6), (4.7), носят несмешанный характер. В частности, для упругого шара в задаче они имеют вид:

ur r1 u0(,), u r1 v0(,), 0,*, ur r1 u r1 0, 0,*, (4.8) ur ,r, O 1, u ,r, O 1, r 0.

Решение задачи (4.4), (4.5), (4.8) строится методом неполного разделения переменных по угловой координате , причем для контактной силы R() (4.2) справедливо:

4 R() rr1 2r1 r1. (4.9) Здесь rr1, r1 - коэффициенты разложений соответствующих компонент тензора напряжений в ряды по полиномам Лежандра и Гегенбауэра при n 1.

Поэтому достаточно ограничиться следующей начально-краевой задачей для коэффициентов рядов, соответствующих n 1.

U U R r M r U 0, r (4.10) T U u1, u2, u3, u4, u5, u6, ;

u3 0 V0, u4 0 V0, u1 0 u2 0 u5 u6 0 0, (4.11) Задача 1 (свободное проскальзывание):

(1) A1U(,1) P0 (*), BU(,0) 0, (4.12) (1) (1) ( A1 (ai(1) )26, P0 (*) ( p1 (*), p21) (*))T.

j Задача 2 (жесткое сцепление):

(2) A2U(,1) P0 (*), BU(,0) 0, (4.13) (1) (2) ( ( A2 (aij )26, P0 (*) ( p12)(*), p22)(*))T.

Начальная задача Коши для неоднородного шара как абсолютно твердого тела имеет вид:

y F(,y,U), y(0) y0, (4.14) где T y y() y1(), y2(), y0 y10, y20 T, F f1(y), f2(, y,U), (4.15) y1() h(), y2() h(), y10 0, y20 V0, f1(y) y2, f2(, y,U) R () SU(,1).

e Решение задачи (4.15) строиться с использованием модифицированной схемы Эйлера второго порядка с расчетом шагов «прогноз-коррекция» для упругой части задачи (4.10), (4.11), (4.12) или (4.13) по конечно-объемной схеме (3.9) – (3.11):

В процессе расчета проводится контроль скорости расширения границы области контакта *, которая вычисляется по следующей формуле:

h * c* max(ci(r)). (4.16) h(2 h) i1,2; r[0,1] С использованием разработанного подхода был решен ряд задач об ударе неоднородным упругим шаром по абсолютно жесткому полупространству. На рисунках 4.2 и 4.3 приведены результаты расчета контактной задачи для шара, свойства материала которого близка к цинку (см. Таблицу 3.2), а жесткостные параметры меняются по экспоненциальному закону (3.14) ( 1 2 0,5). Начальная скорость шара равнялась V0 0,05 внешняя силовая нагрузка R 0. На e рисунках сплошная линия на рисунках соответствует случаю свободного проскальзывания, а штриховая – жесткому сцеплению контактирующих тел. Задача решалась с помощью разработанного численного метода решения с адаптивным шагом интегрирования по временной координате h и числе Куранта C 0,95 Решение оценивалось по норме сеточных функций до достижения погрешности 104 :

n n h h /2 max hh hh /2 . (4.17) n На рисунке 4.2 и 4.3 представлены временные зависимости границы облас ти контакта *() и скорости границы области контакта *(). Расчеты показывают, что тип граничных условий задачи влияет на длительность сверхзвукового участка взаимодействия. В частности, в случае жесткого сцепления длительность сверхзвукового этапа сокращается, причем этот вывод справедлив и для других законов неоднородности материала: полиномиального, однородного ударника.

Рис. 4.2. Временная зависимость гра- Рис. 4.3. Временная зависимость ницы области контакта *() скорости границы области контак та *() Для однородного изотропного ударника решение задачи строиться с использованием метода поверхностных функций влияния. В этом случае контакт(k ( ные напряжения i0 )() (k )(1,) с помощью функций влияния Gijk )() и ri Fi(k )() представляются в следующем виде (i, j r, ):

(1) (1) (1) () u01() Grr () V0F (), r0 r ( (2) (2) (2)() u01() Grr2) () v01() Gr () V0F (), (4.18) r 0 r ((2) () u01() Gr(2) () v01() G)() V0F(2) ().

0 В итоге задача динамики упругого шара сведена к нелинейному интегродифференциальному уравнению с соответствующими начальными условиями h f h,h yi h(t) Gi ( t)dt R () V0r(), h(0) 0, h(0) V0, (4.19) e 4 iдля решения которой разработан численный алгоритм, основанный на методе сеток.

Решение задачи для упругого цилиндра строится с использованием аналогичного подхода, путем разложения решения для упругой части задачи в комплексные ряды Фурье. В итоге получено интегро-дифференциальное уравнение, описывающее динамику цилиндра, по структуре совпадающее с выражением (4.19).

С использованием разработанного метода решен ряд новых задач об ударе однородным изотропным упругим шаром (цилиндром) по абсолютно жесткому полупространству. На рисунках 4.4 – 4.5 приведены результаты решения контактной задачи для стального шара ( 1,87; 0,428) при начальной скорости внедрения V0 0,05 и значению внешней силы R 0 (сплошная линия - своe бодное проскальзывание, штриховая – жесткое сцепление).

На рисунке 4.4 представлена зависимость скорости изменения границы об ласти контакта *(), которые подтверждает наличие сверхзвукового участка в контактной задаче ( *() 1). Как следует из рисунка 4.4, учет жесткого сцепления приводит к уменьшению длительности сверхзвукового этапа взаимодействия.

Рис. 4.4 Рис. 4.На рисунке 4.5 изображена глубина погружения шара h(). Как следует из графика, на сверхзвуковом участке взаимодействия и шар внедряется практически равномерно.

Пятая глава диссертации посвящена нестационарным контактным задачам для упругого однородного изотропного полупространства и абсолютно твердого ударника, имеющего геометрические «несовершенства», в рамках плоской задачи теории упругости (рис. 5.1).

Движение ударника описывается системой уравнений плоскопараллельного движения абсолютно твердого тела с соответствующими начальными условиями:

mVc R R, J M M, Uc Vc, , e e (5.1) U U0, V V0, 0, 0, 0 0 0 (5.2) где Uc и - вектор перемещения центра масс Рис. 5.и угол поворота ударника вокруг центра масс;

R, M, и R, M - соответственно погонные внешние и контактные силы и моe e менты, действующие на тело.

Движение упругой полуплоскости описывается начально-краевой задачей относительно потенциалов и 2 2 2 2 , 2, (5.3) 2 2 2 x1 x2 x1 x 0, (5.4) 0 0 0 причем рассматриваются два типа краевых условий:

Задача 1 (свободное проскальзование):

u1 x1, x2, u10 x2,, x2 , x111 x1, x2, 0, x2 , (5.5) x112 x1, x2, 0, x2 .

x1Задача 2 (жесткое сцепление):

uj x1, x2, u x2,, x2 , jx1 (5.6) 1 j x1, x2, 0, x2 , ( j 1,2).

x1На бесконечности среда находится в невозмущенном состоянии:

r, r, O 1, r , r2 xixi. (5.7) Вследствие линейности задачи, граничные условия сносятся на невозмущенную поверхность полупространства 10, причем граница области контакта определяется из геометрического пересечения двух недеформированных поверхностей: неподвижной 10 и подвижной T 2T. В общем случае область контакта является многосвязной.

n i i () i(), i() b1(),b2(), i (5.8) i bi ()Ox2 g 0,bi (), 0, j 1,2.

j j Связь uj0 x2, с кинематическими параметрами ударника имеет вид u10 x2, Uc1 1()cos 2()sin , (5.9) u20 x2, U2 1()sin 2()cos x2.

Замыкает задачу связь результирующих реакций полупространства R и M с контактными напряжениями x2, :

jn n i i Rj R , M0() M (), j i1 ii (5.10) b2 Ri , d, M Uc,R,e3 M0 , j 1,2, j j i b1 i b2 i M0 10 , d, x2, 1 j x1, x2,.

j x1i b1 В задаче об ударе гладким абсолютно жестким ударником по упругой полуплоскости также выделяется сверхзвуковой этап, соответствующий временам взаимодействия, для которых bmin min bi c1 (рис. 5.1). Для данного j i, j этапа взаимодействия в случае жесткого сцепления контактирующих тел показано, что кинематические параметры ударника определяются без предварительного нахождения контактных напряжений из решения задачи Коши для системы квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:

, (0) 0, (5.11) T U1,V1,U2,V2,,, () (1,...6)T, 1 V1, 2 m1 R Sx Uc2 Vc1 S 3 V2, 4 m1 R 1 Uc1 Vc2 S e1 e3 , , 5 , 6 I 2Uc2 Vc1 Sx Uc2 Uc2 V1 1Uc1 Uc1 Vc2 S e M Jx3 , где S, Sx и Jx - площадь, статический момент и момент инерции области кон3 такта относительно оси Ox3.

С использованием указанного подхода рассмотрен сверхзвуковой этап внедрения ударника, радиус-вектор направляющей L которого представляется в следующем виде:

r() r0() ()n, (5.12) где r0, n - радиус-вектор и единичная нормаль к базисной кривой, () - возмущения базисной кривой, учитывающие в первом приближении «шероховатость» ударника.

Для параметризации кривой (5.12) и вычисления массово-геометрических характеристик ударника использовалась аппроксимация кривой L Всплайнами.

Рис. 5. Рис. 5.В качестве примера рассмотрен ударник с базовой направляющей в виде эллипса с эксцентриситетом e и возмущением в виде периодической функции () 0 sin n.

На рисунках 5.2 – 5.3. изображен ударник ( e 0,99; 0 0,01; n 20 ) в момент касания поверхности полупространства ( 1,871), а также временная зависимость области контакта, которая является двусвязной. Расчеты проводились при следующих начальных условиях V10 0,005;V20 0 0; 0 00 и значениях внешней нагрузки R 0,1; R M 0.

e1 e2 e В главе также рассмотрены задачи о наклонном внедрении ударника при различных значениях эксцентриситета e и возмущениях базовой кривой ().

Показано, что существенное влияние на кинематику ударника оказывает эксцентриситет e. Уменьшение последнего приводит к тому, что скорость изменения как продольной V2 (штриховая линия на рис. 5.4), так и поперечной скорости V1 (сплошная линия на рис. 5.4) снижается, при этом растет угловая скорость вращения (рис. 5.5).

Рис. 5.4 Рис. 5.На дозвуковом участке внедрения ударника контактная задача сведена к системе функциональных уравнений (СФУ), содержащий сингулярный интегральный оператор L(ij), ядром которого являются поверхностные функции s влияния для упругой полуплоскости Fij(x2,).

wi L(ij), s j L(ij) (x , t)(,t)ddt, s ij F D (i, j 1,2);

(5.13) где wi - компоненты вектора перемещений точек поверхности полупространства под ударником, - контактные напряжения, j D - пространственно-временная многосвязная область контакта.

Для решения СФУ используется численный метод, основанный на конечномерной аппроксимации пространственновременной области контакта D (рис. 5.6), модифицированный для решения задач с многосвязной областью контакта. В итоге получена явная разностная схема первого порядка точности по пространственной и временной координатам:

n nU1 U1 hV1n1, n Bn Un C1Yn, nm Wnm U3 CnYnm Xm, (5.14) Рис. 5.6. Пространственноnm Sn1,m h1Wnm, временная область контакта DV1n V1n1 hM Tn Tn.

e n Здесь U1, V1n - вектор положения и скоростей центра масс ударника на n -ом шаге по времени, Bn - вектор границ области контакта, Wnm - вектор перемещений точек полупространства под ударником, nm - вектор контактных напряжений.

С использованием разработанной конечно-разностной схемы решена задача о скользящем внедрении ( 0 0; V10 V20 0,001; 0; R R 0,01;

e1 eM 0) в стальное полупространство ( 1,871) абсолютно твердого ударника e с базовой направляющей в виде эллипса (e 0,99; 0 0,005; n 10 ). На рисунке 5.7 изображена многосвязная пространственно-временная область контакта D, а на рисунке 5.8 – временная зависимость минимальной скорости расширения границы области контакта bmin.

Рис. 5.7 Рис. 5.Рисунки 5.9 – 5.10 отражают кинематику движения ударника (сплошные линии – жесткое сцепление, штриховые – свободное проскальзывание). Учет жесткого сцепления приводит к снижению абсолютных значений компонент вектора скорости, причем наибольшее влияние оказывается на движение ударника, нормальное к поверхности полупространства.

Рис. 5.9 Рис. 5.Распределение нормальных и касательных напряжений под ударником для подобласти D1 представлено на рисунках 5.11-5.12. Анализ результатов решения показывает, что в условиях жесткого сцепления происходит существенный m рост касательных напряжений в окрестности границы областей контакта b2.

Аналогичный эффект наблюдается и для нормальных напряжений для областей контакта D2,..., D6, образующихся в процессе взаимодействия ударника и полупространства.

Рис. 5.11 Рис. 5.Основные выводы и результаты 1. Дана математическая постановка задачи о нестационарном контакте структурно-неоднородных упругих тел, обладающих функциональноградиентным типом неоднородности материала, а также геометрическими неоднородностями, связанными с несовершенствами граничной контактной поверхности.

2. Развит и обобщен метод решения задач о нестационарном взаимодействии структурно-неоднородных упругих тел, описываемых линейными дифференциальными операторами, основанный на использовании поверхностных функций влияния. Доказана эффективность применяемого подхода в динамических задачах механики деформируемого твердого тела за счет существенного снижения размерности решаемых задач.

3. На основе разработанного метода решен новый класс задач о дифракции нестационарных упругих и акустических волн на неоднородном трансверсально изотропном включении сферической и цилиндрической формы при различных условиях на контактирующих поверхностях. В том числе построены решения внешней задачи о дифракции плоской упругой волны на упругом шаре, внутренней задачи о дифракции упругой сферической волны на неоднородном шаре, помещенном в акустическую среду, а также внешней задачи о дифракции плоской упругой и акустической волн на неоднородном цилиндре.

4. На сверхзвуковом этапе взаимодействия исследована динамика однородного изотропного упругого шара (цилиндра) при ударе по абсолютно жесткому полупространству. На основе метода поверхностных функций влияния получено нелинейное интегро-дифференциальное уравнение относительно смещения центра масс ударника как абсолютно твердого тела и построена конечно-разностная процедура решения уравнения.

5. Метод поверхностных функций влияния реализован в задаче определения кинематических параметров ударника на сверхзвуковом этапе взаимодействия абсолютно твердого тела, имеющего геометрические неоднородности в виде несовершенств, при взаимодействии с упругим полупространством в условиях жесткого сцепления и многосвязности области контакта.

6. На базе метода поверхностных функций влияния построена система функциональных уравнений для плоской нестационарной контактной задачи с многосвязной областью контакта для упругой полуплоскости и абсолютно твердого ударника с несовершенствами на произвольном этапе взаимодействия.

С использованием этой системы решены задачи об ударе по поверхности упругого полупространства эллиптического ударника и ударника с несовершенствами, направляющая которого имеет немонотонную кривизну.

7. Построено аналитическое решение задачи о радиальных колебаниях трансверсально изотропной радиально-неоднородной сферы с упругими константами, изменяющимися по полиномиальному закону, при малых временах взаимодействия.

8. Исследована динамика неоднородного трансверсально изотропного упругого шара при ударе по абсолютно жесткому полупространству на сверхзвуковом этапе взаимодействия.

Основные публикации по теме диссертации Публикации в изданиях, рекомендованных Перечнем ВАК 1. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Влияние граничных условий на параметры нестационарной контактной задачи // Изв. РАН.

МТТ.- 1993.- №3.- С. 133-143.

2. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Наклонный удар абсолютно твердого цилиндра по упругому полупространству // Изв. РАН.

МТТ.-1994.- № 1.- С. 27-37.

3. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Нестационарные контактные задачи с подвижными границами для деформируемого тела и полупространства // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2000. - № 3. - С.

41–45.

4. Бригадирова Т.Е., Медведский А.Л. Дифракция гармонических упругих волн на неоднородной трансверсально-изотропной сфере// Механика композиционных материалов и конструкций. -2006. – Т.12, №4. - С. 530540.

5. Бригадирова Т.Е., Медведский А.Л. Дифракция нестационарной акустической волны на неоднородной трансверсально-изотропной полой сфере// Механика композиционных материалов и конструкций. – 2007. - Т.13, №1. - С. 119-130.

6. Медведский А.Л. Задача о дифракции нестационарных упругих волн на неоднородной трансверсально изотропной сфере// Механика композиционных материалов и конструкций. – 2008. - Т.14, №3. - С. 473 – 489.

7. Медведский А.Л. Сверхзвуковой этап взаимодействия упругого однородного изотропного шара и абсолютно жесткой преграды// Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2009. - №2 (38), вып. 1, 2009, С. 38-49.

8. Медведский А.Л. Динамика неоднородной трансверсально-изотропной сферы в акустической среде// Вестник МАИ. – 2010. - Т. 17, № 1. - С. 1– 186.

9. Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Плоская нестационарная задача о взаимодействии твердого ударника с несовершенствами и упругого полупространства// Электронный журнал «Труды МАИ».- 2011.- Вып. 48, www.mai.ru/science/trudy/.

10. Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Нестационарный контакт недеформируемого ударника с несовершенствами и упругой полуплоскости на сверхзвуковом участке внедрения// Вестник МАИ. - 2011.- Т. 18, № 6. - С.

125–132.

Монографии 11. Медведский А.Л., Рабинский Л.Н. Метод поверхностных функций влияния в нестационарных задачах дифракции. - М.: Изд-во МАИ, 2007. – 2с.: ил.

Публикации в других изданиях 12. Горшков А.Г., Коровайцев А.А., Медведский А.Л. Алгоритмизация решения динамической осесимметричной контактной задачи с подвижными границами// Материалы 5 Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред».— М.: Графросс, 1999. — С. 11–12.

13. Коровайцев А.А., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Нестационарное кинематическое возбуждение упругого полупространства с расширяющейся площадкой контакта// Тезисы докладов 2 Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред».— Москва: 1996. — С. 67–68.

14. Медведский А.Л. Использование интегральных операторов в нестационарных задачах механики деформируемого твердого тела// IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов.(Нижний Новгород, 22 - 28 августа 2006).— Т. 3. — Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского, 2006. — С.

144.

15. Бригадирова Т.Е., Медведский А.Л. Дифракция плоской нестационарной акустической волны давления на неоднородном трансверсальноизотропном шаре// Материалы XII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». Избранные доклады.— М.: МАИ, 2006.— С. 24–34.

16. Бригадирова Т.Е., Медведский А.Л. Дифракция нестационарных упругих волн на неоднородном сферическом включении// Материалы XIII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред им. А.Г. Горшкова». Избранные доклады.— М.: МАИ, 2007.— С. 58–76.

17. Бригадирова Т.Е., Медведский А.Л. Осесимметричная задача динамики для неоднородной трансверсально-изотропной сферы// Материалы XI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред».— М. :Изд-во МАИ, 2005.— Т. 2.— С. 8–16.

18. Медведский А.Л. Движение неоднородной трансверсально изотропной полой сферы в акустической среде / А.Л. Медведский, Т.Е. Бригадирова // Материалы XIV Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.

Горшкова.— М.: Изд-во МАИ, 2008.— Т. 1.— С. 49–50.

19. Бригадирова Т.Е., Медведский А.Л. Дифракция упругих волн на неоднородном сферическом включении// Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов. Труды XXI Международной конференции.— СПб.: ВВМ, 2005.— С. 119–129.

20. Бригадирова Т.Е., Медведский А.Л. Влияние параметров неоднородности сферического включения на процесс распространения дифракционных волн// Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов. Труды XXII Международной конференции.— СПб.: ООО «НИЦ МОРИНТЕХ», 2007.— С. 394–395.

21. Бригадирова Т.Е., Горшков А.Г., Медведский А., Л. Одномерная нестационарная задача теории упругости для неоднородной сферы// Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященная 80-летию со дня рождения профессора Л.А.Толоконникова. Тезисы докладов.— Тула: 2003. — С. 86–87.

22. Бригадирова Т.Е., Горшков А.Г., Медведский А.Л. Динамика неоднородной изотропной сферы в случае радиальной симметрии// Материалы XII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». Избранные доклады.— М.: МАИ, 2006.— С. 42–51.

23. Бригадирова Т.Е., Горшков А.Г., Медведский А.Л. Динамическое поведение упругой трансверсально-изотропной толстостенной сферы под действием внутреннего и внешнего давления// Материалы X Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред».— М.:Изд-во МАИ, 2004.— Т. 2.— С. 38–47.

24. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. О применимости различных моделей движения ударника на дозвуковом участке внедрения// Тезисы докладов Всероссийского симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред».— М.: РИЦ МГАТУ, 1995. — С. 19–20.

25. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Определение кинематических параметров упругой сферы при ударе о жесткую преграду// International. Conference. «Modeling and investigation of system stability. Mechanical systems». Kiev, May 19-23, 1997/ Thesis of conference reports.— Kiev: 1997.— P. 43.

26. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Моделирование условий одностороннего контакта в элементах сопловых блоков ЖРД// Актуальные проблемы развития транспортных систем: Тезисы докладов Международной научно-технической конференции.— Гомель: БелГУТ, 1998.

— С. 194.

27. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Распространение граничных и объемных возмущений в сплошных средах// Полимерные композиты - 2003: Тезисы докладов Международной конференции.— Гомель: ИММС НАНБ, 2003. — С. 145–146.

28. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Использование объемных функций влияния для решения нестационарных задач механики сплошной среды с неоднородными краевыми условиями// Импульсные процессы в механике сплошных сред: Материалы V Международной научной школы-семинара (август 2003).— Николаев: Аттол, 2003. — С. 37– 39.

29. Зайцев В.Н., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н. Оценка напряженного состояния при нестационарном контактном взаимодействии элементов сооружений// Проблемы безопасности на транспорте. Тезисы докладов Международной научно-практической конференции.— Гомель: БелГУТ, 1997. — С. 112–113.

30. Вестяк А.В., Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Определение кинематических параметров упругого цилиндра на начальном этапе взаимодействия с абсолютно жесткой преградой// Тезисы докладов III Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред».— М.: «Латмэс» МГАТУ, 1997. — С. 33–34.

31. Горшков А.Г., Коровайцев А.А., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Отклик упругого изотропного полупространства на нестационарное возбуждение осесимметричным давлением// Материалы 4 Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред».— М.: Графросс, 1998. — С. 88–95.

32. Вестяк А.В., Горшков А.Г., Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Оценка компонент тензора напряжений в плоской нестационарной контактной задаче для упругого полупространства// Тезисы докладов II Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред».— М.: «Латмэс» МГАТУ, 1996. — С. 38– 39.

33. Gorshkov A.G., Fedotenkov G.V., Medvedskiy A.L., Tarlakovsky D.V. The nonstationary contact problems for deformable strikers and halfspace// EUROMECH Colloquium 434 «Contact Mechanics of Coated Bodies».— М.: ИПМ РАН, 2002.— P. 30.

34. Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Динамика неоднородного трансверсально изотропного цилиндра на сверхзвуковом этапе взаимодействия с абсолютно жесткой полуплоскостью// Материалы XVIII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т.2. – М.: ООО «ТРпринт», 2012. - С. 35. Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Дифракция плоских нестационарных упругих волн на неоднородном трансверсально изотропном цилиндре// Материалы XVIII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.

Горшкова. Т.2. – М.: ООО «ТР-принт», 2012. - С.36. Медведский А.Л. Метод поверхностных функций влияния в задачах нестационарного взаимодействия в механике деформируемого твердого тела// «Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред». Материалы Всеросс. конф., приуроч. к 90-летию со дня рожд. акад. И.Ф. Образцова. Москва, 23 ноября – 25 ноября 2010 г. – М.: ИПРИМ РАН, 2010. – С. 67.







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.