WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Ромакина Оксана Михайловна

Модифицированный метод сплайн-коллокации в задачах статики и динамики тонких пластин при произвольных граничных условиях

01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов – 2012

Работа выполнена на кафедре математической теории упругости и биомеханики ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского».

Научный консультант:

доктор техниче ских наук профессор Недорезов Петр Феодосьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-мате матических наук профессор Козло в Владимир Анато льевич (Воронеж, ВГАСУ) доктор физико-мате матических наук профессор Шляхов Станис лав Михайлович (Саратов, СГТ У)

Ведущая организация:

Институт пробле м точной механики и управления РАН (Саратов)

Защита состоится « » ноября 2012 г. в 1530 на заседании диссертационного совета Д 212. 243.10 при Саратовском государственном университете им. Н.Г.

Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, корп., 18 ауд

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Сара­ товского государственного университета.

Автореферат разослан « » « » 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф.-м. н., доцент Шевцова Ю.В.

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена разработке модифицированного метода сплайн-коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся ко­ лебаний токих идеально упругих и вязкоупругих пластин при различных условиях закрепления или нагружения контура пластины. В рамках предлагаемой модифи­ кации на граничные условия накладывается единственное ограничение – их вид в пределах каждой из сторон контура остается неизменным.

Актуальность работы.

Начало теории пластин и стержней положили работы великих математиков.

Изучением деформации стержней занимались Я. Бернулли, Л. Эйлер, Д. Бернул­ ли. Уравнение изгиба пластины было получено С. Жермен, а Г. Кирхгоф и А.

Сен-Венан окончательно сформулировали идею понижения размерности. Изуче­ нию уравнений теории анизотропных пластинок посвящены работы С.Г. Лехниц­ кого. Случай изотропных пластинок рассматривается в работах Б.Г. Галеркина и С.П. Тимошенко. В статьях М.М. Фридмана были получены решения задач об изгибе различных изотропных пластинок. Теории пластин и оболочек посвящены также монографии С.А.Амбарцумяна, A.Л. Гольденвейзера. В работах Тимошен­ ко и Войновского-Кригера основное внимание уделяется решению конкретных за­ дач об упругих деформациях пластинок и оболочек. Здесь проводится различие между тонкими пластинками, подвергающимся малым, в сравнении с толщиной пластинки, прогибам, и тонкими пластинками, подвергающимся большим проги­ бам. Чтобы вычислить напряжение для любой точки пластинки первого типа необходимо решить дифференциальное уравнение в частных производных, кото­ рое вместе с граничными условиями определяет прогиб пластинки, являющийся функцией двух координат в ее плоскости. Для таких пластинок разных геометри­ ческих форм рассмотрены изгибы по цилиндрической поверхности, чистый изгиб, симметричный изгиб, поперечные нагрузки, различные условия опирания по кра­ ям; также описывается изгиб анизотропной пластинки.

В настоящее время усилиями многих поколений ученых построены различные теории, описывающие напряженно-деформированное состояние тонкостенных кон­ струкций, и разработаны эффективные методы их расчета. Несмотря на то, что достигнуты значительные успехи в развитии теории и разработке приближенных методов решения различных прикладных задач, круг проблем, требующих своего разрешения, по-прежнему обширен.

Одной из актуальных является проблема, связанная с разработкой таких при­ ближенных методов решения краевых задач теории пластин, которые были бы универсальны, эффективны и не слишком требовательны к машинным ресурсам при реализации.

Цели диссертационной работы.

Разработка модифицированного метода сплайн-коллокации для решения за­ дач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих прямоугольных пластинок при сложных способах закрепле­ ния контура.

Решение модельных задач для апробации разработанной методики, сравне­ ние результатов с известными аналитическими решениями.

Решение различных задач при нестандартных условиях закрепления (пла­ стинка с двумя смежными закрепленными сторонами, консольная пластин­ ка, пластинка, подкрепленная в угловых точках и пр.).

Научная новизна. В работе впервые построена модификация метода сплайн­ коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих прямоугольных пластинок для сложных спо­ собов закрепления контура. Все задачи, решенные в рамках апробации предло­ женного метода, решены впервые (за исключением модельных). В ходе вычис­ лительных экспериментов выявлен и исследован ряд механических эффектов и закономерностей.

Достоверность. Достоверность полученных результатов обеспечивается стро­ гостью математической постановки задачи и обоснованным применением соответ­ ствующего математического аппарата при построении метода и хорошим совпаде­ нием результатов для модельных задач при численном решении.

Практическая значимость. Работа имеет как теоретический, так и при­ кладной характер. Предложенный в работе метод может найти применение при решении широкого спектра задач статического изгиба и установившихся колеба­ ний тонких пластин с разнообразными условиями закрепления или нагружения контура. Результаты, полученные в ходе численного решения задач, могут исполь­ зоваться при моделировании поведения различных тонких пластин в разнообраз­ ных прикладных областях.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докла­ дывались на:

Второй Всероссийской научной конференции (Самара, СамГТУ, 2005г);

V Российской конференции с международным участием «Смешанные зада­ чи механики деформируемого тела» (Саратов, СГУ, 2005г);

XXI Международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, СГТУ, 2005);

научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеха­ ники Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского под руководством д.ф.-м.н., профессора Коссовича Л.Ю.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положе­ ния:

Модификация метода сплайн-коллокации для решения задач статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих и вязкоупругих пла­ стинок для сложных способов закрепления контура.

Результаты и выводы, сделанные по итогам вычислительных эксперимен­ тов по определению напряженно-деформированного состояния и резонанс­ ных частот прямоугольных пластинок со сложными условиями закрепления контура.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 5 статей в журналах из списка, рекомендованного ВАК, 4 публикации в трудах конференций и сборниках научных трудов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы. Материал работы изложен на 124 страницах, содержит 41 рисунок и 17 таблиц, список ци­ тированной литературы содержит 93 наименования.

Содержание работы Во введении обоснована актуальность выбора темы диссертационной рабо­ ты, сформулированы цели и задачи, дан краткий обзор публикаций по теории тон­ ких пластин, и аргументирована научная новизна исследований, показана практи­ ческая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту положения.

В первой главе работы рассмотрена постановка задачи статического изгиба тонких пластинок из изотропного идеально упругого материала. Предполагает­ ся, что пластинка испытывает малые деформации, подчиняющиеся закону Гука.

Предполагаются справедливыми гипотезы Кирхгофа (рис.1).

Рассматривается прямоугольная пластинка малой толщины h с размерами плана a b. Стороны x = 0 и x = a деформированы или загружены заданным образом, вид условий на этих сторонах не меняется. Условия при y = 0 и y = b могут быть произвольными, в том числе не исключается случай разрывных граничных условий.

q(x, y) B O В безразмерных координатах = x/a, = y/b x Q M уравнение для определения безразмерного прогиба имеет вид y A C 4W 4W 4W q(, ) + 2c2 + c4 =, (1) 4 22 4 D* Рис. 1.

Ehгде обозначено W (, ) = w(x, y)/h, D* = — приведенная цилиндриче­ 12(1 - 2) ская жесткость пластинки на изгиб, h0 = h/a — безразмерная толщина, c = a/b, E и — модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала.

Внутренние моменты и перерезывающие силы связаны с функцией прогиба соотношениями 2W 2 W 2W Mx = -D*a2 + c2, Hxy = -(1 - )D*a2c, (2) 2 2 3W 3 W 2W 2 W Qx = -D*a + c2, Q* = -D*a + (2 - )c2, 3 2 x 2 (x y; /c).

Для численного решения задач об изгибе пластинки с двумя произвольно закреп­ ленными противоположными сторонами Я.М.Григоренко и Н.Н.Крюковым был предложен ставший классическим метод сплайн – коллокации.

Согласно этому методу, решение краевой задачи для уравнения (1) ищется в виде N W (, ) = j()Wj(), (3) j=где j() — линейные комбинации B-сплайнов пятой степени, определенные на системе узлов i = ihx (i = -5; N + 5), hx = 1/N, при i-3 и i+B5,i() Функции Wj() определяются как решение краевой задачи для системы обык­ новенных дифференциальных уравнений, которые получаются в результате под­ становки (3) в уравнение (1) из требования, чтобы последнее удовлетворялось в точках коллокации. Граничные условия (ГУ) для Wj() следуют из условий закрепления или нагружения при = 0 и = 1. Полученная краевая задача решается численно, например, методом дискретной ортогонализации С.К. Году­ нова. Однако данный метод неприменим, когда стороны 0 и N деформированы заданным образом или загружены усилиями и моментами известной интенсивно­ сти. В этих случаях в (3) не удается подобрать функции j() так, чтобы ГУ удовлетворялись в точках коллокации.

В диссертационной работе предложена модификация метода сплайн-коллока­ ции, позволяющая рассмотреть различные варианты ГУ. Решение уравнения (1) ищется в виде N+W (, ) = B5,j()j(). (4) j=-В работе рассматриваются различные варианты ГУ на сторонах 0 и N.

В случае, если на стороне 0 заданы прогиб и угол поворота W (0, ) * W (0, ) = w0(), (0, ) = = *(). (5.1) или условия смешанного типа 2 W (0, ) 2 W (0, ) m(0)() * k W (0, ) = w0(), + c2 = -, (5.2.1) 2 2 D*aили W (0, ) 3 W (0, ) 3 W (0, ) p*() = *(), + c2(2 - ) = -, (5.2.2) 3 2 D*a тогда -k() = a(k)j() + m(0)(), (k = 1, 2) (*) j k j=Выражения для a(k) и m(0) для каждого варианта ГУ приводятся в работе.

j k В случае, когда на стороне 0 заданы условия 2 W (0, ) 2 W (0, ) m(0)() k + c2 = -, 2 2 D*a3 W (0, ) 3 W (0, ) p*() + c2(2 - ) = -. (5.3) 3 2 D*a имеем d2 -k 2 d2 j = b(k)j() + a(k) + m(0)(), (k = 1, 2) (**) j j d 2 d 2 k j=-2 j=Выражения для a(k) и m(0) для данного варианта ГУ также приводятся в работе.

j k Аналогичные результаты получаются на стороне N.

В зависимости от сочетания вариантов ГУ на сторонах 0 и N методика дальнейшего решения будет отличаться деталями. В случаях условий (5.1) и (5.2) на сторонах 0 и N функции W представляются в виде N W (, ) = j()j() + M1(, ). (6) j=Выражение для M1(, ) известно и приводится в работе. Далее выражение (6) подставляется в (1) и требуется, чтобы результат подстановки выполнялся в точ­ ках коллокации. В результате получается система обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений, которое представляется в виде d4 d2 A0 = A2 + A4() + Q*(), (7) d 4 d где () = j(), (j = 0, N) (***) а коэффициенты A0, A2, A4 и компоненты Q*() - известны. Данная система ОДУ стандартным методом приводится к системе ОДУ 1 порядка, записанной в нор­ мальной форме Коши. ГУ для вектора () можно представить в виде H1 (0) = e1, H2 (1) = e2. (8) Полученная краевая задача (7),(8) решается численно методом дискретной орто­ гонализации Годунова.

Если сторона 0 закреплена заданным образом, а при N задана внешняя нагрузка, то W имеет вид N+W (, ) = j()j() + M2(, ), (9) j=Тогда после подстановки (9) в (1) и требования, чтобы результат подстановки вы­ полнялся в точках коллокации, получается система N дифференциальных урав­ нений 4 порядка, к которой следует добавить дифференциальные соотношения для N+1 и N+2, определяемых соотношением (**). Полученная в этом случае система уравнений после преобразований принимает вид d4 d2 1 B0 + B2 + B4 () + Ri N+1 + Ri N+2 = Q* (), (10) d 4 d и сводится к системе уравнений 1го порядка, записанной в нормальной форме Коши.

В случае, если на стороне 0 задана внешняя нагрузка, а сторона N закреп­ лена заданным образом, то W имеет вид N W (, ) = j()j() + M3(, ). (11) j=-Ход рассуждений в этом случае повторяет предыдущий.

Последнее возможное сочетание граничных условий получается, когда сторо­ ны 0 и N загружены усилиями заданной интенсивности. В этом случае система N+1 уравнений получается в результате подстановки N+W (, ) = j()j() + M4(, ), (12) j=-в (1), к которой добавляются уравнения (**) и им подобные для N+1, N+2.

Тогда d4 d2 1 2 1 B0 + B2 + B4 () + Ri N+1 + Ri N+2 + Ri -1 + Ri -2 = Q* ().

d 4 d ГУ в данном случае должны выполняться как в точках коллокации, так и в кон­ цевых точках сторон пластинки.

Полученные краевые задачи во всех перечисленных случаях решаются чис­ ленно устойчивым методом дискретной ортогонализации Годунова.

Для оценки эффективности предлагаемой модификации были решены три модельные задачи, которые допускают применение метода сплайн – коллокации в классической форме. Рассматривались стальные квадратные пластинки, изгиба­ емые равномерно распределенной по поверхности пластинки нагрузкой q(, ) = const, стороны = 0, = 0, = 1 которых жестко закреплены. При = 1 при­ нимались три варианта граничных условий: 1) жесткая заделка; 2) шарнирное опирание и 3)свободная от закрепления незагруженная сторона. В этом случае прогиб ищется в виде N+W (, ) = j()Wj(). (13) j=Сравнение результатов, полученных как классическим, так и модифицированным методом, показывает их совпадение с точностью до трех значащих цифр.

Для иллюстрации возможностей предлагаемой модификации были решены несколько задач. Рассматривались задачи определения НДС квадратных изотроп­ ных пластинок с двумя свободными смежными сторонами, изгибаемых равномер­ но распределенной по поверхности пластинки нагрузкой q(, ) = const, стороны = 1, = 1 свободны. В задаче 1 стороны = 0, = 0 свободно оперты, в задаче 2 стороны = 0, = 0 жестко защемлены, в задаче 3 сторона = 0 за­ щемлена, а сторона = 0 свободно оперта. Точка = = 1 в перечисленных случаях считается свободной. По результатам вычислений построены графики изменения безразмерного прогиба W в точках диагонали = и вдоль стороны = 1 (рис.2). Номера кривых соответствуют номеру задачи, кривая 4 изображает поведение функции W (1, ).

Рис. 2.

Рассматривались аналогичные задачи, когда точка = = 1 подкрепле­ на шарниром. На рис. 3 и 4 приведены графики изменения функции w*(, ) = Рис. 4.

Рис. 3.

W (, )/ max |W (, )| соответственно для задач 2 и 3.

Также рассмотривалась задача определения НДС изотропной пластинки, че­ тыре угловые точки которой подкреплены шарнирами. На пластинку действует распределенная нагрузка интенсивности q(, ) = const. При = 0, = 1 Mx = Qx = 0, при = 0, = 1 My = Qy = 0, в угловых точках O, A, B и C W = My = 0. Вычисления были выполнены для стальной и алюминиевой пласти­ нок. Рис.5 - поверхность функции W*(, ) = W (, )/ max |W (, )| для стальной пластинки.

Для стальной пластинки max W = 1, 393·10-4, для пластинки, изготовленной из алюминия max W = 3, 893 · 10-4.

Рис. 5. Рис. 6.

Для пластинки, у которой точки О, А, В подкреплены шарнирами, а точка С свободна, график изогнутой срединной поверхности приведен на рис.6.

В работе также исследовались задачи изгиба консольной изотропной пластин­ ки, где край = 0 жестко закреплен,а остальной контур свободен. Угловые точки В и С либо подкреплены шарнирами (My = 0, w = 0) (задача a), либо свободны (My = 0, Hxy = 0) (задача b). Изгиб пластинки осуществляется либо распределен­ ными вдоль = 1 изгибающими моментами (задача 2), либо распределенными вдоль = 1 перерезывающими силами (задача 1), либо равномерно распределен­ ной по всей поверхности пластинки нагрузкой (задача 3). Проведено подробное исследование влияния отношения сторон c на характеристики НДС.

Рис. 7. — задача 2.а Рис. 8. — задача 2.b Построены графики функции w(, 0.5) = W (, 0.5)/ max W (, 0.5).

Кривая 1(сплошная линия) построена для значения c = 0.03, кривая 2 (пунк­ тирная линия) - для c = 1. На рис.7 кривая 3 (штрих-пунктирная линия) соответ­ ствует значениям 0.1 · w(, 0.5) при c = 20, на рис. 8 – 12 эта кривая изображает Рис. 9. — задача 1.а Рис. 10. — задача 1.b Рис. 11. — задача 3.а Рис. 12. — задача 3.b функцию w(, 0.5) при c = 33.

Также в первой главе работы рассмотрена задача изгиба пластинки, состав­ ленной из двух различных изотропных материалов (рис.13).

В этом случае для прогибов каждой из частей пла­ стинки имеют место уравнения (k) (k) (k) 4W 4W 4W qk((k), ) +2c2 +c4 =, (k = 1, 2).

(k) (k)4 k (k)22 k D* (14) Решение этих уравнений должно быть подчинено усло­ Рис. 13.

виям закрепления краев и условиям на линии контакта.

Методика решения этих уравнений подробно изложена в работе.

Во второй главе работы рассматривается методика исследования НДС пря­ моугольных пластинок из ортотропного материала. Предполагается, что главные направления анизотропии параллельны краям пластинки. Тогда в соответствии с гипотезами Кирхгофа дифференциальное уравнение для безразмерного прогиба имеет вид 4 W 4W W D1 + 2D3c2 + D2c4 = q(, ). (16) 4 2 2 В этом случае численное решение также можно получить модифицированным методом сплайн – коллокации, изложение которого применительно к орторопным пластинкам приведено в работе. Данная методика была применена при решении задач, в которых стороны = 0 и = 0 жестко закреплены, остальная часть контура свободна. Угловая точка C либо свободна от закрепления – задача 1, либо подкреплена шарниром – задача 2. Пластинка деформируется равномер­ но распределенной нагрузкой q(, ) = 1. На рис. 14 (задача 1) и рис.15 (за­ Рис. 15.

Рис. 14.

дача 2) приводится изогнутая срединная поверхность пластинки из СВАМ 5:1.

Также исследовались задачи изгиба распределенной по поверхности нагрузкой q(, ) = const ортотропной пла­ стинки при шарнирном закреплении четырех или трех угловых точек.

Графики изменения прогиба (для задачи 1) для Рис. 16.

различных материалов вдоль одной из диагоналей пла­ стинки приведены на рис. 16. Здесь кривая, изображенная штриховой линией, соответствует материалу АГ-4с (E1 = 2.1 · 1010, E2 = 1.6 · 1010, 1 = 0.09188, 2 = 0.07), кривая, изображенная пунктирной линией — дельта - древесине (E1 = 3.05 · 1010, E2 = 0.457 · 1010 1 = 0.1328, 2 = 0.02), сплошная линия показывает изменение прогиба вдоль диагонали для стальной пластинки. В силу симметрии графики построены для значений 0.5.

В третьей главе работы рассматриваются установившиеся колебания пла­ стинок из изотропного материала. По-прежнему деформации предполагаются ма­ лыми. Решение проводится в рамках справедливости гипотез Кирхгофа. Уравне­ ние для амплитудного значения прогиба при динамическом изгибе изотропной пластинки имеет вид 4 W 4 W 4 W D + 2c2 + c4 - h02W (, ) = q0(, ). (17) 4 2 2 В данном случае численное решение также можно получить модифицированным методом сплайн – коллокации, изложение которого для случая установившихся колебаний изотропных пластинок приводится в работе.

Данный подход использовался для исследования колебаний изотропных квад­ ратных пластинок с двумя свободными смежными сторонами под действием рас­ пределённой нагрузки q(, , t) = p0 sin(t), p0 = const. Здесь = 0, 3, стороны = 1, = 1 свободны. Стороны = 0, = 0 либо свободно оперты (задача 1), либо жестко защемлены (задача 2), либо сторона = 0 защемлена, а сторона = 0 свободно оперта (задача 3).

Рис. 17.

На рис. 17а – 18а (задача 1) и рис 17б – 18б (задача 3) изображены формы изогнутой поверхности при = k - , (k = 2, 3), — мало. График изогну­ той поверхности пластинки для частоты, близкой к первой критической частоте, качественно подобен графику, приведенному для статического случая.

Рис. 18.

Исследовались задачи колебаний изотропных квадратных пластинок с шарнир­ ным опиранием 4 угловых точек под действием распределенной нагрузки q(, , t) = p0 sin(t), p0 = const.

Рис. 19.

Рис. 20.

На рис. 19, 20 - формы изогнутой поверхности стальной пластинки с шарнир­ ным опиранием в 4 угловых точках для частот k - , (k = 2, 3)).

В четвертой главе работы рассматриваются установившиеся колебания пластинок из ортотропного материала.

Уравнение для амплитудного значения прогиба при динамическом изгибе ор­ тотропной пластинки имеет вид 4 W 4 W 4 w + µ4c2 + µ1c4 - 4W = q0(, )/D1, (18) 4 2 2 где 4 = h2a22/D1 — безразмерный частотный параметр,µ1 = D2/D1, µ2 = 2Dk/D1, µ3 = (D3 + 2Dk)/D1, µ4 = 2D3/D1. Выражения для амплитудных значе­ ний внутренних моментов и обобщенных поперечных усилий приводятся в работе.

Граничные условия для функции W (, ) определяются способом закрепления и нагружения контура пластинки. Для численного решения соответствующей кра­ евой задачи применяется модифицированный метод сплайн – коллокации. Для ортотропной пластинки также решались задачи определения амплитудных ха­ рактеристик НДС пластинок, изгибаемых равномерно распределенной нагрузкой q(, , t) = p0 sin(t), p0 = const, у которых смежные стороны = 0, = 0 жест­ ко защемлены, стороны = 1, = 1 свободны, точка пересечения свободных сторон либо свободна (задача 1), либо подкреплена шарниром (задача 2). Мате­ риал АГ-4с, = 1900кг/м2.

Рис. 22.

Рис. 21.

На рис. 21, 22 изображены формы изогнутой поверхности для частот k , (k = 2, 3)) для задачи 1, а на рис. 23, 24 - для задачи 2.

Рис. 23. Рис. 24.

Аналогичные исследования были проведены для такой же пластинки, у ко­ торой все угловые точки подкреплены шарнирами. Соответствующие графики приводятся на рис. 25,26.

Для всех перечисленных случаев значения первых трех резонансных частот приведены в работе.

Рис. 25. Рис. 26.

В пятой главе работы модифицированный метод сплайн-коллокации при­ меняется для исследования установившихся колебаний вязкоупругой пластинки при произвольных граничных условиях на боковой поверхности.

Для такой пластинки прогиб W (, , t) представляется в виде W (, , t) = W1(, ) cos t + W2(, ) sin t. Тогда для безразмерных составляющих прогиба Wk = h(-1)w(k) система уравнений в безразмерных переменных может быть запи­ сана в виде 4 Wk 4 Wk 4 w + 2c2 + c4 + (-1)k2 k+r-1Wr = (-1)k-1dkq0(, ), (19) 4 2 2 r=где Ek dk = 12(1 - 2)h-4, k = h2dk, (k = 1, 2), d3 = -d1, 3 = -1, 2 E1 + E E1 + iE2 = K(s)eisds — комплексный модуль материала, E3 = -E1, h0 = h/a — безразмерная толщина пластинки, — плотность материала.

Соответствующие формулы для составляющих внутренних моментов и уси­ лий в пластинке приведены в работе.

Были исследованы колебания вязкоупругой квадратной пластинки, стороны = 1, = 1 которой свободны, стороны = 0, = 0 жестко закреплены, под действием распределенной нагрузки q(, , t) = p0 sin(t), p0 = const. Материал ЭД-6 МА ( = 1250кг/м3, E1 = 2.7 · 109H/м2, E2/E1 = 0.015, = 0.4).

На рис. 27, 28 изображены графики поверхностей первой и второй составля­ ющей прогиба для первой критической частоты 1, на рис. 29, 30 — для второй Рис. 27.

Рис. 28.

Рис. 29. Рис. 30.

Рис. 31.

Рис. 32.

критической частоты 2, на рис. 31, 32 - для третьей критической частоты 3. По­ дробные выкладки и результаты расчетов приведены в диссертационной работе.

Основные результаты и выводы Основной результат диссертационной работы состоит в построении модифи­ цированного метода сплайн-коллокации. Предложенная модификация суще­ ственно расширяет класс численно разрешимых задач статического изгиба и установившихся колебаний при сложных условиях закрепления контура.

Для малых значений отношения сторон (c 0.2) НДС консольной пластин­ ки близко к НДС соответствующим образом изгибаемого стержня прямо­ угольного сечения, а при больших значениях отношения сторон (c 10) прогибы пластинки конечных размеров стремятся к прогибам бесконечно длинной в направлении полосы.

Анизотропия материала оказывает существенное влияние на размеры и фор­ мы "горбов“ и "впадин“ на изогнутой срединной поверхности пластинки, а в случае установившихся колебаний, помимо этого, существенно влияет на значения резонансных частот.

В случае вязкоупругой пластинки при любых значениях частоты амплитуда прогиба остается ограниченной. Для значений частот, отличных от крити­ ческих, значение первой составляющей прогиба W1 значительно превышает по величине значение второй составляющей W2. При подходе к критической частоте обе составляющие возрастают, причем W2 растет быстрее W1. Когда частота внешнего возбуждения равна критической, W2 значительно превос­ ходит W1.

Публикации 1. Ромакина, О.М. Метод сплайн-коллокации и его модификация в задачах статического изгиба тонкой ортотропной прямоугольной пластинки / О.М.

Ромакина, Ю.В. Шевцова // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика.

Механика. Информатика. 2010. Т. 10 вып. 1 С. 78 — 2. Ромакина, О.М. Модифицированный метод сплайн–коллокации в задачах изгиба прямоугольных пластинок / П.Ф.Недорезов, Ю.В.Шевцова, О.М.Ромакина // Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. Второй Всерос. на­ учн. конф. Самара: СамГТУ, 2005. Ч.1. С. 203–209.

3. Ромакина, О.М. Модифицированный метод сплайн – коллокации в задачах о колебаниях тонкой прямоугольной вязкоупругой пластинки // П.Ф.Недорезов, О.М. Ромакина, Р.А.Сафонов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. Сер.. 2010. т.10. Сер.

Математика. Механика. Информатика, выпуск 3. С.59-64..

4. Ромакина, О.М. О модификации метода сплайн–коллокации в задаче стати­ ческого изгиба прямоугольных пластинок / П.Ф.Недорезов, О.М. Ромакина // Смешанные задачи механики деформируемого тела. Материалы. V Росс.

конф. с междунар. участием. Саратов: СГУ, 2005. С.237–242.

5. Ромакина, О.М. Об установившихся поперечных колебаниях прямоугольной пластинки из ортотропного материала / О.М. Ромакина // Изв. Сарат. ун­ та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Т. 10 вып. С. 71 — 6. Ромакина, О.М. Статическая и динамическая задача изгиба пластинки / А.В. Аристамбекова, О.М. Ромакина// Сб. науч. тр. Механика. Математика, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 12 вып., 2010. С. 132 — 135.

7. Ромакина, О.М. Установившиеся изгибные колебания прямоугольной изо­ тропной пластинки с частично закрепленным контуром / П.Ф. Недорезов, О.М. Ромакина // Труды XXI Mеждунаpодной конф. по теоpии оболочек и пластин. (Саратов, 14 – 16 ноябpя 2005 г.). – Саратов: СГТУ, 20.

8. Ромакина, О.М. Численное исследование изгиба кусочно – однородной пря­ моугольной пластинки из изотропного материала / П.Ф.Недорезов, О.М.

Ромакина // Изв. Сарат.ун-та. Нов. Сер.. 2008. т.8. Сер. Математика. Меха­ ника. Информатика. Выпуск 1. С.43-50.

9. Ромакина, О.М.. Численное исследование НДС при изгибе прямоугольных пластинок с двумя свободными смежными краями / П.Ф. Недорезов, О.М.

Ромакина // Смешанные задачи механики деформируемого тела. Тез. докл.

V Росс. конф. с междунар. участием. Саратов: СГУ, 2005. С.112.







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.