WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

УДК 517.957 Комаров

Михаил Владиславович ВОПРОСЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ И ИХ АСИМПТОТИКА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление А В Т О Р Е Ф Е Р А Т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2012

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный консультант: доктор физико-математических наук, академик РАН, профессор В.А.Ильин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор М.Л.Гольдман, доктор физико-математических наук, доцент М.О.Корпусов.

Ведущая организация: Московский энергетический институт

Защита диссертации состоится “28” ноября 2012 г. в 15:30 на заседании Диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ имени М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ.

Автореферат разослан “ ” 2012 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор Е.В.Захаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ



Актуальность темы. Теория нелинейных уравнений, описывающих различные физические эффекты, является весьма важной и актуальной. Наиболее интересными задачами в этой теории являются вопросы о разрушении решений за конечное время, глобальное во времени существование решений и их асимптотика при больших временах. Сложность получения асимптотики связана, во-первых, с необходимостью первоначального доказательства существования решения в целом по времени, и во-вторых, с получением некоторого количества дополнительных априорных оценок, учитывающих тип нелинейности в задаче.

Интерес к периодическим задачам возникает по нескольким причинам.

Такого рода задачи можно рассматривать, например, в случае, когда среда обладает периодической структурой: кристаллы, клеточная ткань, композитные материалы. Кроме того, асимптотика решений подобных задач имеет особенности, отличающие ее от асимптотики решений задачи Коши1,2.

В 2000 г. И.А.Шимарёвым совместно с его учениками П.И.Наумкиным и Е.И.Кайкиной была рассмотрена периодическая задача в одномерном по пространственной переменной случае для модельного уравнения с нелинейностями 2-го и 3-го порядков. Данное уравнение содержит в себе многие известные уравнения математической физики, например, уравнения Бюргерса, Кортевега-де Фриза, Уизема, Курамото-Сивашинского. И.А.Шишмарёвым и его учениками была разработана методика, позволяющая единым образом исследовать асимптотическое поведение периодических решений (в опредеE.I.Kaikina, P.I.Naumkin, I.A.Shishmarev Periodic problem for a model nonlinear evolution equation// Advances in differential equations. - 2002. - Vol.7, N 5. - P.581-616.

P.I.Naumkin, I.A.Shishmarev Nonlinear nonlocal equations in the theory of waves. / Amer. Math. Soc., Vol.133. - Providence, RI 1994.

ленном смысле) подобных уравнений.

Другим известным классом нелинейных уравнений, интерес к которому впервые возник в 1937 году, является уравнение Колмогорова-ПетровскогоПискунова (КПП). Данное уравнение возникает при описании нелинейных процессов типа реакция-диффузия, имеющих различную природу: распространение доминантного гена по заселенной территории3, изотермическое распространение пламени4, химическая кинетика5.

В 1999 г. И.А.Шишмаревым была исследована6 задача Коши для уравнения КПП в многомерном по пространственной переменной случае. Была получена асимптотика при больших временах классического решения данного уравнения.

Помимо задачи Коши, для уравнения КПП естественно также исследовать периодическую задачу. Она появляется в случае, когда среда, в которой рассматривается процесс, обладает периодической структурой. Примером такой постановки является задача распространения нервных импульсов по клеточной ткани7,8.

Еще одним важным нелинейным уравнением, имеющим разнообразные приложения, является комплексное уравнение Ландау-Гинзбурга. Ему посвяКолмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме// Бюл. МГУ, Механика и математика. - 1937. - Т.1, Вып.6. - С.1-26.

Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва. - М.: Наука, 1980.

N.Kopell, L.N.Howard Plane wave solutions to reaction-diffusion equations// Stud. Appl. Math. - 1973. Vol.52, N 4. - P.291-328.

Шишмарев И.А. О временной асимптотике решений обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова// Докл. РАН. - 1999. - Т.365, №4. - С.461-464.

A.L.Hodgkin, A.F.Huxley A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve// J. Physiol. - 1952. - Vol.117. - P.500-544.

G.A.Carpenter Periodic solutions of nerve impulse equations// J. Math. Anal. Appl. - 1977. - Vol.58, N 1.

- P.152-173.

щено значительное количество работ, изучающих сверхпроводимость9, динамику жидкости10, химическую кинетику11.

В 1995 году И.А.Шишмарёвым и М.Цуцуми была исследована12 задача Коши для уравнения Ландау-Гинзбурга в многомерном по пространственной переменной случае и получена асимптотика решения.

Помимо задачи Коши для данного уравнения так же, как и для уравнения КПП, можно рассматривать периодическую задачу.

Целью работы является, во-первых, обобщение результатов, полученных И.А.Шишмарёвым и его учениками для модельной периодической задачи с нелинейностями 2-го и 3-го порядков в одномерном по пространственной переменной случае, на n-мерный случай. Во-вторых, построение асимптотики решения периодической задачи для обобщенного уравнения КолмогороваПетровского-Пискунова и уравнения Ландау-Гинзбурга в n-мерном по пространственной переменной случае.

Научная новизна. В диссертации впервые получена асимптотика решения периодической задачи для модельного уравнения с квадратичной и кубической нелинейностями в многомерном по пространственной переменной случае. Также впервые получена асимптотика решения периодической задачи для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова и уравнения Ландау-Гинзбурга в многомерном по пространственной переменной случае.





Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. К теории сверхпроводимости// Жур. эксп. и теор. физ. - 1950. - Т.20, Вып.12. - С.1064-1082.

A.C.Newell, J.A.Whitehead Finite bandwidth, finite amplitude convection// J. Fluid Mech. - 1969. - Vol.38, Part 2. - P.279-303.

Y.Kuramoto, T.Yamada Turbulent state in chemical reactions// Prog. Theor. Phys. - 1976. - Vol.56, N 2.

- P.679-681.

Шишмарев И.А., Цуцуми М. Асимптотика при больших временах решений комплексного уравнения Ландау-Гинзбурга// Мат. сборник. - 1995. - Т.190, №4. - С.95-114.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер, однако ее результаты можно использовать при моделировании колебательных процессов в средах с периодической структурой.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в работе, докладывались на научном семинаре Нелинейные дифференциальные уравнения кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, на научном семинаре кафедры математического моделирования НИУ МЭИ и на конференции Ломоносовские чтения, секция вычислительной математики и кибернетики (апрель 2002 г., ноябрь 2011 г., апрель 2012 г.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в трех работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 26 наименований.

Общий объем диссертации составляет 114 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, кратко излагается постановка задач и формулируются полученные результаты.

В главе 1 рассматриваются условия существования и различные типы асимптотик (экспоненциальная, осциллирующая) при больших временах решения периодической задачи для модельного уравнения с квадратичной и кубической нелинейностями в многомерном по пространственной переменной случае.

В §1.1 ставится следующая периодическая задача ut + (u) + u = 0, t > 0, x , N L (1) u(0, x) = (x), x .

Здесь x = (x1,..., xn), = [0, 2]n, решение u(t, x) и начальные данные (x) предполагаются 2-периодическими по пространственным переменным комплексными функциями. Линейная часть и нелинейность задаются в виL N де псевдодифференциальных операторов с коэффициентами Lp, Ap,q, Bp,q,r, называемыми символами операторов u = ei(p,x)Lpup, L p (u) = ei(p,x) Ap,qup-quq + Bp,q,rup-quq+rur.

N p q q,r Здесь up = e-i(p,x)u(t, x) dx коэффициенты Фурье, (p, x) скалярное (2)n произведение векторов p и x, равное p1x1 +... + pnxn. Знак означает сумp мирование по всем векторам p с целочисленными координатами (p1,..., pn), черта обозначает комплексное сопряжение. Параметр будет символизировать максимальную степень нелинейности, фактически присутствующей в задаче. Если Bp,q,r 0, то = 2, в противном случае = 3.

Линейный оператор удовлетворяет условиям диссипации L ReLp ReL0 +µ|p|, µ 0, 0, p Zn \ {0}, (2) Если > 0, то будем говорить, что в задаче (1) присутствует сильная диссипация, а если = 0, то сильная диссипация отсутствует.

Коэффициенты {Ap,q} и {Bp,q,r}, задающие нелинейный оператор, явN ляются непрерывными функциями времени t, для которых справедлива равномерная по t [0, +) оценка |Ap,q| C p - p - q q , 0, 0, p, q, r Zn. (3) |Bp,q,r| C p - p - q q + r r ;

Величина p = 1 + |p|2 обозначает так называемую японскую скобку. Буквой C обозначены различные положительные постоянные.

В дальнейшем hs обозначает дискретный аналог пространства Соболева с нормой (x) 2 = p 2s|p|2.

hs p Под решением периодической задачи (1) понимается решение интегрального уравнения t u(t, x) = G(t) - G(t - ) (u)(, x) d, N p где G(t) – оператор Грина, определяемый равенством G(t) = ei(p,x)-L tp.

p В §1.2 сгруппированы часто используемые в доказательствах числовые неравенства.

§1.3 начинается с пункта 1.3.1, в котором собраны утверждения, используемые для доказательства локального по времени существования решения в случае отсутствия сильной диссипации. Центральное место среди них занимает следующая лемма.

Лемма 5 (Оценка сверток в пространстве hs)Пусть s > n/2 + . Тогда для всех значений параметра 0 и всех (x), (x), (x) hs+ справедливы оценки 1. p 2s+2-2 p - q q |p-q||q| p q C 2 2 + 2 2.

hs+ hs hs hs+ 2. p 2s+2-2 p - q q + r r |p-q||q+r||r| p q,r C 2 2 2 + 2 2 2 + 2 2 2.

hs+ hs hs hs hs+ hs hs hs hs+ Доказательство оценки для кубической свертки в этой лемме основано на использовании оценки для квадратичной свертки. Это означает возможность применения индукции по степени нелинейности для обобщения результата на случай нелинейности более высокого порядка.

На основании принципа сжимающих отображений в hs и леммы 5 доказывается следующее утверждение.

Теорема 1 (Локальное по времени существование решения в случае отсутствия сильной диссипации) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор удовлетворяет (2) с = 0, µ 0.

L 2) Нелинейный оператор удовлетворяет (3) с = 0.

N 3) Начальные данные hs, s > n/2 + .

Тогда существует единственное решение u(t, x) задачи (1), принадлеs жащее классу C([0, T ]; hs), где T = T ( h, ReL0) > 0.

В доказательстве теоремы приводится оценка снизу времени существования решения. Это существенно используется в методе продолжения решения при доказательстве существования решения в целом по времени.

Случай сильной диссипации, когда линейный оператор удовлетворяет L условию (2) с > 0, рассматривается в пункте 1.3.2. Вводятся функциональные пространства XT, YT с нормами T p s+ Ep(t)|p(t)| dt + (t, x) 2 def = XT p p s sup Ep(t)|p(t)|, t[0,T ] p T p s Ep(t)|p(t)| dt, T > 0.

(t, x) 2 def = YT p Здесь Ep(t) = et+µ |p|1t, < ReL0, 0 < 1 min(1, ), 0 < µ1 < µ. Наличие функции Ep(t) в вышеприведенных нормах позволяет доказать сглаживание решения задачи (1) при любом t > 0, а также экспоненциальное убывание s нормы u(t, ·) h решения.

Для пространства XT в лемме 8 доказывается теорема вложения XT C([0, T ]; hs) C((0, T ]; hr), r > s.

Определим индекс S0 пространства hs по правилу n - S0 def max - , + -, 0.

= 2 - Принципиальное значение для доказательства теорем существования в случае сильной диссипации имеют следующие две леммы.

Лемма 10 (Оценка квадратичной свертки в пространстве YT ) Пусть = 2, [0, ), > 0, s > S0. Тогда для всех , XT и всех [0, 0] справедлива оценка T p 2s+2-2 Ep(t) p - q q |p-q||q| dt p q 2 CT 2 2.

XT XT Лемма 11 (Оценка кубической свертки в пространстве YT ) Пусть = 3, [0, ), > 0, s > S0. Тогда для всех , , XT и всех [0, 0] справедлива оценка T p 2s+2-2 Ep(t) p - q q + r r |p-q||q+r||r| dt p q,r 2 CT 2 2 2.

XT XT XT На основании принципа сжимающих отображений в XT и лемм 10, доказывается следующее утверждение.

Теорема 2 (Локальное по времени существование решения в случае наличия сильной диссипации) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор удовлетворяет (2) с > 0, µ > 0.

L 2) Нелинейный оператор удовлетворяет (3) с [0, ).

N 3) Начальные данные hs, s > S0.

Тогда существует единственное решение u(t, x) задачи (1), принадлежащее классу C([0, T ]; hs) C1((0, T ]; hl) l > s, т. е. сглаживающееся при s любом t > 0; при этом T = T ( h, ReL0, , µ) > 0.

В доказательстве теоремы 2 также приводится оценка снизу времени существования решения, что необходимо для метода продолжения решения на всю полуось.

В §1.4, пункте 1.4.1 методами продолжения решения доказаны теоремы существования решения в целом по времени в случае малых начальных данных и теорема об асимптотике.

Теорема 3 (Существование решения в целом по времени в случае малых начальных данных и отсутствия сильной диссипации) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор удовлетворяет (2) с ReL0 > 0, = 0, µ 0.

L 2) Нелинейный оператор удовлетворяет (3) с = 0.

N s 3) Начальные данные hs, s > S0, h , достаточно мало.

Тогда существует единственное решение u(t, x) задачи (1), принадлежащее классу C([0, +); hs).

Теорема 4 (Существование решения в целом по времени в случае малых начальных данных и сильной диссипации) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор удовлетворяет (2) с ReL0 > 0, > 0, µ > 0.

L 2) Нелинейный оператор удовлетворяет (3) с [0, ).

N s 3) Начальные данные hs, s > S0, h , достаточно мало.

Тогда существует единственное решение u(t, x) задачи (1), принадлежащее классу C([0, +); hs) C1((0, +); hl) l > s, т. е. сглаживающееся при любом t > 0.

Теорема 5 (Асимптотика решения в случае малых начальных данных) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор удовлетворяет (2) с ReL0 > 0, 0, µ > 0.

L 2) Нелинейный оператор удовлетворяет (3) с = 0 в случае = 0 и N [0, ) в случае > 0.

s 3) Начальные данные hs, s > S0, h , достаточно мало.

Тогда для единственного решения u(t, x) периодической задачи (1), принадлежащего в случае = 0 классу C([0, +); hs), а в случае > 0 классу C([0, +); hs) C1((0, +); hl) l > s, справедливо следующее асимптотическое представление при t , равномерное по x 0 u(t, x) = Ue-L t + O e-(ReL + min(ReL0,µ)-)t, где U некоторая комплексная постоянная, либо произвольное малое положительное число (в случае µ > ReL0 и одновременно > 0 или в случае µ = ReL0), либо равно нулю (в остальных случаях).

В пункте 1.4.2 параграфа 1.4 определяется условие симметрии нелинейности Re J J( ()) dx = 0, (x) hr, (4) N где псевдодифференциальный оператор, символ Jp которого удовлетвоJ ряет неравенствам C1 p r |Jp| C2 p r для некоторых C2 C1 > 0 и r.

Величина r в таком случае называется порядком оператора. Данное условие используется в методе энергетических неравенств для снятия любых ограничений на малость начальных данных. Этот подход позволяет доказать следующие два утверждения.

Теорема 6 (Существование решения в целом по времени и сглаживание в случае немалых начальных данных) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор удовлетворяет (2) с ReL0 > 0, причем µ 0 в L случае = 0 или µ > 0 в случае > 0.

2) Нелинейный оператор удовлетворяет (3) с = 0 в случае = N или с [0, ) в случае > 0 и условию симметрии нелинейности (4) с оператором порядка r > S0.

J 3) Начальные данные hr в случае = 0 или hs, где s > S0, в случае > 0.

Тогда существует единственное решение u(t, x) задачи (1), которое в случае = 0 принадлежит классу C([0, +); hr), а в случае > 0 классу C([0, +); hs)C1((0, +); hl) l > s, т. е. сглаживается при любом t > 0.

Теорема 7 (Асимптотика решения в случае немалых начальных данных) Пусть выполнены условия теоремы 6. Тогда для единственного решения u(t, x) периодической задачи (1) из класса, указанного в теореме 6, справедливо асимптотическое представление при t , указанное в теореме 5.

В §1.5 получена осциллирующая асимптотика решения. Для этого задача (1) записывается в терминах коэффициентов Фурье и в полученной системе подробно исследуется асимптотическое поведение нулевой гармоники решения. В параграфе доказаны два утверждения.

Теорема 8 (Существование решения в целом по времени в случае осциллирующей нелинейности и малых начальных данных) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор удовлетворяет (2) с ReL0 = 0, = 0, µ > 0.

L 2) Нелинейный оператор удовлетворяет (3) с = 0 и условиям A0,0 = N 0, B0,0,0 = i(t), где (t) вещественная, непрерывная функция.

s 3) Начальные данные hs, s > S0, h , достаточно мало.

Тогда существует единственное решение u(t, x) задачи (1), принадлежащее классу C([0, ); hs).

Теорема 9 (Осциллирующая асимптотика решения в случае малых начальных данных) Пусть выполнены следующие условия:

1) Линейный оператор удовлетворяет (2) с ReL0 = 0, = 0, µ > 0.

L 2) Нелинейный оператор удовлетворяет (3) с = 0 и условиям A0,0 = N 0, B0,0,0 = i(t), где (t) вещественная, непрерывная функция, такая, что |(t)| Ce2 t, 0 < 0 < µ.

s 3) Начальные данные hs, s > S0, h , достаточно мало.

Тогда для единственного решения u(t, x) задачи (1), принадлежащего классу C([0, ); hs), справедливо следующее асимптотическое представление при t , равномерное по x t -L0t - i - i|U|2 () d + O e-t u(t, x) = U exp, где U, некоторые вещественные постоянные, произвольное число из интервала (0, min{2(µ - 0), µ}).

В главе 2 получена асимптотика классического решения периодической задачи для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова в случае малых начальных данных.

В §2.1 ставится следующая периодическая задача ut + P(u) + Ku = 0, t > 0, x , (5) u(0, x) = (x), x .

Здесь u(t, x) – действительная, 2-периодическая по пространтсвенным переменным функция, x = (x1,..., xn), n 1, n-мерный куб с длиной ребра 2, P(u) полиномиальная нелинейность порядка m 2 с постоянными коэффициентами m P(u) = alul, am = 0, l=Ku линейный псевдодифференциальный оператор порядка , задаваемый в терминах рядов Фурье Ku = Kpup(t)ei(p,x), up(t) u(t, x)e-i(p,x) dx.

(2)n p В §2.2 доказываются вспомогательные утверждения.

В §2.3 доказано следующее утверждение.

Теорема 10 (Локальное по времени существование решения) Пусть выполнены следующие условия:

1) ReKp -b0, b0 0, p Zn;

2) начальное возмущение (x) h, > n/2 + .

Тогда существует единственное решение u(t, x) задачи (5), принадлежащее классу C([0, T ]; h) C1((0, T ]; h-), причем T = T ( (x) ).

В §2.4 доказано следующее утверждение.

Теорема 11 (Существование решения в целом по времени) Пусть выполнены следующие условия:

1) ReKp b > 0, p Zn;

2) p , > 0 достаточно мало, > n/2 + .

Тогда существует единственное решение u(t, x) задачи (5), принадлежащее классу C([0, +); h) C1((0, +); h-).

В замечаниях к приведенной теореме показано, что оба условия являются необходимыми: в случае невыполнения одного из них решение может разрушится за конечное время.

В §2.5 доказано следующее утверждение.

Теорема 12 (Экспоненциальная асимптотика решения в случае малых начальных данных) Пусть выполнены следующие условия:

1) Cимвол Kp удовлетворяет условиям:

ReK0 K0 > 0, p = ReKp K0 + p, p Zn, p = µ > 0, p = 2) Начальные данные |p| 1(1+|p|)- для всех p Zn, 1 > 0 достаточно мало, > n + .

Тогда при t равномерно по x справедлива асимптотика для решения u(t, x) задачи (5):

0 u(t, x) = Be-K t + O e-K t-t, = min(K0, µ) > 0, где B = lim eK t u(t, x) dx.

t (2)n В главе 3 получена асимптотика классического решения периодической задачи для комплексного уравнения Ландау-Гинзбурга в случае малых начальных данных.

В §3.1 ставится следующая периодическая задача ut + |u|2u + au - ( + i)u = 0, t > 0, x , (6) u(0, x) = (x), x .

Здесь x = (x1,..., xn), n 1, – n-мерный куб с длиной ребра 2, a, , – действительные числа, – комплексное число. Решение u(t, x) – комплекснозначная функция, 2-периодическая по пространственным переменным, – оператор Лапласа.

В §3.2 доказываются вспомогательные утверждения и априорные оценки.

В §3.3 доказаны следующие утверждения.

Теорема 13 (Существование и единственность решения) Пусть выполнены следующие условия: a > 0, > 0, а коэффициенты Фурье начального возмущения (x) удовлетворяют условию |p| (1 + |p|)-µ, µ > n, p Zn, где – достаточно мало. Тогда для любого (n/2; µ - n/2) существует единственное решение u(t, x) периодической задачи (6), принадлежащее классу C0([0; ), h) C1((0; ), hs) s > .

Теорема 14 (Асимптотика решения в случае малых начальных данных) Пусть выполнены условия теоремы 13. Тогда при t равномерно по x справедлива асимптотика u(t, x) = Be-at + o e-att-, > 0, где B = lim eat 1 u(t, x) dx.

(2)n t Вид асимптотики в периодическом случае существенным образом отличается от случая задачи Коши во всем пространстве отсутствием дополнительного степенного убывания по t, зависящего от размерности пространства x–ов.

В заключении анализируется влияние тех или иных условий на линейную часть, нелинейность и начальные данные с точки зрения сущеL N ствования глобального решения модельной периодической задачи (1). Введем понятия сильных и слабых требований для указанных характеристик задачи:

Сильное требование Слабое требование Сильная диссипация ( > 0 в (2)) Отсутствие этого L Симметрия нелинейности (4) Отсутствие этого N s Малость h Отсутствие этого Выясним влияние приведенных условий на решение задачи (1), сравнив формулировки теорем 1 и 2 о локальном по времени существовании решения, а также теорем 3, 4 и 6 о существовании решения в целом по времени.

Существование решения в целом по времени обеспечивается наличием хотя бы одного из двух сильных требований: либо для нелинейного оператора, либо для начальных данных . В случае же, когда нелинейность N и начальные данные удовлетворяют одновременно слабым требованиям, в работе доказано существование решения задачи (1) локально по времени (с каждым из двух условий слабым или сильным для линейного оператора ). В связи с этим возникает вопрос: может ли в последнем слуL чае решение задачи (1) существовать в целом по времени? Приведем пример задачи, в которой такое локальное по времени решение не может быть продолжено на всю полуось [0, +).

Пусть для линейного оператора выполнено условие диссипации (2) с L 0 (т. е. выполнено сильное или слабое условие), L0 = L0 > 0; нелинейный оператор удовлетворяет условиям Ap,q -1, Bp,q,r 0; начальN ные данные hs, где s > n/2 + , причем (x) вещественная функция и 0 = (x) dx велико. Тогда выполнены условия теоремы 10 суще(2)n ствования локального по времени решения u(t, x) периодической задачи (5) для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова, принадлежащего классу C([0, T ]; hs) C1((0, T ]; hs-). Однако в силу замечания 2 к теореме 11 о существовании решения в целом по времени, сформулированные выше требования обеспечивают разрушение решения за конечное время.

В приведенном примере начальные данные не малы в смысле нормы s h, а значит удовлетворяют слабому требованию. Нелинейность такN же удовлетворяет слабому требованию, поскольку в случае выполнения условия симметрии нелинейности (4) была бы справедлива теорема 6 о существовании решения в целом по времени, а это не так.

Таким образом, можно сделать вывод, что в рамках задачи (1) наличие глобального во времени решения существенно связано с особенностями нелинейного оператора и начальных данных , в то время как свойства N линейного оператора в значительной степени определяют класс гладкости L решения в терминах индекса пространства hs.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1. Получены различные типы асимптотик (экспоненциальная, осциллирующая) при больших временах решения периодической задачи для модельного уравнения с квадратичной и кубической нелинейностями в многомерном по пространственной переменной случае.

2. Получена асимптотика классического решения периодической задачи для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова в многомерном по пространственной переменной случае. Показано, что условия теоремы существования решения в целом по времени являются не только достаточными, но и необходимыми.

3. Получена асимптотика классического решения периодической задачи для уравнения Ландау-Гинзбурга в многомерном по пространственной переменной случае.

В заключение автор выражает огромную благодарность члену-корреспонденту Российской академии наук, доктору физико-математических наук, профессору И.А.Шишмарёву за постановку задач и замечания, высказанные в ходе проведения исследований.

Автор глубоко благодарен академику Российской академии наук, доктору физико-математических наук, профессору В.А.Ильину за постоянную поддержку в работе.

Автор благодарен профессору Г.А.Калябину, доценту Г.Д.Ким и доценту В.В.Тихомирову за ценные советы по теме диссертации и поддержку.

ПУБЛИКАЦИИ 1. Комаров М.В. Периодическая задача для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова// Дифференциальные уравнения. - 2001. Т.37, №1. - C.66-72.

2. Комаров М.В., Шишмарев И.А. Периодическая задача для уравнения Ландау-Гинзбурга// Математические заметки. - 2002. - Т.72, №2. - C.227-235.

3. Комаров М.В. Периодическая задача для эволюционного уравнения с квадратичной и кубической нелинейностями// Дифференциальные уравнения. - 2011. - Т.47, №12. - С.1705-1723.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.