WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Жуков Дмитрий Александрович

MG-деформации поверхностей положительной гауссовой кривизны

01.01.04 – геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань 2012

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Таганрогский государственный педагогический институт имени А. П. Чехова» на кафедре алгебры и геометрии.

Научный консультант: заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Фоменко Валентин Трофимович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Бикчантаев Ильдар Ахмедович;

доктор физико-математических наук, профессор Шикин Евгений Викторович.

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет».

Защита состоится 20 декабря 2012 года в 16:00 на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, Казанский (Приволжский) федеральный университет, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета.

Автореферат разослан _____ ноября 2012 года.

Ученый секретарь Липачёв диссертационного совета, Евгений кандидат физико-математических Константинович наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ



Актуальность темы. В современной геометрии важным направлением является теория деформаций поверхностей. Существует большое число разновидностей бесконечно малых и непрерывных деформаций, самыми изученными из них являются деформации, сохраняющие длины дуг на поверхности – изгибания. Именно с бесконечно малых изгибаний берет свое начало теория деформаций. Бесконечно малые изгибания получили широкое распространение и развитие в XX веке. Изгибания изучались в работах В. Бляшке, С. Э. Кон-Фоссена, Г. Либмана, Р. Зауера, А. Д. Александрова, А. В. Погорелова, Н. В. Ефимова, В. Т. Фоменко, И. Х. Сабитова, С. Б. Климентова, П. Е. Маркова и многих других.

Благодаря тому, что изгибания на данный момент хорошо изучены, актуально изучение деформаций, отличающихся от изгибаний. Перечислим некоторые из них: ареальные (А-деформации), конформные, геодезические, бесконечно малые деформации с сохранением асимптотической сети линий или сети линий кривизны, эквиареальные деформации, бесконечно малые деформации, сохраняющие объект связности, деформации, сохраняющие грассманов образ поверхности (G-деформации), AG-деформации, ARG-деформации. Указанные деформации изучались в работах В. Т. Фоменко, И. А. Бикчантаева, М. С. Синюкова, С. Г. Лейко, Л. Л. Бескоровайной, А. В. Забеглова, О. Н. Бабенко, В. В. Сидорякиной и многих других.

Одними из актуальных в настоящее время деформаций являются G-деформации, которые, по определению, сохраняют поточечно грассманов образ поверхности. Этот вид деформаций изучался В. Т. Фоменко, И. А. Бикчантаевым, В. А. Горькавым, ими получен ряд результатов, описывающих свойства G-деформаций двумерных поверхностей в четырехмерном евклидовом пространстве. Вопросами восстановления поверхности по заданному грассманову образу, тесно примыкающими к G-деформациям, занимались Ю. А. Аминов и А. А. Борисенко.

Особый интерес представляет изучение G-деформаций в трехмерном евклидовом пространстве E3, так как для двумерных поверхностей в E3 существует широкое множество G-деформаций, отличных от тривиальных. Для того, чтобы их изучать, накладывают дополнительные условия на G-деформации. В случае непрерывных G-деформаций условие накладывают на приращение некоторой функции, а в случае бесконечно малых G-деформаций на вариацию такой функции. Этим способом были введены некоторые виды деформаций, например, AG-деформации (G-деформации, при которых сохраняется элемент площади поверхности), изучавшиеся в работах В. Т. Фоменко, А. В. Забеглова, О. Н. Бабенко.

В настоящее время представляет интерес изучение обобщений бесконечно малых AG-деформаций. Одним из примеров таких обобщений, изучающихся в настоящее время, являются ARG-деформации.

Сохранение элемента площади поверхности эквивалентно равенству нулю вариации гауссовой кривизны, поэтому для дальнейшего изучения нами выбрано условие K = , где K - вариация гауссовой кривизны деформируемой поверхности, – заданная функция класса D1, p, p > 2, на деформируемой поверхности. Известная проблема Минковского состоит в решении вопроса о существовании и единственности замкнутой выпуклой поверхности, которая имеет заданное произведение главных радиусов кривизны (величина обратная гауссовой кривизне), поэтому бесконечно малые G-деформации, при условии K = , получили название бесконечно малых MG-деформаций.

Исследованию бесконечно малых MG-деформаций поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве посвящена данная диссертация. Эти деформации впервые введены и рассмотрены автором в работах [1], [5] и [7].

Цель работы. Целью данной работы является исследование бесконечно ~ малых MG-деформаций замкнутой выпуклой поверхности S положительной гауссовой кривизны и элементарной односвязной поверхности S положительной гауссовой кривизны в трехмерном евклидовом пространстве с краем при различных условиях геометрического типа, наложенных на край поверхности, а также применение полученных результатов при исследовании других видов деформаций.

Научная новизна диссертации. Научная новизна работы состоит в следующем:

- введено понятие бесконечно малой MG-деформации;

- получена система дифференциальных уравнений, описывающая бесконечно малые MG-деформации;

- доказаны теоремы существования и единственности бесконечно малой MG-деформации с точечной связью для элементарной односвязной поверхности S положительной гауссовой кривизны с краем при нескольких условиях геометрического типа, наложенных на край поверхности;

- изучены бесконечно малые MG-деформации замкнутой выпуклой поверхности положительной гауссовой кривизны;

- введено понятие бесконечно малой G-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн;

- получена система дифференциальных уравнений, описывающая этот вид деформаций;

- доказаны теоремы существования и единственности бесконечно малой G-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн с точечной связью для элементарной поверхности S положительной гауссовой кривизны с краем при нескольких условиях геометрического типа, наложенных на край поверхности;

- при доказательстве теорем существования и единственности бесконечно малой G-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн использованы результаты полученные при изучении бесконечно малых MG-деформаций.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы как для дальнейшего изучения бесконечно малых MG-деформаций и бесконечно малых G-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн, так и в других исследованиях по геометрии.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на международной научной конференции «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях» (Харьков, 17-22 апреля 2011 г.), международной научной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» (Ростов-на-Дону, 22-26 апреля 2012 г.), международной научнопрактической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований ‘2011» (Одесса, 15-28 марта 2011 г.) и XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия, Кисловодск, 1-8 мая 2010 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в девяти работах, список которых приводится в конце автореферата. Публикации [1] – [3] осуществлены в журналах, входивших в список ВАК России на момент публикации, работы [5], [6] и [9] опубликованы в материалах международных конференций.

Связь работы с научными проектами и заданиями. Работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А. П. Чехова» (проект № 1.423.2011), «Реализация метрик положительной кривизны в виде поверхностей с заданной опорой», научный руководитель – Фоменко В. Т.





Структура диссертации. Диссертация состоит из содержания, введения, четырех глав и списка литературы из 28 названий. Объем диссертации составляет 108 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертации собраны сведения из теории обобщенных аналитических функций, краевых задач для систем уравнений эллиптического типа, а также некоторые свойства вращений векторного поля, необходимые для исследования.

В § 1 описываются все классы функций, используемые в работе, а также связанные с ними понятия. В § 2 описывается понятие сопряженно изометрической системы координат. В § 3 вводится в рассмотрение понятие вычета поверхности относительно поля направлений. Также в третьем параграфе приводятся примеры сетей линий на поверхности и их вычетов. Приведем некоторые важные определения.

Рассмотрим односвязную поверхность S класса D3, p, p > 2, с краем S класса C,0 < 1, гомеоморфно отображающуюся на плоскую область .

Положительным направлением обхода контура S будем называть направление, оставляющее поверхность слева. Зададим вдоль S на поверхности S непрерывное поле направлений R, не имеющее особых точек.

Зададим в некоторой точке Q кривой S направление поля R стрелкой, выбирая произвольно одну из возможностей. Отметим также в точке Q касательный вектор к кривой S, направив его в положительном направлении. Обозначим через угол, отсчитываемый от касательного вектора до стрелки, изображающей направление R, против хода часовой стрелки.

Вычетом поверхности S относительно поля направлений R будем называть число VR (S) = S , где S – приращение угла , при обходе контура S в положительном направлении.

Четвертый параграф посвящен эллиптическим системам уравнений с частными производными в общем виде и в каноническом виде с коэффициентами класса Lp, p > 2, и неизвестными функциями U и V. Ввод в рассмотрение неиз вестной функции w(z) =U + iV, где z = u + iv, i2 = -1, (u,v) – односвязная область позволяет записать общую систему уравнений в виде одного комплекс~ ~ ~ ~ ~ ~ ного уравнения z w - q1(z)zw - q2(z)zw + Aw + Bw = F, где A, B, F Lp, p > 2, функции q1, q2 измеримы и q1(z) + q2(z) q0 <1. Каноническая система уравнений записывается в виде уравнения z w + Aw + Bw = F, где A, B, F Lp, p > 2. Если правые части комплексных уравнений тождественно равны нулю, то уравнения называют однородными, в противном случае неоднородными.

В § 4 также обсуждается метод построения решений полученных комплексных уравнений, указываются свойства решений, производится запись краевого условия U + V = в комплексной форме Re{(z)w(z)} = , где = + i C ().

Присоединяем к полученным комплексным уравнениям краевое условие, в результате получаются две краевые задачи Римана-Гильберта. Задача для комплексного уравнения, полученного из канонической системы, называется в ~ работе задачей A, из общей – задачей A, в случае однородных комплексных ~ уравнений и 0, рассматриваемые задачи называются задачами A и A, соответственно.

В § 5 описывается понятие индекса функции, и приводятся некоторые его свойства.

Индексом функции будем называть целое число, обозначаемое Ind, равное деленному на 2 приращению аргумента функции при обходе границы области в направлении, оставляющем область слева, т. е.

Ind = arg.

2 Основным методом доказательства существования и единственности бесконечно малых MG-деформаций, а также бесконечно малых G-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн, являет~ ся применение признаков разрешимости краевых задач A и A по И. Н. Векуа, которые приводятся в § 6 в виде теорем 5 и 6:

Теорема 5. Если Ind 0, то:

~ 1) задачи A и A имеют (2Ind +1) линейно независимых решений;

~ 2) задачи A и A всегда разрешимы, при этом общее решение задачи A 2Ind+дается формулой w(z) = wA(z) + c wj (z), где cj - произвольные вещественj j=ные постоянные, wA – частное решение неоднородной задачи A, wj – полная ~ система решений однородной задачи A, j =1,2,...,(2Ind +1), решение задачи A зависит от (2Ind +1) произвольных вещественных постоянных.

Теорема 6. Если Ind < 0, то:

~ 1) задачи A и A не имеют нетривиальных решений;

2) задача A имеет решение (и притом единственное) тогда и только тогда, когда выполняются (-2Ind -1) условий разрешимости;

~ 3) задача A имеет решение (и притом единственное) тогда и только тогда, когда выполняются (-2Ind -1) условий разрешимости.

Глава вторая полностью посвящена исследованию бесконечно малых MG-деформаций односвязной поверхности S положительной гауссовой кривизны с краем.

В первом параграфе второй главы вводятся понятия бесконечно малой MG-деформации, векторного поля деформации, заданной на поверхности известной функции , точечной связи, а также задается регулярность вводимых функций.

Рассмотрим деформацию St, t (-t0,t0), t0 > 0, поверхности S, задавая ее уравнением rt = R(u,v,t), где (u,v), R(u,v,t) – функция класса D3, p, p > 2, по параметрам u,v и класса С2 по параметру t, R(u,v,0) r (u,v).

R Векторное поле = r обозначим через y и будем называть векторt t= ным полем деформации. Будем в дальнейшем считать, что y = y(u,v) D3, p, p > 2. Две деформации называются эквивалентными, если их векторные поля деформаций равны. Каждый класс эквивалентных деформаций будем называть бесконечно малой деформацией поверхности S.

Определение 1. Бесконечно малой G-деформацией называется бесконечно малая деформация поверхности S, при которой поточечно сохраняется сфериче ский образ поверхности S, аналитически это условие записывается в виде: n = 0, где n – вариация единичного вектора нормали поверхности S.

Зададим на поверхности S функцию D1, p, p > 2.

Определение 2. Бесконечно малой MG-деформацией называется бесконечно малая G-деформация поверхности S, при которой выполняется условие:

K = , где K – вариация гауссовой кривизны поверхности S.

Отметим на поверхности S точку M0 и потребуем, чтобы точка M0 при деформации смещалась на заданный вектор C, это условие будем называть точечной связью. Аналитически точечная связь записывается в виде:

y(M0) = C. (*) Во втором параграфе выводится система уравнений, описывающая бесконечно малые MG-деформации поверхности S положительной гауссовой кривизны с точечной связью в трехмерном евклидовом пространстве. Для этого используются известные соотношения, характеризующие бесконечно малые G k k деформации: y = kr, j =1,2, где – некоторые скалярные функции от j j j u,v, применяются деривационные формулы Гаусса и учитывается выбор изометрически сопряженной системы координат. Далее, вводим обозначения 1 2 1 2 2 U = (2 - 1 ), V = 1, = (2 + 1 ), имеем:

2 2 2 212U + (11 - 22 )V = 1 , U - 2V + 2K 2U + 1V + 1 + 1 22 = -2 221U (11 - )V.

2K Полученная система уравнений описывает бесконечно малые MGдеформации, имеет две неизвестных функции U и V. Решив эту систему урав нений, можно однозначно определить вектор деформации y в произвольной M точке M поверхности S по формуле: y(M ) = y + C.

d MВ третьем параграфе вводятся в рассмотрение краевые условия геометрического типа, налагаемые на край поверхности. Эти условия представляют собой задание вариации некоторого инварианта P вдоль края поверхности в выбранном направлении R. После преобразований становится очевидным, что проблема существования бесконечно малой MG-деформации поверхности S, при условии PR = вдоль края S, сводится к исследованию вопроса о разрешимости краевой задачи для системы уравнений бесконечно малых MGдеформаций с краевым условием PR =, где – заданная функция класса C, 0 < <1.

Если вариацию инварианта P можно представить в виде 1 2 P = (1a1 +1 a2 +2 a3), где a1, a2, a3, – известные функции класса C, 0 < <1, (a3 - a1)2 + (a2)2 0, 0, то краевое условие PR = может быть переписано в виде: U (a3 - a1) +Va2 = (a3 + a1) +.

2K В четвертом параграфе полученная краевая задача записывается в комплексной форме. При этом система уравнений бесконечно малых MGдеформаций записывается в следующем виде: zw + A1w + B1w = F, где 1 i 1 i 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 A1 = (11 - 22 + 212) - (11 - 22 - 221), B = ( - + 2 ) + ( - +2 ), 1 22 11 12 11 22 4 4 4 1 F = z . Краевое условие переписывается в виде: Re{ w} = , где 2 K = (a3 + a1) +. Также в четвертом параграфе проверяется выполнение ус2K ловие регулярности относительно данных полученной краевой задачи, таким образом устанавливается, что полученная краевая задача есть задача A, формулируются и доказываются две леммы, необходимые для вычисления индексов конкретных краевых условий.

В пятом параграфе доказываются теоремы существования и единственности бесконечно малых MG-деформаций при некоторых краевых условиях. В каждом случае краевое условие приводится к виду, удобному для вычисления индекса, для этого применяются многочисленные свойства индекса и проводятся соответствующие оценки и, наконец, вычисляется индекс, а затем, с помощью теорем 5 и 6, доказываются теоремы 7 – 13 и следствия 1 – 6.

Зададим на поверхности S поле направлений R отношением (:). Отметим на краю поверхности S произвольно выбранную точку Q. Изобразим в этой точке направление R стрелкой.

Теорема 7. Пусть первая квадратичная форма односвязной поверхности S вдоль края S в направлении R имеет заданное приращение при бесконечно малой MG-деформации с точечной связью (*). Тогда:

1) если VR(S) > -2, то - при 0 и 0 существует и единственна бесконечно малая MGдеформация поверхности S, соответствующая бесконечно малому параллель ному переносу поверхности S в E3 на заданный вектор C ;

- при 0 или 0 бесконечно малая MG-деформация поверхности S / / существует и единственна тогда и только тогда, когда функции и удовлетворяют ( 2VR (S) + 3) условиям разрешимости;

2) если VR(S) -2, то - при 0 и 0 существует ( - 2VR (S) - 3) линейно независимых бесконечно малых MG-деформаций поверхности S;

- при 0 или 0 бесконечно малые MG-деформации поверхности S / / существуют и зависят от (-2VR(S)-3) произвольных вещественных постоянных.

Следствие 1. Пусть первая квадратичная форма односвязной поверхности S вдоль края S в направлении края имеет заданное приращение при бесконечно малой MG-деформации с точечной связью (*). Тогда:

- при 0 и 0 существует и единственна бесконечно малая MGдеформация поверхности S, соответствующая бесконечно малому параллель ному переносу поверхности S в E3 на заданный вектор C ;

- при 0 или 0 бесконечно малая MG-деформация поверхности S / / существует и единственна тогда и только тогда, когда функции и удовлетворяют трем условиям разрешимости.

Теоремы 8 – 12 и следствия 2 – 6 устанавливают аналогичные свойства при задании вдоль края S поверхности S вариаций второй квадратичной формы, нормальной кривизны, четвертой квадратичной формы, сферической кривизны, а также линейной комбинации вариаций первой и второй квадратичных форм. В последнем случае вводятся дополнительные условия на ориентацию поверхности.

Доказана теорема, устанавливающая зависимость бесконечно малых MGдеформаций при задании вдоль края S поверхности S вариации средней кривизны от вычета поверхности S относительно поля главных направлений (обозначим его через VГН (S) ).

Теорема 13. Пусть средняя кривизна вдоль края S односвязной поверхности S имеет заданное приращение при бесконечно малой MG-деформации с точечной связью (*), а край S поверхности S не содержит омбилических точек.

Тогда:

1) если VГН (S) > -2, то - при 0 и 0 существует и единственна бесконечно малая MGдеформация поверхности S, соответствующая бесконечно малому параллель ному переносу поверхности S в E3 на заданный вектор C ;

- при 0 или 0 бесконечно малая MG-деформация поверхности S / / существует и единственна тогда и только тогда, когда функции и удовлетворяют ( 2VГН (S) + 3) условиям разрешимости;

2) если VГН (S) -2, то - при 0 и 0 существует ( - 2VГН (S) - 3) линейно независимых бесконечно малых MG-деформаций поверхности S;

- при 0 или 0 бесконечно малые MG-деформации поверхности S / / существуют и зависят от (-2VГН(S)-3) произвольных вещественных постоянных.

В третьей главе диссертации исследуются бесконечно малые Gдеформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн. Этот тип деформации впервые исследуется в данной работе. Важной особенностью изучения G-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн является то, что при доказательстве теорем существования и единственности рассматриваемых деформаций используются результаты, полученные для тех же краевых условий в случае бесконечно малых MG-деформаций. Таким образом, в главе третьей показано применение бесконечно малых MG-деформаций к исследованию другого вида деформаций при найденных краевых условиях.

В начале главы вводится понятие бесконечно малых G-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн.

Определение 3. Бесконечно малой G-деформацией с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн, называется бесконечно малая G-деформация поверхности S, при которой выполняется условие:

K + 2H H = 0, где K – вариация гауссовой кривизны поверхности S, H – вариация средней кривизны H поверхности S, и – произвольные непрерывные функции параметров (u,v), которые удовлетворяют условиям:

2 + 0, 0.

В § 1 выводится система уравнений для данных деформаций:

zw + A1w + B1w = -z, w - w w + w (l + l3) + 2i l2 + 2 (l3 - l1) = 0.

Система имеет две неизвестные функции w и , состоит из двух уравнений, одно из которых является комплексной записью эллиптической системы уравнений в частных производных, а второе выражает линейную зависимость между w и . В § 2 система уравнений бесконечно малых G-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн записыва~ ~ ется в виде одного уравнения: zw - q1(z)zw - q2(z)zw + A1w + B1w = 0. Во втором параграфе также изучаются условия регулярности коэффициентов данного уравнения.

В § 3 краевое условие геометрического типа, аналогичное рассмотренному в предыдущей главе, записывается для бесконечно малых G-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн. Имеем:

Re{w} = (l1 + l3), где = ((l1 + l3)(a3 - a1) + (l1 -l3)(a3 + a1))+ i((l1 + l3)a2 -l2(a3 + a1)), l1,l2,l3 известные функции. Таким образом, получаем краевую задачу для бесконечно малых Gдеформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней ~ кривизн, которая является задачей A. Для того чтобы исследовать разрешимость задачи, необходимо вычислить индекс функции , которая имеет громоздкий вид. Эта трудность, преодолевается при выполнении некоторых условий, а именно, если для данных полученной краевой задачи верно неравенство:

- 4a3a1 + a2 0, то Ind = Ind, где = a3 - a1 + ia2.

При выполнении указанных условий, облегчается вычисление индекса функции . Этот факт имеет большое значение, так как позволяет доказать теоремы существования и единственности бесконечно малой G-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн и точечной связью для нескольких краевых условий геометрического типа.

Теорема 14. Пусть первая квадратичная форма поверхности S вдоль края S в направлении R имеет заданное приращение при бесконечно малой Gдеформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн и точечной связью (*). Тогда:

1) если VR(S) > -2, то - при 0 и 0 существует и единственна бесконечно малая Gдеформация с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности S, соответствующая бесконечно малому параллельному переносу поверхности S в E3 на заданный вектор C ;

- при 0 или 0 бесконечно малая G-деформация с нулевой линей/ / ной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности S суще ствует и единственна тогда и только тогда, когда функции и удовлетворяют ( 2VR (S) + 3) условиям разрешимости;

2) если VR(S) -2, то - при 0 и 0 существует (-2VR(S)-3) линейно независимых бесконечно малых G-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности S;

- при 0 или 0 бесконечно малые G-деформации с нулевой линей/ / ной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности S существуют и зависят от (- 2VR (S) - 3) произвольных вещественных постоянных.

Следствие 7. Пусть первая квадратичная форма поверхности S вдоль края S в направлении края имеет заданное приращение при бесконечно малой Gдеформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн и точечной связью (*). Тогда:

- при 0 и 0 существует и единственна бесконечно малая Gдеформация с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности S, соответствующая бесконечно малому параллельному переносу поверхности S в E3 на заданный вектор C ;

- при 0 или 0 бесконечно малая G-деформация с нулевой линей/ / ной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности S существует и единственна тогда и только тогда, когда функции и удовлетворяют трем условиям разрешимости.

Аналогичные факты устанавливаются в теоремах 15 – 19 и следствиях 8 – 12 при задании вдоль края S поверхности S в направлении R вариаций второй квадратичной формы, нормальной кривизны, четвертой квадратичной формы, сферической кривизны, а также линейной комбинации вариаций первой и второй квадратичных форм. В последнем случае вводятся дополнительные условия на ориентацию поверхности.

Доказана теорема, устанавливающая зависимость бесконечно малой Gдеформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн и точечной связью от вычета поля главных направлений, при задании вдоль края S поверхности S приращения средней кривизны.

Теорема 20. Пусть средняя кривизна вдоль края S односвязной поверхности S имеет заданное приращение при бесконечно малой G-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн и точечной связью (*), а край S поверхности S не содержит омбилических точек. И пусть 0. Тогда:

1) если VГН (S) > -2, то - при 0 и 0 существует и единственна бесконечно малая Gдеформация с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности S, соответствующая бесконечно малому параллельному переносу поверхности S в E3 на заданный вектор C ;

- при 0 или 0 бесконечно малая G-деформация с нулевой линей/ / ной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности S существует и единственна тогда и только тогда, когда функции и удовлетворяют ( 2VГН (S) + 3) условиям разрешимости;

2) если VГН (S) -2, то - при 0 и 0 существует ( - 2VГН (S) - 3) линейно независимых бесконечно малых G-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности S;

- при 0 или 0 бесконечно малые G-деформации с нулевой линей/ / ной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн поверхности S существуют и зависят от ( - 2VГН (S) - 3) произвольных вещественных постоянных.

В четвертой главе исследуется бесконечно малая MG-деформация ова~ лоида S класса D3, p, p > 2. Векторное поле MG-деформации y также считается принадлежащим классу D3, p, p > 2. Если векторное поле y имеет вид y = C, то будем говорить, что овалоид является жестким относительно бесконечно малых MG-деформаций.

В первом параграфе комплексное уравнение бесконечно малых MGдеформаций приводится к виду, удобному для изучения овалоида:

g K ~ ~ ~ zw + B1w = z , где w = w g K, g – дискриминант первой квадра 2 K ~ тичной формы овалоида S. Во втором параграфе доказывается теорема.

Теорема 21. Для каждой функции существует единственная бесконечно ~ малая MG-деформация с точечной связью овалоида S положительной гауссо~ вой кривизны. Овалоид S является жестким относительно бесконечно малых MG-деформаций тогда и только тогда, когда 0.

При доказательстве теоремы используются свойства изометрически сопряженной системы координат на плоскости, проводится исследование решения однородного комплексного уравнения MG-деформаций в окрестности бес конечно удаленной точки, применяются свойства обобщенных аналитических функций.

Пользуясь случаем, выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору В. Т. Фоменко, за постановку задачи, постоянное внимание и интерес к данной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ 1) введено понятие бесконечно малой MG-деформации;

2) получена система дифференциальных уравнений для бесконечно малых MG-деформаций;

3) найдены условия, которым должны удовлетворять поверхность S и направление R, зафиксированное вдоль края, при которых бесконечно малая MG-деформация элементарной поверхности S положительной гауссовой кривизны с краем и точечной связью, при нескольких требованиях геометрического типа, наложенных на край поверхности, существует и единственна;

4) установлен факт существования и единственности бесконечно малой MG-деформации овалоида положительной гауссовой кривизны для каждой функции ;

5) найдено необходимое и достаточное условие жесткости овалоида положительной кривизны относительно бесконечно малой MG-деформации;

6) введено понятие бесконечно малой G-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн;

7) получена система дифференциальных уравнений, описывающая этот вид деформаций;

8) установлены условия для односвязной поверхности S положительной гауссовой кривизны с краем и направления R, при которых бесконечно малая G-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн с точечной связью, при нескольких требованиях геометрического типа, наложенных на край поверхности, существует и единственна;

9) найдены условия, при выполнении которых, значительно упрощается поиск индекса краевой задачи для бесконечно малых G-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК РФ 1. Жуков, Д. А. О жесткости овалоида относительно бесконечно малых MG-деформаций / Д. А. Жуков // Обозрение прикладной и промышленной математики. – 2010. – Т. 17, вып. 5. – С. 719–720. (0,1 п.л.) 2. Жуков, Д. А. Бесконечно малые MG-деформации поверхности положительной гауссовой кривизны при стационарности четвертой квадратичной формы поверхности вдоль края / Д. А. Жуков // Вестник Воронежского государственного университета. – Сер. Физика. Математика. – 2011. – № 2. – С. 85–92.

(0,93 п.л.) 3. Жуков, Д. А. Бесконечно малые MG-деформации поверхности положительной гауссовой кривизны при стационарности средней кривизны вдоль края / Д. А. Жуков // Научно-технический вестник Поволжья. – 2012. – № 3. – С. 18–25.

(0,93 п.л.) Публикации в других изданиях 4. Жуков, Д. А. О жесткости поверхности, склеенной из кусков поверхностей неотрицательной гауссовой кривизны, относительно бесконечно малых AG-деформаций / Д.А. Жуков // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. – Сер. Физико-математические и естественные науки. – Таганрог: Изд-во ТГПИ, 2010. – № 1. – С. 5–11. (0,75 п.л.) 5. Жуков, Д. А. MG-деформации поверхностей положительной гауссовой кривизны при условии стационарности второй квадратичной формы вдоль края / Д. А. Жуков // Современные направления теоретических и прикладных исследований '2011. Физика и математика: сб. науч. тр. по мат. международ. научнопрак. конф. – Одесса: Черноморье, 2011. – Т. 8. – С. 47–48. (0,12 п.л.) 6. Жуков, Д. А. О бесконечно малых MG-деформациях поверхности положительной гауссовой кривизны с краем при условии стационарности нормальной кривизны вдоль края / Д. А. Жуков // Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях: тезисы докладов международной конференции. – Харьков: Апостроф, 2011. – С. 143– 144. (0,12 п.л.) 7. Жуков, Д. А. Бесконечно малые MG-деформации поверхности положительной гауссовой кривизны с краем при стационарной вдоль края первой квадратичной форме / Д. А. Жуков // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. – Сер. Физико-математические и естественные науки. – Таганрог: Изд-во ТГПИ, 2011. – № 1. – С. 3–9. (0,88 п.л.) 8. Zhukov, D. A. On infinitesimal MG-deformations of a surface of positive Gaussian curvature with stationarity of normal curvature along the boundary / D. A. Zhukov // Сontemporary problems of mathematics, mechanics and computing sciences / Ed. by N. N. Kizilova, G. N. Zholtkevych. – Kharkov: Apostrof, 2011. – P. 377–384. (0,46 п.л.) 9. Жуков, Д. А. О бесконечно малых MG-деформациях поверхности при стационарности средней кривизны вдоль края / Д. А. Жуков // Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения: тезисы докладов международной научной конференции. – Ростов н/Д:

Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ, 2012. – С. 56. (0,1 п.л.)






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.