WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЗАРЕМБО Екатерина Викторовна

МЕТОД ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СОПРЯЖЕНИЯ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ- И ТМ-ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В СЛОЕ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Специальность 01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ 2012

Работа выполнена на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования ФГБОУ ВПО Пензенский государственный университет.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования ФГБОУ ВПО Пензенский государственный университет Смирнов Юрий Геннадьевич

Официальные оппоненты: Карчевский Евгений Михайлович доктор физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет Самохин Александр Борисович доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики ФГБОУ ВПО Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Защита состоится 18 октября 2012 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, ауд. 218.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35.

Автореферат разослан сентября 2012 года и размещен на официальном сайте ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет : www.kpfu.ru

Ученый секретарь диссертационного совета Липачев Е. К.

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена решению нелинейных краевых задач сопряжения на собственные значения для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих распространение электромагнитных ТМ- и ТЕ-волн в нелинейной среде с произвольной нелинейностью.



Актуальность темы Задачи распространения электромагнитных волн в нелинейных средах интенсивно изучаются несколько десятилетий. К таким задачам относится распространение волн в волноведущих структурах и, в частности, распространение волн в диэлектрических слоях и диэлектрических цилиндрических волноводах. Явления распространения электромагнитных волн в нелинейных средах находят широкое применение, например: в физике плазмы, в современной микроэлектронике, в оптике, в лазерной технике. Они представляют и самостоятельный математический интерес, поскольку описываются нелинейными задачами сопряжения на собственные значения, общие методы решения которых недостаточно разработаны. Таким образом, прогресс в аналитическом исследовании подобных задач важен и с теоретической, и с практической точек зрения. Разработка численных методов для решения задач этого класса также является актуальной. Данное направление было и является предметом исследования многих авторов (В. П. Силин, П. Н. Елеонский1, В. С. Серов, Ю. В. Шестопалов, H. W. Shrmann2, Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов3, A. D. Boardman4, K. M. Leung5).

Цели работы:

– исследовать задачи о распространении ТМ- и ТЕ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с произвольной нелинейностью;

– сформулировать метод исследования нелинейных краевых задач сопряжения на собственные значения, описывающих процессы распространения ТМ- и ТЕ-волн;

– исследовать разрешимость рассматриваемых нелинейных задач;

– разработать метод нахождения приближенных собственных значений рассматриваемых задач.

Eleonskii P. N., Silin V. P. Nonlinear theory of penetration of p-polarized waves into a conductor // Soviet Physics JETP. – 1971. – V. 33, № 5. – P. 1039–1044.

Schrmann H. W., Serov V. S., Shestopalov Yu. V. Reflection and transmission of a plane TE-wave at a lossless nonlinear dielectric film // Physica D. – 2001. – № 158. – P. 197–215.

Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Распространение электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2010. – 264 с.

Ponath H.-E., Stegeman G. I. (editors) Modern problems in condensed matter sciences. V. 29. Nonlinear surface electromagnetic phenomena. – North-Holland: Elsevier Science Publishers, 1991.

Leung K. M. P-polarized nonlinear surface polaritons in materials with intensity-dependent dielectric functions // Physical Review B. – 1985. – V. 32, № 8. – P. 5093–5101.

Основные результаты диссертационной работы:

1. Для исследования процессов распространения электромагнитных ТМи ТЕ-волн в нелинейных слоях, сводящихся к нелинейным задачам сопряжения на собственные значения, разработан, обоснован и реализован метод задачи Коши.

2. Для рассматриваемых нелинейных задач сопряжения на собственные значения доказаны теоремы существования и локализации собственных значений.

3. Предложен модифицированный метод интегральных дисперсионных уравнений для нелинейных краевых задач сопряжения на собственные значения, описывающих распространение электромагнитных ТМ- и ТЕ-волн в нелинейных слоях. Проведено сравнение численных результатов.

Научная новизна:

– для теоретического и численного исследования рассматриваемых нелинейных задач сопряжения на собственные значения применен метод задачи Коши;

– доказаны теоремы существования и локализации собственных значений для рассматриваемых нелинейных задач сопряжения.

Теоретическая и практическая значимость Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для разработки методов исследования нелинейных задач сопряжения (в том числе на собственные значения) в многосвязных областях для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Отметим, что предложенный в рассматриваемой работе метод нахождения приближенных собственных значений может быть использован для практического нахождения постоянных распространения волноведущих структур и обладает следующими достоинствами: метод эффективен и прост в реализации; метод позволяет находить приближенные собственные значения с любой заданной точностью.

Перечисленные достоинства позволяют говорить о большой практической значимости предложенного метода.

Реализация и внедрение полученных результатов Результаты, полученные в диссертации, включены в отчеты НИР и грантов, выполненных на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования ФГБОУ ВПО Пензенский государственный университет :

РФФИ 11-07-00330-а.

Апробация работы Основные результаты работы докладывались на научных конференциях и семинарах:

– Международной конференции Days on Diffraction – 2007 (Россия, Санкт-Петербург, 2007);

– V Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (Россия, Санкт-Петербург, 2008);

– IX Всероссийской школе-семинаре Волновые явления в неоднородных средах ( Волны-2008 ) (Россия, Москва, 2008);

– VI Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (Россия, Санкт-Петербург, 2009);

– X Всероссийской школе-семинаре Волновые явления в неоднородных средах ( Волны-2009 ) (Россия, Москва, 2009);

– Научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета (Россия, Казань, 2012);

– Международной конференции 32nd Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS) (Россия, Москва, 19–23 августа 2012 г.);

– Международной конференции 14th Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET2012) (Украина, Харьков, 27–31 августа 2012 г.).

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1–7]. Работы [1–5] опубликованы в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Объем и структура диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы, содержащего 65 наименований, и приложения. Полный объем диссертации 109 страниц текста с 24 рисунками.





Содержание диссертации Во введении приводится обзор работ по теме диссертации и вопросам, примыкающим к ней; обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, излагаются краткое содержание и основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена постановке и решению нелинейной краевой задачи сопряжения на собственные значения для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих распространение электромагнитных ТМ-волн в анизотропном однородном немагнитном диэлектрическом слое. Сформулировано понятие собственного значения рассматриваемой нелинейной задачи. Доказаны теоремы о существовании и единственности решения и непрерывной зависимости решения от параметра вспомогательной задачи Коши; доказана теорема о существовании и локализации собственных значений. Предложен модифицированный метод интегральных дисперсионных уравнений.

Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, анизотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1 и 3 соответственно (1, 3 – произвольные действительные числа).

Всюду µ – магнитная проницаемость вакуума. Геометрия задачи представлена на рис. 1.

z 1 X(0 - 0) X0 Xh X(h + 0) Z(0 - 0) Z0 Zh Z(h + 0) x 0 h Рис. 1. Геометрия задачи Электромагнитное поле E и H удовлетворяет уравнениям Максвелла rot H = -iE, (1) rot E = iµH, условию непрерывности касательных составляющих электромагнитного поля на границе раздела сред x = 0 и x = h, а также условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x < 0 и x > h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид xx 0 = 0 yy 0, 0 0 zz где xx = f + 0f(|Ex|2, |Ez|2) и zz = g + 0g(|Ex|2, |Ez|2). Вид элемента yy здесь не описан, поскольку в силу поляризации этот элемент не входит в изучаемые уравнения. Здесь f, g – постоянные составляющие диэлектрических проницаемостей xx, zz; f(u, v) – однократно непрерывно дифференцируемая по обоим аргументам функция; g(u, v) – непрерывная по обоим аргументам функция.

Будем искать решения уравнений Максвелла во всем пространстве.

Рассмотрим ТМ-волны E = (Ex, 0, Ez)T, H = (0, Hy, 0)T, где Ex = Ex(x, y, z), Ez = Ez(x, y, z), Hy = Hy(x, y, z).

Можно показать, что для рассматриваемой геометрии компоненты Ex, Ez, Hy не зависят от переменной y. Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред, гармонически зависят от z. Учитывая сказанное, получаем, что компоненты полей E и H имеют представление Ex = Ex(x)eiz, Ez = Ez(x)eiz, Hy = Hy(x)eiz, (2) где – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения).

Подставив (2) в (1), выполнив нормировку в соответствии с формулами j d x = kx, = kdd, =, j = (j = 1, 2, 3), где k0 = 2µ0, используя dx x k обозначения Z(x) := Ez, X(x) := iEx и опуская значок тильды, получаем -Z + X = zzZ, (3) -Z + X = -1xxX.

Считаем, что 1, x < 0, = , 0 < x < h, 3, x > h, и – тензор, определенный выше. При x < 0 и x > h в системе (3) мы полагаем, что xx = zz = const и равно 1 или 3 соответственно.

Решения системы (3) в полупространствах x < 0 и x > h с учетом условия на бесконечности имеют вид X(0 - 0)ex 2-1 x < 0, , X(x) = (4) X(h + 0)e-(x-h) 2-3, x > h;

-1 2 - 1X(0 - 0)ex 2-1, x < 0, Z(x) = (5) --1 2 - 3X(h + 0)e-(x-h) 2-3, x > h, где X(0 - 0) известна; X(h + 0) определяется из условий сопряжения.

Внутри слоя система (3) в нормальной форме имеет вид 2(g+g)+2 f -2+f X2fv ( ) dX = Z, dx (2X2fu+f+f) (6) dZ = 2 - f - f X, dx df df где fu =, fv = (далее эти производные понимаются в этом смысле).

dX2 dZИз условий сопряжения для компонент электромагнитного поля получаем следующие условия сопряжения для функций X и Z:

[X]|x=0 = 0, [X]|x=h = 0, [Z]|x=0 = 0, [Z]|x=h = 0, (7) где [f]|x=x = lim f(x) - lim f(x).

xx0-0 xx0+Введем обозначения для граничных значений функций X(x) и Z(x) на границах слоя 0 < x < h изнутри:

X0 := X (0 + 0), Xh := X (h - 0), Z0 := Z (0 + 0), Zh := Z (h - 0).

Из формул (4), (5) получаем начальные условия для (6):

X(0) := X0, Z(0) := Z0, (8) где X0 определяется из условий (7); Z0 = -1 2 - 1X(0 - 0).

2 2 2 Обозначим f0 = f X0, Z0, fh = f Xh, Zh, тогда из (7) получаем 1X(0 - 0) = (f + f0)X0; 3X(h + 0) = (f + fh)Xh. (9) Определение 1. Число = , при котором существуют нетривиаль ные решения X(x) и Z(x) системы уравнений (6) внутри слоя, удовлетворяющие условиям сопряжения (7) и представимые в виде (4), (5) в полупространствах x < 0 и x > h, будем называть собственным значением рассматриваемой задачи. Функции X(x) и Z(x), которые соответствуют найденному собственному значению , будем называть собственными функциями задачи.

Теперь мы можем сформулировать нелинейную задачу сопряжения на собственные значения (задача PM): необходимо найти собственные значения , для которых существуют нетривиальные функции X(x) и Z(x) такие, что при x < 0 и x > h функции X и Z определяются выражениями (4), (5), где X(0 - 0) – известная величина, а X(h + 0) находится из условий сопряжения (7); при 0 < x < h функции X и Z удовлетворяют системе (6);

функции X и Z удовлетворяют условиям сопряжения (7).

Введем некоторые обозначения. Пусть max(1, 3) < < < , [, ] и b, b < – некоторые постоянные. Определим множества := {(X, Z) : |X - X0| b, |Z - Z0| b}, := {(X, Z, ) : |X - X0| b, |Z - Z0| b, [, ]}.

Пусть P и Q – правые части уравнений системы (6), и числа M, M таковы, что M max |P |, M max |Q|, M max |P |, M max |Q|.

Можно показать, что имеют место следующие утверждения.

Утверждение 1. Решение задачи Коши для системы (6) с начальными условиями (8) непрерывно дифференцируемо, единственно и существует при всех x [0, h], где h b/M.

Утверждение 2. Решение X (x, ), Z (x, ) задачи Коши для системы (6) с начальными условиями (8) непрерывно дифференцируемо относительно x, единственно и существует при всех x [0, h], где h b/M, и непрерывно зависит от , для всех [, ].

Величина X (h + 0, ) является неизвестной и подлежит определению.

Из условий сопряжения (7) получаем X (h + 0, ) = -1 f + f X2 (h - 0, ), Z2 (h - 0, ) X (h - 0, ) и Z(h + 0, ) = --1 2 - 3X(h + 0, ).

Величины X(h - 0, ) и Z(h - 0, ) определяются из решения рассматриваемой задачи Коши. Пусть F (h, ) := Z(h - 0, ) - Z(h + 0, ) = Z(h - 0, )+ + -1-1 2 - 3 f + f(X2(h - 0, ), Z2(h - 0, )) X(h - 0, ).

Тогда если число = таково, что F (h, ) = 0, то является собствен ным значением задачи PM.

Теорема 1. Пусть выполняются условия утверждения 2 и пусть отрезок [, ] [, ] таков, что F (h, )F (h, ) < 0. Тогда существует по крайней мере одно собственное значение [, ] задачи PM.

Перейдем к формулировке модифицированного метода интегральных дисперсионных уравнений (МИДУ), который позволяет найти точное дисперсионное уравнение для спектрального параметра задачи PM.

Введем новые переменные: (x) = f + X2(x) и (x) = X(x)Z-1(x)(x), откуда получим, что X2 = - 2, XZ = ( - f)-1, Z2 = ( - 2)2-2.

Полагаем, что f f - f, ( - f)2-2, g g - f, ( - f)2-2.

Система (6) в новых переменных примет вид = 2-1-1( - f), (10) = -1 2-1 f - 2 + f + (3 - 2f), f(u,v) f(u,v) здесь и далее fu =, fv =, u v (-f,2-2(-f )) (-f,2-2(-f )) = [2(g + g) + 2( - f)(f - 2 + f)fv][2( - f)fu + f + f]-1.

Тогда получим -d = [2-1( - f)] 2-1 f - 2 + f + (3 - 2f). (11) d Будем полагать функции f и g таковыми, что правая часть второго уравнения системы (10) положительна.

Теперь мы можем найти знаки выражений (0) и (h). Как видно из (4), (5), (9), величины X0 и Z0 либо одновременно положительны, либо одновременно отрицательны. В то же время из (4), (5), (9) следует, что Xh и Zh противоположных знаков. Учитывая сказанное для (0) и (h), получаем -1 2 -1 (0) = X0Z0 f + X0 > 0, (h) = -XhZh f + Xh < 0. (12) Правая часть второго уравнения (10) положительна, это значит, что функция возрастает при x (0, h). Но из (12) видно, что функция (x) не может быть дифференцируема на всем интервале (0, h), а необходимо имеет точку разрыва.

Можно показать, что решения X, Z системы (6) при аналитических правых частях являются аналитическими функциями. Значит, функция может иметь разрывы только второго рода. Эти разрывы есть полюса функции , которые находятся в нулях функции Z.

Дисперсионное уравнение имеет вид (h) wd + (N + 1)T = h, (13) (0) где N 0 – целое число; (0), (h) определяются формулами (12);

-w w() = -1 2-1(f - 2 + f) + (3 - 2f) и = () определяется из решения задачи Коши для уравнения (11) с начальными условиями + -2 (0) = X0Z0 (f + X0), (0) = f + X0 и T wd.

- Дисперсионное уравнение (13) справедливо для любого конечного h. Когда N = 0, возникает несколько уравнений при различных значениях N.

Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений.

Для того чтобы вычислить значение h для конкретного из уравнения (13), поступаем следующим образом. Пределы интегрирования в (13) при заданном известны. Для вычисления интегралов в (13) используем какойлибо из известных численных методов. Важный момент заключается в том, что при вычислении любого слагаемого в интегральной сумме (квадратурной формуле) необходимо вычислить значение подынтегральной функции в некоторой точке . Но в подынтегральную функцию входит ().

Поскольку мы решили задачу Коши для уравнения (13) с начальными данными (0), (0), то теперь, находя из этого решения значение , соответствующее значению , мы получаем ().

Вторая глава посвящена постановке и решению нелинейной краевой задачи сопряжения на собственные значения для распространяющихся поляризованных электромагнитных ТЕ-волн в изотропном однородном немагнитном диэлектрическом слое. Сформулировано понятие собственного значения рассматриваемой нелинейной задачи. Доказаны теоремы о существовании и единственности решения и непрерывной зависимости решения от параметра вспомогательной задачи Коши; доказана теорема о существовании и локализации собственных значений. Предложен модифицированный метод интегральных дисперсионных уравнений.

Рассмотрим электромагнитные волны, распространяющиеся через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между полупространствами x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz. Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость 1, 3 соответственно (1, 3 – произвольные действительные числа). Всюду µ – магнитная проницаемость вакуума. Геометрия задачи представлена на рис. 2.

z 1 Y (0 - 0) Y0 Yh Y (h + 0) Y (0 - 0) Y0 Yh Y (h + 0) x 0 h Рис. 2. Геометрия задачи Электромагнитное поле E и H удовлетворяет уравнениям Максвелла rot H = -iE, (14) rot E = iµH, условию непрерывности касательных составляющих электромагнитного поля на границе раздела сред x = 0 и x = h, а также условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |x| в областях x < 0 и x > h.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид = 2 + 0f(|E|2), где 2 – постоянная составляющая диэлектрической проницаемости ; 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума; f(x) – непрерывная функция.

Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

Рассмотрим ТЕ-волны: E = (0, Ey, 0)T, H = (Hx, 0, Hz)T, где Ey = Ey(x, y, z), Hx = Hx(x, y, z), Hz = Hz(x, y, z).

Можно показать, что для рассматриваемой геометрии компоненты электромагнитного поля не зависят от y. Волны, распространяющиеся вдоль границы z раздела сред, гармонически зависят от z. Учитывая сказанное, получаем, что компоненты полей E и H имеют представление Ey = Ey(x)eiz, Hx = Hx(x)eiz, Hz = Hz(x)eiz, (15) где – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения).

Подставив (15) в (14), выполнив нормировку в соответствии с формулаj d ми x = kx, = kdd, =, j = (j = 1, 2, 3), где k0 = 2µ0, используя dx x k обозначение Y (x) := Ey и опуская значок тильды, получаем Y (x) = 2 - Y (x). (16) Считаем, что 1, x < 0, = 2 + f(Y ), 0 < x < h, 3, x > h.

Решения уравнения (16) в полупространствах x < 0 и x > h с учетом условия на бесконечности имеют вид Y (0 - 0)ex 2-1 x < 0, , Y (x) = (17) Y (h + 0)e-(x-h) 2-3, x > h;

2 - 1Y (0 - 0)ex 2-1, x < 0, Y (x) = (18) - 2 - 3Y (h + 0)e-(x-h) 2-3, x > h, где Y (0 - 0) известна; Y (h + 0) определяется из условий сопряжения.

Внутри слоя уравнение (16) имеет вид Y (x) = 2 - 2 - f(Y ) Y (x). (19) Из непрерывности касательных составляющих электромагнитного поля получаем следующие условия сопряжения для функций Y и Y :

[Y ]|x=0 = 0, [Y ]|x=h = 0, [Y ]|x=0 = 0, [Y ]|x=h = 0, (20) где [f]|x=x = lim f(x) - lim f(x).

xx0-0 xx0+ Введем обозначения для граничных значений функций Y (x) и Y (x) на границах слоя 0 < x < h изнутри Y0 := Y (0 + 0), Yh := Y (h - 0), Y0 := Y (0 + 0), Yh := Y (h - 0).

Из условий сопряжения (20) получаем Y0 = Y (0 -0), Yh = Y (h+0), Y0 = 2 - 1Y0, Yh = - 2 - 3Yh. (21) Определение 2. Число = , при котором существует нетривиаль ное решение Y (x) уравнения (16) внутри слоя, удовлетворяющее условиям сопряжения (20) и представимое в виде (17) в полупространствах x < и x > h, будем называть собственным значением рассматриваемой задачи. Функцию Y (x), которая соответствует найденному собственному значению = , будем называть собственной функцией задачи.

Теперь мы можем сформулировать нелинейную задачу сопряжения на собственные значения (задача PE): необходимо найти собственные значе ния , для которых существуют нетривиальные функции Y (x) и Y такие, что при x < 0 и x > h функция Y определяется выражениями (17), где Y (0 - 0) – известная величина, а Y (h + 0) определяется из условий сопряжения; при 0 < x < h функция Y удовлетворяет уравнению (19); функции Y и Y удовлетворяют условиям сопряжения (20).

Запишем уравнение (19) в виде системы. Пусть Y1 := Y, Y2 := Y, тогда Y1 = Y2, (22) Y2 = (2 - 2 - f(Y12))Y1.

Из формул (21) получаем начальные условия для (22) Y1(0) = Y0, Y2(0) = 2 - 1Y0. (23) Введем некоторые обозначения. Пусть max(1, 3) < < < , [, ] и b, b < – некоторые постоянные. Определим множества := (Y1, Y2) : |Y1 - Y0| b, |Y2 - 2 - 1Y0| b, := (Y1, Y2, ) : |Y1 - Y0| b, Y2 - 2 - 1Y0 b, [, ].

Пусть P и Q – правые части уравнений системы (22), числа M, M таковы, что M max |P |, M max |Q|, M max |P |, M max |Q|.

Можно показать, что имеют место следующие утверждения.

Утверждение 3. Решение задачи Коши для системы (22) с начальными условиями (23) непрерывно дифференцируемо, единственно и существует при x [0, h], где h b/M.

Утверждение 4. Решение Y1(x, ), Y2(x, ) задачи Коши для системы (22) с начальными условиями (23) непрерывно дифференцируемо относительно x, единственно и существует при всех x [0, h], где h b/M, и непрерывно зависит от для всех [, ].

Используя условия сопряжения (20), мы получаем, что Y1(h - 0, ) = Y1(h + 0, ), Y2(h - 0, ) = Y2(h + 0, ), (24) причем Y1 (h - 0, ) и Y2 (h - 0, ) есть предельные значения решения задачи Коши на границе изнутри слоя. Из формул (21) получаем, что Y1 (h + 0, ) = Yh и Y2 (h + 0, ) = - 2 - 3Yh. Теперь, учитывая формулы (24), получаем, что Y1(h - 0, ) = Yh, Y2(h - 0, ) = - 2 - 3Yh. (25) Но величина Yh является неизвестной и подлежит определению. Из первой формулы (25) получаем, что Yh := Y1(h - 0, ). Пусть F (h, ) := := Y2(h - 0, ) + 2 - 3Y1(h - 0, ). Тогда, если число = таково, что F (h, ) = 0, то является собственным значением задачи PE.

Теорема 2. Пусть выполняются условия утверждения 4 и пусть отрезок [, ] [, ] таков, что F (h, )F (h, ) < 0. Тогда существует по крайней мере одно собственное значение (, ) задачи PE.

Перейдем к формулировке модифицированного метода интегральных дисперсионных уравнений, который позволяет найти точное дисперсионное уравнение для спектрального параметра задачи PE.

Введем новые переменные: (x) = 2 + Y12(x), (x) = Y1(x)Y2-1(x)(x), откуда получим, что Y12 = - 2, Y1Y2 = ( - 2)-1, Y22 = ( - 2)2-2.

Система (22) примет вид (мы обозначили 0 = 2-2) = 2( - 2)-1, (26) = 2 0 - 1 + -2f( - 2) 2-1 + 3 - 22, и d 2( - 2)-=. (27) d 2 (0 - 1 + -2f( - 2)) 2-1 + 3 - 2Будем полагать функцию f такой, что правая часть второго уравнения системы (26) положительна.

Из начальных условий и условий сопряжения получаем (0) = 2+Y12(0), (h) = 2 + Y12(h); поскольку значение Y1(0) известно, то и (0) известно.

Для (0) и (h) получаем 2 + Y12(0) 2 + Y12(h) (0) = > 0, (h) = - < 0. (28) 2 - 1 2 - Правая часть второго уравнения (26) положительна, это значит, что функция возрастает при x (0, h). Но из (28) видно, что функция (x) не может быть дифференцируема на всем интервале (0, h), а необходимо имеет точку разрыва.

Можно показать, что решения Y уравнения (19) при аналитической правой части являются аналитическими функциями. Значит, функция может иметь разрывы только второго рода. Эти разрывы есть полюса функции , которые находятся в нулях функции Y.

Дисперсионное уравнение имеет вид (h) - wd + (N + 1) T = h, (29) (0) где N 0 – целое число; (0), (h) определены формулами (28); = () определяется из решения задачи Коши для уравнения (27) с начальными + 2+Y1 (0) условиями (0) =, (0) = 2 + Y12(0) и T wd.

- 2-Дисперсионное уравнение (29) справедливо для любого конечного h. Когда N = 0, возникает несколько уравнений при различных значениях N.

Необходимо решать относительно каждое из получающихся уравнений.

Для того чтобы вычислить значение h для конкретного из уравнения (29), поступаем следующим образом. Пределы интегрирования в (29) при заданном известны. Для вычисления интегралов в (29) используем какойлибо из известных численных методов. Важный момент заключается в том, что при вычислении любого слагаемого в интегральной сумме (квадратурной формуле) необходимо вычислить значение подынтегральной функции в некоторой точке . Но в подынтегральную функцию входит ().

Поскольку мы решили задачу Коши для уравнения (29) с начальными данными (0), (0), то теперь, находя из этого решения значение , соответствующее значению , мы получаем ().

Третья глава посвящена формулировке и обоснованию метода нахождения приближенных собственных значений рассматриваемых нелинейных задач. На основе результатов, изложенных в первых двух главах, изучены конкретные виды нелинейностей. Приведены как новые численные результаты, так и проведено сравнение с МИДУ.

Рассмотрим метод нахождения приближенных собственных значений для ТМ-волн (формулировка метода для ТЕ-волн аналогична).

Пусть 0 < h < h < и max (1, 3) < < < – некоторые числа. Считаем, что h [h, h] и [, ]. Разбиваем отрезки [h, h] и [, ] на n и m частей соответственно. Имеем сетку {hi, j}, i = 0, n, j = 0, m; причем h0 = h, hn = h, 0 = , m = . Тогда для каждой пары индексов (i, j) будем иметь пару начальных значений (Xij(0), Zij(0)), -где Xij(0) X0 и Zij(0) = j j - 1X(0 - 0), а X0 определяется из 2 уравнения 1X(0 - 0) = f + f(X0, Z0) X0.

Поставим задачу Коши для системы (6) с начальным условием Xij (0), Zij(0). Величина является параметром в системе (6), и решения этой системы зависят от . Решив указанную задачу Коши, получаем значения Xij(h) Xj (hi) и Zij (h) Zj(hi). Поскольку X непрерывна при x = h, 2 то это позволяет вычислить Xij(h+0) = -1 f + f(Xj (hi), Zj (hi)) Xj(hi).

Теперь, используя вторую формулу (5) и найденное Xij(h + 0), нахо -дим Zij(h + 0) = -j j - 3Xij(h + 0). Но значение Zij(h - 0) известно из решения задачи Коши. Принимая во внимание непрерывность Z(x) на границе x = h, построим функцию F (hi, j) = Zij(h + 0) - Z (h - 0) = ij 2 = --1-1 j - 3 f + f(Xij(h), Zij(h)) Xij(h) - Zij(h).

В диссертации показано, что F (hi, j) является непрерывной функцией параметра . Пусть для заданного hi существуют такие j и j+1, что F (hi, j) F (hi, j+1) < 0. Значит, существует по крайней мере одно значение i (j, j+1) такое, что j является собственным значением рассмат риваемой задачи о распространении волн и этому собственному значению соответствует толщина слоя hi.

Обозначим G() := F (hi, ). Пусть > 0 – погрешность нахождения собственного значения. Пусть интервал (1, 1) такой, что G(1)G(1) < 0.

Обозначим (1, 1) искомое собственное значение.

1+Определим середину отрезка 1 = и вычислим значение G(1).

Проверяем следующие условия:

1. Если |G (1)| < , то 1 – искомое приближенное собственное значение.

2. Если G(1)G (1) < 0, то (1, 1). Тогда полагаем 2 := 1 и 2 := 1, и, значит, приближенное собственное значение 2 (2, 2).

3. Если G (1) G (1) < 0, то (1, 1). Тогда полагаем 2 := 1 и 2 := 1, и, значит, приближенное собственное значение 2 (2, 2).

Выполнив n итераций, получаем, что искомое приближенное собственное значение n (n, n). Ясно, что |n - n| = 2-n|1 - 1|. Выберем n таким образом, чтобы |1-1| < . Тогда за приближенное собственное значение 2n n+n n можно принять, например, середину отрезка (n, n), т.е. n =.

Теорема 3. Пусть F (1)F (1) < 0, выполняются условия теоремы 1 и { – последовательность приближенных собственных значений, тогда n} limn n = .

Для задачи PE имеет место аналогичная теорема.

Теорема 4. Пусть F (1)F (1) < 0, выполняются условия теоремы 2 и { – последовательность приближенных собственных значений, тогда n} limn n = .

Результаты расчетов Нелинейность с насыщением (ТM-волны). Диэлектрическая проницаемость внутри слоя является скалярной функцией и имеет вид |Ex|2 + |Ez| = 2 + 0, 1 + (|Ex|2 + |Ez|2) результаты расчетов дисперсионных кривых представлены на рис. 3 слева.

Керровская нелинейность (ТЕ-волны). Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид = 2 + 0|E2|, результаты расчетов дисперсионных кривых представлены на рис. 3 справа.

3. 1. 2. 1. 1.5 5 10 15 20 25 30 h 0 10 20 30 h Рис. 3. Дисперсионные кривые для линейного (пунктирные линии) и нелинейного (сплошные линии и ромбы) слоев: слева – 1 = 1, 2 = 4, 3 = 1, Z0 = 1, = 0.001, = 0.001; сплошные кривые рассчитаны с помощью предложенного в этой диссертации метода; справа – 1 = 1.1, 2 = 1.7, 3 = 1.1, = 0.02, Yh = 1; сплошные кривые рассчитаны МИДУ, ромбы вычислены с помощью предложенного в этой диссертации метода Публикации автора по теме диссертации Статьи в научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ 1. Зарембо, Е. В. Об одном численном методе решения нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТМ-волн, распространяющихся в слое с керровской нелинейностью / Е. В. Зарембо // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. – 2012. – № 1. – С. 75–82.

2. Зарембо, Е. В. Численный метод решения нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТE-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью / Е. В. Зарембо // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 2. – С. 60–75.

3. Зарембо, Е. В. Численный метод решения нелинейной краевой задачи на собственные значения для электромагнитных ТМ-волн, распространяющихся в слое с произвольной нелинейностью / Е. В. Зарембо // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 3. – С. 58–71.

4. Сысова, Е. В. Решение задачи дифракции электромагнитной ТЕволны на диэлектрическом слое с нелинейностью некерровского типа / Е. В. Сысова, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Сер. Естественные науки. – 2006. – № 5. – С. 116–121.

5. Сысова, Е. В. Итерационные решения уравнения непараксиальной динамики пространственного спектра монохроматической двумерной ТЕволны в среде с кубичной по полю нелинейностью / Е. В. Сысова // Научнотехнический вестник СПбГУ ИТМО. Сер. Оптотехника, Оптоинформатика, Оптические материалы. – 2008. – № 58. – С. 47–50.

Публикации в других изданиях 6. Сысова, Е. В. Непараксиальная динамика пространственного спектра монохроматической двумерной ТЕ-волны в среде с кубичной по полю нелинейностью / Е. В. Сысова // Оптоинформатика, наносистемы и теплотехника : сборник трудов конференции молодых ученых. – СПб. – 2009. – Вып. 3. – С. 162–166.

7. Zarembo, E. V. Electromagnetic TM wave propagation in nonlinear multilayered waveguides. Numerical technique to obtain propagation constants / E. V. Zarembo, D. V. Valovik // 2012 International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Proceedings. – Kharkov, 2012. – P. 105–108.

Научное издание ЗАРЕМБО Екатерина Викторовна МЕТОД ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СОПРЯЖЕНИЯ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ- И ТМ-ВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В СЛОЕ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ Специальность 01.01.02 – Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Редактор А. Г. Темникова Технический редактор Ф. Д. Фафурин Компьютерная верстка Е. В. Зарембо Подписано в печать 10.09.2012. Формат 60 841/16.

Усл. печ. л. 0,Заказ № 672. Тираж 100.

Пенза, Красная, 40, Издательство ПГУ Тел./факс: (8412) 56-47-33; e-mail: iic@pnzgu.ru






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.