WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

На правах рукописи

УДК 511.34 Архипова

Людмила Геннадьевна Квадратичные характеры в проблеме распределения целых точек в шаре

01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2012

Работа выполнена на кафедре математических и компьютерных методов анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Чубариков Владимир Николаевич

Официальные оппоненты: Добровольский Николай Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО Тульский государственный университет имени Л.Н. Толстого, заведующий кафедрой Сухарев Иван Юрьевич, кандидат физико-математических наук, Евразийская экономическая комиссия, консультант департамента статистики

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Московский педагогический государственный университет

Защита диссертации состоится 16 ноября 2012 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: РФ 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 16 октября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор Иванов Александр Олегович

Общая характеристика работы

Актуальность темы Диссертация является исследованием в области аналитической теории чисел, теории квадратичных характеров и арифметических проблем распределения целых точек в областях.

Проблемой шара называют задачу о выводе асимптотической формулы для T (a) - числа узлов трехмерной целочисленной решетки, лежащих внутри шара растущего радиуса a с центром в начале координат, а также возможно более точной оценке остаточного члена R(a) данной асимптотики.

Из рассуждений К.Ф. Гаусса, касающихся проблемы круга, легко следует асимптотическая формула для количества T (a) вида T (a) = a3+R(a), R(a) a2. Главный член этой формулы есть просто объем шара радиуса a.

В 1926 году венгерский математик Сеге1 доказал, что R(a) есть (a ln a).

В 1935 году И.М. Виноградов свел проблему оценки остатка R(a) к сферическим суммам, то есть тройным суммам по целым точкам, лежащим 2,на сфере переменного радиуса, и применил к ним свой метод оценок тригонометрических сумм, разработанный для исследования числа классов квадратичных форм отрицательного дискриминанта и для исследований по проблеме Варинга4, и получил первое со времен Гаусса улучшение оценки остаточного члена в проблеме шара5. Оценка Виноградова имела вид R(a) a1,4+. В дальнейшем он же неоднократно улучшал этот ре4зультат. В 1949 году6 была получена оценка R(a) a1,4- +. Оценка 1911 + + 8 года7 имеет вид R(a) a. Оценка 1960 года8 R(a) a. И, наконец, в 1963 году И.М. Виноградов9 оценил остаток R(a) величиной a ln6 a.

Более совершенное изложение последнего результата содержится в моноG. Szego, “Beitrage zur Theorie der Laguerreschen Polynome”, II, Zahlentheoretische Anwendungen, Math. Z., 25 (1926), 388-404.

И.М. Виноградов, “О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя”, Сообщ. Харьк. мат. о-ва, 1918 т.16, 1-2, с. 10-38.

И.М. Виноградов, “Докторская диссертация” И.М. Виноградов, “О верхней границе G(n) в проблеме Варинга”, Изв. АН СССР, ОМЕН, 1934, 10, с. 1455-1469. Рез. на англ. яз.

И.М. Виноградов, “Число целых точек в шаре”, Тр. мат. ин-та, 1935, т. 9, с. 17-38.

И.М. Виноградов, “Улучшение остаточного члена одной асимптотической формулы”, Изв. АН СССР, Сер. мат. 1949, т. 13, 2, с. 97-110.

И.М. Виноградов, “Улучшение асимптотических формул для числа целых точек в области трех измерений”, Изв. АН СССР, Сер. мат. 1955, т. 19, 1, с. 3-10.

И.М. Виноградов, “К вопросу о числе целых точек в заданной области”, Изв. АН СССР, Сер. мат.

1960, т. 24, 6, с. 777-786.

И.М. Виноградов, “К вопросу о числе целых точек в шаре”, Изв. АН СССР, Сер. мат. 1963, т. 27, 5, с. 957-968.

графии "Особые варианты метода тригонометрических сумм" 1976 года10.

Следует отметить, что несколько позднее И.М. Виноградова, но независимо от него известный китайский математик Чен Джин Ран11 также получил + оценку вида R(a) a.

Метод Виноградова, использованный в работе12 1963 года, по существу состоит в сведении задачи к оценке сферической тригонометрической суммы P () вида e2ia l2+m2+nP () = a.

l2 + m2 + nl2+m2+n2 a при условии, что параметр меняется в промежутке E = 0;. При каждом значении сумма P () оценивается и применяется к исследованию остатка R(a) в асимптотической формуле. В современном виде зависимость оценки суммы P () от приведена в работе13 Г. Иванца и Ф.Чамизо. В диссертации приводится явное аналитическое и графическое представление этой оценки.

До 1995 года результат И.М. Виноградова в проблеме шара оставался наилучшим. Лишь в 1995 году Г. Иванец и Ф.Чамизо доказали, что + R(a) a. Идея данной работы состоит в том, чтобы найти асимптотическую формулу для количества целых точек в узком шаровом слое вида a2 l2 + m2 + n2 (a + h)2, где h - маленькое число, являющееся отрицательной степенью числа a, и за счет этого учитывать вместе с точками внутри шара точки, лежащие вне его, но с коэффициентом, гладко убывающим от единицы к нулю с ростом радиуса внутри этого слоя. Такое "сглаживание" позволяет вместо отрезка E = 0; при оценке суммы P () ограничиться отрезком E = 0; - , где > 0 - некоторая постоянная. На новом отрезке сумма P () по Виноградову оценивается лучше, чем на E, тем самым улучшается оценка остатка R(a).

В 1997 году Д.Р. Хис-Браун усилил результат работы Г. Иванца и + Ф.Чамизо. Он доказал14, что R(a) a. С помощью новых соображений он увеличил значение параметра h и благодаря этому еще более сузил про4 1 межуток E до величины E= = 0; - = 0;. Оценка Виноградова 3 12 И.М. Виноградов, “Особые варианты метода тригонометрических сумм”, Москва, Наука, 1976.

Chen Jing-Run, “Improvement on the asymptotic formulas for the number of lattice points in a region of the three dimentions”, Sci. Sinica, 12, 1963, 751-764.

И.М. Виноградов, “К вопросу о числе целых точек в шаре”, Изв. АН СССР, Сер. мат. 1963, т. 27, 5, с. 957-968.

F. Chamizo and H. Iwaniec. “On the Sphere Problem”, Rev. Mat. Iberoamericana Vol.11, 2,1995, 417-429.

D.R. Heath-Brown “Lattice points in the sphere”, Number theory in progress. Pr. Int. conference.

Zacopane, Poland, 30.06-09.07, 1997. Vol.2: Elem. And anal. numb. Theory. Berlin: de Gruyter. 883-8(1999) для P () на уменьшенном промежутке лучше, чем на старом. В указанной работе Хис-Браун утверждает, что правый конец = промежутка E можно еще несколько уменьшить. Однако это уже не ведет к улучшению оценки для R(a), поскольку показатель степени в виноградовской оценке для P () в точке = 1 имеет локальный максимум, равный, который 5 вместе с точкой = является глобальным на E= = 0;.

4 Основной результат данной диссертации состоит в получении новой оценки суммы P () в фиксированной окрестности точки = 1. Здесь доказано, что при 0; сумма P () оценивается так 21 - + 16 5P () a.

Хотя из этой оценки не следует улучшение оценки остатка R(a) в проблеме шара, однако реализация схемы Хис-Брауна, направленная на дальнейшее уменьшение длины промежутка E, вместе с нашей оценкой позволяет рассчитывать на получение новых оценок остатка R(a).

Цель работы Вывод новых форм остаточного члена в проблеме шара, выраженных через сферические тригонометрические суммы, а так же суммы, скрученные с квадратичным характером, и получение новых оценок сферических сумм в зависимости от длины промежутка суммирования, в том числе в одной из двух точек глобального максимума прежних оценок.

Научная новизна Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Предложен новый метод выражения остаточного члена асимптотической формулы в проблеме шара через сферические тригонометрические суммы И.М. Виноградова.

2. Найдено выражение сферических сумм через тригонометрические суммы, скрученные с квадратичным характером.

3. Предложены специальные представления гибридных сумм.

4. Получены новые оценки сферических тригонометрических сумм. Благодаря этому проблема нахождения новых оценок остатка в проблеме шара сведена к оценке сферических сумм в окрестности второй точке глобального максимума.

5. Найдено новое неравенство типа Вейля - Корпута.

6. Предложено новое доказательство квадратичного закона взаимности, основанное на применении тригонометрических сумм, скрученных с квадратичным характером.

Основные методы исследования В диссертации используются методы аналитической теории чисел, в том числе многомерная формула суммирования Пуассона с остаточным членом, формула И.М. Виноградова для обращения тригонометрических сумм, результаты теории теории представления чисел квадратичными формами, метод сглаживания, метод тригонометрических сумм И.М. Виноградова.

Теоретическая и практическая ценность работы Диссертация имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в задачах аналитической теории чисел, связанных с применением тригонометрических сумм, изучением распределения целых точек в областях, в теории производящих рядов Дирихле.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на следующих научноисследовательских семинарах и научных конференциях:

• Семинар Аналитическая теория чисел МГУ, Москва (неоднократно в 2006 - 2012 гг.) • XVI международная конференция серии "Математика. Компьютер.

Образование. г. Пущино, 19-24 января 2009г.

• VII международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения посвященная памяти профессора А.А.

Карацубы, г. Тула, ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 11-15 мая, 2010 г.

• Международная научная конференция Комплексный анализ и его приложения к дифференциальным уравнениям и теории чисел (Белгород, Белгородский государственный университет, 17–21 октября 2011 г.).

• X международная конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения г.Волгоград, УКЦ ФМИФ ВГ-СПУ, 10-сентября 2012 г.

Публикации Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 7 работах, список которых приводится в конце автореферата [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и библиографии (29 наименований). Общий объем диссертации составляет 79 страниц.

Краткое содержание работы Во введении к диссертации излагается история рассматриваемых вопросов, показана актуальность темы и сформулированы основные результаты.

Приведены формулировки известных ранее результатов в рассматриваемых направлениях исследований, снабженные подробными ссылками.

Содержание главы В первой главе находится аналитическое представление для выражения остатка асимптотической формулы для числа целых точек в шаре через сферическую тригонометрическую сумму. Доказана следующая теорема.

Теорема 1. Обозначим через T (a) количество точек целочисленной решетки, лежащих в шаре радиуса a. Пусть – некоторая положительная 1 +2 постоянная с условием , B = 5a ln a и B0 = 10B ln a. Тогда 2 -+ B T (a) = e- (l2+m2+n2)K(l, m, n) + O a, l,m,n l2+m2+n2 Bгде при l2 + m2 + n2 = 0 выполняется равенство cos 2a (l2 + m2 + n2) sin 2a (l2 + m2 + n2) K(l, m, n) = a +, (l2 + m2 + n2) 22(l2 + m2 + n2) и K(0, 0, 0) = a3.

Подобное представление ранее получалось И.М. Виноградовым разбиением шара на 48 частей и выражением остатка через дробные доли арифметических функций с последующим разложением "сглаженной" дробной доли в ряд Фурье. Г. Иванец и Ф. Чамизо для тех же целей применяли кратную формулу суммирования Пуассона, но делали это формально и без оценки остатка. Наш вывод основан на троекратном применении одномерной формулы суммирования Пуассона15 с остаточным членом. Кроме того, оценка остатка проводится в явном виде. Здесь же следует сказать, что мы ради простоты изложения не пользуемся "сглаживанием" количества целых точек по шаровому слою, оценивая их количество тривиально. Из-за этого параметр в нашем случае выходит за пределы отрезка E = 0;, что в данном случае несущественно, поскольку наши дальнейшие усилия направлены в основном на оценку величины P () в окрестности точки = 1.

Содержание главы Во второй главе диссертации мы сводим вопрос об оценке сферических сумм к тригонометрическим, скрученным символом Якоби, которые мы далее называем гибридными суммами. Для этих сумм мы находим новые представления, которые, на наш взгляд, могут быть использованы для улучшения существующих оценок остаточного члена асимптотики в проблеме шара. Обозначим через T = T (N, K) гибридную сумму вида 1 e2iad k -k T (N, K) = .

n n d k N

найдены следующие представления:

T (N, K) = i -- (da) y n n-1 y 2e- y 2 n = m - e2i (m- ) + 2 n d n n da y da y N

dn n m N

l2 + m2 + nl2+m2+n2 a Показываем, что оценка И.М. Виноградова для величины W () на отрезке E = 0; может быть записана в виде при 0 < <, 2 + при < 1, 24 48 W () a()+, где () = 3 - при 1 <, 8 6 при .

4 5 Наша оценка, полученная в главе 2, имеет вид при 0 < <, 2 65 9 26 + при <, 224 448 43 W () a()+, где () = 38 43 - при <, 8 37 3 1 406 - + при .

2 3 222 333 Сравнение этих оценок показывает, что наша оценка лучше оценки И.М.

26 38 6 Виноградова на промежутках E = ; и E = ;. Следует отме43 37 5 тить, что sup () = sup () и sup () - sup () = > 0. Поэтому 5E E E (0; ) сужение отрезка E за точку Хис-Брауна = позволило бы из нашего результата получить новое степенное понижение в остаточном члене асимптотической формулы в проблеме шара.

В настоящий момент проблема получения новых оценок этого остатка остается открытой.

Материалы настоящей диссертации открывают новые возможности для степенных улучшений в данном направлении. Во-первых, можно реализовать указание Хис-Брауна с целью некоторого увеличения значения параметра и получения новых оценок по указанной выше схеме. Во-вторых, можно воспользоваться полученной в разделе 2.4 новым выражением гибридной суммы T (N, K) и применить к нему схему оценки, разработанную И.М. Виноградовым для оценки сумм, скрученных с функцией Мебиуса16.

При этом следует учесть, что в новой записи сумма T (N, K) представляет собой тригонометрическую сумму, скрученную с произведением символа -r Якоби на аргумент суммы Гаусса n. Указанное произведение приниn мает четыре различных значения ±1,±i, в то время как функция Мебиуса равна ±1. По-видимому, модификация метода работы И.М. Виноградова для наших целей не представляет непреодолимых трудностей. И, наконец, третий подход к оценке сумм T (N, K) состоит в применении к формулам из раздела 2.3 новой формы неравенства Вейля - Корпута, вывод которой приводится в главе 3.

Содержание главы Третья глава диссертации посвящена приложению рациональных тригонометрических сумм, скрученных символом Лежандра к выводу нового доказательства квадратичного закона взаимности. Кроме того в этой главе мы выводим новою форму известного неравенства Вейля-Корпута, полезную для оценок тригонометрических сумм от функций, принадлежащих классу Корпута - Виноградова, к которым относятся и суммы, рассматриваемые в данной диссертации. Указанное неравенство представлено в виде следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть f(x) - вещественная функция. Обозначим через S и T суммы вида b H-S = e2if(x), T = T (H) = e2if(x).

H x=a k=0 a+2kxb-2k И.М. Виноградов, “Некоторое общее свойство распределения произведений простых чисел”, Док.

АН СССР, 1941 т.30 8.

Здесь H - натуральное число, меньшее, чем (b - a)/2.

Для суммы T = T (H) справедлива оценка b - a - 2H + |T | e2i(f(y+r)-f(y-r)), H0s2H-2 a+syb+s-2H -A(s)rA(s) rs mod где s, y, r - целые числа, A(s) = s при 0 s H - 1, и A(s) = 2H - 2 - s при H s 2H - 2.

Кроме того, имеет место очевидное равенство S = T (H) + O(S1), где S1 - есть сумма того же вида, что и S, но содержащая не более чем H слагаемых.

Благодарности Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Николаевичу Чубарикову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Автор благодарит весь коллектив кафедры математических и компьютерных методов анализа и кафедры математического анализа Механикоматематического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова за создание творческой обстановки.

Работы автора по теме диссертации [1] Л.Г. Архипова, “О числе целых точек в сфере”, Вестник МГУ, вып. 5, с. 59-61, 2008г.

[2] Л.Г. Архипова, “Новые оценки сферических сумм И.М. Виноградова”, Ученые записки Орл. гос. ун., Орел, №4(48), 2012, с. 19-28.

[3] Л.Г. Архипова, “О квадратичном законе взаимности”, Чебышевский сб., т. I, вып. 1(17), с. 155-163,Тула, 2006 г.

[4] Л.Г. Архипова, “Об оценках экспоненциальных сумм, связанных с распределением целых точек в трехмерных областях”, Изд. P&C Dynamics. Тез. док. XVI межд. конф. сер. МКО, Пущино, 19-24 янв.

2009г., Вып. 16, Ч. 1, с. 14.

[5] Л.Г. Архипова, “Новые продвижения в проблеме шара”, Тез. док. VII межд. конф. Алгебра и теория чисел: сов. проб. и прилож., Тула 11-мая 2010г. Тула, изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2010, с. 30-31.

[6] Л.Г. Архипова, “Оценка тригонометрической суммы, скрученной символом Лежандра”, Тез. док. межд. конф. Компл. ан. и его прилож. в дифф. ур-ях и т.ч., Белгород, 17-21 окт., 2011, с. 14-15.

[7] Л.Г. Архипова, “Новый вариант неравенства Вейля - Корпута в методе тригонометрических сумм”, Тез. док. Х межд. конф. Алгебра и теория чисел: сов. проб. и прилож., Волгоград 10-16 сен. 2012г. Изд.

ВГСПУ Перемена, с. 5.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.