WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

КИМ Владимир Аркадьевич

КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА L-СПЛАЙНОВ С РАВНОМЕРНЫМИ УЗЛАМИ

01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 2012

Работа выполнена в отделе теории приближения функций Института математики и механики Уральского отделения РАН.

Научный руководитель член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Субботин Юрий Николаевич Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, доцент Волков Юрий Степанович кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Новиков Сергей Игоревич Ведущая организация Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Защита состоится 15 ноября 2012 года в 10:00 на заседании диссертационного совета Д 004.006.02 при Институте математики и механики Уральского отделения РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ГСП - 384, ул. Софьи Ковалевской, д. 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики Уральского отделения РАН.

Автореферат разослан " " 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 004.006.доктор физико-математических наук Н.Ю.Антонов

Общая характеристика работы



Актуальность темы. Предлагаемая работа посвящена вычислению представлений функций Лебега и констант Лебега в нормах C и L интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами и формул констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов малых порядков, в том числе для дифференциального оператора третьего порядка, в общем случае не являющегося формально-самосопряженным.

Начало исследованию констант Лебега в C процесса сплайнинтерполяции было положено в 1968 году, когда Ф.Шурер и Е.В.Ченивычислили константы Лебега в C для интерполяционных периодических кубических сплайнов с равномерными узлами. Годом позже Ф.Шурервычислил константы Лебега в C для интерполяционных периодических сплайнов пятой степени с равномерными узлами. Одним из важных результатов классической теории интерполяционных полиномиальных сплайнов стало вычисление формул констант Лебега в C для интерполяционных полиномиальных сплайнов произвольной степени с равномерными узлами Ф.Ричардсом3 и независимо А.А.Женсыкбаевым4 для интерполяционных периодических полиномиальных сплайнов. Ф.Ричардс получил результат в виде матрицы из значений специальных сплайнов, а А.А.Женсыкбаев в виде числового ряда. В 1975 году Ф.Ричардс5 нашел асимптотику констант Лебега в C для интерполяционных ограниченных на вещественной прямой полиномиальных сплайнов с равномерными узлами в зависиSchurer F. On interpolating cubic splines with equally-spaced nodes / F. Schurer, E.W. Cheney // Proc. Nederlande Acad. van Wetenschappen. – 1968. – Bd. 71, H. 5.

– P. 517–524.

Schurer F. On interpolating periodic quintic spline functions with equally-spaced nodes / F. Schurer. – Eindhoven, 1969. – Tech. Univ. Eindhoven; Report 69-WSK-01.

– 56 p.

Richards F. Best bounds for the uniform periodic spline interpolation operator / F. Richards // J. Approx. Theory. – 1973. – № 7. – P. 302–317.

Женсыкбаев А.А. Точные оценки равномерного приближения непрерывных периодических функций сплайнами r-го порядка / А.А. Женсыкбаев // Мат.

заметки. – 1973. – Т. 13, №. 2. – С. 217–228.

Richards F. The Lebesgue constants for cardinal spline interpolation / F. Richards // J. Approx. Theory. – 1975. – № 2. – P. 83–92.

мости от степени. Задача определения асимптотического поведения констант Лебега в C для интерполяционных периодических полиномиальных сплайнов с равномерными узлами в зависимости от степени и числа узлов была решена Ю.Н.Субботиным и С.А.Теляковским6. Аналогичную задачу в L на всей вещественной прямой решили М.Дж.Марсден, Ф.Ричардс и С.Д.Рименшнайдер7, а в 2003 году Ю.Н.Субботин и С.А.Теляковскийопределили асимптотику констант Лебега в L для периодических суммируемых на периоде полиномиальных сплайнов в зависимости от степени и числа узлов.

Естественным обобщением классической теории полиномиальных сплайнов является теория L-сплайнов, определяемых линейными дифференциальными операторами. Пусть далее D оператор дифференцирования. И.Цимбаларио9 доказал, что если для последовательности формально-самосопряженных дифференциальных операторов N-LN (D) = D (D - j), j R, j = 1, N - 1, j=существует число d > 0 такое, что sup sup |j| d, NN\{1} 1jN-то последовательность констант Лебега в C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами по порядку этих операторов не ограничена.

Х.Морше10 нашел асимптотику по порядку констант Лебега в C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами для формальноСубботин Ю.Н. Асимптотика констант Лебега периодических интерполяционных сплайнов с равномерными узлами / Ю.Н. Субботин, С.А. Теляковский // Мат. сб. – 2000. – Т. 191, № 8. – С. 131–140.

Marsden M.J. Cardinal spline interpolation operators on lp data / F.B. Richards, S.D. Riemenschneider // Indiana Univ. Math. J. – 1975. – Vol. 24. – P. 677–689.

Субботин Ю.Н. Нормы в L периодических интерполяционных сплайнов с равноотстоящими узлами / Ю.Н. Субботин, С.А. Теляковский // Мат. заметки.

– 2003. – Т. 74, №. 1. – С. 108–117.

Tzimbalario J. Lebesgue constants for cardinal L-spline interpolation / J. Tzimbalario // Canad. J. Math. – 1977. – Vol. 29, № 2. – P. 441–448.

ter Morsche H.G. On the Lebesgue constants for cardinal L-spline interpolation / H.G. ter Morsche // J. Approx. Theory. – 1985. – Vol. 45, № 3. – P. 232–246.

самосопряженных дифференциальных операторов нечетного порядка n L2n+1(D) = D (D2 - j), j > 0, j = 1, n.

j=Таким образом теория констант Лебега интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами на момент написания предлагаемой работы развита достаточно слабо, однако представляет большой теоретический интерес как обобщение теории констант Лебега интерполяционных полиномиальных сплайнов с равномерными узлами.

Цель данной работы заключается в отыскании представлений функций Лебега и констант Лебега в нормах C и L интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами и точных значений констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов малых порядков, в том числе для дифференциального оператора третьего порядка, в общем случае не являющегося формальносамосопряженным. Предполагается, что шаг сетки узлов интерполяции и узлов разрывов старшей производной интерполяционных L-сплайнов определяется параметром h > 0, который полагается произвольным. Представления функций Лебега и констант Лебега в нормах C и L интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами найдены через BL-сплайны, а точные значения констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов малых порядка - через параметр сетки h > 0 и параметры дифференциальных операторов, определяющих интерполяционные L-сплайны.





Методы исследования. В работе применяются методы математического и функционального анализа. С помощью теоремы Ю.Н.Субботина о решении бесконечных систем разностных уравнений удается построить представление интерполяционного L-сплайнов через BL-сплайны и значения интерполируемой функции в узлах интерполяции. Это представление применяется к отысканию вида фундаментального L-сплайна через BLсплайны. Находятся представления искомых функций Лебега и констант Лебега с использованием фундаментального L-сплайна и его свойств.

Научная новизна. В диссертации впервые найдены точные значения и представления констант Лебега в нормах C и L для интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами. Впервые построены представления функций Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами через BL-сплайны. Впервые найдены точные значения констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами дифференциального оператора, в общем случае не являющегося формальносамосопряженным.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Представления функций Лебега и констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формальносамосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами n L2n+µ(D) = Dµ (D2 - 2), i > 0, n N, µ {1, 2}.

i i=2. Формулы констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженных дифференциальных операторов третьего и четвертого порядков L2+µ(D) = Dµ(D2 - 2), > 0, µ {1, 2}.

3. Формулы констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами дифференциального оператора третьего порядка, в общем случае не являющегося формально-самосопряженным L3(D) = D(D - )(D - ), < 0, > 0.

4. Представления констант Лебега в норме L интерполяционных Lсплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами n L2n+µ(D) = Dµ (D2 - 2), i > 0, n N, µ {1, 2}.

i i=Практическая ценность результатов. Константы Лебега находят применение в численном анализе при оценке погрешности аппроксимации "зашумленных"данных, а именно справедливо неравенство Лебега: пусть функции f, f : R R таковы, что ||f - f|| для некоторого > 0, S(f) и S(f) интерполяционные L-сплайны соответственно для функций f и f, и ||LL|| константа Лебега для интерполяционных L-сплайнов, тогда ||f - S(f)|| ||f - S(f)|| + ||LL|| · .

Аппробации работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Россия, Тула, 2006), "Международная конференция, посвященная 100-летию С. Л. Соболева" (Россия, Новосибирск, 2008), "2nd Dolomites workshop on constructive approximation and applications" (Italy, Alba di Canazei, 2009), "Методы-сплайн функций" (Россия, Новосибирск, 2011).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитированной литературы, который содержит 37 наименований.

Общий объем работы составляет 87 страниц.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1, 2, 3] в научных журналах из Перечня российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук.

Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием соискателя. В статьях [1, 2, 3] постановка задачи принадлежит Ю.Н.Субботину.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации и кратко изложено содержание работы. Через B(·) будет обозначаться центральный BLсплайн и везде далее h > 0.

Первая глава состоит из четырех параграфов и посвящена отысканию представлений функций Лебега и констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами. В данной главе узлы интерполяции Lсплайнов порядка N N\{1} выбраны в точках {2hi, i Z}, а узлы возможных разрывов (N - 1)-ой производной в {2hi + hN, i Z}. § введение для данной главы. §1 содержит вспомогательные результаты, на которые опираются доказательства данной главы: теорему С.Карлинаоб оценке точной верхней грани числа перемен знака в последовательности значений L-сплайна через число перемен знака в последовательности коэффициентов разложения рассматриваемого L-сплайна через BL-сплайны и обобщения теорем Ф.Ричардса12 об оценке числа нулей на периоде периодического L-сплайна и о свойстве сохранения знака фундаментальным L-сплайном, а также теорему Ю.Н.Субботина13 о решении бесконечных систем разностных уравнений с возвратным характеристическим многочленом. §2 посвящен отысканию представлений функций Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формальносамосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 1.1. Для дифференциальных операторов n L2n+µ(D) = Dµ (D2 - 2), i > 0, n N, µ {1, 2}, i i=при любом x [0, 2h] и p N\{1} функция Лебега LL(x) интерполяциp Karlin S. Total positivity / S. Karlin. Stanford: Univ. Press, 1968. – Vol. 1.– 576 p.

Richards F. Best bounds for the uniform periodic spline interpolation operator / F. Richards // J. Approx. Theory. – 1973. – № 7. – P. 302–317.

Субботин Ю.Н. О связи между конечными разностями и соответствующими производными / Ю.Н. Субботин // Тр. МИАН СССР. – 1965. – Т. 78. – C. 24–42.

L онных 2hp-периодических L-сплайнов совпадает с L-сплайном lp (x), рассматриваемым на всей вещественной прямой и задаваемым следующим образом:

если p нечетно, то p + n (-1)q-1(xp-(|t-q| mod p) + x|t-q| mod p)xn-s s L s lp (x) = B(x - 2ht);

(1 - xp)P (xs) s t=- q=1 s=если p четно, то p/+ n (-1)q-1(xp-(|t-q| mod p) + x|t-q| mod p)xn-s s L s lp (x) = (1 - xp)P (xs) s t=- q=1 s= p n (-1)q(xp-(|t-q| mod p) + x|t-q| mod p)xn-s s s + B(x - 2ht), (1 - xp)P (xs) s s=q=p/2+где {xs, s = 1, n} нули многочлена 2n P (z) = B(2h(j - n))zj, j=лежащие на (-1, 0), и |l| mod p остаток от деления |l| на p.

Теорема 1.2. Для дифференциальных операторов n L2n+µ(D) = Dµ (D2 - i ), i > 0, n N, µ {1, 2}, i=при любом x [0, 2h] функция Лебега LL (x) интерполяционных ограни L ченных на вещественной прямой L-сплайнов совпадает с L-сплайном l(x), рассматриваемым на всей вещественной прямой и задаваемым следующим образом:

0 n + n Qs(t) Qs(-t + 1) L l(x) = B(x-2ht)+ B(x-2ht), (1 + xs)P (xs) (1 + xs)P (xs) t=- s=1 t=1 s=где Qs() = (|xs| -2|xs|+|xs|+1)xn-1- и {xs, s = 1, n} нули многочлена s 2n P (z) = B(2h(j - n))zj, j=лежащие на (-1, 0).

§3 посвящен отысканию представлений констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формальносамосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 1.3. Пусть p N\{1}. Для дифференциальных операторов n L2n+µ(D) = Dµ (D2 - 2), i > 0, n N, µ {1, 2}, i i=константы Лебега в C интерполяционных 2hp-периодических L-сплайнов выражаются следующим образом:

если p нечетно, то p n+1 n (xp-(|t-q| mod p) + x|t-q| mod p)xn-s s s ||LL|| = (-1)q-1B(h-2ht);

p P (xs)(1 - xp) s t=-n q=1 s=если p четно, то p/n+1 n (xp-(|t-q| mod p) + x|t-q| mod p)xn-s s ||LL|| = (-1)q-1 s p P (xs)(1 - xp) s t=-n q=1 s= p n (xp-(|t-q| mod p) + x|t-q| mod p)xn-s s + (-1)q s B(h - 2ht), P (xs)(1 - xp) s s=q=p/2+где |t - q| mod p остаток от деления |t - q| на p и {xs, s = 1, n} нули многочлена 2n P (z) = B(2h(j - n))zj, j=лежащие на (-1, 0).

Теорема 1.4. Для дифференциальных операторов n L2n+µ(D) = Dµ (D2 - 2), i > 0, n N, µ {1, 2}, i i=константы Лебега в C интерполяционных ограниченных на вещественной прямой L-сплайнов выражаются следующим образом:

0 n n+1 n Qs(t) Qs(-t + 1) ||LL || = B(h-2ht)+ B(h-2ht), (1 + xs)P (xs) (1 + xs)P (xs) t=-n s=1 t=1 s=где Qs() = (|xs| -2|xs|+|xs|+1)xn-1- и {xs, s = 1, n} нули многочлена s 2n P (z) = B(2h(j - n))zj, j=лежащие на (-1, 0).

Глава 2 состоит из трех параграфов и посвящена отысканию точных значений констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженных дифференциальных операторов третьего и четвертого порядков с постоянными вещественными коэффициентами. В данной главе узлы интерполяции L-сплайнов третьего и четвертого порядков выбраны в точках {2hi, i Z}, а узлы возможных разрывов второй производной интерполяционных L-сплайнов третьего порядка в {2hi + h, i Z} и узлы возможных разрывов третьей производной интерполяционных L-сплайнов четвертого порядка в {2hi, i Z}.

§0 введение для данной главы. §1 посвящен отысканию точных значений констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самоспряженного дифференциального оператора третьего порядка. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 2.1. Пусть p N\{1} и p нечетно. Для дифференциального оператора L(D) = D(D2 - 2), > 0, константы Лебега в C интерполяционных 2hp-периодических L-сплайнов имеют следующее явное выражение:

1 - |x1|p ch(2h) - ||LL|| =, p 1 + |x1|p (ch(h) - 1)2 - sh2(h) где - ch(2h) + ch(h) + (ch(2h) - 1)((ch(h) - 1)2 + sh2(h)) x1 =.

ch(h) - Теорема 2.2. Пусть p N\{1} и p четно. Для дифференциального оператора L(D) = D(D2 - 2), > 0, константы Лебега в C интерполяционных 2hp-периодических L-сплайнов имеют следующее явное выражение:

1 - |x1|p/2 ch(2h) - ||LL|| = ·, p 1 + |x1|p/(ch(h) - 1)2 + sh2(h) где - ch(2h) + ch(h) + (ch(2h) - 1)((ch(h) - 1)2 + sh2(h)) x1 =.

ch(h) - Теорема 2.3. Для дифференциального оператора L(D) = D(D2 - 2), > 0, константы Лебега в C интерполяционных ограниченных на вещественной прямой L-сплайнов имеют следующее явное выражение:

ch(2h) - ||LL || =.

(ch(h) - 1)2 + sh2(h) §2 посвящен отысканию точных значений констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формальносамоспряженного дифференциального оператора четвертого порядка. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 2.4. Пусть p N\{1} и p нечетно. Для дифференциального оператора L(D) = D2(D2 - 2), > 0, константы Лебега в C интерполяционных 2hp-периодических L-сплайнов выражаются следующим образом:

||LL|| = · p 2(1 - xp) · (h ch(2h) - sh(2h) + h)(h ch(2h) - h) · ((2h ch(2h) - sh(h) - h)(1 + xp)+ +(sh(h) - h)(|x1|p + 2|x1|p-1 - 2|x1| - 1), где x1 = · -2h ch(2h) + sh(2h)+ sh(2h) - 2h +2 (h ch(2h) - sh(2h) + h)(h ch(2h) - h).

Теорема 2.5. Пусть p N\{1} и p четно. Для дифференциального оператора L(D) = D2(D2 - 2), > 0, константы Лебега в C интерполяционных 2hp-периодических L-сплайнов выражаются следующим образом:

||LL|| = · p 2(1 - xp) · (h ch(2h) - sh(2h) + h)(h ch(2h) - h) · (2h ch(2h) - sh(h) - h)(1 - |x1|p/2)2 + (sh(h) - h)· ·(-|x1|p - 2|x1|p-1 + 2|x1|p/2+1 + 2|x1|p/2 + 2|x1|p/2-1 - 2|x1| - 1), где - ch(2h) + ch(h) + (ch(2h) - 1)((ch(h) - 1)2 + sh2(h)) x1 =.

ch(h) - Теорема 2.6. Для дифференциального оператора L(D) = D2(D2 - 2), > 0, константы Лебега в C интерполяционных ограниченных на вещественной прямой L-сплайнов выражаются следующим образом:

2h ch(2h) - sh(h) - h + (2x1 - 1)(sh(h) - h) ||LL || =, 2 (h ch(2h) - sh(2h) + h)(h ch(2h) - h) где x1 = · -2h ch(2h) + sh(2h) sh(2h) - 2h +2 (h ch(2h) - sh(2h) + h)(h ch(2h) - h).

Глава 3 состоит из пяти параграфов и посвящена отысканию функции Лебега и константы Лебега в норме C интерполяционных ограниченных на вещественной прямой L-сплайнов дифференциального оператора третьего порядков с постоянными вещественными коэффициентами, в общем случае не являющегося формально-самосопряженным. В данной главе единственный на (0, 2h) нуль специальной функции, а узлы интерполяции L-сплайнов третьего порядка выбраны в точках {2hi, i Z} и узлы возможных разрывов второй производной в {2hi - , i Z}. L-сплайны с так выбранными узлами обладают рядом отличительных аппроксимативных свойств, доказанными в работах С.И.Новикова14, С.И.Новикова15, L Новиков С.И. Приближение класса Wn интерполяционными периодическими L-сплайнами / С.И. Новиков // Приближение функций полиномами и сплайнами. – Свердловск, 1985. – С. 118–126.

Новиков С.И. Приближение одного класса дифференцируемых функций L-сплайнами / С.И. Новиков // Мат. заметки. – 1983. – Т. 33, № 3. – С. 393–408.

В.Т.Шевалдина16, И.Н.Володиной17, С.И.Новикова18. §0 введение для данной главы. §1 содержит вспомогательную для данной главы теорему Ю.Н.Субботина19 о решении бесконечных систем разностных уравнений с произвольным характеристическим многочленом. В §2 выписано представление интерполяционного L-сплайна третьего порядка через BL-сплайны и значения интерполируемой функции в узлах интерполяции. В §3 найдена функция Лебега в норме C интерполяционных ограниченных на вещественной прямой L-сплайнов дифференциального оператора третьего порядка с постоянными вещественными коэффициентами, в общем случае не являющегося формально-самосопряженным:

Теорема 3.1. Для дифференциального оператора L(D) = D(D - )(D - ), < 0, > 0, функция Лебега интерполяционных L-сплайнов 2h-периодична и для x [-, 0] представима в виде e2hI-1 - (1 + e2h)I0 + ILL (x) = · e(x+)+ ( - ) e2hI-1 - (1 + e2h)I0 + I+ · e(x+)+ ( - ) e2h(+)I-1 - (e2h + e2h)I0 + I+, а для x [0, 2h - ] в виде e2hJ-1 - (1 + e2h)J0 + JLL (x) = · e(x+)+ ( - ) Шевалдин В.Т. L-сплайны и поперечники / В.Т. Шевалдин // Мат. заметки. – 1983. – Т. 33, № 5. – С. 735–744.

Volodina I.N. Exact value of widths of certain class of solutions of linear differential equations / I.N. Volodina // Analysis Math.– 1985. – Vol. 11, №. 1. – P. 85–92.

Новиков С.И. Поперечник одного класса периодических функций, определяемого дифференциальным оператором / С.И. Новиков // Мат. заметки. – 1987.

– Т. 42, № 2. – С. 194–206.

Субботин Ю.Н. Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны / Ю.Н. Субботин // Тр. МИАН: Приближение функций и операторов. – 1975. – Т. 138. – C. 118–173.

e2hJ-1 - (1 + e2h)J0 + J+ · e(x+)+ ( - ) e2h(+)J-1 - (e2h + e2h)J0 + J+, где 1 1 1 1 x1 x I-1 = · +, I0 = · +, 1 + x1 1 + x2 1 + x1 1 + x 1 2x2 + x1 x2 1 -1 2 + x I1 = · -, J-1 = · +, 1 + x1 1 + x2 1 + x1 x2(1 + x2) 1 1 1 1 x1 x J0 = · +, J1 = · +, 1 + x1 1 + x2 1 + x1 1 + x x1, x2 два вещественных отрицательных нуля многочлена P (z) = B(2h) + B(0)z + B(-2h)z2, причем x2 < -1 < x1 < 0, дискриминант многочлена P (z).

В §4 найдена константа Лебега в норме C интерполяционных ограниченных на вещественной прямой L-сплайнов дифференциального оператора третьего порядка с постоянными вещественными коэффициентами, в общем случае не являющегося формально-самосопряженным:

Теорема 3.2. Для дифференциального оператора L(D) = D(D - )(D - ), < 0, > 0, если x1x2 1, то для константы Лебега в C интерполяционных ограниченных на вещественной прямой L-сплайнов третьего порядка выполняется - ||LL || = - · e2hI-1 - (1 + e2h)I0 + I - · e2hI-1 - (1 + e2h)I0 + I1 - e2h(+)I-1 - (e2h + e2h)I0 + I1, если же x1x2 1, то - ||LL || = - · e2hJ-1 - (1 + e2h)J0 + J - · e2hJ-1 - (1 + e2h)J0 + J1 - e2h(+)J-1 - (e2h + e2h)J0 + J1.

Здесь 1 1 1 1 x1 x I-1 = · +, I0 = · +, 1 + x1 1 + x2 1 + x1 1 + x 1 2x2 + x1 x2 1 -1 2 + x I1 = · -, J-1 = · +, 1 + x1 1 + x2 1 + x1 x2(1 + x2) 1 1 1 1 x1 x J0 = · +, J1 = · +, 1 + x1 1 + x2 1 + x1 1 + x x1, x2 два вещественных отрицательных нуля многочлена P (z) = B(2h) + B(0)z + B(-2h)z2, причем x2 < -1 < x1 < 0, дискриминант многочлена P (z).

Четвертая глава состоит из трех параграфов и посвящена отысканию представлений констант Лебега в норме L интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами. В данной главе узлы интерполяции L-сплайнов порядка N N\{1} выбраны в точках {2hi, i Z}, а узлы возможных разрывов (N - 1)-ой производной в {2hi + hN, i Z}. §0 введение для данной главы. §1 содержит вспомогательную для данной главы теорему Ж.Шаоху и Л.Йонгпина20 об интегральном представлении константы Лебега в L суммируемых на вещественной прямой L-сплайнов, интерполирующих суммируемые последовательности, посредствам фундаментального L-сплайна. §2 посвящен отысканию представлений констант Лебега в норме L интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формальносамосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 4.1. Для дифференциальных операторов n L2n+µ(D) = Dµ (D2 - 2), i > 0, n N, µ {1, 2}, i i=константы Лебега в L суммируемых на вещественной прямой L-сплайнов, интерполирующих суммируемые последовательности, имеют следующее Shaohui G. Asymptotic estimate for the Lebesgue constant of cardinal L-spline interpolation operator / Gui Shaohui, Liu Yongping // East J. on Approx. – 2007. – Vol. 13, № 3. – P. 331–355.

явное выражение:

-1 n n+1 n Q(t) Q(-t - 1) s s ||LL ||1 = B(h+2ht)+ B(h+2ht), (1 + xs)P (xs) (1 + xs)P (xs) t=-n-2 s=1 t=0 s=где Q() = (2 - |xs|l - |xs|l+1)xn-1-, {xs, s = 1, n} нули многочлена s s 2n P (z) = B(2h(j - n))zj, j=лежащие на (-1, 0), и B(x) BL-сплайн для дифференциального оператора L(D) = DL(D).

Теорема 4.2. Пусть p N\{1}. Для дифференциальных операторов n L2n+µ(D) = Dµ (D2 - i ), i > 0, n N, µ {1, 2}, i=константы Лебега в L 2hp-периодических L-сплайнов, интерполирующих периодические последовательности, имеют следующее явное выражение:

если p нечетно, то p-n+1 n (xp-(|t-q| mod p) + x|t-q| mod p)xn-s s s ||LL||1 = (-1)qB(h+2ht);

p P (xs)(1 - xp) s t=-n-2 q=0 s=если p четно, то p/2-n+1 n (xp-(|t-q| mod p) + x|t-q| mod p)xn-s s ||LL||1 = (-1)q s p P (xs)(1 - xp) s t=-n-2 q=0 s= p-1 n (xp-(|t-q| mod p) + x|t-q| mod p)xn-s s + (-1)q-1 s B(h + 2ht), P (xs)(1 - xp) s s=q=p/где {xs, s = 1, n} нули многочлена 2n P (z) = B(2h(j - n))zj, j=лежащие на (-1, 0), B(t) BL-сплайн для дифференциального оператора L(D) = DL(D), и |t - q| mod p остаток от деления |t - q| на p.

Автор благодарен Ю.Н.Субботину за постановку задач и внимание, оказанное к данной работе.

Список публикаций автора по теме диссертации 1. Ким В.А. Точные константы Лебега для интерполяционных Lсплайнов третьего порядка / В.А. Ким // Мат. заметки. – 2008. – Т. 84, № 1. – С. 59–68.

2. Ким В.А. Точные константы Лебега для интерполяционных ограниченных L-сплайнов третьего порядка / В.А. Ким // Сиб. мат. журнал.

– 2010. – Т. 51, № 2. – С. 330–341.

3. Ким В.А. Точные константы Лебега для интерполяционных Lсплайнов формально-самосопряженного дифференциального оператора / В.А. Ким // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2011. – Т. 17, № 3. – C. 169–177.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.