WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Еряшкин Михаил Сергеевич

Инварианты действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебрах специального вида

01.01.06 – Математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань – 2012

Работа выполнена в отделе алгебры и математической логики Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования “Казанский (Приволжский) федеральный университет”.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Скрябин Сергей Маркович,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Артамонов Вячеслав Александрович, кандидат физико-математических наук, доцент Насрутдинов Марат Фаритович.

Ведущая организация : Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Самарский государственный университет”.

Защита состоится «28» марта 2012 г. в ___.___ на заседании диссертационного совета Д 212.081.24 при ФГАОУВПО “Казанский (Приволжский) федеральный университет” по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35., конференц-зал библиотеки им. Н. И. Лобачевского.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета.

Автореферат разослан « » 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.081.к.ф.-м.н., доцент Еникеев А.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В этой диссертации обобщаются некоторые классические результаты теории инвариантов конечных групп на случай действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебре специального вида, гомоморфно отображающейся на коммутативную область целостности.

Хорошо известно, что для произвольной группыG на групповой алгебре kG можно задать структуру алгебры Хопфа, причем всякое действие группыG автоморфизмами на некоторой алгебреAдает действие алгебры Хопфа kGна алгебреA1. Таким образом, понятие действия алгебры Хопфа обобщает действия групп автоморфизмами, а значит имеет смысл рассмотреть задачу переноса ряда фактов классической теории инвариантов на случай действия алгебр Хопфа. Классическим результатом теории инвариантов, принадлежащим Э. Нётер, является факт о том, что алгебра A является целым расширением подалгебры инвариантовAG, в случае действия конечной группыG автоморфизмами на коммутативной алгебреA. Как обобщение этого результата Монтгомери2 был поставлен вопрос о том, будет ли коммутативная H-модульная Aцелым расширением подалгебры инвариантовAH, в случае, еслиH конечномерна. Положительный ответ на данный вопрос был получен в следующих случаях:

1. H — кокоммутативная алгебра Хопфа, этот результат был получен в работах Феррера-Сантоса3 и Шнайдера4;

Montgomery S. Hopf algebras and their actions on rings. – Providence, RI: American Mathematical Soc. – 1993. – 238 p. глава 4.

там же Ferrer-Santos W. Finite generation of the invariants of finite dimensional Hopf algebras//J. Algebra – 1994. – V. 165. – P. 543–549.

Schneider H. J. On inner actions of Hopf algebras and stabilizers of representations J. Algebra – 1994. – V.

165. – P. 138–163.

2. char k не делит dimH иH инволютивна, или char k ¤0и корадикалH кокоммутативен, в работе Жу5;

3. H — точечная алгебра Хопфа и A — аффинная целостная алгебра, в работе Артамонова6;

4. char k Dp >0илиAне содержит ненулевых нильпотентных идеалов, устойчивых относительно действияH, в работе Скрябина7.

Контрпримеры, построенные в работах Жу8 и Тотока9, обусловлены наличием вAненулевых нильпотентныхH-инвариантных идеалов. ЕслиAконечно порождена как алгебра, свойствоAбыть целой надAH равносильно тому, что A конечно порождена как модуль над AH, и в этом случае AH конечно порождена как алгебра.

В случае, когда алгебра Хопфа не является кокоммутативной, коммутативныхH-модульных алгебр оказывается недостаточно много, например нельзя утверждать, что действие алгебры Хопфа H на произвольном H-модуле V можно продолжить до действия на симметрической алгебреS.V/. Таким образом имеет смысл рассмотреть действие алгебры ХопфаH на более широком классеH-модульных алгебр.

Определение 1. Обозначим через A (или, более точно, AH) категорию, объектами которой являются пары.A; IA/, гдеA— некотораяH-модульная алгебра, IA — идеал в A такой, что факторалгебра SA D A=IA коммутативна, и IA не содержит ненулевых устойчивых относительно действияH идеалов алгебры A.

Zhu S. Integrality of module algebras over its invariants. //J. Algebra – 1996. – V. 180. – P. 187–205.

Артамонов В. А. Инварианты алгебр Хопфа. //Вестн. МГУ. Сер. 1, матем.мех.. – 1996. – №4. – С.45-49 ;

Исправление Вестн. МГУ. Сер. 1, матем.мех.. – 1997. – №2. – С. 64.

Skryabin S. M. Invariants of finite Hopf algebras. //Advances in Math. – 2004. – V. 183. –P. 209–239.

см. сноску 5.

Тоток А. А. Об инвариантах конечномерных точечных алгебр Хопфа. //Вестн. МГУ. Сер. 1, матем.мех..

– 1997. – №3. – С. 31–34.

Морфизмы в категории A — это гомоморфизмыH-модульных алгебр W A!B с условием.IA/ IB.

Для краткости будем говорить об алгебрах из категории A без явного упоминания идеалов IA. Обозначим через A WA!SA каноническую проекцию.

Цель диссертационной работы. Обобщение классических результатов теории инвариантов конечных групп на случай действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебре из категории A.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер, её результаты могут использоваться в дальнейших исследованиях в области инвариантов алгебр Хопфа. Материалы диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов и аспирантов в университетах.

Основные результаты диссертации.

1. В случае действия полупростой алгебры Хопфа на конечно-порожденной алгебреAиз категории A установлена конечная порожденность алгебры A как модуля над своей подалгеброй инвариантов. В случае не полупростой алгебры Хопфа построен контрпример.

2. Для каждой алгебрыAиз категории A такой, чтоSA является облястью целостности, показано, что H-эквивариантное кольцо частных Мартиндейла QH.A/ является конечномерной фробениусовой алгеброй над подполем инвариантных элементов QH.A/H, а также является классическим кольцом частных алгебрыA.

e 3. Введена полная подкатегория A категории A, алгебры из которой целы над своими подалгебрами инвариантов. Построен функтор из категории e e A в категорию A, сопряженный слева к включению A в A.

4. Получено несколько эквмвалентных достаточных условий того, что поле инвариантов H-эквивариантного кольца частных Мартиндейла QH.A/ совпадает с полем частных подалгебры инвариантов алгебрыAиз категории A.

Апробация работы.

По результатам диссертации были сделаны доклады:

на летней школе-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов" (Самара, Россия, 8—15 июня 2009 г.);

на второй школе-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов" (Москва, Россия, 31 января — 5 февраля 2011 г.);

на международной конференции "Алгебра и математическая логика" (Казань, 25–30 сентября 2011г.);

на научных семинарах и итоговых конференциях кафедры алгебры и математической логики Казанского (Приволжского) федерального университета 2009–2011 гг.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[6] Личный вклад автора. Основные результаты диссертации получены автором. Результаты второй главы получены совместно с С. М. Скрябиным [1] в процессе нераздельного сотрудничества.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 78 страницах и состоит из введения, четырех глав, разделенных на параграфы, и списка литературы, содержащего 32 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, приведен обзор результатов исследований по ее тематике. Приведены необходимые определения и обозначения. Приведем некоторые из них.

Определение 2. Алгебра ХопфаH действует наA, еслиAнаделена структурой левогоH-модуля и для любыхh2H; a;b2A X h.ab/D.h.1/ a/.h.2/ b/; h 1A D".h/1A:

h АлгебраAс заданным действиемH называетсяH-модульной алгеброй.

Определение 3. Алгебра ХопфаH кодействует наA, еслиAнаделена структурой правогоH-комодуля и WA!AH является гомоморфизмом алгебр.

В этом случае также считается, чтоAявляетсяH-комодульной алгеброй.

Определение 4. Элемент a 2 A называется инвариантом, если h a D ".h/a для всех h 2 H, в случае H-модульной алгебры,.a/ D a1, в случае H-комодульной алгебры.

Корадикалом C0 коалгебры C называется сумма (прямая) всех простых подкоалгебр вC. Алгебра ХопфаH называется точечной, если любая ее простая подкоалгебра одномерна. Корадикал точечной алгебры Хопфа является линейной оболочкой ее группоподобных элементов, и множество всех группоподобных элементов алгебры Хопфа H является группой, которая обозначается черезG.H/.

Также во введение поясняется, что все утверждения, сформулированные для H-модульной алгебры (H-комодульной алгебры), остаются верными и для H-комодульной алгебры (H-модульной алгебры), в случае, когда H конечномерна.

В главе 1 рассматривается вопрос о том, будет лиAконечно-порожденным модулем надAH, иAH конечно-порожденной k-алгеброй, в случае кодействия кополупростой конечномерной алгебры Хопфа на конечно-порожденных алгебрах из категории A.

Определение 5. Коалгебра C называется кополупростой, если для любых правых C-комодулей U V существует правый C-комодуль W V такой, чтоV DU W.

Для конечномерной коалгебры C известно, что C кополупроста тогда и только тогда, когдаC является полупростой алгеброй.

В параграфе 1.1 изучены первоначальные свойства H-комодульных алгебр из категории A. Показано, что, если A — H-модульная алгебра из категории A, тогда:

1. Отображение A jAH WAH !SA инъективно. При этомAH содержится в центреA.

2. ЕслиSA конечно-порождена какAH-модуль,Aявляется конечнопорожденной k-алгеброй, и алгебра Хопфа H конечномерна, то A конечнопорождена какAH-модуль, иAH — конечно-порожденная k-алгебра.

Также в параграфе 1.1 для любого H-комодуля (H-модуля) V построена H-комодульная (H-модульная) алгебраSH.V/из категории A. В случае, когда H коммутативна,SH.V/совпадает с симметрической алгебройS.V/.

В параграфе 1.2 изучается кодействие кополупростой алгебры Хопфа на алгебре из категории A. Факты установленные в первом параграфе об алгебрах из категории A позволяют доказать, что, еслиH является кополупростой алгеброй Хопфа, то алгебра SH.V/H конечно-порождена как k-алгебра и алгебраSH.V/конечно-порождена какSH.V/H-модуль, откуда немедленно следует следующая теорема, которая является основным результатом первой главы об алгебрах инвариантов кодействия кополупростой алгебры Хопфа.

Теорема 1. Пусть H — конечномерная кополупростая алгебра Хопфа и A — конечно-порожденнаяH-комодульная алгебра из категории A. Тогда алгебра AH конечно-порождена как k-алгебра и алгебра A конечно-порождена как AH-модуль.

В параграфе 1.3 показано, что в случае кодействия некополупростой алгебры Хопфа на конечно-порожденной H-комодульной алгебре A из категории A ответ на вопрос о конечной порожденности A как AH-модуля, и AH как k-алгебры отрицателен. Это показывает следующий пример, в котором используется четырехмерная алгебра Хопфа из книги Свидлера10. В этом примере полагается, что char k D0.

ПустьH D khg;xi=.g2 1;x2;xgCgx/, где khg;xi — свободная алгебра порожденная элементамиgиx. Коумножение наH задается по формулам.g/Dgg;.x/Dx1Cgx:

Предложение 2. ПустьU — правыйH-комодуль, и fe1;e2g образуют базисU над k, кодействие на котором задается по формулам.e2/De2 g;.e1/De1 1Ce2 x:

Тогда A D SH.U/ не конечно-порождена как AH-модуль, и AH не конечнопорождена как k-алгебра.

Глава 2 посвящена вопросу о существовании наибольшей подалгебры Хопфа в биалгебре. Результаты этой главы получены совместно с С.М. Скрябиным и носят вспомогательных характер. Как известно, алгебры Хопфа выделяются среди биалгебр наличием антипода — обратного к тождественному Sweedler M. E. Hopf Algebras – New York:Benjamin. – 1969. – 336 p.

отображению относительно операции конволюции. Для двух подалгебр Хопфа H1;H2 биалгебрыB не ясно, всегда ли существует подалгебра Хопфа, содержащаяH1 иH2 одновременно.

ЕслиA— алгебра, то векторное пространство Hom.C;A/всех линейных отображенийC !Aнаделено структурой алгебры посредством конволюции задаваемой по формуле ' DM .' / ; '; 2 Hom.C;A/;

где M W AA ! A— умножение в A. Единичным элементом этой алгебры служит отображениеu", гдеuWk!Aопределено сопоставлением7!1A.

Пусть далее B — некоторая биалгебра. Если H — подалгебра Хопфа в B, то ее антипод sH, рассматриваемый как линейное отображение H ! B, является обратным к отображению включенияH !B в алгебре Hom.H;B/.

Это мотивирует следующее Определение 6. Назовем подкоалгебру C B слабо обратимой в B, если отображение включенияi WC !B обратимо в Hom.C;B/. ОбозначимsC D i 1. НазовемC обратимой вB, если, кроме того, ImsC C.

В параграфе 2.1 изучаются свойства (слабо) обратимых подкоалгебр в биалгебре. Показано, что произвольная сумма (слабо) обратимых подкоалгебр снова является (слабо) обратимой подкоалгеброй, откуда немедленно следует следующее Предложение 3. Любая биалгебраB содержит наибольшую обратимую вB подкоалгебру Кроме того,Bсодержит наибольшую подкоалгебру обратимую как вB, так и вBop.

Montgomery S. Hopf algebras and their actions on rings. – Providence, RI: American Mathematical Soc. – 1993. – 238 p.

Без дополнительных теоретико-кольцевых предположений не удается доказать, что подкоалгебры, существование которых установлено в предложении 3, замкнуты относительно умножения вB. Поэтому в параграфе 2.2 биалгебра B предполагается слабо конечной.

Кольцо R называется слабо n-конечным, если для любых n n-матриц X;Y 2Matn.R/равенствоXY D1влечёт равенствоYX D1. КольцоR называется слабо (или стабильно) конечным, если оно слабоn-конечно для всех n 0. Равносильная формулировка заключается в том, что любой сюръективный эндоморфизм каждого конечно порожденного свободного R-модуля биективен. Благодаря условию слабо конечности биалгебрыB удается показать, что образ любого морфизма коалгебр ' W C ! B обратимого в Hom.C;B/ является слабо обратимой подкоалгеброй в B. Благодаря этому факту удается доказать, что подкоалгебры, существование которых установлено в предложении 3, замкнуты относительно умножения в B, и тем самым получить следующую теорему.

Теорема 4. Слабо конечная биалгебраBимеет наибольшую подалгебру Хопфа H.B/, а также наибольшую подалгебру Хопфа с биективным антиподом H.B/. При этом H.B/ (соотв. H.B/) совпадает c наибольшей обратимой в B (соотв. в B и в Bop) подкоалгеброй. Для произвольной алгебры Хопфа (соотв. алгебры Хопфа с биективным антиподом) H морфизмы биалгебр H !B находятся в биективном соответствии с морфизмами алгебр Хопфа H ! H.B/(соотв.H ! H.B/).

Следствие 5. Если J — биидеал алгебры Хопфа H, причем биалгебра H=J слабо конечна, тоJ является идеалом Хопфа.

Слабо конечными являются многие классы колец12 13. В частности, сфорMontgomery S. Von Neumann finiteness of tensor products of algebras //Comm. Algebra. – 1983. – V. 11. – P. 595–610.

Rowen L. H. Ring Theory. Vol. I. – Boston: Academic Press. – 1988. – 462 p.

мулированный выше результаты применимы к любой нетеровой слева или справа биалгебре, а также к любой биалгебре, удовлетворяющей полиномиальному тождеству. По крайней мере утверждение о гомоморфизмахH !B перестает быть верным без предположения о слабой конечности.

В работе Николса14 утверждение о том, что J является идеалом Хопфа, сформулировано для нескольких случаев:H=J конечномерна,H=J коммутативна,H точечна,H кокоммутативна (при этом условие".J/D0, накладываемое на биидеал, заменено требованиемJ\kD0). Также в работе Такеучито же самое заключение было получено в предположении о том, что H — строго коплоскийH=J-комодуль справа или слева.

В главе 3 продолжается начатое в первой главе исследование подалгебр инвариантных элементов некоммутативных H-модульных алгебр специального вида. Важную роль в этой главе будет играть H-эквивариантное кольцо частных МартиндейлаQH.A/, введенное в обиход М.Коэн16 для изучения внутренних действий алгебр Хопфа. В параграфе 3.1 приведено построение H-эквивариантного кольца частных Мартиндейла QH.A/ для алгебры A из категории A такой, чтоSA является областью целостности.

В книге Монтгомери17 определено двустороннее кольцо частных Мартиндейла QF.R/ по отношению к произвольному фильтру идеалов F кольца R с условием, что l:ann.I/ D r:ann.I/ D 0 для всех I 2 F, и для любых I; J 2 F существуетK 2 F такой, чтоK IJ, где через l:ann.I/, r:ann.I/ обозначены левый и правый аннуляторы идеала I. Это кольцо строится как Warren D. Nichols Quotients of Hopf algebras. //Comm. Algebra. – 1973. – V. 6. – P. 1789–1800.

Takeuchi M. Quotient spaces for Hopf algebras //Comm. Algebra. – 1994. – V. 22. – P. 2503–2523.

Cohen M. Smash products, inner actions and quotient rings. //Pacific J. Math.. – 1986. – V. 125. – № 1. – P.

45–66.

Montgomery S. Hopf algebras and their actions on rings. – Providence, RI: American Mathematical Soc. – 1993. – 238 p.

прямой предел QF.R/D limf.f;g/ j f 2 HomR.RI;R/; g2 HomR.IR;R/ ! I2F такие, что.af/bDa.gb/ для всехa;b2Ig;

гдеaf Df.a/иgb Dg.b/. Сумма и произведение двух его элементовqi D.fi;gi/, где fi 2 HomR.RIi;R/; gi 2 HomR.IiR;R/, i 2 1;2, задаются по формуламq1Cq2 D.f1Cf2;g1Cg2/иq1q2 D.f2 f1;g1 g2/, где правые и левые отображения определены на некоторомK 2 F таком, чтоK I1 \Iдля суммы, иK I2I1 для произведения.

Кольцо R вкладывается в QF.R/ с помощью отображения a 7!.ra;la/, где ra; la — правое и левое умножения на a. Гомоморфизмы f и g в любой паре.f;g/, задающей элементq2QF.R/, сводятся к правому и левому умножению наqв кольцеQF.R/. Таким образом,Iq RиqI R, гдеI — идеал из F, на которомf иg определены. Известно, что еслиR — коммутативная область целостности, F — множество всех ненулевых идеалов вR, тоQF.R/ отождествляется с полем частныхQ.R/кольцаR.

Предположим, что R — некоторая H-модульная алгебра. Если H имеет биективный антипод и фильтр F является фильтром H-инвариантных идеалов, то на Q.R/ задается действие алгебры Хопфа H. Пусть q D.f;g/, где f 2 HomR.RI;R/; g 2 HomR.IR;R/, I 2 F. Тогда h q D.h f;h g/, где h f 2 HomR.RI;R/; h g2 HomR.IR;R/определяются по правилам:

X X a.h f/D h.2/ .S 1.h.1// a/f ;.h g/aD h.1/ g.S.h.2// a/ :

.h/.h/ Предположим, что A — алгебра из категории A, для которой факторалгебра SA является областью целостности. Рассмотрим двусторонние H-эквивариантное кольцо частных Мартиндейла QH.A/, построенное по фильтру F D fJ j J — ненулевой H-инвариантный идеал в Ag. Если J — H-инвариантный идеал в A, то r:ann.J/ и l:ann.J/ также являются H-инвариантными идеалами в A. Так как A.J/ ¤ 0 для любого J 2 F, то из целостностиSA следует, что l:ann.J/D r:ann.J/D0. Для краткости будем называтьQH.A/кольцом Мартиндейла для алгебрыA. Отождествим алгебру Aс подалгеброй вQH.A/.

Также в параграфе 3.1 показано, что алгебраQH.A/принадлежит категории A, причем алгебраSQ.A/ вкладывается в кольцо частныхQ.SA/алгебры H SA, и следующее предложение об инвариантных элементах алгебры QH.A/ в случае, когда H — алгебра Хопфа с биективным антиподом. В параграфах 3.1, 3.2 и 3.3 алгебра A зафиксирована и используются краткие обозначения QDQH.A/,QDQ.SA/.

Предложение 6. ПустьH — алгебра Хопфа с биективным антиподом и любой H-подмодуль в A является суммой конечномерных H-подмодулей. Тогда алгебра инвариантовQH является полем, причем QH lim HomH.J;A/\ HomA;A.J;A/;

! J2F где фильтр F состоит из всех ненулевых H-инвариантных идеалов в A и HomA;A.J;A/— множество гомоморфизмовA-бимодулей изJ вA.

Ненулевые элементы QH представляются тройками.f;J;J0/, где J;J0 2 F, а f W J ! J0 — изоморфизм H-модулей и A-бимодулей, и каждая такая тройка задает некоторый ненулевой элемент изQH.

Заметим, что в параграфе 3.1 алгебра Хопфа H не предполагается конечномерной в отличии от последующих параграфов третьей главы. Так как алгебра SQ вкладывается в кольцо частных Q алгебры SA, то будем отождествлять алгебруSQ с ее образом в алгебреQ.

В параграфе 3.2 рассматривается вопрос о конечномерности алгебры Q над полем инвариантных элементов QH. Определим отображение W QQH Q! Hom.H;Q/, по правилу .qa/.h/Dq Q.ha/;

где q 2 Q, a 2 Q, h 2 H. Заметим, что Hom.H;Q/ QH является алгеброй Хопфа над полем Q и левым H-модулем относительно действия.h f/.e/ D f.eh/. На QQH Q зададим структуру левого H-модуля по P P формулеh. qi bi/D qi hbi. Тогда имеет место следующая Теорема 7. Пусть H — конечномерная алгебра Хопфа, а A — алгебра из категории A такая, чтоSA является областью целостности. Тогда:

1. dimQHQ dimH,QDQHAиSQ DQ, 2. отображениеявляется вложениемH-модульной алгебрыQQHQв алгебру Хопфа Hom.H;Q/, 3. алгебра Q является фробениусовым кольцом, и не содержит нетривиальныхH-инвариантных идеалов, Также в параграфе 3.2 был установлен критерий того, что алгебраQ0 из категории A изомофна алгебреQ.

Предложение 8. ПустьH — конечномерная алгебра Хопфа, и пустьA;Q0 — такиеH-модульные алгебры из категории A, чтоSA;SQ являются областями целостности иAявляется подалгеброй вQ0, причем IA DA\ IQ. Пусть выполнены следующие условия:

1. Q0 не содержит нетривиальныхH-инвариантных идеалов, 2. для любогоq2Q0 существует ненулевойH-инвариантный идеалJ вA такой, чтоqJ AиJq A, 3. Q0 DA Z.Q0/, гдеZ.Q0/— центр алгебрыQ0.

ТогдаQQ0 в категории A.

В значительной степени опираясь на результаты работу Скрябина и Ойштейна18 в параграфе 3.3 получена следующая Теорема 9. Пусть H — конечномерная алгебра Хопфа, и пусть A — такая H-модульная алгебра из категории A, чтоSA является областью целостности. Тогда Q является классическим левым и правым кольцом частных для A.

В параграфе 3.4 показано, что любуюH-модульную алгебру из категории A (в частности и любую коммутативную H-модульную алгебру) можно расширить некоторым универсальным способом так, что для полученной алгебры свойство целостности над подалгеброй инвариантов выполняется. Приведем сначала несколько определений.

Пусть R — ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом U, причем R является свободным U-модулем конечного ранга. Пусть a R. Тогда для эндоморфизма l.a/ 2 EndU.R/, определенного по правилу l.a/.b/ D ab для b 2 R, существует характеристический многочлен xn Cqn 1xn 1 C:::Cq1xCq0, с коэффициентами qi 2 U; обозначим этот многочлен черезPR=U.a;x/.

Пусть A — H-модульная алгебра из категории A. Определим отображение W A ! Hom.H;SA/ по правилу.a/.h/ D A.h a/, где a 2 A, h 2 H.

Заметим, что является гомоморфизмомH-модульных алгебр и в случае, когдаSA целостна,.a/D.1a/для любогоa2A. Покажем, что ker. /D0.

Пусть a 2 ker. /, тогда A.ha/ D.a/.h/ D 0 для любого h 2 H. Значит, Ha является H-модулем содержащимся в IA. Следовательно, Ha D 0. ОбозначимPA.a;x/DPHom.H;S /=SA..a/;x/и будем называть многочленPA.a;x/ A Skryabin S. M., Oystaeyen F. Van The Goldie Theorem forH-semiprime algebras. //J. Algebra – 2006. – V.

305. – P. 292–320.

инвариантным характеристическим многочленомa.

Определение 7. Будем говорить, что алгебраAобладает инвариантными характеристическими многочленами, если для любогоa2Aвсе коэффициенты многочленаPA.a;x/лежат в подалгебре A.AH/.

e Определение 8. Обозначим черезAполную подкатегорию категории A, объектами которой являются пары.A; IA/из категории A, гдеAобладает инвариантными характеристическими многочленами.

Было установлено, что алгебраAявляется целым расширением подалгебe ры инвариантовAH для всякой алгебры из категорииA, и следующая теорема, которая позволяет для каждой алгебры из категории A построить некоторую e алгебру из категорииA.

Теорема 10. Пусть H — конечномерная алгебра Хопфа, а A принадлежит e e категории A. Тогда существует H-модульная алгебра A из категории A со следующими свойствами:

e e e 1. Aвкладывается вA,Se SA иADAHA, A e 2. Если B —произвольная H-модульная алгебра из категории A, то для любого морфизмаf WA!Bв категории A, существует единственный e e e e морфизм f W A ! B в категории A такой, что f p D f, где p — e вложениеAвA.

Также было установлено, что, еслиSA является областью целостности, то e алгебраAвкладывается вQH.A/.

В параграфе 3.5 устанавливается связь между инвариантными элементами H-модульной алгебры A из категории AH и инвариантными элементами H0-модульной алгебрыA0 из категории AH, гдеH0 некоторая фактор алгебра Хопфа алгебрыH, аA0 фактор алгебра алгебрыA.

Предложение 11. Пусть H — алгебра Хопфа размерности n, а A принадлежит категории AH. Обозначим через H0 подалгебру Хопфа в H, содержащую корадикал H, через P наибольший H0-инвариантный идеал, содержащийся в IA. Тогда H0-модульная алгебра A0 D A=P с идеалом IA D IA=P принадлежит категории AH. Пусть WA!A0 — каноническая проекция, и предположим, что продолжается до гомоморфизма H0-модульных алгебр e e e WA!A0 так, что A D e. Тогда:

A eA 1. если char k D0, тоA0H D.eH/, s eA 2. если char k Dp >0, тоcp 2.eH/для любогоc 2A0H, гдеs такое, чтоnDpsmиmвзаимно просто сp, 3. если char k Dp>0, тоAцела надAH.

Что для точечной алгебры Хопфа дает следующее Следствие 12. Пусть H — точечная алгебра Хопфа размерности n, а A принадлежит категории A, причем IA инвариантен относительно действия группыG.H/. Тогда:

1. если char k D0, тоSAG.H/ D e.eH/, A A s 2. если char k D p > 0, то cp 2 e.e для любого c 2 SAG.H/, где s AH/ A такое, чтоnDpsmиmвзаимно просто сp, 3. если char k Dp>0, тоAцела надAH.

В главе 4 изучается строение поля инвариантов кольца Мартиндейла QH.A/, а именно вопрос о том, когда поле инвариантов кольца Мартиндейла QH.A/совпадает с полем частныхQ.AH/алгебрыAH. В параграфе 4.1 показано, чтоQH.A/H DQ.AH/, если любой ненулевойH-инвариантный идеал алгебры A содержит ненулевые элементы из AH, и другие вспомогательные утверждения.

В параграфе 4.2 для каждого простого идеала p алгебрыSA были введены орбитальная подалгебраO.p/и стабилизаторSt.p/.

ПустьA—H-модульная алгебра из категории A. Для каждого p 2 SpecSA обозначим через k.p/ поле частных алгебры SA=p, через pH наибольший H-инвариантный идеал содержащийся в 1.p/. Заметим, что алгебра A=pH принадлежит категории A. Также для каждого p 2 Spec SA обозначим через p WA!k.p/канонический гомоморфизм алгебр. Далее всякий раз, когда алгебраAявляетсяH-модульной алгеброй из категории A, будем использовать краткие обозначенияQ.p/DQH.A=pH/.

Также как в параграфе 3.2 для каждого p 2 SpecSA определен гомоморфизм H-модульных алгебр p W k.p/Q.p/H Q.p/ ! Hom.H;k.p//. Обозначим через O.p/ D Im.p/ правая коидеальная подалгебра в алгебре Хопфа Hom.H;k.p// .k.p/H/. Будем называть подалгебруO.p/орбитальной подалгеброй ассоциированной с p.

Пусть A — произвольная H-модульная алгебра, а K — некоторое поле, содержащее k в качестве подполя. Обозначим H0 D KH. На Hom.A;K/ можно задать структуру правого H0-модуля, по правилу.f.qh//.a/ D qf.h a/. Пусть W A ! K — гомоморфизм алгебр. Обозначим F D fh H0j hD".h/ g. Заметим, чтоF является подалгеброй вH. ПустьSt. /– наибольший правый коидеал алгебры ХопфаH0, содержащийся вF. В этом случаеSt. /является правой коидеальной подалгеброй.

Пусть теперьA—H-модульная алгебра из категории A, тогда для каждого p 2 SpecSA обозначимSt.p/DSt.p/и будем называтьSt.p/стабилизатором p. Также для каждого простого идеала p алгебрыSA было показано, что St.p/ D.O.p/CH0 /? D fh 2 H0 j hO.p/CH0 ;hi D 0g, где H0 D k.p/H.

Было замечено, что для произвольной конечномерной алгебры Хопфа H сопоставления B 7!.BCH /? и K 7!.KCH/? задают взаимообратные соответствия между правыми коидеальными подалгебрами вH и вH.

В параграфе 4.3 изучается действие пространства интегралов на H-модульной алгебре A из категории A. Обозначим D fx 2 Hj 8h H H hx D ".h/xg — пространство левых интегралов в H. Известно, что если H — конечномерная алгебра Хопфа, то dim. / D 1. Заметим, что H A AH. Также для каждой правой коидеальной подалгебрыB вH обоH значим D fx2Bj 8h2B hxD".h/xg — пространство левых интегралов B B.

В этом параграфе была доказана следующая теорема, которая позволяет получать равенство QH.A/H и поля частных Q.AH/ алгебры AH из свойств стабилизаторовSt.p/.

Теорема 13. ПустьA— такаяH-модульная алгебра из категории A. Тогда:

1. если алгебра SA не содержит нильпотентных элементов, то A ¤ H 0 тогда и только тогда, когда существует p 2 Spec SA такой, что ". /¤0, St.p/ 2. если rad.SA/D0, то A¤0тогда и только тогда, когда существуH ет максимальный идеал m такой, что". /¤0, St.m/ 3. еслиSA является областью целостности, то A¤0тогда и только H тогда, когда". /¤0. В случае если выполняется одно из этих экSt.0/ вивалентных условий, то любойH-инвариантный идеал вAсодержит ненулевые элементы изAH иQH.A/H DQ.AH/.

T Обозначим St0.p/ D fh 2 H j 1h 2 St.p/g и St0 D St0.p/.

p2Spec SA Заметим, чтоSt0.p/иSt0 являются правыми коидеальными подалгебрами вH.

Было показано, что в некоторых случаях, еслиSt0 ¤ k1, то существует идеал ХопфаJ вH такой, чтоJAD0; что позволяет в этих случаях переходить к рассмотрению действия алгебры Хопфа меньшей размерности.

В параграфе 4.4 приводятся несколько примеров использования теоремы 13 на частных случаях. Приведем некоторые из них.

Следствие 14. Пусть V — H-модуль. Тогда существует n > 0 такое, что любойH-инвариантный идеал вADSH.Vn/содержит ненулевые элементы изAH иQH.A/H DQ.AH/.

Рассматривается действие Тафтовых19 алгебр Хопфа H.n/. То есть H.n/D khg;xi=.gn 1;xn;xg gx/.g/Dgg.x/DxgC1x;

где — примитивный корень степени n из 1, и khg;xi — свободная алгебра, порожденная элементамиgиx.

Следствие 15. ПустьH DH.n/— алгебра Тафта, иA— такаяH-модульная алгебра из категории A, что SA является областью целостности. Предположим, что St0 D k1. Тогда любой H-инвариантный идеал в A содержит ненулевые элементы изAH иQH.A/H DQ.AH/.

При изучении точечных алгебр Хопфа размерности p3, где p — простое число, был введен следующий класс алгебр Хопфа20:

H.n;d; /D khc;x;yi=.cn 1;xn;yn;xc cx;yc dcy;yx dxy/.c/Dcc.x/DxcC1x.y/Dycd C1y;

Taft E. J. The order of the antipode of finite-dimensional Hopf algebra. //Proc. Nat. Acad. Sci. USA. – 1971.

– V. 68. – P. 2631–2633.

S. Caenepeel and S. DM M Pointed Hopf algebras of dimension p3. //Journal of Algebra – 1998. – V.

ascalescu.

209. – P. 622–634.

где — примитивный корень степениnиз 1, иd 21;n 1взаимно просто с n.

Следствие 16. Пусть H D H.n;d; /, и d ¤ 1; d ¤ n 1, и A — такая H-модульная алгебра из категории A, чтоSA является областью целостности. Предположим, что St0 D k1. Тогда любой H-инвариантный идеал в A содержит ненулевые элементы изAH иQH.A/H DQ.AH/.

В заключение, автор выражает глубокую признательность научному руководителю Сергею Марковичу Скрябину за постановку задач, поддержку в работе и интерес к исследованиям автора.

Публикации автора по теме диссертации 1. Еряшкин М.С., Скрябин С.М. Наибольшая подалгебра Хопфа в биалгебре. //Матем. Заметки. – 2009. – Т. 86. – № 6. – С. 942–946.

2. Еряшкин М. С. Инварианты действия полупростой конечномерной алгебры Хопфа на алгебрах специального вида. //Изв. вузов. Матем.. – 2011.

– №8. – C. 14–22.

3. Еряшкин М. С. Кольца Мартиндейла иH-модульные алгебры, обладающие инвариантными характеристическими многочленами. //Сиб. матем.

журн.. – принята к печати.

4. Еряшкин М.С., Скрябин С.М. Наибольшая подалгебра Хопфа в биалгебре. //Летняя школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов": тезисы докл. (Самара, Россия, 8—15 июня 2009 г.).

– Самара: Изд-во "Универс групп". – 2009. – С. 17-–18.

5. Еряшкин М.С. Инварианты действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебрах специального вида. //Вторая школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов": тезисы докл. (Москва, Россия, 31 января — 5 февраля 2011 г.). – Москва: Изд-во "Ол Би Принт".

– 2011. – С. 27-–29.

6. Еряшкин М.С. Кольца Мартиндейла и инвариантные характеристические многочлены. //Алгебра и математическая логика: материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В.Морозова, (Казань, 25–30 сентября 2011г.). – Казань: Издательство Казанского (Приволжского) федерального университета. – 2011.

– С. 91–92.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.