WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Зыкова Татьяна Викторовна

Интегралы Меллина-Барнса, представляющие решения алгебраических уравнений, и их множества сходимости

01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск – 2012

Работа выполнена в Институте космических и информационных технологий Сибирского федерального университета.

Научный руководитель д-р физ.-мат. наук, доцент Антипова Ирина Августовна

Официальные оппоненты:

Сафонов Константин Владимирович, д-р физ.-мат. наук, доцент, Сибирский государственный аэрокосмический университет, кафедра прикладной математики, заведующий Михалкин Евгений Николаевич, канд. физ.-мат. наук, доцент, Красноярский государственный педагогический университет, кафедра математического анализа и методики обучения математике в вузе, доцент Ведущая организация Кемеровский государственный университет

Защита состоится 27 апреля 2012 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02, Сибирский федеральный университет, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79/10.

Автореферат разослан марта 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Бушуева Наталья Александровна

Общая характеристика работы

Актуальность темы Интегралы Меллина-Барнса являются обратными преобразованиями Меллина для отношений произведений конечного числа гамма-функций в композициях с линейными функциями. Частные случаи этих интегралов впервые появились в работах Б. Римана, связанных с теорией гипергеометрических функций. Позднее Х. Меллин1 развил их теорию, а Е. Бaрнс2 разработал метод получения асимптотических разложений для разных классов функций, определяемых степенными рядами и интегралами. Асимптотическое поведение интеграла определяется структурой особенностей подынтегрального выражения, в частности, гамма-функций.

Интегралы Меллина-Барнса представляют гипергеометрические функции – самый обширный класс специальных функций. В недавней работе Ф. Бёйкерса3 они применяются к вычислению группы монодромии А-гипергеометрических систем дифференциальных уравнений. Кроме того, интегралы Меллина-Барнса нашли широкое применение в теоретической физике, в частности, в задачах квантовой электродинамики4.

Отдельно следует подчеркнуть роль интегралов Меллина-Барнса в теории алгебраических уравнений. Впервые такое их применение было продемонстрировано Х. Меллином5 в работе 1921 года, где были найдены интегральные формулы для решения общего алгебраического уравнения. Интегральную формулу и неполную область сходимости Меллин привел без доказательства. Полное доказательство этой формулы с указанием истинной области сходимости было предъявлено И.А. Антиповой6. В работах Mellin H. ber die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy fr die Theorien der Gamma und der hypergeometrischen Funktionen // Acta Soc. Sci. Fennica. 1896. V. 21. № 1. P. 1–115.

Barnes E. W. The asymptotic expansion of integral functions defined by generalized hypergeometric series // Proc. London Math. Soc. 1907. V. 5. № 2. P. 59–116.

Beukers F. Monodromy of A-hypergeometric functions // arXiv:1101.0493.v1 [math.AG]. 3 Jan 2011.

Aguilar J.P., Greynat D., De Rafael E. Muon anomaly from lepton vacuum polarization and the MellinBarnes representation // Phys. Rev. D 77 2008 093010 [arXiv: 0802. 2618 [hep-ph]].

Mellin H.R. Rsolution de l’quation algbrique gnrale l’aide de la fonction gamma // C.R. Acad. Sci.

Paris Sr. I Math. 1921. V. 172. P. 658–661.

Антипова И.А.Обращения многомерных преобразований Меллина и решения алгебраических уравнений // Матем. сб. 2007. Т. 198. № 4. С. 3–20.

Б. Штурмфельса7, А.К. Циха и соавторов8,9 были получены аналитические продолжения для решения общего алгебраического уравнения, описаны области сходимости гипергеометрических рядов, представляющих решение, а также взаимное расположение этих областей относительно дискриминантного множества уравнения.

Интегральные преобразования Меллина для решения общей системы алгебраических уравнений исследовались в ряде современных работ10,11, в которых прямое преобразование было вычислено с помощью линеаризации системы (замены переменной специального вида). Идея линеаризации алгебраического уравнения принадлежит Меллину. Ее реализация для системы алгебраических уравнений позволила получить параметризацию дискриминантного множества общей системы n полиномов Лорана от n переменных12. Отметим, что линеаризация также используется для получения самого интеграла Меллина-Барнса, представляющего решения уравнений.

В настоящее время остается актуальным дальнейшее исследование свойств линеаризации систем уравнений в связи с изучением сингулярного множества и монодромии общей алгебраической функции.

Проблема сходимости интегралов Меллина-Барнса привлекала внимание специалистов на протяжении последнего столетия. В одномерном случае вопрос о сходимости был решен в серии статей и монографий: А. Диксон и Б. Феррар13, Л. Слейтер14, Г. Бейтмен и А. Эрдейи15. Шаги к решению этой проблемы в многомерном случае были сделаны Х. Меллином, Р. Бушманом Sturmfels B. Solving algebraic equation in terms of A-hypergeometric series // Discrete Math. 2000.

V. 210. P. 171–181.

Семушева А. Ю., Цих А. К. Продолжение исследований Меллина о решении алгебраических уравнений // Комплексный анализ и дифференциальные операторы: Сб. науч. тр. Красноярск: КрасГУ. 2000.

C. 134–146.

Passare M., Tsikh A. Algebraic equations and hypergeometric series. In the book ”The legacy of N.H. Abel”.

Springer–Verlag. Berlin. 2004. P. 653–672.

Антипова И.А. Выражение суперпозиции общих алгебраических функций через гипергеометрические ряды // Сиб. матем. журн. 2003. Т. 44. № 5. C. 972–980.

Степаненко В.А. О решении системы n алгебраических уравнений от n неизвестных с помощью гипергеометрических функций // Вестник Красноярского госуниверситета. Серия физ.-мат. науки. 2003.

№ 2. C. 35–48.

Антипова И.А., Цих А.К. Дискриминантное множество системы n полиномов Лорана от n переменных// Изв. РАН. Сер. матем. 2012. Т. 76. № 5. С. 28–55.

Dixon A.L., Ferrar W.L. A class of discontinuous integrals // The Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series). 1936. V. 7. P. 81–96.

Slater L.J. Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge University Press. 1966. 143 P.

Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Москва: Наука. 1973.

и Х. Сриваставой16, О.Н. Ждановым и А.К. Цихом17. Окончательно область сходимости многомерного интеграла Меллина-Барнса найдена М. Пассаре, А. Цихом и Л. Нильсон18.

Представляет интерес задача исследования сходимости интегралов Меллина-Барнса в граничных точках их областей сходимости. Для интегралов, представляющих решения алгебраических уравнений (систем), эта задача сопряжена с исследованием дискриминантных множеств уравнений и систем.

Цель диссертации Целью диссертационной работы является исследование структуры множеств сходимости интегралов Меллина-Барнса, представляющих решения общей системы алгебраических уравнений, а также вычисление степени для линеаризации системы.

Методы исследования В диссертационном исследовании применяются методы вещественного, комплексного и асимптотического анализа, а также многомерной теории функций. В частности, существенно используются теоремы обращения для многомерных преобразований Меллина. Вычисление преобразования Меллина мономиальной функции координат решения системы основано на линеаризации этой системы уравнений.

Научная новизна Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами.

Buschman R., Srivastava H. Convergence regions for some multiple Mellin-Barnes contour integrals representing generalized hypergeometric functions // Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 1986. V. 17. № 5.

P. 605–609.

Жданов О.Н., Цих А.К. Исследование кратных интегралов Меллина-Барнса с помощью многомерных вычетов // Сиб. матем. журн. 1998. Т. 39. № 2. С. 281-–298.

Nilsson L. Amoebas, Discriminants, and Hypergeometric Functions // Doctoral Thesis, Department of Mathematics. Stockholm University. Sweden. 2009.

Теоретическая и практическая ценность Результаты имеют теоретическую ценность и могут быть использованы в теориях алгебраических уравнений, гипергеометрических функций, интегральных преобразований.

Апробация работы Результаты работы докладывались:

• на Красноярском городском семинаре по многомерному комплексному анализу (СФУ, 2010 – 2012);

• на международной научной конференции ”Студент и научнотехничекий прогресс” (Новосибирск, 2007, 2011);

• на VI Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2010);

• на молодежных научных школах-конференциях ”Лобачевские чтения” (Казань, 2010, 2011);

• на международной конференции ”Геометрия многообразий и ее приложения” (Улан-Удэ, 2010);

• на международной школе-конференции по геометрии и анализу (Кемерово, 2011).

Публикации Основные результаты опубликованы в 7 работах, из них 6 работ без соавторов. В изданиях, входящих в перечень ВАК, опубликованы 2 работы.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, двух глав основного текста, приложения и заключения. Список литературы содержит 40 наименований. Работа изложена на 70 страницах.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ (НШ - 7347.2010.1).

Содержание работы Характеризуя диссертационную работу в целом, можно сказать, что она посвящена проблемам сходимости многомерных интегральных преобразований Меллина, возникающих в задачах теории алгебраических уравнений.

В первой главе диссертации исследовано множество сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение общего алгебраического уравнения. А именно, получено достаточное условие сходимости такого интеграла в граничных точках области сходимости.

Изложение начинается с краткого обзора условий сходимости одномерных интегралов Меллина-Барнса (раздел 1.1).

Главный объект исследования – многомерный интеграл Меллина-Барнса вводится в разделе 1.2. Он имеет следующий вид:

s ( Aj, z + cj) j=1 p x-z · · · x-z dz, (1) q 1 p (2i)p ( Bk, z + dk) +iRp k=здесь параметры Aj, Bk Rp, cj, dk R, dz = dz1... dzp, вектор Rp выбран так, что подпространство интегрирования + iRp не пересекает полюсы гамма-функций в числителе. Полагаем, что параметр x = (x1,..., xp) изменяется в римановой области над комплексным алгебраическим тором Tp = (C \ {0})p, и x-z = e-z log x, arg z R.

Области сходимости интегралов Меллина-Барнса являются секториальными: они определяются условиями на аргументы параметров x1,..., xp.

Максимальная область сходимости19 интеграла (1) представляет собой проo образ Arg-1 (P ) при отображении Arg : Tp Rp, (x1,..., xp) (1,..., p) внутренности многогранника P, гиперграни которого имеют нормальные векторы – одномерные конусы полиэдра, образованного гиперплоскостями Aj, = 0, Bk, = 0, = (), = Im z, = 1,..., p (Теорема 1.1).

Рассмотрим общее алгебраическое уравнение p yn + xpyn + · · · + x1yn - 1 = 0 (2) Nilsson L., цит. выше.

с комплексными коэффициентами xi, i J := {1,..., p}, n > np >... > n1 1. Интеграл Меллина-Барнса, представляющий µ-ю степень (µ > 0) главного решения (ветви y(x) с условием y(0) = 1) уравнения (2), имеет вид (z1) · · · (zp)(µ - , z ) 1 µ n n 1 p x-z · · · x-z dz, (3) 1 p (2i)p n (µ + , z + 1) n n +iRp здесь = (n1,..., np), = (n - n1,..., n - np), вектор Rp фиксирован и выбирается из открытого симплекса U = {u Rp : ui > 0, , u < µ}. (4) o Интеграл (3) сходится в секториальной области SP 20, основание которой в o пространстве аргументов 1 = arg x1,..., p = arg xp есть внутренность P выпуклого многогранника P = { Rp : | l, | nl, | kj, | nk, l, k, j J, k < j}, (5) здесь l = nel, kj = -njek + nkej, e1,..., ep – базисные векторы в Rp.

Основной результат главы 1 (достаточное условие сходимости интеграла (3) в граничных точках области сходимости) содержится в разделе 1.2.(Теорема 1.3 и Теорема 1.4). Пусть в уравнении (2) показатели мономов подчинены условию n < 2n2, тогда среди неравенств, определяющих многогранник P, нет лишних. В этом случае он имеет p2 +p гиперграней, которые задаются пересечением соответствующих гиперплоскостей с самим многогранником P :

± = { P : l, = ±nl}, l J, l (6) ± = { P : kj, = ±nk}, k < j, k, j J.

kj Теорема 1.3. Прообразы Arg-1 точек из относительной внутренности гиперграней (6) многогранника P принадлежат множеству сходимости интеграла (3).

Если n 2n2, то среди неравенств (5), определяющих P, появляются лишние, следовательно количество гиперграней многогранника P уменьшается. Рассмотрим крайнюю ситуацию, когда многогранник P превращается Антипова И.А., цит. выше.

в p-мерный параллелепипед, которая наступает при n > 2np. Зафиксируем поднаборы Js = {j1,..., js} J, Jt = {j1,..., jt} J, Js Jt = .

При s = 0 считаем Js = , при t = 0 считаем Jt = . Рассмотрим грань параллелепипеда коразмерности s + t (Js, Jt) = { P : l, = nl, l Js, j, = -nj, j Jt}. (7) Заметим, что (J0, J0) = P.

При условии p 3, n > 2np имеет место Теорема 1.4. Прообразы Arg-1 точек из относительной внутренности грани (7) многогранника P принадлежат множеству сходимости интеграла (3), если (s, t) {0, 1, 2}2.

В заключительных разделах 1.2.4 и 1.2.5 приводится подробное описание множества сходимости интегралов Меллина-Барнса, представляющих главные решения тетраномального и пентаномиального уравнений. Рассматривается интеграл вида (3) с двумя параметрами x1, x2, представляющий µ–ю степень главного решения тетраномиального алгебраического уравнения 2 yn + x2yn + x1yn - 1 = 0, n > n2 > n1 1. (8) Он сходится на множестве, угловая проекция которого есть многогранник n1 nP = (1, 2) R2 : |1| , |2| , |n12 - n21| nn n n n2 n n 1 1 2 1 без четырех вершин,,, - 1, -n, -n, n n n n n n n-n, 1 - (затемненный шестиугольник с четырьмя ”выколоn n тыми” вершинами на Рис. 1).

Сопоставим множество сходимости интеграла с сингулярным множеством полной (многозначной) алгебраической функции y(x). Это сингулярное множество есть дискриминантная гиперповерхность Tp уравнения (2).

Коамебой дискриминантной гиперповерхности Tp уравнения (2) называется ее образ при отобажении Arg. Например, для кубического уравнения (n = 3, n2 = 2, n1 = 1) y3 + x2y2 + x1y - 1 = дискриминант равен D(x) = 27 + 4x3 - 4x3 + 18x1x2 - x2x2, 1 2 1 а его коамеба изображена серым цветом на Рис. 2 в рамках квадрата |1| , |2| . Заметим, что выделенные точки на Рис. 2 принадлежат коамебе дискриминанта D(x). ”Выколотые” вершины шестиугольника на Рис. 1 есть точки коамебы и они не входят в множество сходимости интеграла.

Рис. 1. Множество сходимости Рис. 2. Коамеба дискриминанта.

интеграла.

Для пентаномиального уравнения (с тремя переменными коэффициентами) многогранник P есть двенадцатигранник с восемнадцатью вершинами (см. Рис. 3). Соответствующий интеграл Меллина-Барнса сходится в прообразах почти всех граничных точек P, за исключением шести вершин A3, A5, A11, A12, A15, A16, принадлежащих коамебе дискриминанта пентаномиального уравнения.

Вторая глава посвящена исследованию интегралов Меллина-Барнса, представляющих мономиальную функцию вектор-решения системы уравнений. Применительно к вычислению прямого преобразования Меллина мономиальной функции найдена степень отображения, линеаризующего систему уравнений (разделы 2.2 и 2.3). Исследовано множество сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего мономиальную функцию векторрешение системы полиномиальных уравнений специального вида (раздел 2.5).

Рис. 3. Многогранник P : p = 3, n < 2n2.

Рассмотрим приведенную систему n полиномиальных уравнений:

mi yi + x(i)y - 1 = 0, i = 1,..., n, (9) (i) с неизвестными y = (y1,..., yn) Tn и переменными коэффициентами 1 n x(i); (i) Zn – фиксированные конечные подмножества, y = y1 · · · yn, mi Z+, i = 1,..., n. Обозначим через дизъюнктное объединение множеств (i) и пусть N = # – число коэффициентов в системе (9). Множество коэффициентов этой системы пробегает векторное пространство C CN, = x в котором координаты точек x = x(i) индексируются элементами .

Посмотрим на систему (9) как на систему полиномиальных уравнений в пространстве C Tn с координатами x = x(i) и y = (y1,..., yn). Введем в этом пространстве замену координат (, W ) (x, y) следующего вида:

j n mj (i) x(i) = Wj, = (j) (i), i = 1,..., n, j=1 (10) mj yj = Wj, j = 1,..., n.

Тем самым, система (9) преобразуется в систему линейных уравнений вида (j) Wj + = 1, j = 1,..., n.

(j) Рассматривая (9) как систему относительно неизвестных y = (y1,..., yn), получаем, что при замене (линеаризации) : CN CN, определяемой x формулами:

j n mj (i) (j) x(i) = 1 + , = (j) (i), i = 1,..., n, (11) j=(j) координаты yj(-x) решения системы (9) приобретают вид mj (j) yj (-x()) = 1 + .

(j) Для системы (9), удовлетворяющей условию n i < 1, = (i) , mi i=справедлива Теорема 2.1. Отображение |R собственное. Его степень deg корN + ректно определена и равна 1.

Как упоминалось выше, идеи Меллина были развиты для систем алгебраических уравнений в ряде современных работ. В частности, в работе И.А.

Антиповой21 для мономиальной функции 1 :=, µi > 0, (12) µ1 µn yµ(-x) y1 (-x) · · · yn (-x) составленной из координат yj(-x) решения системы уравнений (9), формально с помощью замены переменной (11), было вычислено прямое преобразование Меллина, определяемое интегралом 1 M (z) = xz-Idx, (13) yµ(-x) yµ(-x) RN + 1 N где xz-I = xz -1 · · · xz -1, dx = dx1 · · · dxN.

1 N Теорема 2.1 подтверждает корректность применения замены переменной (11) к вычислению интеграла (13). Результат вычислений преобразования Меллина приведены в разделе 2.4 диссертации (Теорема 2.2).

Антипова И.А.О мономиальной функции вектор-решения общей системы алгебраических уравнений // Вестник Красноярского госуниверситета. Серия физ.-мат. науки. 2005. № 1. C. 106–111.

В разделе 2.5 второй главы диссертации рассматривается приведенная система двух полиномиальных уравнений (i) mi yi + xiy - 1 = 0, i = 1, 2, (14) с двумя переменными коэффициентами x1, x2 C. Составим матрицы из показателей мономов системы (14):

(1) (2) (1) - m1 (2) 1 1 1 =, =.

(1) (2) (1) (2) - m2 2 2 Предположим, что := det > 0. Введем векторы 1 = (2), m1 - (1), 1 2 = m2 - (2), (1), ортогональные вектор-строкам матрицы .

2 Справедлива Теорема 2.3. Мономиальная функция, составленная из коорyµ(-x) динат решения системы (14), представляется следующим интегралом Меллина-Барнса µi + i, z (zi) 1 mi mi 1 Q(z1, z2)x-z x-z dz1dz2, (15) 1 µi (2i) + i, z + mi mi +iR2 i=где полином Q(z1, z2) = µ1µ2 + µ1(1)z1 + µ2(2)z2 - z1z2, 2 m1mа вектор R2 выбирается из открытого множества U = u R2 : µi + i, u > 0, i = 1, 2.

+ Множество сходимости интеграла (15) в переменных = arg x определяется неравенствами < , i = 1, 2.

|i| < mi - (i),, i i mi mi Основные результаты • Для интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение общего алгебарического уравнения, получено достаточное условие сходимости в граничных точках области сходимости.

• Найдена степень отображения, линеарезующего общую систему n полиномиальных уравнений с n неизвестными.

• Получено интегральное представление типа Меллина-Барнса мономиальной функции вектор-решения системы полиномиальных уравнений специального вида с указанием множества сходимости.

Публикации по теме диссертации [1] Зыкова Т.В. О множестве сходимости интеграла МеллинаБарнса, представляющего решение алгебраического уравнения // VI Всесибирский конгресс женщин-математиков (в день рождения С.В. Ковалевской): Материалы Всероссийской конференции / Красноярск: РИЦ СибГТУ, 2010. С. 161-164.

[2] Зыкова Т.В. О структуре множества сходимости интеграла МеллинаБарнса // Геометрия многообразий и ее приложения: Материалы научной конференции с международным участием / Улан-Удэ: Бурятский гос. ун-т, 2010. С. 23-28.

[3] Зыкова Т.В. О представлении решения алгебраического уравнения в виде интеграла Меллина-Барнса // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского: Материалы Девятой молодежной научной школы-конференции Лобачевские чтения – 2010“ / Казань: Казан.

” матем. об-во, 2010. Т.40. С. 139-143.

[4] Антипова И.А., Зыкова Т.В. О множестве сходимости интеграла Меллина–Барнса, представляющего решения тетраномиального алгебраического уравнения // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 2010. Т. 3. № 4. С. 475 486.

[5] Зыкова Т.В. О множестве сходимости интеграла Меллина-Барнса // Тезисы докладов Международной школы-конференции по геометрии и анализу. Кемерово, 19-26 июня 2011. [Электронный ресурс] / Кемерово: КемГУ, 2011, номер гос. рег. 03211022(http://www.math.kemsu.ru/kma/file/tesis/index.htm).

[6] Зыкова Т.В. О преобразовании Меллина мономиальной функции вектор-решения общей системы алгебраических уравнений // Тезисы VI Уфимской международной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения посвященной 70-летию чл.-корр. РАН В.В. Напалкова / Уфа: ИМВЦ, 2011. С. 69-70.

[7] Зыкова Т.В. О сходимости интеграла Меллина-Барнса на границе его области сходимости // Вестник КемГУ. 2011. Т. 47. № 3/1. С. 199–202.

Подписано в печать 21.03.20Формат 60х84/16. Усл. печ. л. 0,Тираж 110 экз. Заказ 67Отпечатано полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041 Красноярск, пр. Свободный, 82а Тел/факс (391)249-74-81, 249-73-E-mail: print sfu@mail.ru; http://lib.sfu-kras.ru






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.