WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

ФГБОУ ВПО "Омский государственный университет имени Ф. М. Достоевского"

На правах рукописи

Ерофеев Степан Юрьевич

Группы унитреугольных автоморфизмов относительно свободных групп и алгебраические схемы построения односторонних функций

01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск – 2012

Работа выполнена на кафедре информационных систем института математики и информационных технологий ФГБОУ ВПО Омский государственный университет имени Ф. М. Достоевского.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Виталий Анатольевич Романьков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Романовский Николай Семёнович;

кандидат физико-математических наук, Трейер Александр Викторович

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Новосибирский государственный технический университет

Защита состоится 6 декабря 2012 года в 1400 часов на заседании диссертационного со вета ДМ 212.179.07 при Омском государственном университете им. Ф. М. Достоевского, расположенном по адресу: 644099 Омск, ул. Певцова, 13, к. 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университе та им. Ф. М. Достоевского.

Автореферат разослан ноября 2012 года.

Учёный секретарь диссертационного совета А. М. Семенов

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Настоящая диссертация посвящена двум основным темам:

1. Исследование вопроса линейности и структуры группы унитреугольных автоморфизмов относительно свободных групп.

2. Построение новых конструкций возможно односторонних функций на основе алгоритмической неразрешимости проблемы эндоморфной сво­ димости в группах и Диофантовой проблемы.

Группа унитреугольных автоморфизмов. Группам автоморфизмов от­ носительно свободных групп как конечных, так и бесконечного, рангов посвя­ щено немало работ. См., например, обзоры [7, 12, 22].

Обозначим через Fn свободную группу ранга n с базисом Xn = {x1,..., xn}, через F свободную группу бесконечного счетного ранга с базисом X = 0 {x1, x2,...}, группа F рассматривается как объединение F = Fn. Так­ 0 0 n=же обозначим через Gn относительно свободную группу ранга n некоторого многообразия групп C, через G относительно свободную группу бесконеч­ ного счетного ранга многообразия C.

Отметим известные результаты о линейности групп автоморфизмов и их подгрупп относительно свободных групп конечного ранга. Почти ниль­ потентной называется группа, допускающая нильпотентную подгруппу ко­ нечного индекса.

Крамер в работе [16] доказал линейность группы AutF2.

Форманек и Прочези в работе [14] доказали, что при n 3 группа AutFn не линейна.

Ауслендер и Баумслаг в работе [11] доказали, что группа автоморфизмов любой конечно порожденной почти нильпотентной группы линейна. Более то­ го, голоморф такой группы (значит и ее группа автоморфизмов) допускают точное представление матрицами над кольцом целых чисел Z. Отсюда сле­ дует в частности, что группы автоморфизмов относительно свободных групп конечного ранга почти нильпотентных многообразий групп допускают точное представление матрицами.

Ольшанский в работе [20] доказал, что если относительно свободная груп­ па Gn не свободна и не почти нильпотентна, то ее группа автоморфизмов AutGn не линейна. В этой же работе отмечалось, что близкие по формули­ ровке результаты содержатся в статьях [2, 4]. Однако, обе эти статьи содержат неточности в формулировках и существенные ошибки в доказательствах.

Заметим также, что группа автоморфизмов AutG для любого нетри­ виального многообразия C содержит подгруппу, определяемую всеми подста­ новками бесконечного счетного множества свободных порождающих Y, ко­ торая изоморфна группе подстановок S. Последняя, как хорошо известно, нелинейна.

Никакие из приведенных работ не дают представление о линейности до­ статочно естественной подгруппы унитрегольных автоморфизмов.

Новые конструкции возможно односторонних функций. Односторон­ ние (в другой терминологии однонаправленные) функции являются неотъем­ лемой частью криптографических схем и протоколов. Теоретически их су­ ществование при формальном определении до сих пор не установлено. В то же время, односторонние функции являются основным инструментом во мно­ гих разделах и приложениях криптографии, в частности, они применяются в электронных подписях, протоколах аутентификации, алгоритмах генерации псевдослучайных последовательностей и т.п. Конечно, используемые с ука­ занной целью функции можно назвать только возможно односторонними.

Относительно общей теории односторонних функций см. монографии [15, 21, 23]. В работах Л. Левина [3, 17] приведена универсальная функция, ко­ торая автоматически является односторонней, если существует хотя бы одна односторонняя функция. Такие функции названы полными односторонними функциями. Для их построения Л. Левин использовал нумерацию всех ма­ шин Тьюринга [17] и комбинаторный тайлинг [3]. Отсюда видно, что такое построение имеет чисто теоретическое значение. В работе А. Кожевникова, С. Николенко [1] приведены другие примеры полных односторонних функ­ ций.

Новые конструкции односторонних функций, предложенные в диссерта­ ции, относятся к "криптографии основанной на группах"("group-based cryptography") — современному направлению, возникшему на рубеже 20-го и 21-го столетий. Основными объектами в нем являются абстрактные беско­ нечные группы, а основной целью — построение на этих группах криптогра­ фических схем и протоколов. Исследования ведутся методами теории групп, теории сложности и теории вычислений. Современное состояние полученных в этой области результатов отражено в монографиях [18, 19].

Научная новизна. Все результаты являются новыми, носят теоретиче­ ский характер и могут найти применения в дальнейших исследованиях.

Основные результаты диссертации.

1. Исследована структура групп унитреугольных автоморфизмов относи­ тельно сводобных групп многообразий.

2. Исследован вопрос о линейности, то есть точной представимости матри­ цами над полем, групп унитреугольных автоморфизмов относительно свободных групп конечного ранга собственных многообразий групп.

3. Изучен вопрос о возможных оценках длины обратного автоморфизма -1 через длину автоморфизма в свободных абелевых и абсолютно свободных группах.

4. Доказана диофантовость дискретного логарифма и найдено его явное диофантово представление.

5. Предложены схемы построения двушагово односторонних функций на основе неразрешимости Диофантовой проблемы, рассмотрены предпо­ сылки криптостойкости данных схем.

6. Предложена схема построения возможно односторонних функций на ос­ нове неразрешимости проблемы эндоморфной сводимости в группах, в качестве приложения приведена схема аутентификации с нулевым раз­ глашением пользователей в системе.

Методы исследования. Методы, используемые автором для доказа­ тельства результатов, опираются на теорию групп, теорию сложности и тео­ рию вычислений.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации доклады­ вались на алгебраическом семинаре кафедры алгебры Омского государствен­ ного университета им. Ф.М. Достоевского, были представлены на сибирском научном школе-семинаре с международным участием "Компьютерная без­ опасность и криптография"(Томск, 2011 г.), на Международной конференции по алгебре и математической логике "Мальцевские чтения"(Новосибирск, 2011 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [24–27]. Рабо­ ты [26, 27] выполнены в соавторстве с В.А. Романьковым.

Структура диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введе­ ния, трех глав и списка литературы, который включает 72 наименования.

Объем диссертации 65 страниц.

Содержание работы Первая глава посвящена описанию структуры группы унитреугольных автоморфизмов относительно свободной группы конечного ранга произволь­ ного многообразия групп и исследованию вопроса линейности данной группы.

Мы определяем естественную подгруппу UT AutGn группы AutGn, кото­ рую мы называем группой унитреугольных автоморфизмов. Нас интересуют вопрос о ее структуре и точной представимости матрицами над полем, то есть линейности. Также мы вводим естественное понятие длины автоморфизма и рассматриваем вопрос оценки длины обратного автоморфизма через длину данного автоморфизма.

Определение 1. Унитреугольным автоморфизмом группы Gn относитель­ но базиса Yn, называется любой автоморфизм , задаваемый отображением вида:

: y1 y1, yi uiyi для i = 2,..., n, (1) где ui = ui(y1,..., yi-1) произвольный элемент группы Gi-1.

Определение 2. Длина l() автоморфизма группы Gn, определяется следующим образом n l() = |(yi)|, (2) i=где |g| означает наименьшую длину записи элемента g группы Gn в базисе Yn.

В первой главе диссертации доказывается следующая структурная тео­ рема.

Теорема 1.2.1. Пусть Gn относительно свободная группа ранга n 2 про­ извольного многообразия групп C. Тогда группа Un = UT AutGn унитреуголь­ ных автоморфизмов группы Gn допускает нормальный ряд 1 = N0 N1 ... Nn-1 = Un, (3) в котором факторы изоморфны относительно свободным группам многооб­ разия C, а именно:

Ni/Ni-1 Gn-i для i = 1,..., n - 1. (4) Более того, факторы данного ряда отщепляются, поэтому группа Un есть произведение непересекающихся подгрупп (n) (2) Un = Un ·... · Un Gn-1 ·... · G1, (5) (i) где подгруппа Un Gi-1 состоит из однострочных унитреугольных авто­ морфизмов, соответствующих yi, то есть унитреугольных автоморфиз­ мов тождественных на всех базисных элементах yl кроме, возможно, yi.

В частности, группа Un принадлежит многообразию Cn-1.

Также в этой главе доказываются две теоремы о линейности групп унит­ реугольных автоморфизмов относительно свободных групп.

Теорема 1.2.2. Пусть Gn относительно свободная группа ранга n 2 про­ извольного многообразия групп C. Тогда верны следующие утверждения:

Группа U1 тривиальна, группа U2 циклическая порядка равного экспо­ ненте многообразия C. Эти группы допускают точное представление мат­ рицами.

При n 3, если группа Gn-1 нильпотентна, то и группа Un нильпо­ тентна.

Почти нильпотентность группы Gn-1 влечет существование точной матричной представимости группы Un над кольцом целых чисел Z.

Теорема 1.2.3. Пусть Gn относительно свободная группа ранга n 3 про­ извольного нетривиального многообразия C групп отличного от многообра­ зия всех групп. Тогда, если группа Gn-1 не почти нильпотентна, то группа Un = UT AutGn унитреугольных автоморфизмов группы Gn не допускает точного представления матрицами над полем.

Таким образом утверждения приведенных теорем 1.2.2 и 1.2.3 дают ис­ черпывающую информацию о линейности групп унитреугольных автомор­ физмов относительно свободных групп конечного ранга собственных много­ образий групп, что дополняет известные результаты А. Ю. Ольшанского [20] о точной матричной представимости полных групп автоморфизмов AutGn.

Относительно длины автоморфизмов получены следующие результаты.

Теорема 1.3.1. Пусть An — свободная абелева группа ранга n. Тогда для любого автоморфизма AutAn выполнено неравенство l(-1) l()n-1, причем степень n - 1 понизить нельзя.

Пусть Fn — абсолютно свободная группа ранга n. Тогда для любого унитреугольного автоморфизма UAutFn выполнено неравенство l(-1) l()n-1, причем степень n - 1 понизить нельзя.

Во второй главе приводятся основные определения и теоремы из обзоров [6, 13], касающиеся неразрешимости Диофантовой проблемы. Далее приво­ дятся известные результаты, о связанных с Диофантовой проблемой вопро­ сах, которые понадобятся в дальнейшем.

Третья глава посвящена построению функций, на основе неразрешимо­ сти Диофантовой проблемы и неразрешимости проблемы эндоморфной сво­ димости в группах, которые могут рассматриваться в качестве кандидатов в односторонние функции.

В параграфе 3.1 приводятся определения слабо и сильно односторонних функций. Цель параграфа 3.2 — дать представление дискретного логарифма как диофантова множества. Тогда проблема нахождения дискретного лога­ рифма будет эквивалентна проблеме нахождения решения соответствующе­ го диофантова многочлена. Заметим, что данное представление может быть основанием протоколов разделения ключа, аутентификации, цифровой под­ писи и т. п. Кроме того, оно может быть использовано с целью организации атаки на дискретный логарифм.

Рассмотрим следующую систему диофантовых уравнений:

x2 - (a2 - 1)y2 = 1, u2 - (a2 - 1)v2 = 1, s2 - (b2 - 1)t2 = 1, v2 = ry2, b = 1 + 4yo, b = a + qu, s = x + cu, t = k + 4(d - 1)y, x - y(a - n) - m)2 = (f - 1)2(2an - n2 - 1)2, (6) m + g = 2an - n2 - 1, y = k + e - 1, a2 - (w2 - 1)(w - 1)2z2 = 1, w = n + h, w = k + l, m = i + pj.

Теорема 3.2.2. Пусть даны n, i, p N, где p - простое. Тогда если система диофантовых уравнений (6) имеет решение в натуральных числах в остав­ шихся аргументах, то nk i (mod p).

Верно и обратное, если nk i (mod p), для некоторого k N, то си­ стема (6) имеет решение в натуральных числах в оставшихся аргументах.

Причем если i 0 (mod p), то k k (mod p - 1), иначе k любое.

В параграфе 3.3 предлагаются схемы построения двушагово односторон­ них функций на основе неразрешимости Диофантовой проблемы. Рассматри­ ваются предпосылки криптостойкости предложенных схем.

Пусть F Z[x1,..., xn] диофантов многочлен. По любому диофантову многочлену F определяется функция F : Zn Z, F : (a1,..., an) F (a1,..., an). (7) Результаты, приведенные в главе 2, дают основания рассматривать функ­ цию F в качестве претендента в односторонние функции. Действительно, лю­ бое ее значение вычислимо за полиномиальное время от |a1| +... + |an|. В то же время, из-за неразрешимости 10-й проблемы Гильберта мы не можем указать полиномиальный по времени алгоритм, вычисляющий аргумент этой функции с заданным значением.

Более того, для повышения надежности, например, чтобы нивелировать выбор неподходящего многочлена, можно строить более стойкие схемы одно­ сторонних функций на основе функций вида (7).

В диссертации предложены 5 схем построения двушагово односторонних функций, рассмотрены предпосылки криптостойкости предложенных схем.

Здесь приведем для примера одну из этих схем.

Схема По любому набору диофантовых многочленов F Z[x1,..., xm], Pi Z[x1,..., xn] (i = 1,..., m) определяется функция H2 : (Zn)m Z. Для вычисления значений функции используется следую­ щий алгоритм.

Шаг 1. Найдем значения диофантовых многочленов Pi в точках xi1,..., xin.

P1(x11,..., x1n) = cP2(x21,..., x2n) = c2, (8).....................

Pm(xm1,..., xmn) = cm Шаг 2. Найдем двоичное представление значений ci.

ci = bi1 + 2 · bi2 +... + 2k-1 · bik, (9) где bij {0, 1} для любых i = 1,..., m, j = 1,..., k.

Для каждого значения ci, соответствующие бинарные векторы могут иметь разную длину, поэтому выполняется стандартная процедура вы­ равнивания. Длина k равна максимальной длине бинарного вектора из найденных векторов на данном шаге. Если для некоторого c c1,..., cm длина бинарного вектора меньше k, то вектор дополняется нулями спра­ ва, такое представление однозначно.

Шаг 3. Вычислим входной набор функции F. Для этого формируется стро­ ка чисел, выписыванием элементов bij, полученных в (9), по столбцам:

b11, b21,..., bm1, b12,..., bm2,..., b1k,..., bmk. Данная строка разбивается на m подстрок по k элементов. Разбиение на подстроки происходит без каких-либо перестановок элементов строго по порядку следования эле­ ментов в начальной строке. Пусть bi = bi,..., bik - i-ая подстрока из предложенного разбиения. Для каждой такой подстроки вычисляется 1 hi = bi + 2 · bi +... + 2k-1 · bik (i = 1,..., m). (10) Шаг 4. Значение односторонней функция H2 определяется так H2(X) = F (h,..., h ), (11) 1 m где последовательность h,..., h является упорядоченной по возраста­ 1 m нию последовательностью h1,..., hm.

В параграфе 3.4 предлагается новый кандидат на роль односторонней функции. В качестве платформы рассматривается бесконечная группа с раз­ решимой проблемой равенства и неразрешимой проблемой эндоморфной сво­ димости. Конкретное предложение — свободная метабелева группа доста­ точно большого ранга. Теоретическая база в данном случае дана в работе В. А. Романькова [9], где доказана соответствующая неразрешимость. Более точно, В. А. Романьков в работах [8, 9] ввел в рассмотрение интерпретацию диофантовых уравнений в свободных нильпотентных группах ступени 9 и в свободных метабелевых группах достаточно большого ранга, позволяющую перенести неразрешимость Диофантовой проблемы, доказанную Ю. В. Мати­ ясевичем [5], на неразрешимость проблемы эндоморфной сводимости в рас­ сматриваемых группах.

Говорят, что в эффективно заданной группе G разрешима проблема эн­ доморфной сводимости, если существует алгоритм, определяющий по любой паре элементов g, f G, является ли f эндоморфным образом элемента g.

Общая схема построения односторонних функций на основе нераз­ решимости проблемы эндоморфной сводимости. Пусть G эффектив­ но заданная группа, в которой разрешима проблема равенства и неразре­ шима проблема эндоморфной сводимости. Допустим, что нам необходимо построить на группе G одностороннюю функцию со значением также в G.

Как правило, эффективно заданные группы конечно порождены. Поэтому мы предполагаем, что в G существует конечное порождающее множество Xn = {x1,..., xn}. Произвольный элемент g группы G записывается как груп­ повое слово g = g(x1,..., xn) от фиксированных порождающих элементов.

Каждый эндоморфизм : G G однозначно определяется своими значе­ ниями на элементах порождающего множества Xn. Представляется перспек­ тивным выбирать в качестве группы G свободную группу конечного ранга некоторого многообразия групп L. Тогда любое отображение : Xn G, где Xn — базис группы G (т.е. множество свободных порождающих группы G в многообразии L) однозначно определяет эндоморфизм : G G. Для его задания достаточно определить образы базисных элементов, записав их в виде групповых слов от этих элементов.

Определим функцию : G G, сопоставляющую элементам группы, записанным в нормальной форме, нормальные формы их значений относи­ тельно эндоморфизма . Для эффективности соответствующих вычислений необходимо, чтобы в группе G существовал эффективный алгоритм записи элемента в нормальной форме по его представлению в виде группового слова от порождающих элементов или в каком-то другом виде, отвечающем эффек­ тивности задания группы G. Также необходима эффективная процедура вы­ числения нормальных форм обратного элемента и произведения элементов.

Если группа G удовлетворяет этим требованиям, то мы получаем эффектив­ но вычислимую функцию, определенную на множестве нормальных форм элементов группы G со значениями в этом же множестве. Если определить для элементов группы G некоторую функцию длины, например, ввести на ней словарную метрику, то не существует полиномиального алгоритма, огра­ ничивающего длину прообраза по длине образа для данной функции. Более того, никакая рекурсивная функция не даст такого ограничения. Не суще­ ствует и других эффективных процедур, сводящих решение задачи поиска аргумента по значению функции к конечному полному перебору.

Как отмечалось выше, в диссертации предлагается использовать свобод­ ную метабелеву группу Mn в качестве платформы построения возможно одно­ сторонней функции. В работе [10] отмечено, что свободные метабелевы груп­ пы отвечают описанным требованиям. В параграфе 3.4 описан явный способ нахождения элементов g, f группы Mn, для которых неразрешима проблема эндоморфной сводимости.

Также в работе предлагается протокол аутентификации с нулевым раз­ глашением на основе построенной возможно односторонней функции.

Протокол аутентификации. В общих чертах протокол выглядит следую­ щим образом.

Установка. В качестве платформы используется свободная метабелева группа Mn. Абонент A фиксирует публичный элемент g и секретный эндо­ морфизм , вычисляет и публикует образ f = (g). Элементы g и f выби­ раются таким образом, чтобы проблема эндоморфной сводимости для пары (g, f) была трудна. Это означает, что по f трудно вычислить эндоморфизм , переводящий g в f.

Алгоритм аутентификации.

1. В качестве сессионного ключа выбирается эндоморфизм , вычисляется элемент v = (f) и передается в систему C, в которой осуществляется аутентификация пользователя A.

2. Система C с равной вероятностью выбирает случайный бит и отсылает его A.

3. Если A получает 0, то он просто публикует , а C проверяет, что дей­ ствительно v — образ f относительно . Если A получает 1, то он вы­ числяет композицию = , передает ее C, который проверяет спра­ ведливость равенства v = (g).

В диссертации также рассматриваются предпосылки криптостойкости данного протокола.

Автор выражает огромную благодарность своему научному руководите­ лю Виталию Анатольевичу Романькову за постановку задач, понимание и постоянную помощь в ходе подготовки диссертации.

Цитированная литература 1. Кожевников А. А., Николенко С. И. О полных односторонних функци­ ях // Проблемы передачи информации. 2009. Т. 45, № 2. С. 101–118.

2. Коробов А. А. Разделенные разности в теории дифференциально-разност­ ных уравнений и в теории групп // Вестник Новосибирского гос. универ­ ситета, серия матем., мех., информ. 2006. Т. 6, № 3. С. 25–48.

3. Левин Л. А. Односторонние функции // Проблемы передачи информа­ ции. 2003. Т. 39, № 1. С. 103–117.

4. Матейко О. М., Тавгень А. И. Линейность групп автоморфизмов относи­ тельно свободных групп // Матем. заметки. 1995. Т. 58, № 3. С. 465–467.

5. Матиясевич Ю. В. Диофантовость перечислимых множеств // Докл. Ака­ демия наук СССР. 1970. Т. 191, № 2. С. 279–282.

6. Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. Москва: Наука, 1993.

7. Носков Г. А., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. Бесконечные груп­ пы // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. 1979. Т. 17.

С. 65–158.

8. Романьков В. А. О неразрешимости проблемы эндоморфной сводимости в свободных нильпотентных группах и в свободных кольцах // Алгебра и логика. 1977. Т. 16, № 4. С. 457–471.

9. Романьков В. А. Об уравнениях в свободных метабелевых группах // Сиб. мат. журн. 1979. Т. 20, № 3. С. 671–673.

10. Романьков В. А. Диофантова криптография // Прикладная дискретная математика. 2012. № 2. С. 15–42.

11. Auslander L., Baumslag G. Automorphism groups of finitely generated nilpo­ tent groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 73. P. 716–717.

12. Bachmuth S. Automorphisms of solvable groups I // Proceedings of Groups — St. Andrews. 1985. P. 1–14.

13. Davis M. Hilbert’s tenth problem is unsolvable // Amer. Math. Monthly.

1973. Vol. 80, no. 3. P. 233–269.

14. Formanek E., Procesi C. The automorphism group of a free group is not linear // J. Algebra. 2002. Vol. 149. P. 494–499.

15. Goldreich O. Computational Complexity: Volume 1, Basic Tools. Cambridge:

Cambridge University Press, 2001.

16. Krammer D. The hypercenter of linear groups // Invent. Math. 2000. Vol.

142, no. 3. P. 451–586.

17. Levin L. A. One-way Functions and Pseudorandom Generators // Combina­ torica. 1987. Vol. 7, no. 4. P. 357–363.

18. Myasnikov A., Shpilrain V., Ushakov A. Group-based cryptography (Ad­ vanced Courses in Mathematics - CRM Barcelona). Birkhauser Basel, 2008.

19. Myasnikov A., Shpilrain V., Ushakov A. Non-commutative cryptography and complexity of group-theoretic problemsc (Amer. Math. Soc. Surveys and Monographs). Amer. Math. Soc., 2011.

20. Olshanskii A. Y. Linear automorphism groups of relatively free groups // Turk. J. Math. 2007. Vol. 31. P. 105–111.

21. Papadimitriou C. H. Foundations of Cryptography. Section 12.1: One-way functions. Addison Wesley, 1993. P. 279–298.

22. Roman’kov V. A. Automorphisms of groups // Acta Appl. Math. 1992.

Vol. 29. P. 241–280.

23. Sipser M. Introduction to the theory of computation. Section 10.6.3: One-way functions. PWS Publishing, 1997. P. 374–376.

Список публикаций 24. Ерофееев С. Ю. Диофантовость дискретного логарифма // Вестник Ом­ ского университета. 2010. № 4. С. 13–15.

25. Ерофееев С. Ю. Схемы построения двушагово односторонних функций // Вестник Омского университета. 2011. № 4. С. 15–18.

26. Ерофеев С. Ю., Романьков В. А. О группах унитреугольных автоморфиз­ мов относительно свободных групп // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, № 5.

С. 991–1000.

27. Ерофеев С. Ю., Романьков В. А. О построении возможно односторон­ них функций на основе алгоритмической неразрешимости проблемы эндо­ морфной сводимости в группах // Прикладная дискретная математика.

2012. № 3. С. 13–24.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.