WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


 

На правах рукописи

Халед Мохамед Али Эль Мораби

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ЗАГЛУБЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ В СЛОИСТЫХ УПРУГИХ СРЕДАХ

01.02.04 –механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону - 2012

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

Научный руководитель:  доктор физико-математических наук,

профессор Сумбатян Межлум Альбертович

Официальные оппоненты:

Иваночкин Павел Григорьевич, доктор технических наук, доцент, Южный научный центр Российской Академии Наук, ведущий научный сотрудник.

Ляпин Александр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный строительный университет», заведующий кафедрой информационных систем в строительстве.

Ведущая организация Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской Академии Наук

Защита диссертации состоится 27 декабря 2012 г. в 15:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 при  Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, Южный федеральный университет, факультет математики, механики и компьютерных наук,  ауд. 211.

С диссертацией  можно ознакомиться в зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат  разослан  « 26 » ноября  2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Боев Николай Васильевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Исследование прямых и обратных задач рассеяния для заглубленных объектов  в слоистых упругих или акустических средах является одной из важных задач и актуальной проблемой в механике деформируемого твердого тела. Интерес к этим исследованиям связан, в основном, с потребностями сейсмологии,  ультразвукового неразрушающего контроля, гидроакустики, технической и медицинской диагностики. 

Задачи из этой области исследования сводятся к краевым задачам для эллиптических дифференциальных уравнений с частными производными. Частными случаями являются уравнения Лапласа и Гельмгольца, описывающие равновесие и колебания в упругих и жидких средах. В связи с развитием теории многослойных сред и конструкций особую актуальность приобретают модели, основанные на краевых задачах о колебаниях слоистых сред с дефектами различной природы: полости, трещины, включения, поры, и другие внутренние объекты.

Краевые задачи в динамической теории упругости для тел с дефектами делятся на два класса – прямые и обратные задачи. В задачах первого класса требуется определить волновые поля перемещений и напряжений по заданному внешнему силовому воздействию. Напротив,  обратные задачи состоят в нахождении геометрии и местоположения дефекта по информации о волновых полях, известных на части границы рассматриваемого тела.

Целью работы является решение прямых задач рассеяния и обратных задач реконструкции заглубленного объекта в изотропных слоистых упругих средах, на основе известных полей, измеренных на некоторой части свободной границы в низкочастотной области.

  Методы исследования прямых задач основаны на том, что исходная краевая задача с использованием функций Грина или тензора Грина для слоистых упругих сред сводится к системам граничных интегральных уравнений (ГИУ) относительно функций смещений на граничном контуре дефекта. Данная система решается численно методом коллокации. В итоге задача идентификации дефекта в слоистой среде сводится к минимизации некоторого неквадратичного функционала невязки. При этом численный алгоритм нахождения минимума рассматриваемого функционала реализован на основе метода наискорейшего спуска.

Научная новизна заключается в развитии численно-аналитических методов решения ряда новых задач (прямых и обратных) о колебаниях слоистых упругих сред с заглубленным объектом сложной формы на основе ГИУ. 

Достоверность полученных результатов основана на строгом математическом аппарате линейной изотропной динамической теории упругости, на корректном сведении динамических задач для слоистых сред с  заглубленным объектом к граничным интегральным уравнениям и обеспечивается детальным анализом полученных результатов при изменении входных данных, а также проведением большого числа вычислительных экспериментов по реконструкции дефектов.

Практическая значимость работы определяется приложениями при  разработке и созданию устройств для реконструкции геометрии заглубленного объекта в слоистых упругих средах неразрушающими методами диагностики.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, насчитывающего 157 источников, и приложения, общим объемом 141 страница.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XIV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, Азов, 2010 г.), на XXII, XXV сессиях Российского акустического общества  (Москва 2010, Таганрог 2012), а также на конференции «Congress on Sound and Vibration (ICSV17)», Каир, Египет, 2010 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, список которых приводится в конце автореферата. Из них 3 статьи [5,6,8] опубликованы в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор литературы по динамическим задачам теории упругости для слоистых сред с заглубленными объектами, а также по методам решения прямых и обратных задач для сред, содержащих дефекты.

Задачи динамической теории упругости о колебаниях слоистых сред с дефектами изучались и получили свое развитие в работах Бабешко В.А., Боева Н.В., Бреховских Л.М., Бурова В.А, Ватульяна А.О., Воровича И.И., Гетмана И.П., Гринченко В.Т., Глушковых Е.В. и Н.В., Гузя А.Н., Кубенко В.Д., Ляпина А.А., Мелешко В.В., Пряхиной О.Д., Соловьева А.Н., Селезнева М.Г., Сумбатяна М.А., Угодчикова А.Г., Устинова Ю.А., Хуторянского Н.М., Черевко М.А., Achenbach J.D., Colton D., Kobayashi S., Kress R., Niwa Y. и других.

В решение обратных задач идентификации геометрии дефектов внесли свой вклад Боев Н.В., Ватульян А.О., Емец В.Ф., Пряхина О.Д, Соловьев А.Н., Сумбатян М.А., Шифрин Е.И., Явруян О.В., Abda A.B., Achenbach J.D., Alessandrini G., Alves C.J.S., Andrieux S., Ang D.D., Bannour T., Brigante M., Budrec D.E., Bui N.D., Colton D., Kress R., Nakamura M., Tanaka M, Trong D.D. и ряд других исследователей.

  В отмеченных работах используются различные методы решения, в том числе, методы сведения динамических задач к граничным интегральным уравнениям, сведение к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, метод многократных отражений, метод суперпозиции.

В первой главе диссертации (в пунктах 1.1-1.4)  излагаются постановки основных задач, которые рассматриваются в работе. Параграф 1 содержит общую постановку антиплоской и плоской прямых задач об установившихся колебаниях изотропного упругого слоя с заглубленной полостью.

Рассмотрим установившиеся колебания однородного изотропного упругого слоя толщины с заглубленной полостью, с произвольной гладкой границей . Горизонтальная ось совпадает с нижней границей слоя , а верхняя граница – прямая . Колебания в слое вызываются нагрузкой с компонентами , приложенной на части верхней границы. Граница полости свободна от нагрузок. 

В случае антиплоской задачи ненулевой компонентой вектора перемещений является компонента . Краевая задача после отделения временного множителя имеет вид (задача 1):

(1)

(2)

В случае плоской деформации краевая задача имеет вид (задача 2):

  (3)

(4)

где - компоненты единичного вектора внешней нормали к границе полости . Поскольку область содержит бесконечно удаленную точку, то необходимо добавить условия излучения волн на бесконечности. 

Параграф 2 состоит в постановке плоской и антиплоской обратных задач 1, 2 об идентификации заглубленного объекта произвольной конфигурации в изотропном упругом слое, на основании заданных полей на части верхней границы слоя.

  Параграф 3 посвящен постановке плоских и антиплоских прямых задач  для двухслойной изотропной упругой среды с заглубленным объектом в первом слое и для объекта на границе между двух слоев.

  Рассмотрим задачу об установившихся колебаниях двух однородных упругих слоев толщины . Полость с гладким контуром свободна от нагрузок и заглублена в первом слое (I), а второй нижний (II) слой имеет другие упругие параметры. Считаем, что колебания в слое вызываются сосредоточенной нагрузкой, приложенной на верхней границе первого слоя в точке .

  В случае антиплоской деформации поля перемещений имеют следующий вид: , который можно представить для каждого слоя отдельно:

,  где , обозначает область, занятую объектом в первом слое, и представляет собой второй слой. Тогда краевая задача, после отделения временного множителя имеет вид (задача 3):

для верхнего слоя (I) может быть записана в следующем виде:

(5) 

для нижнего слоя (II):

(6)

Граничными условиями на внутреннем интерфейсе являются условия непрерывности смещения и напряжения сдвига:

  (7)

где   – волновые числа и ­­­ – скорость распространения поперечных волн в соответствующей среде. Кроме того, и – упругие модули Лямэ для соответствующего слоя.

Аналогично сформулирована задача в плоской постановке.

Рассмотрим антиплоскую динамическую задачу для двух упругих слоев (задача 5). На границе между ними имеется полость. Ее верхняя часть попадает в слой (I), а нижняя – в слой (II), где . Считаем, что кривая симметрична относительно линии раздела , полость свободна от нагрузок. Тогда краевая задача для верхнего слоя (I):

  (8) 

Для нижнего слоя (II) имеем:

  (9)

Для завершения постановки задачи, на внутренней интерфейсной границе необходимо добавить граничные условия (7).

В четвертом параграфе рассматривается постановка плоских и антиплоских обратных задач для двух изотропных упругих слоистых сред с заглубленным объектом в первом слое и для объекта на границе между двух слоев. Эти обратные задачи состоят в определении формы гладкого замкнутого контура и его местонахождения в рассматриваемой среде по измеренным волновым полям на части верхней границы .

Вторая глава диссертации посвящена построению функций и тензоров Грина для слоистых упругих сред в виде однократных контурных. Для каждой задачи строится специальная функция Грина, которая автоматически удовлетворяет граничным условиям на границах.

В параграфах 1, 2 представлены специальные фундаментальные решения (функции и тензоры Грина) в случае плоских и антиплоских колебаний изотропного слоя в виде однократных интегралов, которые совпадают с известными.

Заметим, что контур интегрирования в представлении для функций и тензоров Грина в виде интегралов Фурье в случае произвольной частоты проходит в комплексной плоскости. Это связано с наличием конечного числа однородных распространяющихся волн, математическим следствием которых является наличие вещественных полюсов подынтегральных выражений в интегралах Фурье. При этом, согласно принципу излучения, контур интегрирования совпадает с вещественной прямой, обходя положительные полюса снизу, а отрицательные сверху. В данной работе рассматриваются лишь низкочастотные волновые процессы, в которых волновые числа меньше соответствующих критических значений, при этом однородные волны отсутствуют, у интеграла Фурье нет вещественных особенностей подынтегральной функции, и контур интегрирования может быть выбран совпадающим с вещественной осью. Как следствие, все компоненты тензоров Грина и получаемые после дискретизации линейные алгебраические системы являются вещественными. Для генерирования волнового процесса с существенным рассеянием на дефекте величина волнового числа выбирается в верхней части рассматриваемого частотного диапазона.

В параграфах 3, 4 строятся специальные фундаментальные решения (функции и тензора Грина) в случае плоских и антиплоских колебаний для двухслойной среды.

В случае антиплоской деформации функция Грина в антиплоской задаче  для двух слоев имеет вид: (задача 3)

(10)

Заметим, что при и выражение переходит в известную формулу для однослойной среды.

  В случае плоской деформации тензоры Грина для двух слоев имеют вид: (задача 4)

для верхнего слоя (I):

  (11)

для нижнего слоя (II):

  (12)

Альтернативный вывод подобных соотношений дан в работах Ляпина А.А. и Селезнева М.Г.

В случае антиплоской деформации, тензор Грина для объекта на границе между двумя слоями имеет вид (задача 5)        

  (13)

для верхнего слоя (I), две компоненты тензора Грина , можно переписать так чтобы:  . Для нижнего слоя (II), две другие компоненты тензора Грина строятся аналогично:

(14)

  Третья глава посвящена решению прямых задач для слоистых структур с произвольно заглубленными объектами на основе сведения краевых задач 1-5 к системам граничных интегральных уравнений.

  В первом параграфе 3.1 представлены основы метода граничных интегральных уравнений в прямых задачах динамической теории упругости.

В параграфах 2, 3 изложено сведение краевых задач (1-4) к системам ГИУ для упругого слоя и двух упругих слоев на основании динамической теоремы взаимности. В этом случае система ГИУ относительно неизвестных функций смещения на контуре нерегулярна, при этом ядра полученных ГИУ выражаются в виде интегралов по контуру в комплексной плоскости (для задачи 1,3 , для задачи 2,4 )

        (15)

где – компоненты тензора напряжений, которые определяются через компоненты матрицы-функции Грина для соответствующей задачи и закона Гука.

Соотношение (15) позволяет рассчитывать поле в слое и в двухслойной среде. При этом волновые поля представимы в виде суммы двух слагаемых, первое из которых – эталонное поле, являющееся полем смещений в среде без дефекта, второе слагаемое обусловлено наличием в слое полости. Выражения для представимы в виде интегралов Фурье.

Для задачи 5 об антиплоских колебаниях двух упругих слоев с заглубленной полостью на границе между ними, две компоненты  тензора Грина и поле перемещения являются функциями переменных в верхнем слое, области . Напротив, две другие компоненты тензора Грина и являются функциями переменных в нижнем слое,  области . Тогда согласно свойствам потенциала простого и двойного слоя, получим основную систему ГИУ:

  (16)

Заметим, что коэффициент перед свободными членами в последних уравнениях, строго говоря, получается лишь при стремлении точки в регулярную граничную точку. Можно показать, что если предельный переход происходит в граничную точку контура, лежащую на границе двух слоев, то в случае антиплоской задачи указанный коэффициент сохраняет значение .

В четвертом параграфе настоящей главы осуществлена дискретизация полученных систем ГИУ и сведение ГИУ  к системам алгебраических уравнений  на основе метода коллокации.

  В работе метод коллокации применяется в следующей редакции, используемой для численного решения системы интегральных уравнений, например (15), и вычисления интеграла (16). Он состоит в разбиении контура на малых сегментов с применением простейшей квадратурной формулы, основанной на приближении подынтегральной функции некоторым постоянным значением на каждом малом сегменте длины .

В антиплоском случае для задач 1 и 3, применяя простейшую квадратурную формулу к основному ГИУ (15), приходим к линейной алгебраической системе размером NN относительно неизвестных узловых значений , которая  имеет вид (, для задачи 3):

(17)

В плоском случае задачи 2 и 4 сводятся к линейной алгебраической системе размером 2N2N относительно неизвестных узловых значений на контуре , которые имеют вид:

(18)

Задача 5 тем же методом сводится к похожей линейной алгебраической системе размером 2N×2N в дискретном виде.

Параграф 3.5 содержит 5 пунктов. Представлены результаты проведенных численных экспериментов с построением волновых полей на верхней границе слоя для задач 1-5. Результаты в виде графиков вынесены в приложение. Приведенные графики отражают влияние геометрических и физических параметров на волновые характеристики и иллюстрируют эффективность предлагаемого метода для изотропных упругих слоев с эллиптической полостью.

  На рисунке (2-а), (2-b) представлены графики поля перемещения на поверхности слоя для задачи 1, с различными центрами для дефекта, наклоненного под углом к положительному направлению оси Оу1.

В серии расчетов варьировалось число граничных элементов от N=20 до N=70, при этом поле смещений отличается незначительно. Численная реализация задачи 2, в соответствии с представленным алгоритмом дискретизации ГИУ и расчета волнового поля перемещений проведена в серии численных экспериментов  для слоя из  стали, упругие постоянные материала: модуль Юнга , модуль сдвига , коэффициент Пуассона и плотность стали . Для вычисления компонент тензора Грина применяется численное интегрирование. В диссертации приводятся графики для задачи 2.

  Далее проведена численная реализация задач 3,4 и 5. Для расчета волнового поля перемещений в слое и в двух слоях  реализована серия численных экспериментов  для верхнего слоя  из меди, упругие постоянные  материала :  модуль Юнга , модуль сдвига , коэффициент Пуассона, и плотность меди , P0/µ=1, а нижнего слоя из стали. В диссертации для задачи 3 приведены примеры расчетов поля перемещений на поверхности верхнего слоя с круглой полости для различных толщин и центров . Для задачи 4 представлены графики компонент поля перемещений на поверхности верхнего слоя с круглым объектом с центром , для различных радиусов. Для задачи 5 ниже на рисунке представлены графики поля перемещений в узлах контура для эллипсов с различными полуосями с центром в точке (h/2,h/2), при этом .

В четвертой главе решаются обратные задачи об идентификации полости в слоистых средах по полям смещений, заданным на части верхней границы слоя. В первом параграфе 4.1 представлены методы исследования обратных задач динамической теории упругости и сформулированы операторные уравнения для

 

обратных задач (1-5) в случае антиплоских и плоских колебаний слоистых сред с заглубленной полостью произвольной конфигурации.

В результате приходим к системе нелинейных операторных уравнений относительно двух неизвестных функций: 1), , и 2) формулы, определяющей контур . Эту систему представим в следующем дискретном виде:

  (19)

Во втором параграфе 4.2 представлены основы метода наискорейшего спуска для минимизации функционала невязки. Решение обратных задач ищется в классе эллипсов, параметризуемых 5 параметрами – координатами центра , полуосями и углом наклона к оси Ox. В некоторых частных случаях число параметров может быть меньше. В общем случае характеристики контура определяются из решения системы (19) с помощью минимизации неквадратичного функционала невязки :

  (21)

Проблема минимизации функционала невязки решается методом наискорейшего спуска или методом сопряженных градиентов, при этом  градиент функционала вычисляется численно. Такая итерационная схема приводит к точному решению в случае линейного операторного уравнения, которое соответствует квадратичному функционалу. Исследуемая обратная задача – нелинейная, поэтому нельзя строго доказать сходимость итерационного процесса. Однако любой гладкий функционал локально является квадратичным, поэтому можно уверенно говорить, по крайней мере, о локальной сходимости. Численные примеры показывают быструю сходимость предложенного алгоритма.

, h=1

шум в исходных

данных

Число итераций

a

B

xc

yc

  [c, d] =[-2, 2]

0.02

0.4

0.5

0 %

10 %

20 %

17

25

21

0.2

0.1958

0.2552

0.2653

0.15

0.1400

0.1700

0.1650

1.25

1.2315

1.2257

1.1225

1.2

1.1724

1.1365

1.0868

0.02

0.1

0.3

0 %

10 %

20 %

12

13

13

0.15

0.1358

0.1806

0.1824

0.15

0.1432

0.1753

0.1768

0.9

0.8986

0.9337

0.9314

0.8

0.81630.8378

0.8271

0.05

0.06

0.5

0 %

10 %

20 %

22

20

21

0.35

0.3651

0.3130

0.3263

0.3

0.3310

0.2562

0.2687

1.4

1.3976

1.3630

1.3737

1.05

1.0170

1.0738

1.0572

Таблица. Результаты реконструкции эллиптической полости - задача 4

Параграф 4.3 содержит 5 пунктов, в которых представлены численные исследования задач 1-5 для различных конфигураций дефекта и его местоположения. При реконструкции заглубленного объекта в слоистых упругих средах найдено пять параметров из условия вычисления минимума функционала невязки . Отметим факторы, влияющие на реконструкцию:

  • волновое число
  • число точек зондирования на отрезке [c, d] и его месторасположение
  • позиция источника колебания на верхней границе
  • глубина слоя, который содержит объект, относительно глубины других

слоев в слоистой среде

  • Точка начального приближения метода наискорейшего

спуска.

Некоторые примеры реконструкции приведены в таблице. Для всех примеров берется M = 20 точек измерения на отрезке . Исследуется влияние шума во входных данных на точность реконструкции полостей в верхнем слое.

В заключении сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Сформулированы интегральные уравнения в задаче о колебаниях слоистой среды с полостью.

2. Разработан численный метод для систем интегральных уравнений на основе метода коллокации.

3. Разработаны методы решения обратных задач реконструкции заглубленного объекта в изотропных слоистых упругих средах по  известным волновым полям на повехности слоя.

4. Проведена серия вычислительных экспериментов в задачах восстановления геометрических параметров полости в классе эллиптических контуров.

       

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

  1. M. A. Sumbatyan, K. M.  EL Morabie, Theoretical analysis of scattering by buried objects in the elastic and acoustic layer, 17th International Congress on Sound and Vibration (ICSV17), Cairo, Egypt, 2010, 227-234.
  2. М.А. Сумбатян, Х.М. Эль Мораби, Дифракция ультразвуковых волн на дефектах сложной формы в упругом слое постоянной толщины, Сб. трудов XXII сессии Российского акустического общества, М.: ГЕОС, 2010г,  т.1, с. 249-252.
  3. K. M.  EL Morabie, Computational Methods for Calculating the Scattered Elastic Waves from Buried Object in two Layers: Anti-plane problem, Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIV Международной конференции, Ростов-на-Дону, Азов, 2010,  т.2, с. 312-316.
  4. M. A. Sumbatyan, K. M. EL Morabie and Michele Brigante, Detection of Buried Object in the Elastic Layer of Constant Thickness: Anti-Plane Problem // Mathematics and Mechanics of Solids (MMS). 2013. V.18.
  5. Х.М. Эль Мораби, Распознавание неизвестного объекта в упругом слое постоянной толщины: антиплоская задача // Прикладная математика и механика (ПММ), 2012. Т.76. № 6. С. 1015-1022.
  6. Х.М. Эль Мораби, М.А. Сумбатян, Дифракция волн на полости на границе двух упругих слоев // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Серия Естественные науки , 2012. № 2(168), с. 37-41.
  7. K.M. EL Morabie, M. A. Sumbatyan, Detection of a single elliptic-shape Buried Object in Stratified Elastic Media:  Anti-Plane Problem // European Journal of Mechanics. A/Solids. 2013. V. 37. P. 1-7.
  8. Боев  Н.В., Х.М. Эль Мораби, Вдовин  В.А., Зотов В.М, Многократное рассеяние ультразвуковых волн на системе пространственных дефектов канонической формы (теория и экспермент) // Вестник Донского государственного технического университета, 2012, № 3(64). С. 5-10.
  9. Х.М. Эль Мораби,  Идентификация эллиптической полости на  границе двух упругих слоев, Труды аспирантов и соискателуй ЮФУ,  Т. XVII, 2012, с.67-71.
  10. Х.М. Эль Мораби, Реконструкция заглубленного объекта в упругом слое с помощью ультразвуковых волн: плоская задача, XXV сессия Российского акустического общества, Таганрог, Т 1, 2012г, с. 228-232.

В работах [1, 2, 4, 6, 7] Сумбатяну М.А. принадлежат формулировка задачи и выбор метода исследования, Эль-Мораби Х.М. принадлежит разработка алгоритма и его численная реализация. В работе [4, 8] (Сумбатяну М.А. и  Боеву  Н.В.) принадлежат выбор метода исследования, (Brigante М., Вдовину  В.А., Зотову В.М) принадлежат формулировка задачи, Эль Мораби Х.М. принадлежит вывод функций и тензоров Грина, разработка алгоритма и качественный анализ точности реконструкции.







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.