WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Мелентьев Анатолий Борисович

ЭФФЕКТЫ АСИММЕТРИЧНЫХ МОДУЛЯЦИЙ В ЗАДАЧАХ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ

01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь 2012

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Пермский государственный национальный исследовательский университет»

Научный консультант:

доктор физ.-мат. наук, профессор Тарунин Евгений Леонидович Официальные доктор физ.-мат. наук, профессор оппоненты: Брацун Дмитрий Анатольевич (зав. каф. теоретической физики и компьютерного моделирования ФГБОУ ВПО «Пермский государственный педагогический университет») доктор физ.-мат. наук, профессор Фрик Пётр Готлобович (зав. лаб. физической гидродинамики ФГБУН Институт механики сплошных сред Уральского отделения РАН) Ведущая орга- ФГБОУ ВПО «Глазовский государственный педанизация: гогический институт имени В. Г. Короленко», г. Глазов.

Защита состоится «15» ноября 2012 г. в 10:00 на заседании диссертационного совета Д 004.012.01 при ИМСС УрО РАН по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Ак. Королева, 1, тел: (342) 2378388; факс: (342) 2378487;

сайт: www.icmm.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН Автореферат разослан « » октября 2012 г.

Ученый секретарь совета Березин И.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование конвективных режимов в жидкостях и газах в системах с модуляцией параметра имеет много приложений на Земле и в космических условиях и проводилось во многих работах. Модуляция параметра относится к вопросу об управлении конвекцией за счёт внешнего воздействия. Внешние модуляции способны изменять устойчивость систем и порождать различные колебательные режимы системы в зависимости от параметров модуляций, таких, как частота, амплитуда, а также вид периодического закона модуляции. Однако в большинстве работ используются гармонические симметричные законы модуляций синусоидальной или прямоугольной (в виде «ступенек») формы.

Асимметричные колебания в природе не являются редкостью.

Примером этих колебаний могут служить практически все стили плавания в воде и полёты птиц. Кроме того, перемещение поршня в двигателе внутреннего сгорания также является асимметричным. Известно, что асимметричность механических вибраций может быть вызвана различными способами и обладает полезными приложениями, связанными, в частности, с механическим перемещением1. Из этого обстоятельства вытекает вопрос о применении такого рода колебаний в задачах динамики жидких сред с целью выявления различных эффектов, применимых, в частности, в задачах управления конвекцией. Рассмотрение асимметричных модуляций вносит в задачу ещё один управляющий параметр – параметр асимметрии модуляций.

Работа посвящена исследованию конвективных режимов при негармоническом, асимметричном законе модуляции, вызванном меха Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994. 400 с.

ническими колебаниями в типичных задачах тепловой конвекции.

Целью работы является исследование эффектов асимметричной модуляции параметров в задачах свободной конвекции. В рамках работы решались задачи:

1. Исследование влияния асимметрии модуляций гравитации на режимы конвекции в слое жидкости со свободными границами при подогреве снизу (в задаче Рэлея);

2. Исследование влияния асимметрии модуляций гравитации на надкритические режимы конвекции в полости квадратного сечения;

3. Исследование влияния асимметрии вращательных колебаний на конвективные режимы в полости квадратного сечения при подогреве снизу.

Научная новизна работы. В рамках выполнения диссертационной работы впервые:

1. Найдена формула, описывающая эффекты увеличения экстремальных значений интегральных характеристик установившегося колебательного режима конвекции при повышении асимметричности модуляций гравитации в горизонтальном слое жидкости со свободными границами и в полости квадратного сечения при подогреве снизу. При этом показано, что среднее значение амплитуд интегральных характеристик за период установившихся колебаний изменяется незначительно;

2. Обнаружен эффект смещения максимума экстремальных значений интегральных характеристик установившегося режима колебаний из области резонансных частот (соответствующих «собственной» частоте системы) в сторону более низких частот при повышении асимметричности модуляции гравитации;

3. Найдено понижение порога устойчивости при асимметричности модуляции в задаче Рэлея;

4. Вычислительные эксперименты доказали, что повышение асимметричности вращательных колебаний приводит к уменьшению «критического» значения амплитуды, соответствующего смене колебательного режима с переменой знака вращения жидкости на режим без смены знака. Показано, что бифуркационная кривая, построенная для стационарного угла наклона, даёт информацию о конвективных режимах при наличии низкочастотных вращательных колебаний;

5. Разработаны программы, позволяющие исследовать различные варианты асимметричных модуляций в рассмотренных задачах.

Достоверность результатов подтверждается результатами тестирования используемых программ расчетов; соответствием с известными решениями в предельных случаях; совпадением данных, полученных разными методами и в рамках разных подходов; использованием известных апробированных методов и алгоритмов расчёта.

Публикации. Основные материалы диссертации изложены в 9 работах [1-9]. Из них 2 статьи [1-2] в центральных российских изданиях из перечня ВАК, 1 статья в сборнике трудов международной конференции [3], 5 статей в печатных периодических изданиях не входящих в перечень ВАК [4-8], 1 статья в электронном журнале [9]. Личный вклад автора в работы [1-9] состоит в построении уравнений и разностных схем, в реализации методов исследования, в численных расчетах и обработке результатов вычислительных экспериментов. По материалам диссертации написаны и зарегистрированы программы, реализующие используемые модели [10-13], а также программа, реализующая варианты асимметричного вращения элементов инерцоида [14].

Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались на следующих научных семинарах и конференциях: Краевая дистанционная научно-практическая конференция молодых учёных и студентов «Молодёжная наука Прикамья», Пермь, 2009; International Summer School “Advanced Problems in Mechanics”, Repino, 2010; Всероссийская конференция молодых учёных «Неравновесные переходы в сплошных средах», Пермь, 2010; Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», Новосибирск, 2010; Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Актуальные проблемы механики, математики, информатики», посвященная 50-летнему юбилею механико-математического факультета ПГУ, Пермь, 2010; Пермский гидродинамический семинар им. Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого, Пермь, ПГНИУ, 2011, 2012; научный семинар ИМСС УрО РАН, Пермь, 2012.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из списка условных сокращений, введения, включающего общую характеристику работы, четырёх глав, заключения, списка литературы (163 наименования), состоящего из списка использованных источников и списка публикаций автора. Работа содержит 46 рисунков и 7 таблиц. Общий объем диссертации 130 страниц.

Практическая ценность: полученные результаты расчётов, выявленные зависимости и составленные программы могут быть использованы для расчёта влияния на конвективные режимы асимметричности модуляций гравитации и вращательных колебаний при планировании соответствующих лабораторных экспериментов и производства в наземных условиях и в невесомости.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится общая характеристика работы.

В первой главе диссертации проводится обзор работ, связанных с темой исследования. В первом параграфе рассмотрены работы, в которых исследуются эффекты асимметричных колебаний при наличии нелинейности в механике. В следующем параграфе проведён обзор работ по использованию модуляции в конвективных задачах: при модуляции температуры, при модуляции гравитации, при вращательных колебаниях. Затем рассмотрены работы по негармоническим модуляциям в конвективных задачах, и сделан вывод о том, что в перечисленных работах редко рассматривались случаи модуляции конечной частоты и амплитуды и почти не рассматривались случаи асимметричной модуляции. Поэтому для рассмотрения эффектов асимметричности вначале требуется найти решение для симметричного варианта модуляций.

Во второй главе рассмотрены режимы конвекции в горизонтальном слое вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами и подогревом снизу при наличии синусоидальных Рис. 1. Схема задачи из второй и асимметричных модуляций главы гравитации (рис. 1).

Размер рассматриваемой конвективной ячейки соответствовал минимуму на нейтральной кривой линейной теории устойчивости.

В первом параграфе описана асимметричная модуляция, используемая в работе:

a cos(1t), t [0,t1);

1 t0 t f (t) , (1) 2 ta cos(2(t t1)), t [t1,t0), где f - функция модуляции (в главах 2 и 3 - координата слоя и полости по вертикали, в главе 4 - угол поворота полости), a - амплитуда, t0 - период модуляции, t1 - первая часть периода, 1, 2 - циклические частоты модуляций на первой и второй части периода, - параметр асимметрии. В дальнейшем будет использована циклическая частота колебаний на полном периоде 2 / t0.

Рассмотрена возможность замены используемой асимметричной модуляции суммой членов ряда Фурье. Отмечено присутствие эффекта Гиббса при описании второй производной от функции модуляции и отмечена сложность в добавлении нового параметра – числа членов ряда при описании второй производной с помощью суммы членов ряда Фурье. Сделан вывод о целесообразности использования кусочного задания модуляции.

Во втором параграфе с помощью маломодовой модели конвекции Лоренца исследовалось влияние асимметричности модуляций на характеристики установившихся колебаний. Система уравнений Лоренца, как и в работе Д.В. Любимова, Т.П. Любимовой и Б.С. Марышеваимела вид:

X Pr r M(t) Y Pr X, Y X Y XZ, Z bZ XY, (2) где X,Y, Z - амплитуды трёх Лоренцовских мод ( X характеризует скорость вращения конвективных валов, а Y и Z — искажения поля температуры), Pr - число Прандтля, b 4(1 2)1 - геометрический параметр, r Ra / Ra* - нормированное число Рэлея ( Ra* - критиче Любимов Д.В., Любимова Т.П., Марышев Б.С. Влияние шума на возникновение конвекции в модулированном поле тяжести // Изв.

РАН, Механика жидкости и газа. М.: ИПМ РАН, 2010. №6. С.30-37.

ское значение числа Рэлея в отсутствие колебаний), а M (t) - модуляционная составляющая:

[cos1t]/2, 0 t t1, M (t) (3) 2 [cos2(t t1)]/2,t1 t t0.

где a2 H3 /Ra* - безразмерная амплитуда модуляции, 1,2,,t,t1,t0 соответствуют безразмерным аналогам (1).

Значительная часть расчётов соответствовала условиям невесомости. Для решения уравнений системы использовался метод РунгеКутты 4 порядка с автоматическим подбором шага по времени для обеспечения относительной погрешности менее 10-6. Анализ результатов и нахождение аналитических зависимостей производилось с помощью метода наименьших квадратов.

Для случая невесомости найдена зависимость, показывающая понижение критического значения амплитуды модуляции (рис. 2) при увеличении параметра асимметрии:

*( ) 5,086 0,348 4,738 0,348( 1), (4) 1 5.

Рис. 2. Нейтральные кривые на карте устойчивости: амплитуда Получены зависимости экс, обратная частота модуляций тремальных значений характери1 для трёх значений параметра асимметрии 1; 2; стик интенсивности течения от параметра асимметрии при различной амплитуде модуляции. Показано, что при значительном влиянии асимметрии на экстремальные характеристики конвективного течения, изменение средних за период интегральных характеристик незначительно.

Для случая надкритических значений числа Рэлея (но меньших значения, когда появляются собственные колебания системы в отсутствие модуляций) показано увеличение амплитуды колебаний вследствие отклонения параметра асимметрии от 1.

а б Рис. 3. Зависимость максимальных значений X от частоты модуляций для параметров: r 2; 0,2 и параметров асимметрии: а) 1; 2 / 3; 1/ 2 ; б) 1; 1,5; Обнаружено, что для 1 максимум интенсивности течения колебательного режима, соответствующий резонансу, смещается в область более низких частот (рис. 3а). Для 1 область резонанса на амплитудной кривой «размывается» и наблюдается рост интенсивности течения на низких частотах (рис. 3б).

Получены зависимости экстремального значения амплитуды колебаний и соответствующей частоты модуляции от параметра асимметрии:

X*( ) 0,89 1,82 2,78, *( ) 1,67 0,38, 0,5 1, (5) X*( ) 0,127 1,72, * 2,06, 1 2.

В третьем параграфе главы исследованы режимы конвекции с помощью полных уравнений конвекции в приближении Буссинеска. В переменных функции тока , вихря скорости и температуры T уравнения имели вид:

T Gr(t), 0, t y x x y x (6) T T T T.

t y x x y Pr Здесь Pr - число Прандтля, Gr(t) Gr0 Grm(t) - постоянная и модулируемая компоненты числа Грасхофа.

GrA[cos(1t)] / 2, 0 t t1;

Grm(t) (7) 2GrA[cos(2(t t1))] / 2, t1 t t0.

Для решения системы уравнений использовался метод конечных разностей на сетке, обеспечивающей погрешность решения по интегральным характеристикам не более 2%. Уравнения для вихря скорости и температуры решались по явной схеме, а для функции тока - методом последовательной верхней релаксации на каждом шаге по времени. Счёт производился до установления экстремумов интегральных характеристик на соседних периодах с относительной точностью 10-6.

На вертикальных границах использовалось условие периодичности решения. Для экономии времени счёта использовался метод продолжения по параметру.

Исследованы надкритические режимы, обсуждены картины течений. Проведено сравнение с результатами, полученными с помощью модели Лоренца, и показано отличие значений резонансных частот.

При этом обнаружено и сходство: в обоих случаях значения характеристик интенсивности течения изменяется в пределах 15% при 1/ 2 2.

В случае невесомости подтверждено понижение критического значения амплитуды модуляций числа Рэлея (в нашем случае, совпадающем с числом Грасхофа, т.к. Pr 1) при повышении асимметричности модуляции:

* GrA( ) 3344 228,7 3115,3 228,7( 1), 1 5. (8) Найдены зависимости экстремальных значений интегральных характеристик от параметра асимметрии для режимов с одинаковой надкритичностью амплитуды модуляций.

В третьей главе диссертации исследованы надкритические режимы конвекции в замкнутой полости квадратного сечения при подогреве снизу при наличии гармонических и асимметричных модуляций конечной частоты (рис. 4). Случай симметричных Рис. 4. Схема задачи из модуляций в подобной постановке был третьей главы рассмотрен в работе Г.И. Бурдэ3.

Система уравнений конвекции в приближении Буссинеска в терминах функции тока и вихря скорости решалась аналогично алгоритму, описанному во второй главе. На твёрдых границах вихрь определялся по формулам Тома.

Рассматривалось фиксированное надкритическое значение числа Рэлея (но меньше значения, когда появляются собственные колебания Бурдэ Г.И. Численное исследование конвекции, возникающей в модулированном поле внешних сил // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. М: ИПМ АН СССР, 1970. №2. С.196-201.

системы в отсутствие модуляций). Обнаружено повышение интенсивности течения при отклонении параметра асимметрии от 1. Показано, что для 1 максимум функции тока колебательного режима, соответствующий резонансу на амплитудной кривой, смещается в область более низких частот. Найдена зависимость экстремального значения максимума функции тока m и соответствующего значения частоты от параметра асимметрии:

* m( ) 1,57 3,48 7,15, *( ) 33,46 3,33, 0,5 1. (9) Для 1 показано «размытие» области резонанса и увеличение значений характеристики интенсивности течения в области низких частот. Показано, что среднее за период значение интегральных характеристик изменяется незначительно при изменении параметра асимметрии. Проведено сравнение с задачей Рэлея из второй главы.

В четвёртой главе исследовалась естественная конвекция при низкочастотных вращательных колебаниях бесконечного горизонтального цилиндра квадратного сечения при подогреве снизу (рис. 5). Аналогичная постановка в случае высоких частот Рис. 5. Схема задачи из четрассматривалась в работе А.А. Ивавёртой главы новой и В.Г. Козлова4.

Система уравнений, описывающая поведение жидкости отличается от классического приближения Буссинеска добавлением в уравнение Иванова А.А., Козлов В.Г. Вибрационная тепловая конвекция при непоступательных колебаниях полости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. М.: ИПМ РАН, 2003. № 3. С. 26-43.

для скорости слагаемых, соответствующих силам, возникающим при вращении:

() p Pr Gr T (i sin(t) j cos(t)) t (w(t) r w(t) (w(t) r) 2w(t) ), div 0, (10) T 0 cos(1t), t [0,t1);

()T T, (t) cos(2(t t1)), t [t1,t0).

t Здесь (u,,0) - скорость жидкости, T - температура, p - давление, Pr - число Прандтля, Gr - число Грасхофа, r (x, y,0) - радиусвектор, - угол поворота, w (0,0,) - угловая скорость, w (0,0,) - угловое ускорение, i, j - единичные горизонтальный и вертикальный векторы, направленные вдоль оси x и y.

Рис. 6. Бифуркационная кривая для Рис. 7. Зависимость максимума постоянного угла наклона 5 функции тока от числа Грасхофа при модуляции угла наклона с параметрами 0 5; t0 1; Система уравнений (10) решалась аналогичным, описанному в главе 3, образом. Показано, что бифуркационная кривая, построенная для стационарного угла наклона (рис. 6), даёт полезную информацию о возникающих конвективных режимах при наличии вращательных колебаний конечной частоты.

Сплошные линии 4 и 5 на рис. 6 соответствуют кубической аппроксимации двух устойчивых ветвей. Штриховая линия 3 соответствует ветвлению решений при 0. Пунктирная линия 6 определяет положение неустойчивой ветви, построенной методом наименьших квадратов.

Методом вычислительных экспериментов с перебором угла наклона с шагом 0,1 и числа Грасхофа с шагом Gr 103 была получена аналитическая зависимость «критического» значения угла наклона Рис. 8. Зависимость критического полости *(Gr) (рис. 8) в виде значения угла наклона полости от числа Грасхофа полинома третьей степени, соответствующего значению Gr* (см. рис. 6), ниже которого не существует режима с вращением жидкости по часовой стрелке.

В случае модуляции (при 1) соответствующие бифуркационные кривые имели вид рис. 7. Как видно, значение числа Грасхофа Gr 7300 разделяет два режима: при Gr 7300 существует режим конвективного течения со сменой направления вращения, при Gr 7300 конвективное течение сохраняет знак m и колеблется около значения m, соответствующего стационарному режиму при 0.

В случае асимметричной модуляции ( 1) зависимость m(Gr) уже не симметрична относительно оси m 0.

Обработка результатов вычислительных экспериментов с перебором амплитуды угла поворота 0 и числа Грасхофа Gr позволила * получить зависимость «критического» значения амплитуды 0 (Gr), в случае модуляции:

Gr * 0 (Gr) 11th(1,076( 1)), 6103 Gr 20103, t0 1, 1. (11) 51Зависимость (11) соответствует фиксированному периоду модуляций t0 1. Вычислительные эксперименты с меньшими значениями периода обнаружили, что повышение асимметричности вращательных колебаний приводит к уменьшению «критического» значения ампли* туды 0. В случае низких частот ( t0 0,5 ) «критическое» значение амплитуды слабо зависит от параметра асимметрии. Введён критерий появления режима со сменой направления вращения жидкости за период. Этот критерий объединяет амплитуду и период вращательных колебаний:

* Sa ((t) *)dt Sa 4,2103. (12) t ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 1. Впервые найдены аналитические зависимости интегральных характеристик надкритических режимов конвекции от трёх параметров задачи, показывающие увеличение экстремальных значений характеристик при различных значениях параметра асимметрии.

2. Обнаружено, что амплитудные кривые для значений параметра асимметрии 1 и 1 отличаются, особенно на низких частотах.

3. Показана эффективность использования амплитудных характеристик ветвления при фиксированных значениях угла наклона для предсказания результатов перестройки течения при вращательных колебаниях в случае низких частот.

4. Впервые обнаружено понижение «критического» значения амплитуды вращательных колебаний при отклонении параметра асимметрии от 1 в случае высоких частот.

5. Показано, что при сильном влиянии асимметрии на экстремальные интегральные характеристики течения, среднее за период значение этих величин меняется незначительно (не более 3%).

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА 1. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Эффекты асимметричных колебаний в конвекции // Вычислительная механика сплошных сред.

Пермь: ИМСС УрО РАН. №3, 2012. С. 284-291.

2. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Эффекты медленных вращательных колебаний полости, подогреваемой снизу // Естественные и технические науки. М.: Издательство «Спутник+». №1, 2012.

С. 28-37.

3. Melentyev A.B., Tarunin E.L. Modulation of gravity in problem of free convection // Proceedings of XXXVIII International Summer SchoolConference APM 2010. St. Petersburg, 2010. P. 453-456.

4. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Варианты асимметричного вращения // Межвуз. сб. науч. трудов «Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы». Пермь, 2009. Вып. 41. С. 109-117.

5. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Резонанс при модуляции ускорения свободного падения в задаче о свободной конвекции при подогреве снизу // Межвуз. сб. науч. трудов «Проблемы механики и управления.

Нелинейные динамические системы». Пермь, 2010. Вып. 42. С. 78-87.

6. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Асимметричные модуляции ускорения свободного падения в задаче о свободной конвекции в замкнутой области // Вестник Пермского Университета: Математика, Механика, Информатика. Пермь, 2011. Вып. 1. С. 71-75.

7. Мелентьев А.Б. Эффекты асимметричных вращательных колебаний в задаче о тепловой конвекции в полости квадратного сечения с подогревом снизу // Вестник Пермского Университета: Математика, Механика, Информатика. Пермь, 2011. Вып. 4. С. 41-48.

8. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Асимметричная модуляция гравитации в задаче Рэлея // Вестник Пермского Университета: Математика, Механика, Информатика. Пермь, 2012. Вып. 1. С. 55-60.

9. Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Вращательные колебания в задаче о свободной конвекции с подогревом снизу // Эл. Журнал «Университетские исследования». URL: http://www.uresearch.psu.ru (дата обращения 05.06.2012).

10. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2010615830 «Линейная устойчивость». Авторы: Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Дата регистрации 07.09.10.

11. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2011613731 «Модель Лоренца». Авторы: Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Дата регистрации 13.05.11.

12. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2010615831 «Конвекция в квадрате». Авторы: Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Дата регистрации 07.09.10.

13. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2012612816 «Конвекция с наклоном полости». Авторы: Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Дата регистрации 21.03.12.

14. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2010611554 «Исследование асимметричного вращения маятника».

Авторы: Мелентьев А.Б., Тарунин Е.Л. Дата регистрации 25.02.10.

Подписано в печать 4.10.2012 г. Формат 6084/16.

Усл. печ. л. 1 Тираж 100 экз. Заказ №Отпечатано на ризографе ООО «Учебный Центр «Информатика» 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.