WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Самойлов Максим Викторович

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОИСТЫХ ПЬЕЗОАКТИВНЫХ СРЕД С ЭЛЕКТРОДАМИ-ВКЛЮЧЕНИЯМИ

01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Краснодар – 2012

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Пряхина Ольга Донатовна

Официальные оппоненты: Суворова Татьяна Виссарионовна доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО РГУПС, профессор Павлова Алла Владимировна доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО КубГУ, профессор

Ведущая организация: Южный научный центр РАН (г. Ростов-на-Дону)

Защита состоится «21» декабря 2012 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 в Кубанском государственном университете по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кубанского государственного университета по адресу: г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149.

Автореферат разослан «___» ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Зарецкая М.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Неослабевающий интерес к механике связанных полей различной физической природы продиктован широким спектром практических приложений пьезоэлектрических устройств, работающих на прямом и обратном пиро- и пьезоэффектах. Сложился ряд самостоятельных направлений функциональной электроники, среди которых особое место принадлежит акустоэлектронике. Наиболее распространенные материалы, используемые в акустоэлектронике – пьезоэлектрики. Большинство современных пьезоэлементов, являющихся составной частью различных конструкций, создаются на основе слоистых структур. Разработка и использование слоистых пьезоэлементов позволяет значительно расширить выбор материалов и уменьшить стоимость таких устройств, сохраняя при этом эффективность их технических характеристик. В связи с изложенным выше, исследования колебаний пьезоактивной слоистой среды при различных условиях возбуждения, наличия систем поверхностных и внутренних электродов и учета связанности тепловых, электрических, механических полей, представляются весьма актуальными.

Целью настоящей работы является построение математических моделей, описывающих колебания многослойных полуограниченных термоэлектроупругих и электроупругих сред, содержащих системы поверхностных и внутренних электродов, c учетом связанности механических, электрических и тепловых полей и разработка методов их исследования.

Методика исследований базируется на классических положениях теории термоэлектроупругости и формулировке краевых задач. В ходе исследования использовались двухмерные и одномерные интегральные преобразования Фурье, общие методы изучения систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и систем обыкновенных дифференциальных уравнений, методы теории функций комплексного переменного. Предложенный О.Д. Пряхиной и А.В. Смирновой метод построения блочных матриц, являющихся Фурье-образами ядер систем интегральных уравнений для слоистых упругих сред, и рекуррентная процедура представления их элементов в виде отношения целых функций, развит на случай краевых задач термоэлектроупругости. К решению полученных интегральных уравнений динамических смешанных задач применен метод фиктивного поглощения.

Научная новизна заключается в следующем: предложен эффективный аналитический метод построения блочных матриц-символов Грина для слоистых термоэлектроупругих сред с поверхностными и внутренними электродными покрытиями; построены матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики пьезоактивных материалов с учетом связанности полей при любом сочетании электродов-включений и произвольном количестве слоев; получены рекуррентные формулы вычисления блочных матриц-символов ядер систем интегральных уравнений для слоистых пьезоэлектриков класса 6mm гексагональной сингонии; разработаны алгоритмы и программные средства, проведен численный анализ построенных решений для конкретных задач.

Практическая значимость заключается в возможности применения результатов работы в медицине, измерительном приборостроении, акустоэлектронике, дефектоскопии, авиастроении и других областях.

Полученные в ходе исследования результаты могут быть использованы при конструировании пьезоэлементов различной конфигурации (биморфов, триморфов), при создании материалов с заданными свойствами.

Работа выполнялась в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 – 2013 годы (соглашение №14.В37.21.0869 по теме «Развитие метода блочных элементов для оценки резонансных свойств тел и конструкций сложного строения»); НИР КубГУ по заданию Минобрнауки по теме «Математическое и компьютерное моделирование волновых процессов в приложении к проблемам развития инфокоммуникационных технологий в области создания компонентной базы гигагерцового диапазона и пьезоэлектромеханических систем волнового мониторинга композитных материалов» (№ 1.2737.2011 от 23.11.2011 г.). На практическую значимость исследований указывает также поддержка грантами РФФИ: «Механика связанных полей для слоистых пьезоэлектриков с многоэлектродными структурами» (№ 11-08-00135); «Механика связанных полей в элементах конструкций и материалах акустоэлектроники» (№ 09-0196501_р_юг).

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием принципов классической механики и физики, адекватных моделей, строгих математических методов решения и контролем выполнения граничных условий. Также проводилось аналитическое и численное сравнение полученных результатов настоящего исследования с более простыми примерами, которые рассмотрены как в данной диссертационной работе, так и в известных работах других авторов.

На защиту выносятся:

1. Математические модели, описывающие динамические процессы в слоистых термоэлектроупругих и электроупругих средах с внутренними и поверхностными электродами-включениями и с учетом связанности механических, электрических и тепловых полей и методы их исследования.

2. Алгоритм построения матрично-функциональных соотношений и блочных матриц-символов Грина для слоистых термоэлектроупругих и электроупругих сред при наличии внутренних электродных покрытий.

3. Рекуррентная процедура построения элементов матриц-символов Грина и их определителей для различных моделей слоистых сред с внутренними и поверхностными электродами.

4. Новые аналитические представления элементов матрицы Грина для биморфного и триморфного пьезоэлектриков в виде отношения целых функций.

5. Реализация метода фиктивного поглощения применительно к задачам электроупругости.

6. Алгоритмы и программы для исследования особенностей колебаний слоистых пьезоэлектрических сред с электродами-включениями.

7. Результаты численного анализа решений динамических задач о сдвиговых колебаниях биморфных и триморфных пьезоэлектриков, содержащих внутренние электроды.

Апробация работы. Основные результаты настоящих исследований обсуждены на следующих конференциях и семинарах: Международной научнопрактической конференции «Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании» (г. Одесса, 2008 г.); V, VI, VIII, IX Всероссийских научных конференциях молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа, 2008, 2009, 2011, 2012 гг.); IX объединенной научной конференции студентов и аспирантов ФКТиПМ «Прикладная математика XXI века» (г. Краснодар, 2009 г.); Международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований» (г. Одесса, 2009 г.); XXIX Российской школе, посвященной 85летию со дня рождения академика В.П. Макеева (г. Миасс, 2009 г.); IV Российской научно-технической конференции «Ресурс и диагностика материалов и конструкций» (г. Екатеринбург, 2009 г.); седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2010 г.); VII Международной конференции «Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред» (г. Ереван, 2011 г.); конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2011 г.); Международной научно-практической конференции «Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте» (г. Одесса, 2011 и 2012 гг.). В полном объеме диссертация докладывалась на семинаре кафедры интеллектуальных информационных систем Кубанского государственного университета.

Публикации. Результаты выполненных по теме диссертации исследований содержатся в 19 публикациях, в том числе в 2 статьях, которые были опубликованы в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

В представленных в журналах и сборниках работах О.Д. Пряхиной и А.В.

Смирновой принадлежит постановка и выбор метода исследования. В совместной работе с Масловым Р.Г. ему принадлежит построение решения задачи для слоистой среды с трещиной. Автору диссертации принадлежит построение матрично-функциональных соотношений для слоистых термоэлектроупругих и электроупругих сред с электродными структурами, разработка рекуррентных процедур, позволяющих строить элементы блочных матриц-символов ядер систем интегральных уравнений, разработка алгоритмов численной реализации построенных решений конкретных задач, проведение вычислений и анализ полученных результатов.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы и трех приложений. Работа содержит 170 страниц, в том числе 13 страниц списка использованной литературы и 37 страниц приложений. Список использованной литературы включает 122 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается тематика проведенных в диссертации исследований. Дается краткий обзор важнейших работ по теме диссертации, формулируются цель и научная новизна работы, обосновывается ее актуальность, практическая значимость и достоверность. Кроме того, перечисляются работы, выполненные по результатам исследований, и проводится разделение принадлежности последних диссертанту и другим соавторам указанных работ. Также описываются структура и содержание диссертации. Отмечается, что значительный вклад в рассматриваемую тематику внесли ведущие российские и зарубежные исследователи – В.А. Бабешко, М.А. Балакирев, Д.И. Бардзокас, А.В. Белоконь, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Е.В. и Н.В. Глушковы, В.Т. Гринченко, Э. Дьелесан, А.И.

Зобнин, В.В. Калинчук, В.А. Кудрявцев, А.В. Наседкин, В.З. Партон, О.Д.

Пряхина, Д. Руайе, Н.А. Сеник, А.Н. Соловьев, А.В. Смирнова, А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, М.Л. Фильштинский, Н.А. Шульга, F. Ashida, L. Bergman, J.

Helsing, R.B. Hetnarski, Q.H. Qin, R.D. Mindlin, W. Nowacki, S. Shen и другие ученые.

В первой главе дается постановка начально-краевых задач термоэлектроупругости в линейном приближении.

В пункте 1.1 приводятся основные уравнения и соотношения связанных задач. В пункте 1.2 рассматриваются начальные условия и тепловые, электрические, механические граничные условия. В пункте 1.3 для электроупругих тел приводится система дифференциальных уравнений, которая является частным случаем общей задачи.

Во второй главе строится решение задачи для пакета термоэлектроупругих слоев при наличии внутренних и поверхностных электродов, дается общая схема построения матрично-функциональных соотношений (МФС) и блочной матрицы-символа Грина. На основе полученных представлений строятся многомерные системы интегральных уравнений (СИУ).

В пункте 2.1 рассматривается задача о гармонических колебаниях термоэлектроупругого слоя, занимающего область x3 h, x1, x2 . К верхней и нижней электродированным границам слоя приложена механическая нагрузка tkeit и rkeit k 1,2,3. На границах слоя известна плотность распределения электрических зарядов d1eit, d2eit и распределение теплового потока g1eit, g2eit ( – частота колебаний, t – время).

Необходимо определить горизонтальные и вертикальные weit, weit 1 weit перемещения, электрический потенциал eit и температуру eit, как на поверхности слоя, так и внутри него. Далее в работе общий для всех характеристик множитель eit опущен.

В связи с тем, что физико-механические параметры исследуемых материалов имеют большой числовой диапазон, в работе произведено их обезразмеривание. С учетом этого для кристаллов класса 6mm гексагональной сингонии или пьезокерамики, поляризованной вдоль оси x3 (перпендикулярной к поверхности среды), решение системы дифференциальных уравнений, записанной в безразмерном виде, строилось методом интегральных преобразований с использованием разбиения исходной задачи на две – симметричную и кососимметричную. Не останавливаясь на деталях, общее решение для термоэлектроупругого слоя получено в матричном виде W ,, x3, B ,, x3, T , B ,, x3, R ,, (1) где W W1, W2, W3, , , T T1, T2, T3, D1, G1 и R R1, R2, R3, D2, G2 – трансформанты Фурье безразмерных расширенных векторов w w1, w2, w3, , , t t1, t2, t3, d1, g1 и r r1, r2, r3, d2, g2.

Матрицы B в общем случае имеет структуру 2m1 2n m1 n im2 im3 im4 2 2 m1 n m1 n i m2 i m3 im4 . (2) B ik1 i k1 k2 k3 k4 ir1 ir1 r2 r3 r4 is1 i s1 s2 s3 s4 Здесь функции mk, kk, rk, sk k 1,...,4 и n зависят от безразмерной частоты колебаний и физико-механических параметров среды, а и являются параметрами интегрального преобразования Фурье по переменным х1 и х2.

В пункте 2.2 приводится процедура построения МФС и блочной матрицы-символа Грина для многослойной термоэлектроупругой среды в случае разрывных граничных условий.

Рассматривается задача о гармонических колебаниях пакета N термоэлектроупругих слоев. Электродированая поверхность среды подвергается механическому, тепловому и электрическому воздействию. На границах смены физико-механических свойств имеются электродные покрытия, которые занимают всю область раздела. Нижняя грань пакета жестко сцеплена с недеформируемым основанием, теплоизолирована, металлизирована и закорочена.

Для построения решения данной задачи предварительно рассматриваются две вспомогательные краевые задачи.

Задача 1. Колебания пакета термоэлектроупругих слоев под действием заданных на его электродированной поверхности векторе механической нагрузки и известных нормальных составляющих векторов электрической индукции и теплового потока. Предполагается, что слои жестко сцеплены между собой и их границы неэлектродированы.

Чтобы воспользоваться специальным решением (1), производится формальное разъединение слоев и вводится следующая локальная система координат:

k x1k x1 x2k x2 x3k x3 2 hi hk k 1,2,, N.

,,, iТогда решение задачи 1 для k -го слоя (в трансформантах Фурье) будет определяться формулой Wk x3k B x3k Tk1 B x3k Tk, x3k hk, k 1,2,, N.

Расширенные векторы Wk, Tk1 и Tk введены аналогично векторам W, T и R, рассмотренным в п. 2.1. Векторы Tk характеризуют взаимодействие между слоями, T0 вектор, заданный на поверхности среды. Матрицы B x3k имеют структуру (2).

Далее производится сшивка решений с помощью удовлетворения условиям стыковки WN hN 0, Wk hk Wk1 hk1, k 1,2,, N 1.

В результате получаем решение задачи 1 в следующем виде:

B Wk x3k x3k B x3k FN1 hk B hk Rk10T0.

k Здесь приняты обозначения F1 hN B hN, Fk1 hN k B hN k Kk hN k1, k 1,2,, N 1, K1 hN B hN B hN F11 hN B hN, Km hN1m B hN1m B hN1m Fm1B hN1m, m 2,3,, N, R00 I, Rk0 k N 1i F1 hi B hi, k 1,2,, N.

ik Как частный случай получаем МФС, определяющее связь между расширенными векторами перемещений и напряжений на поверхности среды W1 h1 KN h1 T0. (3) Задача 2. Колебания пакета термоэлектроупругих слоев при условии, что поверхность среды является свободной от механических усилий, непроводящей и поддерживается при постоянной температуре. Плоскости раздела слоев электродированы и при переходе через границу расширенный вектор напряжений терпит разрыв. На нижней грани пакета слоев по-прежнему выполняются условия жесткой заделки, металлизации и теплоизоляции.

Для построения решения задачи 2 предварительно рассмотрен случай, когда колебания среды обусловлены вибрацией границ только одного электрода, расположенного в плоскости x3p hp. Тогда на границах раздела слоев x3k hk, k p имеют место непрерывные условия для расширенных векторов перемещений и напряжений. В плоскости расположения электрода расширенные векторы перемещения непрерывны, а напряжения – терпят разрыв. Скачок расширенного вектора напряжений t задается в виде p t x1, x2 t t .

p p p Здесь знак « ± » соответствует верхней и нижней границам электрода, а t сами векторы введены аналогично вектору t, рассмотренному в п. 2.1.

p Взяв суперпозицию решений задач для одного электрода для всех p 1,2,, N 1, получаем МФС, связывающие расширенные векторы напряжений и перемещений с вектором скачков на всех границах раздела T LT, U VT, (4) где T T1,T2,...,TN1, U W2 h2,W3 h3,...,WN hN и N 1 N T T1,T2,...,TN1 многомерные векторы, L Lij i, j1 V Vij i, j1 , блочные матрицы, элементы-матрицы которых вычисляются по формулам S1KN i, i j, G1, i j, Ni Ni Lij S1KN j, i j, Vij R K RijS1KN, i j, ij Nj i Nj j R S1K, i j, K RijS1K, i j.

ij Nj j N i Nj j SNp GNp Здесь матрицы,, Rkm, R даются формулами km SNp K h1,h2,,hp KN p hp1,hp2,,hN, p 1 K h1,h2,,hp KN p hp1,hp2,,hN, GNp p I, k m, m R km i h1,h2,,hi B hi, k m, ikI, k m, mRkm 1 FN1 hi B hi, k m, km 1i ik а K, m определяются из рекуррентных соотношений m K1 h1 B h1, K h1,,hm B hm B hm m1 h1,,hm B hm, m 1 0, m K h1,h2,,hm1 B hm, m 2,3,, N.

mМатрицы Fm и Km приведены ранее.

Учитывая построенные решения (3) и (4) на поверхности среды и в плоскостях расположения электродов имеем МФС общей задачи с блочной матрицей-символом Грина W KQ (5), Q T0,T1,T2,...,TN1, W W1 h1,W2 h2,...,WN hN.

N Элементами блочной матрицы-символа K Kkm k,m1 являются матрицы-функции размерности 5Kk1 KN k1 hk Rk10, k 1,2,, N, K1m B h1 R1m1S1m1KNm1, m 2,3,, N, N Kkm Vk1m1, k,m 2,3,, N.

Полученные представления позволяют исследовать динамику различных моделей термоэлектроупругих сред и их частных случаев. Для однородной среды, содержащей системы поверхностных и внутренних электродов, следует принять физико-механические параметры всех слоев равными.

В пункте 2.3 строятся многомерные СИУ смешанной задачи о колебаниях пакета термоэлектроупругих слоев, вызванных совместным действием поверхностного электрода и системой внутренних электродов.

Вводится в рассмотрение матричный интегральный оператор q x1 , x2 q , dd k с ядром k x1, x2 K , ei( x1 x2 )dd.

4 1 Тогда СИУ на основе МФС (5) можно представить в виде Pj N 0 t0 t w0 x1, x2, x1, x2 0, 11 jm jm 1 j j1 mPj N 0 t0 t win x1, x2, x1, x2 in, jm jm i1 1 i1 j j1 mn 1,2,, Pi, i, j 1,2,, N .

Здесь 0, in – области, занимаемые поверхностным и внутренними электродами; Pi – количество электродов в i -ой плоскости; контуры интегрирования 1, 2, выбираются в соответствии с принципом излучения на бесконечности; векторы w0 и win задаются аналогично вектору w, рассмотренному в п. 2.1, и считаются известными на поверхности и в i -ой плоскости раздела слоев соответственно; t – скачок расширенного вектора jm напряжений.

Матрицей-символом ядра СИУ является блочная матрица N K , Kij i, jс элементами K11 KN h1, K1 j1 B h1 R1 jS1KN j, Nj Ki11 KN i hi1 Ri0 Ki1 j1 Vij.

, Kij Матрицы, участвующие в представлениях приведены в п. 2.2.

В третьей главе рассматриваются задачи электроупругости о сдвиговых колебаниях многослойных пакетов, содержащих системы поверхностных и внутренних электродов. Строятся аналитические представления элементов матриц-символов Грина и их определителей в виде отношения целых функций.

Получены рекуррентные формулы для вычисления элементов матрицы Грина для многослойного пакета электроупругих слоев без нарушения сплошности.

В пункте 3.1 рассмотрена вспомогательная задача о колебаниях одного слоя толщиной 2h. На лицевых электродированных границах слоя заданы сдвиговые напряжения x1,h i и нормальные составляющие векторов электрической индукции d x1,h di i 0,1. Необходимо определить функции амплитуд сдвиговых смещений w и электрического потенциала . В качестве электроупругого материала рассмотрена пьезокерамика, поляризованная вдоль оси x3, параллельной поверхности среды (класс 6mm гексагональной сингонии).

По аналогии с термоэлектроупругой задачей, рассмотренной в 2.1, вводятся безразмерные амплитудные параметры. Решение построено в матричном виде W , x2, B , x2, Q0 B , x2, Q1 , (6) W W,, Qi Ti, Di.

Вектора W и Qi – трансформанты Фурье векторов w x1, x2 w, и qi i,di. Элементы матриц B получены в виде отношения двух функций 1 n1 h e n1 h B h , (7) e 1n1 h e2 2n1 h 1n2 h n1 h n10 h 10 h, n2 h n20 h 20 h, n10 h ch 2 h, n10 h 1, 10 h 1 0 sh 2 h, n20 h ch 2h, n20 h 1, 20 h sh 2h.

2 Здесь 2 k2, k2 2 1 0, 0 e2 – коэффициент электромеханической связи; – параметр интегрального преобразования Фурье по переменной x1 ; , e и – безразмерные частота колебаний, пьезоэлектрический коэффициент и диэлектрическая проницаемость.

Если граничные условия на поверхности сохраняются, а нижняя грань слоя жестко сцеплена с недеформируемым основанием, металлизирована и заземлена, то на поверхности среды x2 h имеем W h R1 h Q0, R1 h B h B h F11 h B(h).

Элементами матрицы Грина R1 Rij1 11 являются 1 R11 h n11 h, R12 h R21 h e n11 h, 2 R22 h e2 n11 h 11 h n21 h 21 h.

Здесь n11 h sh 2 h 1 0 , n21 h sh 2h , 11 h ch 2 h, 21 h =ch 2h.

В пункте 3.2 рассматривается задача о колебаниях пакета N N плоскопараллельных электроупругих слоев толщины H 2 hk, занимающего k объем x1, x3 , H x2 0 ( hk – полутолщина k -го слоя). На верхнюю электродированную грань пакета x2 0 действуют механическая и электрическая нагрузки q0. Нижняя грань пакета х2 H металлизирована, жестко сцеплена с недеформируемым основанием и закорочена w 0.

На границах смены физико-механических свойств слоев находятся электродные покрытия, которые предполагаются бесконечно тонкими, плоскими и невесомыми. В областях расположения электродов векторы qk k,dk, характеризующие взаимодействие между слоями, претерпевают разрыв, который определяется вектором qk k,dk. Кроме того, при переходе через электрод-включение должны выполняться условия непрерывности для перемещений и электрического потенциала. Компонентами скачка расширенного вектора напряжений qk являются k x1 k x1 k x1, dk x1 dk x1 dk x1, где знак «± » соответствует верхней и нижней границам электрода.

Для построения решения задачи вводилась локальная система координат и использовалось решение (6) для каждого слоя отдельно. Затем производилась сшивка решений с помощью удовлетворения условиям стыковки. В результате для определения расширенного вектора перемещений Wk имеем N 1 Wk x2k RN k1x2k Y(k1)1Q0 Mk NkmQm . (8) ck m Здесь RN k1x2k B+ x2k B x2k Fk Gk, Fk Fk hk,hk1,...,hN B hk gkRN k hk1,...,hN, FN FN hN B hN B hN, gk сk сk1, k 1,2,..., N , RN k1 hk RN k1 hk,hk1,...,hN B+ hk B hk Fk Gk, Gk B hk, k 1,2,..., N.

Матрицы RN k 1 hk есть не что иное, как матрицы-символы Грина пакетов N k 1 слоев без включений k 1,2,..., N, а B имеют вид (7).

Матрицы Y(k1)1, Mk, Nkm для краткости здесь не приводятся ( Y01 I – единичная матрица).

Соотношения (8) являются искомыми МФС, связывающие перемещения и электрический потенциал с напряжениями, электрической индукцией и их скачками.

Полагая в (8) x2k hk и проведя несложные преобразования, построена система МФС, служащая в дальнейшем основой для построения СИУ динамической смешанной задачи V KU, V (W1,W2,, WN ), U (Q0,Q1,Q2,,QN 1). (9) Элементами блочной матрицы K Kkm k, m 1,, N являются матрицы-функции K11 RN (h1), K1m B(h1)P2mLm1, Kk1 RN k1(hk )Dk1, k Kkm RN k1(hk ) D Psm B (hk )P(k Lm1, k m, ks 1)m sm , k m.

Kkm RN k1(hk ) ksPsmLm1 Dkm D s2 В последних матричных выражениях приняты следующие обозначения:

mm Pkm gi1Fi1B (hi ), Fi1Gi, k m, Dkm ik ik I, k m, Lm gmFm1RN m (hm1).

Если на поверхности среды и на границах раздела слоев имеются системы электродов, занимающие соответственно области S0l l 1,2,, M0, Skm k 1,2,, N 1, m 1,2,,Mk, то с помощью интегральных операторов (S)q x1 q d, k x1 k K ei x1 d, 2 S M0 Mk N (q0l,qkm) (S0l )q0l (Skm)qkm j 1,2,, N, j j1 j(k 1) l1 k 1 mполучим многомерную СИУ смешанной задачи (q0l,qkm) w0i x1, x1 S0i, i 1,2,, M0, (10) (q0l,qkm) wpn x1, x1 Spn, n 1,2,..., M, p 1,2,, N 1.

p1 p Здесь S0i – области контакта электродов с поверхностью среды, Spn – области, занимаемые электродами-включениями в плоскостях x2p hp ;

N M Mk общее количество электродов в среде, а M0 – количество kэлектродов на поверхности; w0i, w – заданные амплитудные векторы, pn имеющие своими компонентами сдвиговые перемещения и электрический потенциал. Выбор контура диктуется принципом излучения на бесконечности. В принятых обозначениях СИУ (10), имеет размерность M M0.

Уравнения (10) позволяют исследовать различные аспекты динамических процессов, протекающих в слоистых пьезоэлектрических материалах с учетом связанности механических и электрических полей при любом сочетании и расположении систем поверхностных и внутренних электродов. Решение этих уравнений строится с использованием аналитических и численных методов.

В пункте 3.3 исследуется задача о сдвиговых колебаниях N -слойной электроупругой среды, когда слои жестко сцеплены между собой и неэлектродированы. Рассматриваются частные случаи двух- и трехслойной среды без внутренних электродных покрытий.

Для многослойного пакета электроупругих слоев предложена рекуррентная процедура вычисления элементов матрицы Грина RN k1 hk,hk1,...,hN RijN k1 1N k1 в виде отношения целых функций, удобном для численного анализа. Приведем рекуррентную формулу для N вычисления элемента R11 k1 :

N R11 k1 hk,hk1,...,hN gk 11 hk RN k hk1,...,hN gkn11 hk ekk R11 k hk1,...,hN 2 2 N N N 2ekk R12 k hk1,...,hN R22 k hk1,...,hN N 1 k n2 hk n11 hk 1N k hk1,...,hN gk11 hk R11 k hk1,...,hN , 1N k1 hk,hk1,...,hN gk 10 hk RN k hk1,...,hN N gkn10 hk ekk R11 k hk1,...,hN 2ekk R12 k hk1,...,hN 2 2 N N R22 k hk1,...,hN k n2 hk n10 hk 1N k hk1,...,hN 1 N gk10 hk R11 k hk1,...,hN .

Определитель матрицы RN k1 hk,hk1,...,hN имеет вид det RN k1 hk,...,hN RN k1 hk,...,hN 1Nk1 hk,...,hN, 1 RN k1 hk,...,hN k n2 hk gk RN k hk 1,...,hN 11 hk gkn11 hk ekk R11 k hk1,...,hN 2 2 N N N 2ekk R12 k hk1,...,hN R22 k hk1,...,hN N k n11 hk 1N k hk1,...,hN gk R11 k hk 1,...,hN 11 hk .

Здесь функции 11, 10, n11, n2, n10 приведены в п. 3.1; gk – в п. 3.2; ek и k – безразмерные пьезоэлектрический коэффициент и диэлектрическая проницаемость k -го слоя.

Решение задачи для пьезоэлектрической двух- и трехслойной среды с внутренним электродным покрытием приводится в пункте 3.4.

Исследование динамических характеристик проводится согласно алгоритму, описанному в п. 3.2. МФС (9) для биморфа в этом случае упрощается K11Q0 K12Q1 W1 h1, K21Q0 K22Q1 W2 h2, K11 R2 h1,h2, K12 g1B h1 F11 h1,h2 R1 h2, K21 g1R1 h2 F11 h1,h2 B h1, K22 g1R1 h2 F11 h1,h2 B h1.

Для пакета двух пьезоэлектрических слоев, в котором верхняя граница является непроводящей, а внутренний электрод занимает область a x1 a, получена следующая система интегральных уравнений k11 x1 1 d k12 x1 d1 d w1 x1, k12 x1 1 d k22 x1 d1 d 1 x1.

Здесь ядрами интегральных уравнений являются kij x ei xd, K22 lij.

lij 2 Если считать, что микронной толщины электроды не влияют на механические свойства электроупругой среды 1 0, то имеем одно интегральное уравнение k22 x1 d1 d 1 x1, x1 a. (11) Для пьезоэлектрического трехслойного пакета с системой поверхностных и внутренних электродов имеем МФС вида V KU, V (W1, W2, W3), U (Q0,Q1,Q2).

Элементами блочной матрицы K являются матрицы-функции K11 R3 h1,h2,h3, K22 g1R2 h2,h3 F11B h1, 1 K33 g1g2R1 h3 F2 G2F11F2G21B h2, K12 g1G1F11R2 h2,h3, K13 g1g2G1F11G2F2 R1 h3, Kij KT (i j) K23 g1g2B h1 F11G2F2 R1 h3,.

ji 1 Здесь F11 F11 h1,h2,h3, F2 F2 h2,h3.

Для трехслойной среды СИУ строится аналогично предыдущему.

Элементы матриц Kij для биморфа i, j 1,2 и триморфа i, j 1,2, построены в виде отношения целых функций. В качестве примера приведем элементы матрицы K22 h1,h2,...,hN Lij 1N для двухслойного N 2 и трехслойного N 3 пакета N L11 g1 R h1 R11 1 h2,...,hN g1n10 h1 RN 1 h2,...,hN , N 1 L12 g1 R h1 R12 1 h2,...,hN g1e11 n10 h1 RN 1 h2,..., N, N L22 g1 R h1 R22 1 h2,...,hN 2 2 1 g1 e1 1 n10 h1 1 n2 h1 10 h1 RN 1 h2,...,hN .

1 Здесь R (h1) 1 n10 h1 n2 h1 ; функции n10, n2, 10 и 1N приведены в п. 3.1, а RijN 1 i, j 1,2, RN 1 – в п. 3.3.

Для построения решения СИУ методом фиктивного поглощения необходимо знать не только особенности элементов матриц-символов, но и их определителей. Кроме того, знание нулей определителя блочной матрицысимвола позволяет исследовать условия локализации волновых процессов в электроупругих средах. В пункте 3.5 для вычисления определителей блочных матриц Грина для различных моделей сред предварительно построены формулы в виде произведения некоторых матриц, что позволило уже на стадии аналитических преобразований исключить общие сомножители, используя свойства матриц-функций, входящих в (9). Установлено, что в случае расположения электродов на всех границах раздела слоев det K представим в виде отношения целых функций N N 1 R hk, Q0 0, k n2 1 k k det K N 1N h1,h2,,hN h1 R hk, Q0 0.

1 k В этой формуле в числителе каждый из сомножителей зависит от геометрических и физико-механических параметров только одного слоя, поскольку 11 – знаменатель элементов матриц-символов Грина для однослойной среды, а R1(hk ) – числитель определителя и знаменатель элементов обратной матрицы Грина. Функция 1N – знаменатель элементов матрицы Грина N -слойной среды без внутренних электродов.

Отметим, что в случае Q0 0, нулями det K являются совокупностью нулей определителей матриц-символов однослойных сред толщиной 2hk k 2,, N и полюсов определителя матрицы-символа для одного слоя толщины 2h1, являющихся корнями трансцендентных уравнений 11 h1 0, R1(hk ) 0. В случае среды без внутренних электродов или, когда электроды расположены не на всех стыках слоев, формулы имеют другую структуру.

В четвертой главе метод фиктивного поглощения применяется к решению некоторых типов интегральных уравнений и их систем, ядра которых описываются функциями Грина, построенными в главе 3. Его суть состоит в таком преобразовании интегральные уравнения, после которого оно оказывается по своим свойствам сходной с СИУ статической задачи или задачи для среды с сильным поглощением. Такие интегральные уравнения хорошо решаются приближенно. Для получения решения исходного уравнения динамической задачи решение уравнения для среды с поглощением служит базовым. По сравнению с другими подходами метод позволяет строить решения с высокой точностью одновременно во всех точках области задания интегральных уравнений, включая границу, и применим для любых частот.

В пункте 4.1 дается общая схема метода фиктивного поглощения, основы которого заложены в работах В.А. Бабешко и О.Д. Пряхиной, строятся функциональные представления решения СИУ.

В соответствии с методом фиктивного поглощения СИУ q f с помощью новой неизвестной вектор-функции q0, которая вводится соотношением q q0 0, преобразуется к виду q0 f 0, где – интегральный оператор с сильно осциллирующим и медленно убывающим ядром. Вектор-функция q0 строится таким образом, что допускается представление q0 t ( – некоторый линейный оператор). В результате приходим к системе t f 0, (12) с экспоненциально убывающим с ростом аргумента матричным ядром.

Свойства этого ядра, обладающего сильным затуханием, таковы, что обратный оператор сравнительно легко строится приближенными методами решения задач статики или для сред с поглощением. Поэтому описываемый метод назван В.А. Бабешко методом фиктивного поглощения.

Решение уравнения (12) t f 0 содержит произвол, вносимый вектор-функцией 0, который устраняется из дополнительной системы уравнений V f 0 0.

Здесь V – оператор преобразования Фурье. Из этой системы отыскиваются неизвестные составляющие вектора 0, которые вносятся в представление для вектора t, а затем в q0 t. После этого q q0 0 дает решение всей задачи.

В качестве 0 используются системы дельта-функций, что облегчает вычисление ряда интегралов при построении решений указанных задач.

В пункте 4.2 строятся решения интегрального уравнения (11) и системы интегральных уравнений типа свертки с разностным ядром, обладающим весьма общими свойствами (пункт 4.3).

Решение уравнения (11) для правой части f x1 1 имеет следующую структуру:

q x1 K1 0 Z0 x1 eBax1 a x1 B (13) n n n eBax1 a x1 B Z1 z, x1 Z2 p, x1k.

c j k j j1 k 1 jНеизвестные коэффициенты ck определяются из линейной алгебраической системы уравнений n ck f1 , x1k f2 f2 , zl, l 1,2,,n.

kЗдесь Z0 x1, Z1 , x1, Z2 , x1, f1 , x1k, f2 – некоторые функции; – параметр преобразования Фурье по переменной x1; x1k – точки, делящие интервал (0,a) на равные части; zk, pk (k 1,2,,n) – соответственно вещественные и комплексные нули и полюса подынтегральной функции ядра K , расположенные выше контура .

В этом решении функция K L22 12 представлена аппроксимацией 2 n c zk K , 2 k B2 pk где c – коэффициент, характеризующий поведение K на бесконечности, B – параметр аппроксимации.

В пятой главе исследуются дисперсионные свойства элементов матрицсимволов Грина разномодульных двухслойных и трехслойных пакетов слоев.

Проводится численный анализ поведения скачка электрической индукции при переходе через внутренний электрод в биморфном пьезоэлементе.

В пункте 5.1 представлены результаты численного анализа построенных графиков нулей и полюсов элементов матриц-символов исследуемых задач при различных сочетаниях параметров слоев. Исследуется влияние глубины расположения электрода 2h1, общей толщины пакета H, безразмерной частоты и коэффициента 0k на поведение дисперсионных кривых. Построенные кривые нулей и полюсов позволяют правильно выбирать положение контура интегрирования при построении решения интегральных уравнений методом фиктивного поглощения. Также для заданной частоты колебаний количество полюсов определяет количество волн, распространяющихся в среде от источника возмущений. В качестве исследуемых материалов рассматривались различные сочетания следующих пьезоэлектриков: ZnO, CdSe, CdS, BaTiO3, PXE 5, PZT 5, ЦТС .

В пункте 5.2 проводится численный анализ решения интегрального уравнения (11), построенного в главе 3 методом фиктивного поглощения.

Решение строилось с использованием асимптотических и дисперсионных свойств символа ядра интегрального уравнения. Изучалось влияние на поведение амплитуды скачка нормальной компоненты вектора электрической индукции при переходе через электрод следующих факторов: вида материала (однородный или составной пакет), ширины электрода 2a, значений 0k, , H, 2h1. К рассмотренным в п. 5.1 материалам были добавлены монокристалл ZnS и пьезокерамика PZT 4.

0,040 0, CdS; h1 = 0.0,28 ==0,035 = PZT-4; h2 = 0.0,0,0a=1 l22 0,0,00,0,020 0,0,0,00,0,00,Red1 Imd1 =0,00,0,000 0,a=1 l0,-0,00, PZT-4; h1 = 0.-0,00, CdS ; h2 = 0.-0,00,=10 =-0,020 0,-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,x x Рис. 1 Рис. На рис. 1 представлены графики дисперсионных кривых действительной составляющей амплитуды скачка электрической индукции d1 при изменении частоты колебаний. На рис. 2 аналогичная зависимость, но для мнимой составляющей d1. Частота колебаний, полутолщины слоев и ширина электрода приведены на рисунках в безразмерном виде. Исследования показали, что при уменьшении частоты колебаний уменьшается осцилляция и поведение функций Red1 и Imd1 стремится к равномерному. Функция скачка резко возрастает при приближении к краям электрода. Это объясняется тем, что решение (13) обладает корневой особенностью в окрестности краев электрода.

Заключение содержит основные результаты исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ В РАБОТЕ 1. Построена математическая модель динамических процессов в термоэлектроупругом пакете слоев с системой поверхностных и внутренних электродов с учетом связанности механических, электрических и тепловых полей.

2. Предложен эффективный метод исследования динамических задач термоэлектроупругости и электроупругости для полуограниченных слоистых сред с разрывными граничными условиями на стыках слоев, основанный на специальном представлении решения для одного слоя.

3. Разработана рекуррентная процедура построения матричнофункциональных соотношений и вычисления элементов блочной матрицы Грина для слоистых термоэлектроупругих и электроупругих сред с внутренними и поверхностными электродами.

4. Для конкретных задач получены новые аналитические представления элементов блочной матрицы-символа Грина в виде отношения целых функций.

5. Построен и программно реализован математический алгоритм исследования дисперсионных свойств элементов матрицы Грина, знание которых необходимо для решения интегральных уравнений методом фиктивного поглощения. Изучено поведение дисперсионных кривых в задачах о колебаниях двухслойной и трехслойной пьезоэлектрической среды с внутренними электродными покрытиями.

6. Разработан и реализован в виде пакета компьютерных программ алгоритм расчета амплитуды скачка электрической индукции, позволяющий проводить быстрый параметрический анализ. Изучено влияние различных параметров пьезоактивных материалов на поведение амплитуды скачка нормальной компоненты вектора электрической индукции на внутреннем электроде.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Самойлов М.В. О взаимодействии механических, электрических и температурных полей в пьезоактивных материалах // Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании: Сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции. Одесса: Черноморье, 2008. Т. 21. С. 41 – 42.

2. Пряхина О.Д., Смирнова А.В., Самойлов М.В. Исследование напряженно – деформированного состояния материалов акустоэлектроники // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды V Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Краснодар: Просвещение-Юг, 2008. Т. 2. С. 134 – 136.

3. Пряхина О.Д., Смирнова А.В., Самойлов М.В. Колебания пьезоактивных материалов с учетом сопряжения механических, электрических и температурных полей // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды VI Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Краснодар: Просвещение-Юг, 2009.

С. 256 – 258.

4. Самойлов М.В. К моделированию прочностных свойств термоэлектроупругих материалов // Прикладная математика XXI века:

Материалы IX объединенной научной конференции студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики. Краснодар:

Кубанский государственный университет, 2009. С. 51 – 53.

5. Пряхина О.Д., Смирнова А.В., Самойлов М.В. К определению динамических характеристик материалов с учетом связанности полей // Современные направления теоретических и прикладных исследований:

Сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции. Одесса: Черноморье, 2009. Т. 2. С. 85 – 87.

6. Самойлов М.В. К исследованию напряженно-деформированного состояния термоэлектроупругого слоя с учетом связанности полей // Ресурс и диагностика материалов и конструкций: Материалы IV Российской научнотехнической конференции. Екатеринбург: ИМАШ УрО РАН, 2009. С. 75.

7. Пряхина О.Д., Смирнова А.В., Самойлов М.В. Моделирование в задачах мониторинга прочностных свойств термоэлектроупругих элементов конструкций // Наука и техника: Тезисы докладов XXIX Российской школы, посвященной 85-летию со дня рождения академика В.П. Макеева. Миасс:

МСНТ, 2009. С. 60.

8. Пряхина О.Д., Смирнова А.В., Самойлов М.В. К прогнозированию прочности и работоспособности материалов электроники и радиоэлектроники // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. Т. 16. Вып. 3. С.

557 – 558.

9. Пряхина О.Д., Самойлов М.В., Смирнова А.В. Интегральные уравнения для полиморфных пьезоэлектриков с системой электродов // Математическое моделирование и краевые задачи (ММ-2010): Труды Седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Самара:

СамГТУ, 2010. Ч. 2. С. 221 – 224.

10. Пряхина О.Д., Самойлов М.В., Смирнова А.В. К моделированию волновых процессов в составных пьезоэлектрических средах // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. Т. 17. Вып. 3. С. 452 – 453.

11. Пряхина О.Д., Смирнова А.В., Самойлов М.В., Маслов Р.Г. Учет связанности физических полей в динамических задачах для многослойных сред // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2010. № 1. С. 54 – 60.

12. Пряхина О.Д., Самойлов М.В., Смирнова А.В. Математическое моделирование свойств пьезоэлектрического биморфа с внутренними электродами // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды VIII Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Краснодар: Просвещение-Юг, 2011.

С. 185 – 187.

13. Пряхина О.Д., Смирнова А.В., Самойлов М.В. К исследованию колебаний многослойной среды с множественными включениями // Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред: Труды VII Международной конференции. Ереван: Институт механики НАН РА, 2011. С. 363 – 365.

14. Пряхина О.Д., Смирнова А.В., Самойлов М.В. Исследование динамики слоистых электроупругих сред // Дифференциальные уравнения и их приложения: Тезисы докладов. Самара: Издательство «Универс групп», 2011.

С. 90 – 91.

15. Пряхина О.Д., Самойлов М.В. К определению динамических характеристик трехслойного пакета с внутренними электродными покрытиями // Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте:

Сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции. Одесса: Черноморье, 2011. Т. 8. С. 47 – 50.

16. Пряхина О.Д., Смирнова А.В., Самойлов М.В. Исследование колебаний биморфного пьезоэлемента // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2011. Т. 18. Вып. 2. С. 320 – 321.

17. Пряхина О.Д., Самойлов М.В., Смирнова А.В. Эффективный метод исследования динамики слоистых электроупругих сред // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4. Ч. 4. С. 1719 – 1720.

18. Пряхина О.Д., Смирнова А.В., Самойлов М.В. Антиплоские колебания трехслойного пьезокерамического материала без дефектов на стыке слоев // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды IX Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Краснодар: Кубанский государственный университет, 2012. С. 233 – 235.

19. Пряхина О.Д., Смирнова А.В., Самойлов М.В. Динамическая задача о гармонических колебаниях составных электроупругих сред // Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте: Сборник научных трудов SWorld. Одесса: КУПРИЕНКО, 2012. В. 2. Т. 3. С. 34 – 37.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.