WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Общая характеристика работы

Цель работы. Система уравнений K (1 - 2)vt = 2v - (v · )v + l2wl - p + f, l=1 (1) wl 0 = · v, = v + lwl, l , l = 1, K Rt моделирует динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина Фойгта порядка K > 0. Функция v = (v1, v2,..., vn), vi = vi(x, t), x ( , n = 2, 3, 4, ограниченная область с границей класса C) Rn имеет физический смысл скорости течения, функция p = p(x, t) отвечает давлению жидкости. Параметры и характеризуют вязкие и R R + упругие свойства жидкости соответственно. Параметры l , l = 1, K, R + определяют время ретардации (запаздывания) давления. Свободный член f = (f1,..., fn), fi = fi(x) отвечает внешнему воздействию на жидкость.

Для системы (1) рассмотрим задачу Коши Дирихле v(x, 0) = v0(x), p(x, 0) = p0(x), wl(x, 0) = wl (x), x , 0 (2) v(x, t) = 0, wl(x, t) = 0, l = 1, K, (x, t) , R и задачу Тейлора v(x, 0) = v0(x), wl(x, 0) = wl (x) x , 0 (3) v(x, t) = 0, wl(x, t) = 0 (x, t) 2 , R v(x, t), wl(x, t) удовлетворяют условию периодичности на 1 .

R Следующая система уравнений k - 2)vt = 2v - (v · )v+ l2wl - gq - p + f, (1 l=1 (4) wl 0 = ( · v), = v + lwl, l , l = 1, k, R t t = 2 - v · + v · q моделирует эволюцию скорости v = (v1,..., vn), vi = vi(x, t), градиента давления p = (p1,..., pn), pi = pi(x, t) и температуры = (x, t) несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта порядка k > 0. Параметры 3 , и характеризуют свойства жидкости, g ускоR R R R + + + рение свободного падения, вектор q = (0,..., 0, 1) орт в. Параметры Rn l , l = 1, k и вектор–функция f имеют тот же смысл, что и в систеR + ме (1).

Рассмотрим разрешимость первой начально-краевой задачи v(x, 0) = v0(x), wl(x, 0) = wl (x), (x, 0) = 0(x), x ;

0 (5) v(x, t) = 0, wl(x, t) = 0, (x, t) = 0, (x, t) , l = 1, k R + для системы (4). Здесь , n = 2, 3, 4 ограниченная область с границей Rn класса C.

Аналогично ставятся начально–краевые задачи для систем дифференциальных уравнений, обобщающих системы (1) и (4).

Все рассматриваемые модели сводятся к разрешимости задачи Коши u(0) = u0 (6) для полулинейного уравнения соболевского типа Lu = Mu + F (u). (7) Здесь U и F банаховы пространства, оператор L L(U; F), то есть линеен и непрерывен (ker L = {0}), опeратор M : dom M F, M Cl(U; F) линеен, замкнут и плотно определен в U, а оператор F : dom F F– нелинейный.

Целью работы является качественное исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка на основе теории разрешимости задачи (6), (7) и описание их фазовых пространств, а также проведение вычислительного эксперимента.

Актуальность темы. Известно, что, когда оператор L необратим (в частности, когда ker L = {0}), задача (6), (7) разрешима не для любого начального значения u0 U. Поэтому актуальным является поиск таких допустимых начальных значений u0 U, при которых задача (6), (7) однозначно разрешима.

Такой случай возникает во всех перечисленных выше прикладных задачах, поэтому его изучение представляет несомненный интерес.

4 Поиск множества допустимых начальных данных u0 U привел Г.А.Свиридюка к созданию метода фазового пространства. В данной работе продолжены исследования, начатые в работах Г.А. Свиридюка и Т.Г. Сукачевой, в ней впервые изучены автономные модели несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина–Фойгта ненулевого порядка.

Заметим, что к задаче Коши (6) для уравнения (7) сводятся не только указанные выше задачи, но и многие другие начально-краевые задачи для уравнений и систем уравнений в частных производных, моделирующих различные реальные процессы. Таким образом, имеется класс конкретных прикладных задач, которые сводятся к абстрактной задаче (6), (7). Следовательно, исследование моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей Кельвина–Фойгта ненулевого порядка является актуальной задачей.

Методы исследования. Основным методом исследования служит метод фазового пространства. Содержание указанного метода составляют различные результаты линейного и нелинейного функционального анализа, в частности, теории относительно p-секториальных операторов и аналитических полугрупп операторов, теории дифференцируемых банаховых многообразий. Идея метода фазового пространства заключается в сведении автономного уравнения (7) к уравнению u = B(u), заданному не на всем U, а на некотором (гладком бана ховом) многообразии, вложенном в U, являющимся фазовым пространством этого уравнения. Кроме того, в основе вычислительных экспериментов лежит метод Галеркина.

Научная новизна. В диссертации изучены модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка в автономном случае. Получено описание фазовых пространств следующих задач:

– задачи Коши–Дирихле для системы, моделирующей динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина–Фойгта ненулевого порядка, и для соответствующей обобщенной системы;

– задачи Тейлора для системы, моделирующей динамику несжимаемой вяз5 коупругой жидкости Кельвина–Фойгта ненулевого порядка;

– первой начально–краевой задачи для системы, моделирующей термоконвекцию несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина–Фойгта ненулевого порядка, и для соответствующей обобщенной системы.

Разработан алгоритм численного решения начально-краевой задачи для системы, моделирующей плоскопараллельную термоконвекцию несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка, разработана и реализована программа для персональных компьютеров нахождения численного решения этой задачи.

Все указанные задачи в данной постановке рассматриваются впервые, и результаты, полученные для них, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. К результатам теоретической значимости следует отнести то, что впервые описаны фазовые пространства задачи Коши–Дирихле и первой начально-краевой задачи для моделей динамики несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка и соответствующих моделей термоконвекции, а также для задачи Тейлора модели динамики ненулевого порядка. Полученные результаты содержат исчерпывающую информацию о фазовых пространствах задач, имеющих прикладной характер. Эти результаты могут учитываться при построении численных алгоритмов решения задач.

Предложенный программный продукт может быть использован для нахождения численного решения начально-краевой задачи для системы, моделирующей термоконвекцию несжимаемой жидкости Кельвина–Фойгта ненулевого порядка.

Апробация работы. Основные результаты диссертации представлялись на VI межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, 1996), на конференции "Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетия"(Челябинск, 1997), на третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998), на XII межвузовской научной конференции "Математические методы в технике и технологиях"(Великий Новгород, 1999), на международной научно–методической конференции "Современные интеллектуальные технологии"(Великий Новгород, 2000), на международной научной конференции "Дифферециальные и интегральные уравнения. Математические модели"(Челябинск, 2002), на международных научно-методических конференциях "Математика в вузе"( Петрозаводск, 2003, 2010, 2011), на XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике(Кисловодск, 2010), на международной конференции "Физика и технические приложения волновых систем"(Челябинск, 2010), на XII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике(Казань, 2011). Также результаты докладывались и обсуждались на семинаре профессора Е.Ю. Панова в Новгородском государственном университете имени Ярослава Мудрого(Великий Новгород).

Работа поддержана программой "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)", проект № 2.1.1/2301.

Публикации. Все результаты диссертации своевременно опубликованы [1]–[18], причем работы [1]–[4] опубликованы в журналах, включенных в список ВАК по специальности 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка обозначений и соглашений, заключения и списка литературы, который содержит 130 наименований работ российских и зарубежных авторов. Общий объем диссертации составляет 107 страниц машинописного текста.

Краткое изложение содержания диссертации Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяется цель работы, обсуждается историография вопроса, излагается краткое содержание диссертации.

В первой главе излагается абстрактная задача Коши (6) для полулинейного уравнения соболевского типа (7). Глава носит вспомогательный характер.

В п. 1.1 рассматривается задача (6), (7) в случае, когда оператор M является (L, p)-ограниченным относительно бирасщепляющего оператора L. Здесь вводятся понятия решения задачи Коши для уравнения соболевского типа (7), фазового пространства, квазистационарной траектории уравнения (7), проходящей через точку u0, и доказывается теорема существования и единственности квазистационарной траектории уравнения (7).

В п. 1.2 рассматривается задача (6), (7) в предположении, что оператор M сильно (L, p)-секториален. Здесь приводятся необходимые условия существования квазистационарных полутраекторий и достаточные условия существования единственного решения задачи (6), (7), являющегося квазистационарной полутраекторией. Понятие квазистационарной полутраектории обобщает на эволюционный случай понятие квазистационарной траектории, которое вводилось в п.1.1.

Во второй главе изучаются различные динамические модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка. Во всех этих моделях оператор M является (L, p)-ограниченным, причем любой вектор ker L \ {0} имеет точно один M-присоединенный вектор.

В п. 2.1 исследуется задача (1), (2). С этой целью редуцируем задачу (1), (2) к задаче (6), (7). Для этого положим U = K Ul, F = K Fl, где l=0 l= U0 = H2 H2 Hp, F0 = H H Hp ; Ui = H2 H1= H2 H2, Fi = L2 = H H, i = 1, K. Здесь H2 подпространство соленоидальных 2 векторов пространства H2 H1, H2 = (W2 ())n, H1= (W2 ())n; H ортогональное ( в смысле L2() = (L2())n) дополнение к H2 ; H и H замыкания подпространств H2 и H2 в норме L2 соответственно; Hp = H.

Обозначим через : L2() H ортопроектор вдоль H. Тогда L(H2 H1), причем im = H2, ker = H2.

Операторы L, M : U F определим формулами L L =, 0 EK A 0 где L =, = I - , A = 1 - 2 ;

0 A 0 0 M(u) = M1u + M2(u), M11 M где M1 =, M11 =, M12 = -I M21 MC C 1... K , M21 содержит K строк вида ( I, I, 0 ), M22 = 1... K 0... diag [1,..., K], M2 = (B(u + u) + f, B(u + u) + f, 0,..., 0)T.

Здесь B(u + u) = -((u + u) · )(u + u), C(u + u) = ( · (u + u)).

Теорема 1. Пусть f L2, а u0 B. Тогда для некоторого t0 = t0(u0) существует единственное решение задачи (1), (2), являющееся квазистационарной траекторией, u = (u, 0, p, w1,..., wK) класса C((-t0, t0); U) и такое, что u B для всех t (-t0; t0).

Здесь B = {u : A-1A-1(B(u) + f) + f = up}– фазовое пространство рассматриваемой задачи.

В п. 2.2 рассматривается первая начально–краевая задача для обобщенной системы уравнений r nm- (1 - 2)vt = 2v - (v · )v+ Am,s2wm,s - p + f, 0 = · v, m=1 s= wm,= v + mwm,0, m = 1, r, t wm,s = swm,s-1 + mwm,s, s = 1, nm - 1, m , Am,s , R- + R t моделирующей динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина Фойгта ненулевого порядка.

В п. 2.3 впервые рассматривается задача Тейлора для системы уравнений п. 2.1. Задача Тейлора для системы (1) моделирует ситуацию, когда вязкоупругая несжимаемая жидкость Кельвина-Фойгта занимает пространство между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами бесконечной длины. Область , n = 2, 3, 4 (с кусочно-гладкой границей) выбирается Rn так, чтобы на ее границе 1 (лежащей, например, при n = 3 на двух плоскостях и , перпендикулярных оси цилиндров) выполнялось условие периодичности (т.е. v(x, t)| = v(x, t)|, wl(x, t)| = wl(x, t)|, l = 1, K, ( ) = 1, t ). Выбирается некоторое стационарное решение R = (x), wl = wl(x) системы (1), удовлетворяющее на 1 условию периодич ности, а на 2 = \ 1 неоднородным условиям Дирихле, и исследуется динамика отклонения v = v(x, t), wl = wl(x, t) от этого стационарного решения, вызванного начальным условием. Поэтому система (1) приобретает вид K (1 - 2)vt = 2v - (v · ) - ( · ) v - (v · )v+ l2wl - p, l= wl 0 = · v, = v + lwl, l , l = 1, K.

Rt Для полученной системы рассмотрим задачу Тейлора (3). Редукция к задаче (6), (7) проводится аналогично, как для задачи п. 2.1. Доказывается теорема о существовании единственного решения этой задачи, являющегося квазистационарной траекторией. Описывается фазовое пространство модели.

В третьей главе исследуются эволюционные модели вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина Фойгта ненулевого порядка.

В п. 3.1 изучается начально–краевая задача (5) для системы ненулевого порядка (4). Доказывается теорема существования единственного решения указанной задачи.

Теорема 2. Пусть -1 (A) (A). Тогда при любом u0 таком, что u0 A и некотором T существует единственное решение u R + C( (0, T ); UM ) задачи (3), (13), являющееся квазистационарной полутраекторией, причем u(t) A.

k Здесь A = {u : u UM,, u = 0, up = (Au(u·)u+ l2wl-gqu+f)} l=– фазовое пространство рассматриваемой задачи.

В п. 3.2 впервые исследуется обобщенная задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости. Дано полное описание фазового пространства указанной прикладной задачи и доказывается теорема о существовании единственного решения этой задачи, являющегося квазистационарной полутраекторией. В задачах п. 3.1 и п. 3.2 оператор M является сильно (L, 1)-секториальным.

П. 3.3 содержит описание программного продукта, разработанного в вычислительной среде Maple, который иллюстрирует нахождение численного решения начально-краевой задачи для модифицированной системы уравнений (4) и строит графическое изображение этого решения при различных значениях параметров.

Рис. 1: Численное решение системы (4).

Основные выводы. На основе метода фазового пространства в данной работе проведено качественное исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей Кельвина–Фойгта ненулевого порядка.

В диссертации получены следующие основные результаты:

– изучена модель динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина–Фойгта ненулевого порядка, получено описание фазового пространства задачи;

– изучена обобщенная модель динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина–Фойгта ненулевого порядка и приведено описание фазового пространства этой задачи;

– исследована разрешимость задачи Тейлора для модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина–Фойгта ненулевого порядка, описано ее фазовое пространство;

– изучена модель термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости ненулевого порядка и ее фазовое пространство;

– описано фазовое пространство для обобщенной модели термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина–Фойгта ненулевого порядка;

– во всех моделях доказаны теоремы, дающие достаточные условия существования единственного решения соответствующих задач, являющиеся квазистационарными (полу)траекториями;

– разработан алгоритм численного решения начально-краевой задачи для системы, моделирующей плоскопараллельную термоконвекцию несжимаемой жидкости ненулевого порядка, и реализована программа для персональных компьютеров нахождения численного решения указанной задачи.

Публикации автора по теме диссертации Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК:

[1] Сукачева, Т.Г. Задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка /Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Изв. вузов. Математика.– 2001.– №11(474).– С.46–53.

[2] Матвеева, О.П. Квазистационарные траектории задачи Тейлора для модели несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка /О.П. Матвеева //Вестн. ЮУрГУ. Сер.: Мат. моделирование и программирование.– 2010.– выпуск 5,–№16(192).– С.39–47.

[3] Сукачева, Т.Г. Об однородной модели термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка /Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Вестн. СамГТУ. Сер.: Физ.–мат. наук

и. – 2010. – №5(21) – С. 33–41.

[4] Матвеева, О.П. Фазовое простраство обобщенной однородной модели термоконвекции / О.П. Матвеева, Т.Г. Сукачева // Вестн. ЮУрГу. Сер.: Мат.

моделирование и программирование. – 2011. – выпуск 8, – №17(234). – С. 62-69.

Другие научные публикации:

[5] Сукачева, Т.Г. Об одной нестационарной задаче динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта первого порядка / Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Деп. ВИНИТИ 17.04.96. №1262-В96. –Новгород.–16с.

[6] Матвеева, О.П. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта первого порядка /О.П. Матвеева // Матем. моделирование и краевые задачи.: труды VI межвуз. конференции. 29-31 мая 1996 г.– Ч.2. –Самара, 1996.– С.65–66.

[7] Сукачева, Т.Г. Квазистационарные полутраектории в нестационарной модели термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости /Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева// Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетия: тезисы докладов.– Челябинск.– 1997.– С.27.

[8] Сукачева, Т.Г. Квазистационарные полутраектории в нестационарной задаче термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости высокого порядка / Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева// Неклассические уравнения математической физики: Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), посвященный памяти С.Л.Соболева (Новосибирск, 22-27 июня 1998г.)- Новосибирск: Изд-во Инта математики,– 1998.– С.96–105.

[9] Сукачева, Т.Г. Теория неавтономных уравнений соболевского типа и ее приложения /Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-12.: сборник трудов международной конференции. –1999. –Великий Новгород.–Т.1.– С. 64.

[10] Матвеева, О.П. Нестационарная задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости / О.П. Матвеева // Математика в вузе. Современные интеллектуальные технологии.: материалы научно-методической конференции.– Великий Новгород.– 2000.– С.152.

[11] Матвеева, О.П. Об одной модели динамики жидкости Кельвина-Фойгта /О.П. Матвеева // Дифференциальные и интегральные уравнения. Матем. модели.: тезисы докладов междун. конференции 4-8 февраля 2002.– Челябинск. –2002.– С.68.

[12] Сукачева, Т.Г. Квазистационарные полутраектории одного класса полулинейных уравнений соболевского типа /Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Уравнения соболевского типа.: сборник научных работ.– Челябинск.– 2002.– С.116–137.

[13] Сукачева, Т.Г. О некоторых моделях движения вязкоупругих несжимаемых жидкостей /Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева// Математика в вузе.: материалы международной научно-методической конференции. – Петрозаводск.– июнь 2003. – Санкт-Петербург.– 2003.– С.186–187.

[14] Матвеева, О.П. Задача Тейлора для модели несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка /О.П. Матвеева, Т.Г. Сукачева // Обозрение прикладной и промышленной математики.–М., 2010.–Т.17, вып.3.– С.445.

[15] Матвеева, О.П. О задаче Тейлора для модели движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта /О.П. Матвеева, Т.Г. Сукачева //Математика в вузе.: труды XXII международной научно-методической конференции.– Петрозаводск. 29 июня-02 июля.– 2010.– С.126–128.

[16] Матвеева, О.П. Задача Тейлора для обобщенной модели вязкоупругой несжимаемой ненулевого порядка /О.П. Матвеева, Т.Г. Сукачева // Физика и технические приложения волновых систем.: материалы IX международной конференции. 13–17 сентября.–Челябинск: Изд-во ЧелГУ. – 2010.–С.193–194.

[17] Сукачева, Т.Г. Квазистационарные полутраектории в однородной модели термоконвекции ненулевого порядка /Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Обозрение прикладной и промышленной математики.–М., 2011.–Т.18, вып.3.–Ч.2.–С.332–333.

[18] Матвеева, О.П. Обобщенная однородная модель термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости / О.П. Матвеева, Т.Г. Сукачева // Математика в вузе.: труды XXIII международной научно-методической конференции.– Петрозаводск. 29 июня-03 июля.– 2011.– С.147–148.

МАТВЕЕВА Ольга Павловна Исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка Подписано к печати 16.02.2012. Формат 6084/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная.

Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л.1.

Тираж 100 экз. Заказ № 41.

Отпечатано в ЗАО «Новгородский технопарк».

173003, Великий Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41.

Тел. (816 2) 73-76-76.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.