WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

Джасим Махмуд Дия

Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений и оптимизация ветвей бифурцирующих циклов

01.01.02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

В О Р О Н Е Ж 2012

Работа выполнена в Дагестанском государственном университете

Научный консультант:

кандидат физико-математических наук, доцент Эфендиев Ахмад Рамазанович, Дагестанский государственный университет доцент кафедры теории функций и фунционального анализа

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Каменский Михаил Игоревич, Воронежский государственный университет зав. кафедрой функционального анализа и операторных уравнений доктор физико-математических наук, профессор Семенов Михаил Евгеньевич, Военный авиационный инженерный университет профессор кафедры теоретической гидрометеорологии

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов

Защита состоится 22 мая 2012 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл. 1,ауд.335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.22 Гликлих Ю.Е.

Актуальность темы. Общеизвестно, сколь важны исследования, связанные с выяснением условий существования стационарных и периодических решений дифференциальных уравнений, изучением их свойств и поиском их точных или приближенных изображений (аналитических, графических и т.д.). Постоянный интерес представляют новые результаты по вопросам бифуркации циклов из сложного фокуса, обобщающие классические результаты А. Пуанкаре, А.М. Ляпунова, Дж. Биркгофа, А.А. Андронова и Э. Хопфа и др.

К необходимости многомодового бифуркационного анализа нелинейных колебаний приводит ряд задач классической динамики, климатотологии, теории фазовых переходов в кристаллах, теории нелинейных волн и др. разделов современного естествознания.

В связи с появлением в настоящее время мощных скоростных компьютеров и эффективных программно–вычислительных комплексов появились и новые возможности в анализе ветвлений нелинейных периодических колебаний. Для реализации этих возможностей необходимо развитие аналитической и алгоритмической базы бифуркационного анализа.

Несмотря на значительные достижения в теории бифуркаций решений дифференциальных уравнений, многие актуальные задачи теории колебаний остаются недостаточно исследованными. В частности, недостаточно изучен случай параметрического возмущения динамической системы, рассмотренной вблизи вырожденного состояния покоя при наличии сильных резонансов. Практически отсутствуют алгоритмы приближенного построения и качественного анализа оптимальных периодических колебаний, бифурцирующих из сложной точки покоя динамической системы (с многомодовым вырождением).

Представленные в диссертации численно-аналитические схемы исследования стационарных точек и многомодовых бифуркаций циклов основаны на методах качественного анализа динамических систем, развитого в трудах В.В.Немыцкого, Н.Н. Красовского, А.А. Шестакова, Н.А. Бобылева, М.А. Красносельского, Э.М. Мухамадиева, Ю.И. Сапронова и др. В частности, результаты по бифуркациям и оптимизации циклов получены посредством конечномерных усечений динамических системы (методами функционального анализа) и сведения анализа амплитуднофазовых показателей циклов к поиску и анализу ветвящихся решений системы полиномиальных уравнений на конечномерном пространстве.

Цель данной работы описание поведения решений систем дифференциальных уравнений с однородными правыми частями и близких к ним, изучение особых точек динамических систем и областей их влияния, построение первых интегралов и описание условий устойчивости точек покоя, разработка алгоритмической основы для изучения и вычисления многомодовых циклов, создание теоретической основы для амплитудной оптимизации ветвей бифурцирующих циклов.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем ниже списке.

1. Новые условия существования, изолированности и асимптотической устойчивости точки покоя динамической системы.

2. Описание условий обобщенной однородности дифференциальных уравнений, условий существования нескольких независимых первых интегралов динамической системы и их построение.

3. Описание алгебраического строения главной части ключевого отображения в задаче о многомодовой бифуркации циклов, построение асимптотической формулы представления ветвей бифурцирующих циклов.

4. Описание условий оптимальности полигармонического колебательного импульса по коэффициенту несимметрии, доказательство существования и единственности оптимального полигармонического многочлена.

Методы исследования. В работе использованы качественные методы анализа особых точек и циклов динамических систем, развитые в трудах Пуанкаре, Ляпунова, Немыцкого, Красовского и др. При иучении многомодовых бифуркаций циклов использованы методы функционального анализа и, в частности, модификации метода Ляпунова - Шмидта (в пределах теории фредгольмовых уравнений). В задаче об амплитудной оптимизации циклов использованы методы математического программирования.

Теоретическая и практическая ценность. Данная работа в целом носит теоретический характер. Представленные в ней результаты могут быть использованы при изучении конкретных динамических систем.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на 5ой международной конференции по ФДУ и их приложениям (Махачкала, 2011 г.), в Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 20г.), на семинаре Теория бифуркаций проф. Ю.И. Сапронова в НИИМ ВГУ.

Публикации работы. Результаты диссертации опубликованы в 6 работах. Из опубликованных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору. Работы [1], [2] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на разделы (параграфы), и списка литературы из 45 наименований. Общий объем диссертации 104 страницы.

Содержание диссертации.

Введение содержит краткое описание основных результатов диссертации и близкие результаты других авторов.

В первой главе изложены основы анализа асимптотического поведения траекторий динамических систем, описано поведение решений системы дифференциальных уравнений с однородными правыми частями и близкими к ним. Исследование проведено методами Шестакова А.А. и функции Ляпунова-Красовского. Приведены определения особых точек, интегральных прямых и критических направлений входа траекторий системы в особую точку, приведены известные утверждения о существовании критического направления. Доказана общая теорема об асимптотической устойчивости точки покоя с использованием редукции к системе Пуанкаре-Ляпунова n dys = -ys + (1 - p) Fsj () yj + (|y|), s = 1, n, d j=из которой в качестве следствий выведены новые условия асимптотической устойчивости точки покоя.

Теорема 2. Если существуют числа bs > 0, s = 1, n, такие, что собственные значения матрицы (bsasj + bjajs) отрицательны и n bss = 0, то тривиальное решение xs (t) 0, s = 1, n, исходной s=системы асимптотически устойчиво.

При доказательстве использована функция Ляпунова n V (y1,..., yn) = bsys.

s=Следствие 1. Если исходная система треугольная и (1 - p) Fss ()1 > 0, то тривиальное решение системы Пуанкаре-Ляпунова асимптотически устойчиво.

Следствие 2. Если n = 3 и система имеет вид dy= -y1 - ry2, dt dy= ry1 - y2 - y1y3, dt dy= -by3 + y1y2, dt т.е. является системой типа Лоренца, то тривиальное решение данной системы устойчиво, если > 0, b > 0, r > 0.

Для доказательства следствия 2 достаточно в взять b1 = b2 = b3 = 1.

При этом будем иметь dV 2 2 = -y1 - y2 - by3.

dt Например, если - b = 1, то 1 dV 2 2 2 2 2 V = y1 + y2 + y3, = - y1 + y2 + y3 0.

2 dt dyВ случае, когда первая строка вида = -(y1-y2), Лоренц показал, dt что при = 10, b = 8/3 и числе Рэлея r > 24.44 решения системы ведут себя хаотически, т.е. все решения не устойчивы. Известно (Эфендиев А.Р., Балитинов М.А. Об асимптотической устойчивости в целом одной нелинейной системы. Диф. уравнения, т.44, 1968), что указанное поведение возникает уже при r > r0 13.92.

В этой же главе описаны области влияния (по В.В. Немыцкому) особой точки нелинейной системы дифференциальных уравнений специального вида (шар Tn с центром в начале координат называется сферической областью влияния особой точки, если в нем не содержится целиком ни одна траектория системы дифференциальных уравнений, исключая особую точку, в то время как в шаре большего диаметра содержится целиком хотя бы одна подобная траектория). В диссертации введено также понятие условной области влияния особой точки: шар Tn-l с центром в начале координат, где 0 < l < n, принадлежащий подпространству En-l пространства En, называется условной областью влияния особой точки, если в нем не содержится целиком ни одна траектория системы дифференциальных уравнений, исключая особую точку, в то время как в шаре большего диаметра в En-l содержится целиком хотя бы одна подобная траектория, а траектории в шаре Tn произвольны.

Использовано достаточное условие Н.Н. Красовского о существовании знакоопределенной функции, посредством которой определяется окрестность начала координат, не содержащая (целиком) траекторию системы, отличную от нуля. Доказан ряд утверждений (Теоремы 3 - 8 и следствия) о существовании и поведении интегральных кривых.

Установлен критерий обобщенной однородности порядка p (в терминах соотношения, являющегося обобщением формулы Эйлера для однородных функций). Вещественная вектор-функция F (x), определенная и непрерывная в области D Rn, называется обобщенно-однородной порядка p класса матрицы A(c, x), если она удовлетворяет соотношению F (z) = cpI(z, x)F (x), где z = A(c, x)x непрерывно дифференцируема по x D и по параметру c (a; b), I(z, x) матрица Якоби.

В доказательствах использовано известное топологическое утверждение о том, что каждое векторное поле непрерывное и отличное от нуля во всех точках сферы Sn-1 четной размерности, имеет, по крайней мере, один вектор, нормальный к этой сфере, и некоторые обобщения этого утверждения.

Рассмотрены также системы, близкие к обобщенно-однородным, для которых доказаны утверждения о существовании первых интегралов. В частности, найдены условия существование n независимых первых интегралов, причем (n - 1)-штук из них вычислены в явном виде. Найдены условия существования явных независимых первых интегралов системы.

Доказано предложение об асимптотической устойчивости (неустойчивости) тривиального решения (Теоремы 9 - 11 и следствия).

Во второй главе рассмотрена задача амплитудной оптимизации бифурцирующих циклов при наличии кратных резонансов. Задачи такого типа появляются в радиофизике при исследовании автоколебаний в RCгенераторах, в реальных моделях экономики, популяционной динамики, химической кинетики и в др. разделах современного естествознания.

Материал главы развивает и дополняет более ранние результаты исследований Б.М. Даринского, Е.В. Ладыкиной, А.П. Карповой, Д.В. Костина, Ю.И. Сапронова и В.А. Смольянова. Методологической основой представленных результатов является теория гладких SO(2)-эквивариантных фредгольмовых уравнений в банаховых пространствах, центральным звеном которой является модифицированный метод Ляпунова– Шмидта, оснащенный элементами теории особенностей гладких отображений.

Изложен алгоритм вычисления бифуркаций циклов и их амплитудной оптимизации (по главным гармоникам).

Доказано (Теоремы 12, 13), что в случае произвольного сильного двойного резонанса главная часть ключевого уравнения, соответствующего исходному уравнению, заменами переменных и параметров приводится к системе уравнений следующего вида:

2 2 1r1 + 11r1r2 + 12r2r3 + 13r1r3 + 14r2r3 + 15r1r2r3 + r1 b1jrj = j=2 3 = 2r2 + 21r1 + 22r1r3 + 23r2r3 + 24r1r2r3 + 25r1 + 26r1r3+ 2 2 +27r2r3 + r2 b2jrj = 3r3 + 31r1r2 + 32r2+ j=3 2 2 3 +33r1 + 34r1r2 + +35r2r3 + 36r2 + r3 b3jrj = 0.

j=На основе этой теоремы можно приближенно вычислять асимптотики амплитуд бифурцирующих циклов в случае произвольного двойного сильного резонанса и отыскивать значения оптимальных посткритических параметров.

Простейшей моделью полигармонического колебательного импульса является тригонометрический полином n f(t, ) = k cos(kt), t [-, ], = (1, ·, n).

k=Коэффициентом несимметрии этого полинома называется число fmax k :=.

|fmin| fmax := max f(t, ), fmin := min f(t, ).

t t Достижение коэффициентом несимметрии максимального значения (при вариациях ) обеспечивается решением следующей задачи математического программирования:

n inf f(t, ) - sup, t [0, ], k = c (= const > 0).

t k=Решение этой задачи удобно провести, перейдя к алгебраическому полиному n V (x, µ) = µk xk, x [-1, 1], µ = (µ0, µ1,..., µn), k=который получен заменой косинусов на соответствующие многочлены Чебышева (первого рода). В случае n = 2m + 1 имеем cos(t) = x, cos(2t) = 2x2 - 1, cos(3t) = 4x3 - 3x, ......

cos(nt) = n,qx2q+1, q=0,..., m где 2m+1 k n,q = (-1)m+q C2k Cr, k, r; k-r=m-q p! Clp = биномиальный коэффициент.

l!(p-l)! Формула для коэффициентов n,q легко выводится из широко известного разложения cos(nt) = Re (cos(t) + i sin t)n.

При n = 2m последняя строка в серии аналогичных формул имеет следующий вид cos(nt) = n,qx2q q=0,..., m 2m k n,q = (-1)m+q k, r; k-r=m-q C2k Cr.

n n Из условия k = c следует V (1, µ) = µk = c.

k=1 k=Пусть n = 2m + 1 и -1 < b1 < a1 < b2 < a2 <... < bm < am критические (экстремальные) точки функции V (x, µ):

dV (bk, µ) dV (ak, µ) = = 0, k = 1, 2,..., m.

dx dx Очевидно, что при этом b1, b2,..., bm, 1 точки локальных максимумов, а -1, a1, a2,..., am точки локальных минимумов.

Если µ = µ решение рассмотренной экстремальной задачи, то для него с необходимостью выполняется условие Максвелла V (-1, µ) = V (a1, µ) = V (a2, µ) =... = V (am, µ).

Многочлен степени n = 2m+1, для которого выполнено указанное выше условие, называется M-многочленом. Общее значение в указанных значениях V обозначается M и называется константой Максвелла. Множество всех M-многочленов называется минимальным стратом Максвелла в пространстве многочленов степени n.

Положим n N (x, ) = (x + 1)(x + a1)2... (x + am)2 = k xk.

k=Теорема 14. Каждый оптимальный многочлен V (x, µ) является M-многочленом и для него имеет место следующее представление:

V (x, µ) = C (N (x, ) - D ).

Константы C, D при этом определяются следующими двумя условиями V (x, µ) V (1, µ) = c, dx = 0.

1 - x-В диссертации приведены вычислительные формулы, показывающие существование и единственность оптимального многочлена.

Наиболее подробно рассмотрен практически важный случай n = 7.

Отыскание экстремумов для коэффицента несимметрии Vmax 2(1 - x2)2(1 - x4)2(1 - x6)2 + D(x2, x4, x6) k := = |Vmin| |D(x2, x4, x6)| в этом случае сводится к отысканию экстремумов функции (1 - x2)2(1 - x4)2(1 - x6)W :=.

D(x2, x4, x6) Рассмотрев многочлен N (x, ) = (x + 1)(x - x2)2(x - x4)2(x - x6)2 + D = k xk, k=учитывая, что (x - x2)2(x - x4)2(x - x6)2 = -3 + 2x - 1x2 + x3 = 2 2 = 3 -223x+(2 +213)x2 -2(3 +12)x3 +(1 +22)x4 -21x5 +x6, где 1 = x2 + x4 + x6, 2 = x2x4 + x2x6 + x4x6, 3 = x2x4x(элементарные симметричные многочлены), получим для коэффициентов искомого многочлена выражения (через = (1, 2, 3) ) 2 2 0 = 3 + D, 1 = -223 + 3, 2 = 213 - 223 + 2, 2 3 = 2 - 212 + 213 - 23, 4 = 22 - 23 + 1 - 212, 5 = -21 + 22 + 1, 6 = 1 - 21, 7 = 1.

P () Несложные преобразования приводят к представлению W =, Q() 2 2 P () = 1 - 1 + 2 - 3, Q() = 3/81 + 1/22 + 3-3/412 + 13 - 23 - 5/81 + 3/42 - 3/43 + 5/16.

Экстремальные значения коэффициентов многочлена N определяются уравнениями W = 0, k = 1, 2, 3.

k На рисунке изображен график оптимального импульса в случае c = и соответствующего этому случаю (единственного) экстремального набора значений коэффициентов M-многочлена 1 6 5 4 3 2 = · 1,,,,,,.

4 7 7 7 7 7 Минимальное значение M импульсной функции при этом равно 3 2 1 (2 (2 + 4 + 6) - 1) = + + - 1 = -.

7 7 7 Коэффициент несимметрии равен 7.

1,0,0,0,0,K3 K2 K1 1 2 x Рис. Публикации автора по теме диссертации [1] Джасим М.Д. Амплитудная оптимизация циклов, бифурцирующих при наличии кратных резонансов/ М.Д. Джасим, А.П. Карпова, Д.В.

Костин, А.Р. Эфендиев// Вестник ДГУ. – 2012. – Вып. 1. – С. 99-105.

[2] Джасим М.Д. Исследование нелинейной системы дифференциальных уравнений/ М.Д. Джасим, А.Р. Эфендиев// Вестник ДГУ. – 2012. – Вып. 1. – С. 72-74.

[3] Джасим М.Д. Об области влияния особой точки нелинейной системы дифференциальных уравнений специального вида/ М.Д. Джасим, А.Р. Эфендиев// Вестник ДГУ. – 2010. – Вып. 6. – С. 55-63.

[4] Джасим М.Д. О первых интегралах нелинейной системы дифференциальных уравнений/ М.Д. Джасим, А.Р. Эфендиев// Материалы 5 Международной конференции ФДУ и их приложения. Махачкала:

ДГУ. – 2011. – С. 96-102.

[5] Джасим М.Д. Об одной задаче П.К. Суетина в математической теории антенн/ М.Д. Джасим, Д.В. Костин// Материалы Международной конференции ВЗМШ им. С.Г. Крейна, 25января – 2 февраля 2012 г. – Воронеж: ВГУ. – 2012. – С.112-115.

[6] Джасим М.Д. Оптимизация циклов, бифурцирующих при наличии кратных резонансов/ М.Д. Джасим, А.П. Карпова, Д.В. Костин, А.Р.

Эфендиев// Препринт № 43 НИИМ ВГУ. – Воронеж: ВГУ. – 2012. – 23 с.

Работы [1], [2] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по разным специальностям





© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.