WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Фозилова Давлатбахт Миралибековна

Асимптотическая формула в кубической задаче Эстермана с почти равными слагаемыми

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе – 2012

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан

Научный консультант: доктор физико–математических наук, член-корреспондент АН РТ Рахмонов Зарулло Хусенович

Официальные оппоненты: Чубариков Владимир Николаевич доктор физико-математических наук, профессор, Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, декан механико-математического факультета Табаров Абдулло Хабибуллоевич доктор физико–математических наук, Таджикский национальный университет, заведующий кафедрой высшей математики

Ведущая организация: Таджикский педагогический университет им. С.Айни

Защита состоится 28 марта 2012 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан (734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/4).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики АН РТ.

Автореферат разослан 27 февраля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Каримов У.Х.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена задачам аналитической теории чисел. Основным предметом исследования является изучение поведения коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля и вывод асимптотической формулы в тернарной задаче Эстермана о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых и куба натурального числа при условии, что они почти равны.

Впервые тригонометрические суммы стал рассматривать К.Ф.Гаусс. В частности, он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства, носящей его имя “суммы Гаусса”:

q amS (a, q) = e, (a, q) = 1.

q m=Он показал пользу тригонометрических сумм, как средства решения задач теории чисел. В частности, используя свойства суммы Гаусса, он построил одно из своих доказательств закона взаимности квадратичных вычетов.

В дальнейшем тригонометрические суммы стали мощным средством решения ряда важных вопросов теории чисел. При этом основной в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, то есть возможно более точной верхней границы их модуля.

Сумма Гаусса является частным случаем более общей рациональной полной тригонометрической суммы:

q f(m) S (f, q) = e, q m=где f = f(t) = antn +... + a1t – многочлен степени n > 1 с условием (an,..., a1, q) = 1. Наилучшую оценку суммы в общем случае дал Хуа Ло-ген1, 2. Он установил неравенство n |S (f, q) | c(n)q1-, где c(n) – абсолютная постоянная зависящая только от степени n многочлена f(t). Это неравенство замечательно тем, что при постоянном n в Hua L.K. Abschddotatzungen von Exponentialssumen und ihre Anwendung in der Zahlentheorie, Enzuyklopadie der mathemathischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, Bahd I, Teil 2, Heft 13, Teil 2, Teudner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1959.

Хуа Ло-ген Метод тригонометрических сумм и его применения в теории в теории чисел. – М.:

Мир, 1964, –190с.

смысле порядка роста правой части с возрастанием q оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим.

Хуа-Ло-ген3 для многочленов с целыми коэффициентами вида f(t) = atn + bt, (a, q) = 1 также доказал, что q amn + bm Sb(a, q) = e q1/2+(b, q) (1) q m=Рациональная тригонометрическая сумма входит как частный случай в еще более общий класс сумм вида T (n,..., 1, N) = e(f(m)), 0

Г. Вейль4 построил метод, с помощью которого, впервые получил нетривиальную оценку тригонометрических сумм T (k, k-1,..., 1, N), которые в его честь И.М.Виноградов назвал суммами Вейля. Основная идея метода Вейля состоит в сведении суммы T (k, k-1,..., 1, N) степени k к оценке суммы степени k -1 и в конечном счете к использованию оценки линейной тригонометрической суммы. Из оценки Г.Вейля следует закон распределения дробных частей многочлена f(t) в отрезке [a, b] [0, 1), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1.

И.М. Виноградов5, 6, 7, 8 создал новый метод оценок тригонометрических сумм, несравненно более точный, чем метод Г. Вейля. Этим новым методом И. М. Виноградов получил принципиально более сильные результаты в проблеме распределения дробных долей многочленов, в проблеме Варинга, в проблеме приближения вещественного числа дробной долей целого многочлена и др. В то же самое время этот метод с успехом был применен в теории дзета-функции Римана (Н. Г. Чудаковым9 ), в проблеме Гильберта – Камке (К. К. Марджанишвили10 ), в разнообразных смешанных аддитивных проблемах.

Hua L.K. On exponential sums, J. Chinese Math. Soc. 20 (1940), 301-312.

Weyl H. ber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Math. Ann, 1916, 77, s.313–352.

Виноградов И.М. Новый метод в аналитической теории чисел //Труды МИАН, 1937, Т.10, с.5-122.

Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. – М.: Наука, 1980, –с.144.

Виноградов И.М. Избранные труды. – М.: Изд-во АН СССР, 1952.

Виноградов И.М. Особые варианты методов тригонометрических сумм. –М.: Наука, 1976.

Чудаков Н.Г. О функциях (s) и (x) // Докл. АН СССР, 1938, т.21, с. 425-426.

Марджанишвили К.К. Об одновременном представлении n чисел суммами полных первых, вторых,..., n – х степеней // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1937, т.1, с. 609 - 631.

Метод тригонометрических сумм И.М. Виноградова опирается на оценку величин типа |T (n,..., 1, N)|2k. Позже И.М.Виноградов заменил сложную оценку сумм степеней |T (n,..., 1, N)|2k более простой оценкой интеграла 1 J(N; n, k) =... |T (n,..., 1, N)|2kd1... dn, 0 то есть оценкой этой суммы “в среднем” по всем 1,... n и поэтому теорема об оценке J(N; n, k) носит название теоремы И.М.Виноградова о среднем значении. В дальнейшем И.М.Виноградов неоднократно улучшал и уточнял эту теорему. О значении его работ и их приложения следует судить не только по проблеме Варинга. Его результаты нашли применение в проблеме распределения простых чисел, в теориях дзета функции Римана, L – функции Дирихле, равномерного распределения, диофантовых приближений, в проблеме о целых точках в многомерном эллипсоиде и.т.д. И.М.Виноградов получил асимптотически точную оценку величины J(N; n, k) вида n(n+1) J(N; n, k) N2kОтметим, что оценками тригонометрических сумм по методу И.М. Виноградова занимался также Хуа Ло-ген1, 2, 3. В частности, он в явной форме выделил оценку среднего значения тригонометрической суммы из общего метода оценки индивидуальных тригонометрических сумм. В 1942 году Ю.В.Линником11 было найдено доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа p. Другое p-адическое доказательство, то есть использующее свойства сравнений по модулю простого числа p, теоремы о среднем значении было получено А.А.Карацубой на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века нового p–адического метода12. В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теоремы о среднем значении, но и получить новые существенные результаты, в частности, вывести нетривиальные оценки величины J(N; n, k) при малых значениях k (см. работы Линник Ю В. Оценки сумм Вейля // ДАН СССР, 1942, Т.34, №7, c. 201-203.

Карацуба А.А. Проблема Варинга для сравнения по модулю, равному степени простого числа // Вестник МГУ, 1962, Сер.1, №1, с.28-38.

А.А. Карацубы,13 С.Б.Стечкина,14 Г.И. Архипова,15 Г.И.Архипова и В.Н.

Чубарикова,16, 17 Г.И.Архипова и А. А. Карацубы,18 Г.И.Архипова, А. А.

Карацубы и В.Н. Чубарикова19, Н.М.Коробова20 В.З. Соколинского21, О.В. Тыриной22).

И.М.Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм3. Данная задача была решена Г.И.Архиповым в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В 1975г. Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков16, 17 дали обобщение результатов Г.И.Архипова15 на кратный случай.

В 1976г. В.Н.Чубариков23, 24, 25 получил оценки кратных тригонометрических интегралов и кратных полных рациональных тригонометрических сумм.

В течение 80-х годов прошлого столетия Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубариков19 продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена).

Карацуба А.А. Средние значения модуля тригонометрической суммы // Изв. АН СССР, Сер.матем., 1973, Т.36, №6, с.1203-1227.

Стечкин С.Б.О средних значениях модуля тригонометрический суммы // Труды МИАН им.

В.А.Стеклова АН СССР, 1975, Т.134, с.283-309.

Архипов Г.И. О среднем значении сумм Г. Вейля // Мат. заметки, 1978, Т.23, №6, с.785-788.

Архипов Г. И., Чубариков В.Н. О кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1975, Т. 222, №5, с.1017-1019.

Архипов Г. И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы // Изв.АН СССР.Сер.мат., 1976, Т.40, с.209-220.

Архипов Г.И., Карацуба А.А. Новая оценка интеграла И.М. Виноградова // Изв. АН СССР, Сер.матем., 1978, Т.42, №4, с.751-762.

Архипов Г. И.,Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1980, Т. 252, №6, с. 1289-1291.

Коробов Н.М.О тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1979, Т. 245, №1, с. 14-17.

Соколинский В.З. О теореме о среднем при малом числе переменных // Изв. ВГПИ, 1979, Т.201, с.45-55.

Тырина О. В. Новая оценка тригонометрического интеграла И. М. Виноградова // Изв. АН СССР, 1987, 51,№2, с.363-378.

Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат.заметки, 1976, Т.20, №1, с.61-Чубариков В.Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле //ДАН СССР, 1976, Т.227, с.1308-1310.

Чубариков В.Н. Асимптотическая формула среднего значения кратной тригонометрической суммы // Мат. заметки, 1978, Т.23, №6, с.799-816.

В 1987 г. результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии “Теория кратных тригонометрических сумм”26.

В.Н.Чубариков создал теорию кратных тригонометрических сумм с простыми числами, являющуюся дальнейшим развитием метода оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова и решил проблему Гильберта – Камке в простых числах. В.Н.Чубариков указал арифметические условия, позволяющие свести эту проблему к исследованию разрешимости в p – адических числах при всех p < 2n некоторой системы уравнений варинговского типа. Использование подобных арифметических условий разрешимости позволили ему полностью решить и проблему Гольдбаха – Варинга.

Основным аппаратом при решении аддитивных задач с почти равными слагаемыми являются, тригонометрические суммы переменное суммирования которых, принимает значение из коротких интервалов. И.М. Виноградов первым начал изучать подобные тригонометрические суммы. Он впервые для линейной тригонометрической суммы с простыми числами, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов, то есть сумм вида:

a S(; x, y) = (n)e(n), = + , || , 1 q , q q x-y x2/3+.

Затем Haselgrove C.B.27, В. Статулявычус28, Jia Chaohua29, Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо30, Zhan Tao31, З.Х.Рахмонов32 получили нетривиальную Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм.

–М.: Наука, 1987, –368с.

Haselgrove C.B. Some theorems in the analitic theory of number // J.London Math.Soc.,(1951),273-277.

Статулявичус В. О представлении нечетных чисел суммою трех почти равных простых чисел // Вильнюс, Ученые труды университета. сер. мат., физ. и хим. н., 3 (1955), 5–23.

Jia Chaohua, Three primes theorem in a short interval (VII) // Acta Math. Sin., New Series, 10(1994), 369-387.

Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao. On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III) // Chinese Ann. of Math., 2(1990), 138-147.

Zhan Tao, On the mean square of Dirichlet L – functions // Acta Math Sinica, 8(1992), No 2, pp.204–224.

Рахмонов З.Х. Средние значения функции Чебышева в коротких интервалах // Труды междуоценку суммы S(, x, y), y x, q произвольное, и доказали асимптотическую формулу для тернарной проблемы Гольдбаха с почти равными слагаемыми, то есть для числа решений диофантова уравнения N = p1 + p2 + p3, с условиями N pi - H; i = 1, 2, 3; H = N+, соответственно при = 63/64 + , 279/308 + , 2/3 + , 5/8 + , 5/8.

С.Ю.Фаткина33 доказала асимптотическую формулу для числа решений диофантова уравнения N = p1 + p2 + [ 2p3], с условиями N N pi - H, i = 1, 2, [ 2p3] - H, H N lnc N.

3 Liu Jianya, Lu Guangshi и Zhan Tao34 доказали теорему Хуа Ло–гена о представимости достаточно большого натурального числа N, N 5(mod24) в виде суммы пяти квадратов простых чисел, в случае когда эти слагаемые почти равны. Они показали, что достаточно большое натуральное число N, N 5(mod24) можно представить в виде N + N = p2 +... + p2, pj - H, H N 1 Jianya Liu и Zhan Tao35 также показали, что достаточно большое натуральное число N представимо в виде N N + N = p1 + p2 + p2, pj - H, p2 - H, H N 3 3 народный конффиренс "Совр. проблемы математики"посв. 175-летию П.Л.Чебышева, МГУ, 19С.Ю.Фаткина Об одном обобщении тернарной проблемы Гольдбаха для почти равных слагаемых // Вестн. Моск. УН-ТА. сер.1, математика. механика. 2001. No LIU Jianya, LU Guangshi & ZHAN Tao Exponential sums over primes in short intervals // Science in China: Series A Mathematics, 2006, Vol. 49, No. 5, 611–619.

J Y Liu, T Zhan. Estimation of exponential sums over primes in short intervals // I. Mh Math, 1999, 127:

Проблема Варинга для кубов и четвертых степеней с почты равными слагаемыми исследованы в работах36, 37. В работе36 доказано, что достаточно большое натуральное число N представимо в виде суммы девяти кубов чисел xi, i = 1, 9 с условиями N + xi - H, H N.

В работе37 доказана представимость числа N в виде суммы семнадцати четвертых степеней чисел xi, i = 1, 17 с условиями N + xi - H, H N.

Цель работы. Целью работы является изучение поведения кубических тригонометрических сумм Вейля, переменное суммирование которых, принимает значение из коротких интервалов, а также нахождение асимптотической формулы в тернарной задаче Эстермана о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых и куба натурального числа, при условии, что они почти равны.

Методика исследований. В работе используются методы аналитической теории чисел, в том числе • методы L – рядов Дирихле, методы Ю.В. Линника и Н.Г.Чудакова, основанные на плотности нулей L – рядов Дирихле в критической полосе;

• метод Ван дер Корпута об оценке специальных тригонометрических интегралов с применением формулы суммирования Пуассона;

• круговой метод Г.Харди, Д.Литтлвуда и С.Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

• нахождение оценки коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля a T (, x, y) = e(mn), = +, (a, q) = 1, q , || , q q x-y

Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми // ДАН РТ, 2008, Т.51,№2, с.83–86.

Рахмонов З.Х., Азамов А.З. Асимптотическая формула в проблеме Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми // ДАН РТ, 2011, т.54, №3,c 34–42.

• установление прямой зависимости оценки суммы T (, x, y) от величины , = - a/q – растояние между числом и приближающим ее рациональное число a/q, если величина 3x2 не очень близка целому числу;

• вывод асимптотической формулы в тернарной задаче Эстермана о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых и куба натурального числа, при условии, что они почти равны.

Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика их получения могут быть применены при решении задач теории чисел, в том числе аддитивных проблем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на общеинститутском семинаре, на семинаре по аналитической теории чисел под руководством член–корреспондента АН РТ З.Х.Рахмонова в Институте математики АН РТ, на международных научных конференциях “Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики”( 2007 г.), “Современные проблемы математического анализа и их приложений” (2010 г.), в Институте математики АН РТ;

на научно–исследовательском семинаре кафедры алгебры и теории чисел и на ежегодных апрельских конференциях в Таджикском национальном университете (2007-2011 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в научных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объ работы. Диссертация состоит из оглавления, ем списка обозначений, введения, двух глав и списка использованной литературы, включающего 80 наименований. Объ диссертации составляет ем 63 страницы компьютерной в ерстки в редакторе математических формул A LTEX.

Содержание диссертации.

Диссертация состоит из двух глав. Первая глава состоит из пяти параграфов, вторая глава из тр параграфов. Первые параграфы носят ех вспомогательный характер.

Первая глава посвящена изучению коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля.

Английский математик Р.Вон38, изучая суммы Г.Вейля вида a T (, x) = e (mn), = + , (a, q) = 1, || , q 2nqxn-mx то есть при условии, что очень хорошо приближается рациональным числом со знаменателем q, воспользовавшись оценкой (1), принадлежащей Хуа Ло-гену, методом Ван дер Корпута доказал:

x S(a, q) T (, x) = e (tn) dt + O q1/2+, S(a, q) = S0(a, q) (2) q Поведение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля вида T (, x, y) = e(mn), x-y

• тернарная проблема Эстермана: N = p1 + p2 + m2;

• проблема Варинга для кубов: N = x3 + x3 +... + x3;

1 2 • проблема Варинга для четвертых степеней: N = x4 + x4 +... + x4 ;

1 2 Полученные в работе40 оценки коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля T (; x, y) оказались недостаточными при решении кубической задачи Эстермана N = p1+p2+m3 с почти равными слагаемыми Основними результатами первой главы являются теоремы 1.1 и 1.2. В теоремы 1.1 найдены оценки коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля a T (, x, y) = e(mn), = + , (a, q) = 1, q , || , q q x-y

Vaughan R.C. Some remarks in Weyl sums // Coll. Math. Soc. Janos. Bolyani, Budapest 1981.

Рахмонов З.Х., Шокамолова Дж.А.Короткие квадратичные тригонометрические суммы Вейля // Известия АН РТ, отд.физ.-мат., хим., геол. и техн.наук, 2009, т.135, №2(135), с. 7-18.

Рахмонов З.Х., Мирзоабдугафуров К.И. Об оценках коротких тригонометрических сумм Г.Вейля // ДАН РТ, 2008, Т.51,№1, с.5–15.

Азамов А.З., Мирзоабдугафуров К.И., Рахмонов З.Х. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени // ДАН РТ, 2010, т.53, №10, с.737-744.

Теорема 1.1. Пусть 12xy, {3x2} , 0 или {3x2} 2q 1 -, 0, тогда имеет место соотношение 2q S(a, q) T (, x, y) = T (; x, y) + O q1/2+.

q Если старший коэффициент очень близок к рациональному числу a/q, то выполняется условие теоремы 1.1 о близости величины 3x2 к целому числу, а для суммы T (; x, y) выполняется условие леммы о замене тригонометрической суммы тригонометрическим интегралом. Поэтому для коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля T (; x, y), у которых старший коэффициент очень близок к рациональному числу a/q имеет место:

Следствие 1.1.1. Пусть 12xy, || , тогда имеет место 6qxсоотношение y T (, x, y) = S(a, q)(; x, y) + O(q1/2+), q 0,y (; x, y) = e x - + yt dt.

-0,Заметим, что теорема 1.1. совпадает с первым утверждением основной теоремы работы40. Доказательство теоремы 1.1 также, как в проводится методом оценки тригонометрических сумм Ван дер Корпута, оно упрощено и проводиться без применения понятия расстояния до ближайшего целого. Основным моментом в доказательстве этой теоремы является то, что тригонометрические интегралы x I(h, b) = e(fh(u, b))du, 1 b q - 1, x-y bu fh(u, b) = u3 - (3x2 - {3x2})u - - hu.

q хорошо оцениваются по причине того, что производная первого порядка функции fh(u, b) не очень близка к нулю.

В теореме 1.2 найдена прямая зависимость оценки суммы T (, x, y) от величины , = - a/q – растояние между числом и приближающим ее рациональное число a/q.

Теорема 1.2. Пусть 12xy, {3x2} >, 0 или {3x2} < 2q 1 -, 0, имеет место оценка 2q 2 1 1 1 1 1 3 3 2 2 3 3 |T (, x, y)| q ln q + min(yq-, ||- x- q-, ||- q- ).

Теорема 1.2 позволяет нетривиально оценить короткую тригонометрическую кубическую сумму Г.Вейля T (; x, y) не только для множества точек первого класса, но и также для множества точек вторго класса вплоть до y q ln2 q.

Из этой теоремы для сумм T (; x, y), у которых старший коэффициент не очень близок к рациональному числу a/q, получим следующее утверждение.

1 Следствие 1.2.1. Пусть 12xy, < || , тогда имеет 6qx2 q место оценка 2 1 1 1 3 3 2 6 T (, x, y) q ln q + min(yq-, x q, x ).

Заметим, что второе утверждение работы40 является частным случаем следствия 2.1, а именно если 1 1 1 2 1 3 2 6 3 2 min(yq-, x q, x ) = x q.

Доказательство теоремы 2.1 проводится методом оценки тригонометрических сумм Ван дер Корпута с применением формулы суммирования Пуассона, оценки тригонометрических интегралов по величине модуля производных первого, второго и третьего порядков, теорем Хуа Ло-гена об оценке рациональных кубических тригонометрических сумм.

Вторая глава диссертации посвящена аддитивной кубической задаче Эстермана с почти равными слагаемыми, а именно выводу асимптотической формулы для количества представлений достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых и куба натурального числа, при условии, что они почти равны.

Estermann42 доказал асимптотическую формулу для числа решений уравнения p1 + p2 + m2 = N, (3) Estermann T. Proof that every large integer is the sum of two primes and square // Proc. London math.Soc., 11(1937), рр. 501-516.

где p1, p2 простые числа, m натуральное число.

В работах43, 44 доказана асимптотическая формула для числа решений уравнения Эстермана (3) с условиями N N pi - H; i = 1, 2, m2 - H; H N ln2 N.

3 В теореме 2.1 асимптотическая формула выводится для более редкой последовательности, то есть когда в уравнении Эстермана (3) с почти равными слагаемыми квадрат натурального m заменяется на его куб:

p1 + p2 + m3 = N, (4) Теорема 2.1. Пусть N достаточно большое натуральное число, – произвольное положительное число, не превосходящее 10-6, I(N, H) число представлений N суммою двух простых чисел p1, pи куба натурального m с условиями N N pi - H, i = 1, 2, m3 - H, 3 + (N, p) число решений сравнения k3 N( mod p). Тогда при H N справедлива асимптотическая формула:

3SH2 HI(N, H) = + O , 3N ln2 N N ln3 N (N, p) S = 1 +.

(p - 1)p Доказательство теоремы проводится круговым методом Харди, Литтлвуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова. Основу доказательства составляют:

• теорема 1.1 о поведении коротких кубических тригонометрических сумм Г.Вейля a T (; x, y) = e(n3), = +, (a, q) = 1, || , 1 q , q q x-y

Рахмонов З.Х. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Мат.заметки, 2003.

Т.74, Вып. 4, с.564–572.

Шокамолова Дж.А. Асимтотическая формула в задаче Эстермана с почти равными слагаемыми // Доклады АН РТ, 2010, т.53,.№5, с. 325–332.

• следствие 1.1.1 этой теоремы об оценке суммы T (; x, y), если старший коэффициент очень близок к рациональному числу a/q;

• следствие 1.2.1 о прямой зависимости оценки суммы T (; x, y) от величины , = - a/q – растояние между числом и приближающегося к нему рационального числа a/q;

• лемма о поведении короткой тригонометрической суммы с простыми числами S(; x, y) = (n)e(n), x-y

Следствие 2.1.1. Существует такое N0, что каждое натуральное число N > N0 представимо в виде суммы двух простых чисел p1, p2 и куба натурального m с условиями N 5 N + + 6 pi - N, i = 1, 2, m3 - N, 3 где, – произвольное положительное число, не превосходящее 10-6.

В заключении автор выражает благодарность З.Х.Рахмонову за научное руководство, постоянное внимание и помощь в работе.

Публикации по теме диссертации 1. Рахмонов З.Х., Фозилова Д.М. Об оценке коротких тригонометрических сумм Г.Вейля // Доклады АН РТ, 2011 г., том 54, №8, с.605609.

2. Фозилова Д.М. Асимтотическая формула в кубической задаче Эстермана с почти равными слагаемыми // Доклады АН РТ, 2011 г., том 54, №9, с.715-718.

3. Рахмонов З.Х., Фозилова Д.М. Короткая кубическая тригонометрическия сумма Г.Вейля // Доклады АН РТ, 2011 г., том 54, №11, с.880-886.

4. Фозилова Д.М. "Об одной аддитивной задаче с простыми числами Материалы международная конференция "Современные проблемы математики и ее приложения"посвященной 70-летию членакорреспондента АН РТ Мухамадиева Э.М. Душанбе, 28-30 июня 2011г., с. 124-125.







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.