WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

БЫСТРЕЦКИЙ МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ Априорная оценка и разрешимость третьей двухточечной краевой задачи для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка 01.01.02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж – 2012

Работа выполнена в Вологодском государственном педагогическом университете

Научный консультант:

доктор физико - математических наук, профессор Наимов Алижон Набиджанович

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, профессор Каменский Михаил Игоревич доктор физико - математических наук, профессор Климов Владимир Степанович

Ведущая организация: Башкирский государственный университет.

Защита состоится 17 апреля 2012 г. в 15.10 на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу:

394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " " марта 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.22, доктор физ.-мат. наук, профессор Гликлих Ю.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию априорной оценки и разрешимости третьей двухточечной краевой задачи вида z = P (t, z, z ) + f(t, z, z ), 0 < t < 1, z Rn, (1) z (0) = A0(z(0), z(1)) + h0(z), z (1) = A1(z(0), z(1)) + h1(z), (2) где отображения P : [0, 1] Rn Rn Rn, f : [0, 1] Rn Rn Rn, A0, A1 : Rn Rn Rn, h0, h1 : C1([0, 1]; Rn) Rn непрерывны и удовлетворяют условиям:

1) P (t, z1, z2) = mP (t, z1, z2) для всех > 0 и фиксированного m > 1;

2) Aj(z1, z2) = Ai(z1, z2) для всех > 0, j = 0, 1;

3) max |f(t, z1, z2)|(|z1| + |z2|)-m 0 при |z1| + |z2| ;

0 t -4) z |hj(z)| 0 при z , j = 0, 1.

CCЗдесь через C1([0, 1]; Rn) обозначено пространство непрерывно-дифференцируемых на отрезке [0, 1] вектор-функций с нормой z = z + z = max |z(t)| + max |z (t)|.

C1 C C 0 t 1 0 t В краевой задаче (1), (2) положительно-однородные отображения P, A0, A1 являются главными нелинейными членами, а отображения f, h0, h1 возмущениями. Априорная оценка и разрешимость краевой задачи (1), (2) исследуются в терминах свойств главных нелинейных членов P, A0, A1. Если множество решений краевой задачи (1), (2) ограничено по норме пространства C1([0, 1]; Rn) или пусто, то будем говорить, что задача (1), (2) допускает априорную оценку.

В работах С. Н. Бернштейна, Н. Нагумо, К. Шрёдера, Ю.А. Клокова в основном исследована первая краевая задача для скалярных уравнений второго порядка y = f(t, y, y ), в случае когда правая часть f относительно y имеет порядок роста не больше, чем 2. Доказано, что в случае порядка роста больше 2 первая краевая задача не всегда разрешима. В связи с этим представляет интерес выделение широкого класса сильно нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых разрешима краевая задача не с первыми краевыми условиями, а с третьими.

В работах Э. М. Мухамадиева, А. Н. Наимова краевая задача (1), (2) исследована в скалярном и векторном случаях. В них разрешимость краевой задачи исследуется методом априорной оценки и эффективным вычислением вращения вполне непрерывного векторного поля, порожденного краевой задачей, в случае, когда множество нулей P (t, x, y) = 0 состоит лишь из поверхности y = 0. Основная проблема состоит в согласовании множества нулей P (t, x, y) = 0 с отображениями A0, A1, участвующими в краевых условиях. В настоящей диссертационной работе краевая задача (1), (2) исследуется в случаях, когда множество нулей P (t, x, y) = 0 состоит из одной нетривиальной гиперповерхности y = B(t, x) или из двух гиперповерхностей y = B1(t, x), y = B2(t, x). В этих случаях необходимо развить методы априорной оценки и вычисления вращения.

Цель работы. Нахождение новых условий существования априорной оценки и разрешимости краевой задачи (1), (2) в случаях, когда главная нелинейная часть системы (1) обращается в ноль на одной или двух нетривиальных гиперповерхностях.

Методы исследования. В работе применяются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и линейной алгебры, методы нелинейного анализа: метод априорной оценки, метод направляющих функций, методы вычисления вращения векторных полей.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми:

1. Для краевой задачи (1), (2) доказана оценка производной x (t) решения через само решение x(t).

2. Доказаны новые достаточные условия существования априорной оценки для решений краевой задачи (1), (2) в терминах свойств главных нелинейных членов в случаях, когда главная нелинейная часть системы уравнений обращается в ноль на одной или двух нетривиальных гиперповерхностях.

3. В условиях априорной оценки доказана инвариантность свойства разрешимости краевой задачи (1), (2) при непрерывном изменении P, A0, A1 и при любых возмущениях f, h0, h1.

4. Доказаны новые достаточные условия разрешимости краевой задачи (1), (2) в условиях априорной оценки в случаях n = 2 и n 2.

5. При n = 2 в отдельных случаях разрешимость краевой задачи (1), (2) исследована посредством решения задачи гомотопической классификации.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. В ней применяются и развиваются методы исследования краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Результаты работы могут быть использованы при исследовании нелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах в Вологодском государственном техническом университете и в Вологодском государственном педагогическом университете, на конференциях Воронежской зимней и весенней математических школ (Воронеж, 2008– 2011 г.г.), на шестой и седьмой Всероссийской научно-технической конференции Вузовская наука региону (Вологда, 2008–2009 г.г.), на шестой международной научно-технической конференции ИНФОС-2011 (Вологда, 2011 г.), на международной научной конференции Современные проблемы математики и её приложения (посвященной 70-летию член-корреспондента Академии наук Республики Таджикистан Э. М. Мухамадиева, Душанбе, 2011 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[9]. Из совместных публикаций [2], [3], [5], [9] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работы [5] и [9] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, библиографического списка, содержащего 44 наименования. Общий объем работы 125 страниц.

Содержание работы Во введении обосновывается актуальность темы, дается краткий обзор работ, близких к теме диссертации, и излагаются основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена исследованию условий существования априорной оценки решений третьей нелинейной двухточечной краевой задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Найдены достаточные условия существования априорной оценки, когда главная нелинейная часть системы уравнений обращается в ноль как на одной нетривиальной гиперповерхности, так и на двух нетривиальных гиперповерхностях.

Вначале рассматриваются нелинейные краевые задачи общего вида z = P (t, z, z ) + f(t, z, z ), 0 < t < 1, z Rn, (1) z (0) = A0(z(0), z(1)) + h0(z), z (1) = A1(z(0), z(1)) + h1(z). (2) Непрерывные отображения P, f : [0, 1]Rn Rn Rn, A0, A1 : Rn Rn Rn, h0, h1 : C1([0, 1]; Rn) Rn удовлетворяют условиям:

1) P (t, z1, z2) = mP (t, z1, z2) для всех > 0 и фиксированных m, таких, что 0 < 1 < m;

2) Aj(z1, z2) = Ai(z1, z2) для всех > 0, j = 0, 1;

3) max |f(t, z1, z2)|(|z1| + |z2|)-m/ 0 при |z1| + |z2| ;

0 t -4) z |hj(z)| 0 при z , j = 0, 1.

CCЗдесь через C1([0, 1]; Rn) обозначено пространство непрерывно-дифференцируемых на отрезке [0, 1] вектор-функций с нормой z = z + z = max |z(t)| + max |z (t)|.

C1 C C 0 t 1 0 t Будем говорить, что задача (1), (2) допускает априорную оценку, если множество решений задачи либо пусто, либо ограничено по норме пространства C1([0, 1]; Rn).

В отличие от линейных систем, для доказательства нелокальной продолжимости решений систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений необходимо оценить производную их решений. Для системы (1), если решения, выпущенные из точки t = 0, непродолжимы до точки t = 1, то естественно решение краевой задачи (1), (2) не существует, поэтому необходимо исключить такие случаи. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть при любом 0 [0, 1] система w = P (0, 0, w) не имеет ненулевых ограниченных на промежутке (-, ) решений. Тогда существует постоянное M1 такое, что для любого решения z(t) задачи (1), (2) справедлива оценка |z (t)| M1 1 + |z(t)| для всех t [0, 1].

Дальше рассматривается случай, когда множество нулей главной нелинейности P состоит из одной гиперповерхности, и выясняется, как должны быть согласованы краевые условия, чтобы имела место априорная оценка. Рассмотрена краевая задача z = Q(t, z - C(t, z)) + f(t, z, z ), 0 < t < 1, z Rn, (3) z (0) = A0(z(0), z(1)) + h0(z), z (1) = A1(z(0), z(1)) + h1(z). (4) Непрерывные отображения Q, C : [0, 1] Rn Rn, f : [0, 1] Rn Rn Rn, A0, A1 : Rn Rn Rn, h0, h1 : C1([0, 1]; Rn) Rn удовлетворяют условиям 2)–4), а также условиям:

5) Q(t, z) = mQ(t, z) для всех > 0 и фиксированного m > 1;

6) C(t, z) = C(t, z) для всех > 0;

7) при любых фиксированных t0 [0, 1] автономная система v = Q(t0, v) не имеет ненулевых ограниченных решений;

8) для всякого ненулевого решения системы z = C(t, z), если A0(z(0), z(1))- C(0, z(0)) L+(Q(0, ·)), то A1(z(0), z(1)) - C(1, z(1)) L-(Q(1, ·)), / где через L+(Q(0, ·)), L-(Q(1, ·)) обозначены множества точек из Rn, для которых выпущенные из них траектории систем v = Q(0, v), v = Q(1, v) ограничены при t > 0, t < 0.

Верна следующая теорема.

Теорема 1.2. Пусть выполнены условия 2)–8), тогда задача (3), (4) допускает априорную оценку.

Далее рассмотрена краевая задача 1 z = Q(t, (z - B1(t, z))m (z - B2(t, z))m ) + f(t, z, z ), (5) 0 < t < 1, z C, z (0) = A0(z(0), z(1)) + h0(z), z (1) = A1(z(0), z(1)) + h1(z), (6) где C комплексная плоскость, m1, m2 фиксированные натуральные числа.

Отображения Q, B1, B2 : [0, 1]C C, f : [0, 1]CC C, A0, A1 : CC C, h0, h1 : C1([0, 1]; C) C непрерывны и удовлетворяют условиям:

9) существует m > такое, что Q(t, z) = mQ(t, z) для всех > 0;

m1+m10) Bj(t, z) = Bj(t, z) для всех > 0, t [0, 1], j = 1, 2;

11) Aj(z1, z2) = Aj(z1, z2) для всех > 0, t [0, 1], j = 0, 1;

12) max |f(t, z1, z2)|(|z1|+|z2|)-n 0 при |z1|+|z2| , где n = m(m1+m2);

0 t -13) z |hj(z)| 0 при z , j = 0, 1;

CC14) B1(t, z) B2(t, z) или B1(t, z) = B2(t, z) для всех t [0, 1], z C\{0};

15) при любых фиксированных t0 [0, 1], z0 C система 1 v = Q(t0, (v - B1(t0, z0))m (v - B2(t0, z0))m ) не имеет нестационарных ограниченных решений;

16) при j = 1, 2 для всех ненулевых решений z(t) системы z = Bj(t, z) либо A0(z(0), z(1)) L+(Q, z(0)), либо A1(z(0), z(1)) L-(Q, z(1)).

Через L+(Q, z0) обозначено множество точек из C, для которых выпущен1 ные из них траектории системы v = Q(0, (v - B1(0, z0)))m (v - B2(0, z0)))m ) ограничены при t > 0. Множество точек из C, для которых выпущенные из 1 них траектории системы v = Q(1, (v-B1(1, z1))m (v-B2(1, z1))m ) ограничены при t < 0, обозначено через L-(Q, z1). Справедлива теорема.

Теорема 1.3. Задача (5), (6) допускает априорную оценку, если выполнены условия 9)–16).

В завершении главы рассмотрены краевые задачи вида 1 z = (z - b1z)m (z - b2z)m + f(t, z, z ), 0 < t < 1, z C, (7) z (0) = a00z(0) + a01z(1) + h0(z), z (1) = a10z(0) + a11z(1) + h1(z), (8) где m1, m2 натуральные числа, b1, b2, a00, a01, a10, a11 заданные комплексные числа, f, h0, h1 непрерывные отображения, удовлетворяющие условиям 12) и 13) при m = m1 + m2. Введено обозначение B(b1, b2) = b C : b = (1 - µ)b1 + µb2, µ [0, 1].

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1.4. Пусть для любых z0 C \ {0} и b B(b1, b2) выполняется хотя бы одно из двух условий:

1) решение задачи 1 v = (v - b1z0)m (v - b2z0)m, v(0) = a00z0 + a01ebz0, v C, неограничено при t > 0;

2) решение задачи 1 v = (v - b1ebz0)m (v - b2ebz0)m, v(0) = a10z0 + a11ebz0, v C, неограничено при t < 0.

Тогда задача (7), (8) допускает априорную оценку.

Во второй главе в случае n 2 и в условиях существования априорной оценки изучены условия разрешимости третьей нелинейной двухточечной краевой задачи. Доказана инвариантность свойства разрешимости. С помощью топологических методов вычислено вращение вполне непрерывных векторных полей, порождаемых конкретными краевыми задачами.

Вначале рассматривается разрешимость краевых задач вида (3), (4). Задача (3), (4) называется разрешимой, если при любых f, h0 и h1, удовлетворяющих условиям 3), 4), существует хотя бы одно решение задачи (3), (4).

Через Rm обозначено множество всех троек (f, h0, h1), удовлетворяющим условиям 3) и 4), через Pm множество всех четверок (Q, C, A0, A1), удовлетворяющих условиям 5)–8). На множестве Pm можно задать метрику. Два элемента метрического пространства Pm называются гомотопными, если их можно соединить линией, целиком лежащей в Pm, такая линия называется гомотопией.

В предположении, что гомотопия (Q, C, A0,, A1,), [0, 1], соединяет четверки (Q0, C0, A0,0, A1,0), (Q1, C1, A0,1, A1,1) в пространстве Pm, доказана следующая теорема.

Теорема 2.1. Пусть задача (3), (4) разрешима при Q = Q0, C = C0, A0 = A0,0, A1 = A1,0 и любых (f, h0, h1) из Rm. Тогда задача (3), (4) разрешима и при Q = Q1, C = C1, A0 = A0,1, A1 = A1,1 и любых (f, h0, h1) из Rm.

Теорема 2.1 легко обобщается для задач (5), (6) и (7), (8).

Дальше рассматривается разрешимость краевых задач следующего вида x = Q(x ) + f(t, x, x ), 0 < t < 1, x Rn, (9) x (0) = A(x(0)) + h0(x), x (1) = A(x(0)) + h1(x). (10) Непрерывные отображения Q, A: Rn Rn, f : [0, 1] Rn Rn Rn, h0, h1 :

C1([0, 1]; Rn) Rn удовлетворяют условиям:

17) Q(x) = mQ(x) для всех > 0 и фиксированного m > 1;

18) A(x) = A(x) для всех > 0;

19) (f, h0, h1) Rm.

Задача (9), (10) в пространстве G = C([0, 1]; Rn) C([0, 1]; Rn) с нормой (x, y) = x + y, где (x, y) G, x, y C([0, 1]; Rn), порождает вполне C C непрерывное векторное поле 1 t (x, y) = (x, y) - x(0) + h1(x) - h0(x) - (Q(y) + f(t, x, y)) ds + y(s) ds, 0 t A(x(0)) + h0(x) + (Q(y) + f(t, x, y)) ds.

А именно, если x решение краевой задачи (9), (10), то пара (x, x ) G будет особой точкой поля , т.е. (x, x ) = 0. Обратное также верно. Отсюда можно сделать два вывода:

1) если краевая задача допускает априорную оценку, то определено вращение () поля на сферах достаточно больших радиусов пространства G;

2) если определено вращение () и () = 0, то краевая задача имеет хотя бы одно решение.

Для положительно однородных отображений Q и A, невырожденных на единичной сфере в Rn, через (Q), (A) обозначены их вращения на данной сфере. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.2. Пусть система v = Q(v), v Rn, не имеет ненулевых ограниченных решений и пусть отображение A невырождено на единичной сфере в Rn. Тогда имеет место равенство () = (Q)(A), следовательно, если (Q)(A) = 0, то краевая задача (9), (10) имеет хотя бы одно решение.

Далее рассмотрены краевые задачи вида x = |x - Dx|m-1J(x - Dx) + f(t, x, x ), 0 < t < 1, x Rn, (11) x (0) = B00x(0) + B01x(1) + h0(x), (12) x (1) = B10x(0) + B11x(1) + h1(x), где D, J, B00, B01, B10, B11 постоянные квадратные матрицы порядка n, отображения f : [0, 1] Rn Rn Rn, h0, h1 : C1([0, 1]; Rn) Rn лежат во множестве Rm. Здесь отображения Q, A0, A1 имеют вид Q(z) = |z|m-1Jz, Aj(x, y) = Bj0x + Bj1y, j = 0, 1. Через +, - обозначены проекторы из Rn в подпространства L+(J), L-(J). Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.3. Пусть матрица J не имеет чисто мнимых собственных значений и пусть матрица E = - B00 + B01eD - D + + B10 + B11eD - DeD невырождена. Тогда задача (11), (12) разрешима.

Вторая глава завершается рассмотрением краевой задачи z = Q0(z - Dz) + f(t, z, z ), 0 < t < 1, z Rn, (13) z (0) = A00z(0) + A01z(1) + h0(z), z (1) = A10z(0) + A11z(1) + h1(z). (14) Здесь D, A00, A01, A10, A11 квадратные матрицы порядка n, (f, h0, h1) Rm, автономная система u = Q0(u) не имеет ненулевых ограниченных решений, а вращение (Q0) конечномерного поля Q0 : Rn Rn отлично от нуля.

Теорема 2.4. Пусть матрица F = A00 +A01eD -D невырождена и имеет место равенство A00 + A01eD - D = A10 + A11eD - DeD.

Тогда задача (13), (14) разрешима.

В третьей главе изучены достаточные условия разрешимости третьей нелинейной двухточечной краевой задачи на плоскости. Решена задача гомотопической классификации в отдельных случаях. Вычислено вращение вполне непрерывных векторных полей, порождаемых конкретными краевыми задачами.

Глава начинается с рассмотрения разрешимости краевой задачи z = (z - bz)m + f(t, z, z ), 0 < t < 1, z C, (15) z (0) = a00z(0) + a01z(1) + h0(z), z (1) = a10z(0) + a11z(1) + h1(z), (16) где a00, a01, a10, a11 комплексные числа, m целое число, большее единицы, (f, h0, h1) Rm. Вводится метрическое пространство Mm множество векторов (b, a00, a01, a10, a11) C5, удовлетворяющих условиям:

20) число (a00 + a01eb - b)(a10 + a11eb - beb) не равно нулю;

(2k+1) 21) arg (a00 + a01eb - b)/(a10 + a11eb - beb) = k = 0, 1,..., m.

m+Для задачи (15), (16) при каждом элементе (b, a00, a01, a10, a11) Mm имеет место априорная оценка и в каждой связной компоненте пространства Mm свойство разрешимости краевой задачи (15), (16) сохраняется. Доказана следующая теорема.

Теорема 3.1. Любой элемент из Mm можно гомотопировать к элементу (0, 1, 0, a, 0), где a = (a00+a01eb-b)/(a10+a11eb-beb). Множество Mm состоит из m + 1 связной компоненты, каждая связная компонента определяется принадлежностью числа a к одному из множеств 2j 2(j + 1) Nj = a C \ {0} : arg a + ,, j = 0, 1,..., m.

m + 1 m + 1 m + В силу теоремы 3.1 достаточно исследовать разрешимость краевой задачи (15), (16) для элементов (0, 1, 0, a, 0) Mm. Для этого вводится вполне непрерывное векторное поле t a(y, z) = (y, z) - (ym + f(t, z, y)) ds + z(0) + h0(z), t y ds + az(0) + h1(z) - h0(z) - (ym + f(t, z, y)) ds, 0 где (y, z) пара функций из пространства E = C([0, 1]; C) C([0, 1]; C). Всякая особая точка поля a является решением задачи (15), (16) для элемента (0, 1, 0, a, 0) Mm и наоборот. Имеет место теорема.

Теорема 3.2. Вращение (a) поля a на сферах достаточно большого радиуса пространства E определено и справедлива следующая формула -m, если a N0, (a) = 1, иначе.

Следовательно, для любого элемента (b, a00, a01, a10, a11) Mm краевая задача (15), (16) разрешима.

Далее рассмотрена краевая задача 1 z = (z - b1z)m (z - b2z)m + f(t, z, z ), 0 < t < 1, z C, (17) z (0) = a00z(0) + a01z(1) + h0(z), z (1) = a10z(0) + a11z(1) + h1(z), (18) где b1, b2, a00, a01, a10, a11 C, m1, m2 натуральные числа, (f, h0, h1) Rm, m = m1 + m2. Введено обозначение B(b1, b2) = {b C : b = (1 - µ)b1 + µb2, µ [0, 1]} и доказана Теорема 3.3. Пусть при любых b2 B(b1, b2), b B(b1, b2) следующие числа отличны от нуля a00+a01eb a10+a11eb 1 2 1 F1 = (t - b1)m (t - b2)m dt, E1 = (t - b1eb)m (t - b2eb)m dt, bb1eb a00+a01eb a10+a11eb 1 2 1 F2 = (t - b1)m (t - b2)m dt, E2 = (t - b1eb)m (t - b2eb)m dt, b2 b2eb и выполнены условия Ek arg = (2l + 1), k, j = 1, 2, l Z.

Fj Тогда краевая задача (17), (18) разрешима.

Дальше рассмотрена гомотопическая классификация краевых задач вида m z = z + f(t, z, z ), 0 < t < 1, z C, (19) z (0) = z(0) + h0(z), z (1) = Az(0) + h1(z). (20) Здесь m целое число, большее единицы, тройка (f, h0, h1) Rm, линейное отображение A: C C удовлетворяет условию:

22) Az0 = 0, arg(Az0) = 2k/(m + 1), k = 0, 1,..., m для любого ненулевого z0 C, arg z0 = (2n + 1)/(m + 1), n = 0, 1,..., m.

Из теоремы 1.2 следует, что задача (19), (20) допускает априорную оценку.

Через Pm обозначено множество линейных отображений A: C C, удовлетворяющих условию 22). На множестве Pm определена метрика. Доказано, что множество P2 состоит из 24 связных компонент, а множество P3 из 16.

В завершение найдены достаточные условия разрешимости краевой задачи 1 z = (z - B1(z))m (z - B2(z))m + f(t, z, z ), 0 < t < 1, z C, (21) z (0) = A0(z(0), z(1)) + h0(z), z (1) = A1(z(0), z(1)) + h1(z), (22) где (f, h0, h1) Rm, числа m1, m2 постоянные натуральные, m = m1 + m2, отображения B1, B2 : C C, A0, A1 : C C C непрерывны и удовлетворяют условиям:

23) Bj(z) = Bj(z) для всех > 0, j = 1, 2;

24) Aj(z1, z2) = Aj(z1, z2) для всех > 0, j = 0, 1.

Публикации автора по теме диссертации [1] Быстрецкий М. В. О третьей двухточечной краевой задаче на плоскости.

/ М. В. Быстрецкий // Вузовская наука региону: Материалы шестой всероссийской научно-технической конференции. В 2-х т. Вологда: ВоГТУ, 2008.

Т. 1. С. 65–69.

[2] Быстрецкий М. В. О третьей двухточечной краевой задаче на плоскости.

/ М. В. Быстрецкий, А. Н. Наимов // Труды воронежской зимней математической школы С. Г. Крейна – 2008. Воронеж: ВорГУ, 2008. С. 48–53.

[3] Быстрецкий М. В. Об оценке производных решений третьей нелинейной краевой задачи на плоскости. / М. В. Быстрецкий, А. Н. Наимов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимней математической школы. Воронеж: ВорГУ, 2009.

С. 35–36.

[4] Быстрецкий М. В. Априорная оценка решений третьей нелинейной краевой задачи на плоскости. / М. В. Быстрецкий // Вузовская наука региону:

Материалы седьмой всероссийской научно-технической конференции.

В 2-х т. Вологда: ВоГТУ, 2009. Т. 1. С. 33–37.

[5] Быстрецкий М. В. Об априорной оценке и разрешимости третьей двухто чечной краевой задачи / А. Н.Наимов, М. В. Быстрецкий // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. №2. С. 280–284. РАН ISSN: 0374-0641.

[6] Быстрецкий М. В. О разрешимости одной краевой задачи на плоскости.

/ М. В. Быстрецкий // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы Понтрягинские чтения – XXII. Воронеж: ВорГУ, 2011. С. 38–39.

[7] Быстрецкий М. В. О гомотопической классификации одного множества нелинейных краевых задачи на плоскости. / М. В. Быстрецкий // Материалы международной научной конференции Современные проблемы математики и её приложения, посвященной 70-летию профессора Э. М. Мухамадиева.

Душанбе: Институт математики АН РТ, 2011. С. 20–21.

[8] Быстрецкий М. В. О разрешимости одной краевой задачи на плоскости.

/ М. В. Быстрецкий // Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта:

Материалы 6-й международной научно-технической конференции. Вологда:

ВоГТУ, 2011. С. 34–38.

[9] Быстрецкий М. В. Об одном классе нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. / М. В. Быстрецкий, А. Н. Наимов // Вестник Воронежского государственного университета. Серия:

Физика. Математика. Воронеж: ВорГУ, 2011. №2. С. 73–77.

Работы [5] и [9] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по разным специальностям





© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.