WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

УДК 515.142.22+514.172.45 Айзенберг

Антон Андреевич ТЕОРИЯ НЕРВ-КОМПЛЕКСОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Специальность:

01.01.04 – геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2012

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии Механикоматематического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный консультант: член-корреспондент РАН, профессор Бухштабер Виктор Матвеевич

Официальные оппоненты: Аржанцев Иван Владимирович доктор физико-математических наук, доцент (ФГБОУ ВПО “Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова”, доцент) Кустарёв Андрей Александрович кандидат физико-математических наук (ФГАОУ ВПО “Московский физикотехнический институт (государственный университет)”, ассистент)

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО “Московский педагогический государственный университет”

Защита диссертации состоится 12 октября 2012г. в 1645 на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 12 сентября 2012г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор Иванов Александр Олегович

Общая характеристика работы



Актуальность темы В настоящее время в комбинаторике и выпуклой геометрии стали находить применение методы коммутативной алгебры, алгебраической геометрии и топологии. Актуальным разделом алгебраической геометрии стала торическая геометрия, изучающая свойства торических многообразий. Каждому выпуклому многограннику в Rn с рациональными координатами вершин можно сопоставить алгебраическое многообразие с действием алгебраического тора (C)n, являющееся эквивариантной компактификацией тора (C)n. С одной стороны, эта конструкция дает обширный класс примеров алгебраических многообразий, свойства которых можно эффективно описывать в терминах комбинаторных данных. С другой стороны, конструкция торического многообразия позволяет доказывать сильные результаты о комбинаторике многогранников при помощи методов алгебраической геометрии.

М. Дэвис и Т. Янушкиевич1 ввели понятие квазиторического многообразия, являющееся топологическим аналогом торического многообразия. Для определения квазиторического мноn гообразия над простым многогранником P с m гипергранями им потребовалась конструкция (m + n)-мерного многообразия m ZP с каноническим действием тора T, для которого многогранник P является пространством орбит. В своих работах2,В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов предложили рассматривать многообразия ZP как центральный объект исследования в торической топологии и развили различные подходы к изучению этих пространств, названных ими момент-угол многообразиM. Davis, T. Januszkiewicz, Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions, Duke Math. J., 1991. V.62, №2, 417–451.

В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Действия тора и комбинаторика многогранников, Труды МИАН им. В.А.Стеклова, 225, 1999, 96–131.

В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Действия торов, комбинаторная топология и гомологическая алгебра,УМН, 55:5(335) (2000), 3–106.

ями. С одной стороны, многообразие ZP можно представить как невырожденное пересечение вещественных квадрик4 в пространстве Cm, что позволяет исследовать эти многообразия методами дифференциальной геометрии. С другой стороны, многообразие ZP обладает канонической клеточной структурой, определяемой комбинаторикой многогранника. В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов3 показали, что существует общая алгебро-топологическая конструкция, сопоставляющая каждому симплициальному комплексу K клеточный комплекс ZK(D2, S1); при этом момент-угол многообразие ZP простого многогранника P гомеоморфно клеточному комплексу ZP (D2, S1), где P граница двойственного к P симплициального многогранника.

Используя каноническую клеточную структуру на комплексе ZK(D2, S1), В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов показали, что алгебра когомологий H(ZK(D2, S1); k) изоморфна Tor-алгебре Tor, (k[K], k) k[m] алгебры Стенли–Райснера симплициального комплекса K. Этот результат позволил вычислить кольцо когомологий момент-угол многообразия ZP простого многогогранника P в терминах ал гебры Стенли–Райснера симплициальной сферы P.

Диссертация посвящена развитию теории момент-угол многообразий и ее взаимосвязи с теорией алгебр Стенли–Райснера.

Тема диссертации актуальна, так как момент-угол многообразия являются центральным объектом торической топологии, а алгебры Стенли–Райснера понятие, нашедшее множество приложений в комбинаторике и топологии. В диссертации исследован случай произвольных выпуклых многогранников, в том числе и не простых. Каждому выпуклому многограннику P сопоставлен симплициальный комплекс KP. Если P простой многогранник, то KP = P, однако в общем случае комплекс KP не является симплициальной сферой. В диссертации приведены основные свойства симплициальных комплексов KP, свеV. M. Buchstaber, T. E. Panov, N. Ray, Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifolds, Moscow Math. J., V.7, №2, 2007, 219–242.

денные воедино в понятии нерв-комплекса, обобщающем понятия симплициальной сферы и симплициального многообразия.

Нерв-комплексы являются основным объектом исследования.

Известно, что для симплициальной сферы K выполнены соотношения Дена–Соммервилля5,6 hi(K) = hn-i(K). Имеется обобщение этой формулы на случай (n - 1)-мерного симплициального многообразия K, полученное Р. Стенли7 алгебраическим методом и, независимо, В. М. Бухштабером и Т. Е. Пановым топологическим методом. В этом случае выполнены соотношения n hn-i(K) - hi(K) = (-1)i((K) - (Sn-1)).

i В диссертации доказаны соотношения на f-числа нерв-комплексов, обобщающие приведенные результаты.

Даже в случае, когда многогранник P не является простым, момент-угол пространство ZP можно определить как пересечение вещественных квадрик в пространстве Cm. В диссертации показано, что момент-угол пространство ZP гомотопически эквивалентно клеточному комплексу ZK (D2, S1), что позволяет P вычислить его кольцо когомологий:

H(ZP; k) Tor, (k[KP], k), = k[m] где m число гиперграней многогранника P, а k[KP ] алгебра Стенли–Райснера симплициального комплекса KP. Здесь и далее k используется для обозначения основного поля, а результаты, которые верны также и для случая k = Z, специально оговариваются.

Теория алгебр Стенли–Райснера возникла в работе Дж. РайсD. M. Y. Sommerville, The relations connecting the angle sums and volume of a polytope in space of n dimensions, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 1927. V.115, 103–119.

V. Klee, A combinatorial analogue of Poincar duality theorem, Canad. J. Math. 1964.

V.16. 517–531.

R. Stanley, Combinatorics and Commutative Algebra, Boston, MA: Birkhuser Boston Inc., 1996 (Progress in Mathematics V. 41).

нера8, была существенно развита Р. Стенли7 и в настоящее время является важным разделом комбинаторной коммутативной алгебры. В коммутативной алгебре и алгебраической геометрии важную роль играет понятие алгебры Коэна–Маколея, то есть алгебры, глубина которой совпадает с размерностью Крулля.

Дж. Райснер8, используя свойства локальных когомологий колец, нашел условия на симплициальный комплекс K, при которых алгебра k[K] является алгеброй Коэна–Маколея. Основываясь на теореме Райснера, Р. Стенли9 доказал гипотезу о верхней границе для симплициальных сфер, согласно которой на h-числа симплициальной (n - 1)-мерной сферы K на m вершиm-n+i-n нах имеются неравенства hi(K), при i = 0,...,.





i Дж. Манкрс10 обобщил результат Райснера, описав условия на топологию симплициального комплекса K, при которых глубина кольца k[K] равна заданному числу. Для доказательства он использовал спектральную последовательность Зимана в интерпретации МакКрори11.

Алгебра k[K] является модулем над алгеброй многочленов k[m] и к ней применима теорема Ауслендера–Буксбаума12, утверждающая в этом случае, что depth k[K] + pdim k[K] = m, где pdim k[K] длина минимальной свободной резольвенты модуля k[K]. Ранги модулей свободной резольвенты выражаются через когомологии полных подкомплексов, по формуле ХохстеG. Reisner, Cohen-Macaulay quotients of polynomial rings, Adv. in Math., V.21, №1, 1976, 30–49.

R. Stanley, The upper bound conjecture and Cohen–Macaulay rings, Studies in Applied Math. 1975, V.54, №2, 135–142.

James R. Munkres, Topological results in combinatorics, Michigan Math. J., V. 31, Issue 1 (1984), 113–128.

Clint McCrory, Zeeman’s filtration on homology, Transactions of the AMS, V.250, 1979, 147–166.

W. Bruns, J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, revised edition, Cambridge 19(Cambridge Studies in Advanced Mathematics; V.39).

ра13:

Tor-i,2j(k[K], k) = Hj-i-1(KJ; k).

k[m] J[m],|J|=j Из этой формулы и теоремы Ауслендера–Буксбаума следует описание глубины в терминах топологии полных подкомплексов. На основе такого описания в диссертации получен новый комбинаторно-топологический метод исследования глубины колец Стенли–Райснера. Предложенный метод существенно упрощает доказательства теорем Райснера и Манкрса и позволяет доказать соотношение depth k[KP ] = dim P для произвольного выпуклого многогранника P.

В диссертации также исследован вопрос о подгруппах тора m T, свободно действующих на пространствах ZP и клеточных комплексах ZK(D2, S1). Если X пространство с действием m тора T, то число s(X) определяется как максимальная разs m мерность подторов T T, индуцированное действие которых на X является свободным. В случае X = ZP или ZK(D2, S1) число s(X) является характеристикой многогранника P и комплекса K соответственно. В этих случаях число s(X) обозначается s(P ) и s(K) и называется числом Бухштабера. В 2002 году В. М. Бухштабер14 поставил задачу: найти алгоритмический способ вычисления инвариантов s(P ) и s(K) по комбинаторике P и K. В диссертации показано, что s(P ) = s(KP), поэтому исследуются только симплициальные комплексы. Изучение числа Бухштабера началось в 2001 году, когда И. В. Изместьев15 доказал оценку s(K) m - (K), где (K) хроматическое число симплициального комплекса K. Частичным упрощением числа Бухштабера является его вещественный аналог s(K) макR симальный ранг подгрупп группы Zm, действующих свободно M. Hochster, Cohen-Macaulay rings, combinatorics, and simplicial complexes, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., V.26, Dekker, New York, 1977, 171–223.

V. M. Buchstaber, T. E. Panov, Torus Actions and Their Applications in Topology and Combinatorics, University Lectures Series, vol.24, AMS, Providence, RI, 2002.

И. В. Изместьев, Трехмерные многообразия, определяемые раскраской граней простого многогранника, Матем. заметки, Т.69, №3, 2001, 375–382.

на вещественном момент-угол комплексе ZK(D1, S0). Нетрудно доказать оценку s(K) s(K). Значительные результаты о R вещественном числе Бухштабера остовов симплексов были получены в работе М. Мацуды и Ю. Фукукавы16. Теория числа Бухштабера простых многогранников была развита Н. Ю. Ероховцом17,18.

В работе М. Дэвиса и Т. Янушкиевича1 построено семейство универсальных симплициальных комплексов Ul. Из результатов работы18 следует, что для симплициального комплекса K на m вершинах число m - s(K) совпадает с наименьшим натуральным числом l, для которого существует невырожденное симплициальное отображение из K в Ul. Это наблюдение позволяет рассматривать число m - s(K) как обобщенный хроматический инвариант в смысле Р. Зивальевича19. При помощи такого подхода в диссертации исследовано число Бухштабера маломерных симплициальных комплексов.

Цель работы.

Обобщение теории момент-угол пространств на случай непростых выпуклых многогранников и исследование симплициальных комплексов, ассоциированных с многогранниками.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Каждому выпуклому многограннику P сопоставлен симплициальный комплекс KP, являющийся его полным комYukiko Fukukawa and Mikiya Masuda, Buchstaber invariants of skeleta of a simplex, Osaka J. Math. V. 48, №2 (2011), 549–582.

Н. Ю. Ероховец, Инвариант Бухштабера простых многогранников, УМН Т.№383, 2008, 187–188.

Н. Ю. Ероховец, Максимальные действия торов на момент-угол многообразиях, кандидатская диссертация, МГУ им. М.В.Ломоносова, мех.-мат. факультет, 2011.

Rade T. ivaljevi, Combinatorial groupoids, cubical complexes, and the Lovsz conjecture, Discrete and Computational Geometry, V.41, №1, 135–161.

бинаторным инвариантом. Построена общая теория нервкомплексов, описывающая свойства симплициальных комплексов типа KP.

2. Доказано, что для произвольного выпуклого многогранника P с m гипергранями топологические пространства ZP и m ZK (D2, S1) с действием тора T эквивариантно гомотопиP чески эквивалентны.

3. Пусть k поле. Скажем, что симплициальный комплекс L является p-ацикличным (над k), если Hi(L; k) = 0 при i p. При этом по определению H-1(; k) k. В диссер= тации доказано, что для симплициального комплекса K на m вершинах и его алгебры Стенли–Райснера k[K] эквивалентны следующие условия:

(a) depth k[K] s + 1;

(b) Для любого набора вершин J [m] полный подкомплекс K[m]\J является (s - 1 - |J|)-ацикличным над k.

(c) Для любого симплекса I K симплициальный комплекс linkK I является (s - 1 - |I|)-ацикличным над k.

На основе этой эквивалентности получено новое доказательство теоремы Райснера и теоремы Манкрса. Показано, что depth k[KP ] = dim P для произвольного выпуклого многогранника P. Получен ряд соотношений на биградуированные числа Бетти нерв-комплексов KP.

4. Для максимальной размерности s(K) торических подгрупп, действующих свободно на момент-угол комплексе ZK(D2, S1), и максимального ранга s(K) подгрупп группы Zm, дейR ствующих свободно на вещественном момент-угол комплексе ZK(D1, S0), доказаны следующие результаты:

(a) s(K) m- log2((K)+1), где (K) хроматическое R число симплициального комплекса K;

(b) s(K) = s(K) = m - log2((K) + 1), если dim K = 1;

R (c) Существует такой симплициальный комплекс U, что s(U) = s(U).

R (d) Существуют такие симплициальные комплексы 1 и 2, что s(12) = s(1)+s(2) и s(12) = s(1)+Rs(2).

R R Основные методы исследования.

В работе используются методы торической топологии, теории гомотопий, комбинаторики и коммутативной алгебры.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для специалистов по торической и комбинаторной топологии, комбинаторике и коммутативной алгебре.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научноисследовательских семинарах и научных конференциях:

1. Семинар Алгебраическая топология и её приложения им.

М. М. Постникова под руководством чл.-корр. РАН В. М. Бухштабера, проф. А. В. Чернавского, проф.

И. А. Дынникова, проф. Т. Е. Панова, доц. Л. А. Алании и доц. Д. В. Миллионщикова; кафедра высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ неоднократно с 2010 года по 2012 год;

2. Семинар Некоммутативная топология под руководством проф. А. С. Мищенко, проф. И. К. Бабенко, проф. Е. В. Троицкого, проф. В. М. Мануйлова, доц. А. А. Ирматова; кафедра высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ в 2010 году;

3. Семинар Дифференциальная геометрия и приложения под руководством акад. РАН А. Т. Фоменко; кафедра дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета МГУ в 2011 году;

4. Международная конференция Ломоносов 2010, г. Москва, 12-15 апреля 2010 года, МГУ.

5. Международная конференция Ломоносов 2011, г. Москва, 11-15 апреля 2011 года, МГУ.

6. Международная конференция Торическая топология и автоморфные функции, г. Хабаровск, 5-10 сентября 2011 года.

7. Русско-японская конференция Toric topology in Osaka 2011, г. Осака, Япония, 27-30 ноября 2011 года.

8. Международная конференция Александровские чтения, г. Москва, 21-25 мая 2012 года, МГУ.

9. Шестой Европейский Конгресс Математиков, постерный доклад, г. Краков, Польша, 2-6 июля 2012 года.

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в трёх работах, список которых приведен в конце автореферата [1,2,3] Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа изложена на 135 страницах и состоит из введения, пяти глав и дополнения. Библиография включает 72 наименования.

Краткое содержание работы Во введении к диссертации излагается история рассматриваемой проблемы, формулируются основные результаты, приводится краткое содержание работы и список основных обозначений.

Содержание главы В главе 1 приведен обзор определений, которые используются в работе. Раздел 1.1 содержит обзор теории симплициальных комплексов. Приведены определения классических понятий: линка, геометрической реализации симплициального комплекса, симплициальной сферы и симплициального многообразия, f- и h-чисел и многочленов. Сформулированы соотношения Дена–Соммервилля: hi(K) = hn-i(K) для h-чисел симплициальной сферы K и их аналог для симплициальных многообразий. В разделе 1.2 приводятся сведения о выпуклых многогранниках. Даны определения двойственности, простых и симплициальных многогранников, а также определение прямого произведения и джойна выпуклых многогранников. Необходимые сведения о частично упорядоченных (ч.у.) множествах содержатся в разделе 1.3.

Раздел 1.4 посвящен момент-угол пространствам многогранников. Каждому выпуклому многограннику P с m гипергранями сопоставлено момент-угол пространство ZP, являющееся пересечением вещественных квадрик специального вида в проm странстве Cm. На пространстве ZP задано действие тора T, фактор-пространством которого является исходный многогранник P. В разделе 1.5 описана конструкция момент-угол комплекса. Каждому симплициальному комплексу K на m вершинах сопоставлен клеточный момент-угол комплекс ZK(D2, S1) с m действием тора T. Связь момент-угол пространств и моментугол комплексов дает теорема Бухштабера–Панова: для проm стого многогранника P с m гипергранями имеет место T эквивариантный гомеоморфизм ZP ZP (D2, S1), где P = граница двойственного к P симплициального многогранника.

В разделе 1.6 приводится определение алгебры Стенли–Райснера k[K] симплициального комплекса K, структуры k[m]-модуля на ней. Описаны свойства свободной резольвенты модуля k[K] и Tor–алгебры Tork[m](k[K], k). Согласно теореме Бухшта бера–Панова: H(ZK(D2, S1); k) Tor, (k[K], k), где k поле = k[m] или кольцо Z. Этот результат можно рассматривать как способ ввести двойную градуировку на кольце когомологий моментугол комплекса. Определены биградуированные числа Бетти симплициального комплекса:

-i,2j(K) = rkk Tor-i,2j(k[K], k).

k[m] В разделе 1.7 приведены основные сведения из гомотопической теории диаграмм топологических пространств. В разделе даны определения копределов и гомотопических копределов и собраны утверждения, позволяющие эффективно работать с этими объектами. Утверждения, приведенные в разделе 1.7, используются только в главе 3 и дополнении А.

Содержание главы В главе 2 дано определение нерв-комплексов основного объекта данного исследования. Каждому выпуклому многограннику P сопоставлен симплициальный комплекс KP. Разбору этой конструкции и примеров посвящен раздел 2.1. Также в этом разделе приводится описание связи нерв-комплексов с конструкцией Батырева–Кокса торического многообразия над рациональным многогранником. В разделе 2.2 исследован вопрос, какими комбинаторно-топологическими свойствами обладает симплициальный комплекс KP.

Для каждого симплициального комплекса K определено подмножество F (K) симплексов, представимых в виде пересечения максимальных симплексов.

Определение 2.2.6. Нерв-комплексом (соотв. гомологическим нерв-комплексом) ранга n называется симплициальный комплекс K, удовлетворяющий условиям:

1. F (K);

2. F (K) является градуированным частично-упорядоченным множеством с функцией ранга rank: F (K) {0,..., n}, rank() = 0, rank(I) = n для максимального симплекса I F (K);

3. Если I F (K) и I = , то комплекс linkK I гомотопен (соотв. гомологичен) сфере Sn-rank(I)-1.

Если, кроме того, K гомотопен (соотв. гомологичен) сфере Sn-1, то K называется сферическим (соотв. сферическим гомологическим) нерв-комплексом.

n Теорема 2.2.9. Если P выпуклый многогранник, то KP сферический нерв-комплекс ранга n, причем ч.у. множество F (KP ) изоморфно множеству граней многогранника P с обращенным порядком.

Следствие 2.2.10. Симплициальный комплекс KP является полным комбинаторным инвариантом многогранника P.

Нетрудно проверить, что любое симплициальное многообразие является гомологическим нерв-комплексом. В разделе 2.исследованы f-многочлены нерв-комплексов. Основной результат раздела таков:

Предложение 2.3.1. Если K гомологический нерв-комплекс ранга n, то fK(t) = (1 - (K)) + (-1)n-rank I(t + 1)|I|, IF (K),I= где эйлерова характеристика.

Из этого утверждения следуют соотношения Дена–Соммервилля для сфер и многообразий, а также формула fK (t) = P = FP (-1, t+1), где по определению FP(, t) = dim Ftm(F ), а F P m(F ) число гиперграней, содержащих грань F. Доказательство предложения 2.3.1 основано на обобщении метода В. М. Бухштабера, предложенного в работе20.

Содержание главы Главы 3 и 4 являются центральными главами диссертации.

Теорема 3.1.7. Момент-угол пространство ZP эквивариантно гомотопически эквивалентно момент-угол комплексу ZK (D2, S1).

P Для доказательства этого факта используется описание пространства ZP как гомотопического копредела специальной диаграммы торов над ч.у. множеством граней многогранника. С другой стороны, в работе приведено описание момент-угол комплекса ZK (D2, S1) как копредела некоторой диаграммы тоP пологических пространств над ч.у. множеством симплексов комплекса KP. Теорема 3.1.7 доказывается применением известных результатов о копределах и гомотопических копределах.

В разделе 3.2 показано, что для любых выпуклых многогранников P и Q имеет место гомеоморфизм: ZP Q ZP ZQ, = а в случае, если оба многогранника не равны точке, имеем ZP Q ZP ZQ. Таким образом, на основании гомологических = характеристик момент-угол пространств ZP можно строить инварианты исходных многогранников, мультипликативные относительно операций прямого произведения и джойна. Эта идея развита в разделе 3.3. Каждому выпуклому многограннику P сопоставлен многочлен P (s, t) = -i,2j(KP )s-it2j.

i,j Предложение (следствие 3.3.8). Для произвольных многогранников P и Q выполнено соотношение P Q(s, t) - 1 = (P (s, t) - 1) · (Q(s, t) - 1) · s.

В. М. Бухштабер, Кольцо простых многогранников и дифференциальные уравнения, Труды МИАН им. В.А.Стеклова, 263, 2008, 18–43.

Taras Panov, Nigel Ray, Reiner Vogt, Colimits, Stanley–Reisner algebras and loop spaces, Progress in Math., V.215, 2004, 261–291.

Если dim P > 0, dim Q > 0, то P Q(s, t) = P(s, t)Q(s, t).

Важность задачи построения джойн-мультипликативных инвариантов многогранников была продемонстрирована в работе. В разделе 3.3. также описана взаимосвязь многочлена P(s, t) с многочленом FP(, t), определенным в разделе 2.3.

Содержание главы Глава 4 посвящена исследованию гомологических характеристик колец Стенли–Райснера симплициальных комплексов, и, в частности, сферических нерв-комплексов. За исключением отдельно оговоренных случаев предполагается, что k поле.

Теорема 4.1.1. Пусть K симплициальный комплекс на множестве [m], а k поле. Следующие условия эквивалентны:

1. depth k[K] s + 1;

2. Для любого подмножества вершин J [m] и i < s - |J| выполнено Hi(KJ; k) = 0.

3. Для любого симплекса I K и i < s - |I| выполнено Hi(linkK I; k) = 0.

Доказательству этой теоремы посвящены разделы 4.2 и 4.3. В разделе 4.2 приведены необходимые сведения о понятии глубины модуля. Согласно теореме Ауслендера–Буксбаума12, depth k[K] = m - pdim k[K], где m число вершин комплекса K, а pdim k[K] проективная размерность модуля, то есть минимальная длина проективной резольвенты модуля k[K]. Таким образом, depth k[K] s + 1 в том и только том случае, В. М. Бухштабер, Н. Ю. Ероховец, Многогранники, числа Фибоначчи, алгебры Хопфа и квазисимметрические функции, УМН, 66:2(398), 2011, 67–162.

когда -i,2j(K) = 0 при всех j и i m - s. Хохстером13 была доказана формула -i,2j(K) = rkk Hj-i-1(KJ; k), J[m],|J|=j выражающая биградуированные числа Бетти в терминах когомологий полных подкомплексов. Из теорем Ауслендера–Буксбаума и Хохстера выводится эквивалентность первых двух пунктов в теореме 4.1.1.

В разделе 4.3 приведено доказательство эквивалентности пунктов 2 и 3 теоремы 4.1.1, являющееся наиболее содержательной ее частью. Показано, что эта эквивалентность имеет место также и в случае k = Z. Из теоремы 4.1.1 следуют два известных результата:

Теорема Райснера.8 Алгебра k[K] является алгеброй Коэна– Маколея в том и только том случае, когда для любого симплекса I K и i < dim K - |I| имеют место равенства Hi(linkK I; k) = 0.

Теорема Манкрса.10 depth k[K] s + 1 в том и только том случае, когда для любой точки x геометрической реализации |K| и i < s выполнено соотношение Hi(K; k) = Hi(|K|, |K| \ x; k) = 0.

Важный класс симплициальных комплексов составляют горенштейновы* комплексы. Горенштейновым* (над k) называется симплициальный комплекс, для которого (1) алгебра k[K] является алгеброй Коэна–Маколея, (2) -(m-n),2j(K) = 1 и j (3) K нельзя представить в виде K = l L, l 0.

Теорема Стенли.7 Комплекс K является горенштейновым* над k тогда и только тогда, когда для любого симплекса I K комплекс linkK I имеет когомологии сферы размерности dim linkK I = dim K - |I| (когомологии с коэффициентами в поле k).

В разделе 4.4 приведено новое доказательство этого результата. В разделе 4.5 исследованы свойства колец Стенли–Райснера сферических нерв-комплексов.

Теорема 4.5.1. Если K сферический нерв-комплекс ранга n, то depth k[K] = n.

Следствие 4.5.2. Если P выпуклый многогранник, то depth k[KP ] = dim P.

Из последнего следствия и результата Аврамова–Голода23 выводится Следствие 4.5.4. Алгебра когомологий H(ZP; k) является алгеброй Пуанкаре в том и только том случае, когда P простой многогранник.

На биградуированные числа Бетти нерв-комплексов многогранников имеется ряд соотношений, аналогичных свойствам горенштейновых* комплексов.

Теорема 4.5.8. Пусть P выпуклый многогранник размерности n с m гипергранями. Тогда 1. -i,2j(KP ) = 0 при i > m - n;

2. -(m-n),2j(KP) = 0 при j = m; -(m-n),2m(KP ) = 1;

3. -i,2j(KP ) = 0 при j - i > n;

4. -i,2j(KP ) = 0 при j - i = n и j = m.

Содержание главы В главе 5 исследуется число Бухштабера максимальная размерность торических подгрупп, свободно действующих на момент-угол пространствах и момент-угол комплексах. В разделе 5.1 дано определение инварианта Бухштабера s(·) и вещественного инварианта Бухштабера s(·) и показано, что s(P ) = s(KP) R и s(P ) = s(KP), что позволяет рассматривать только случай R R Л. Л. Аврамов, Е. С. Голод, Об алгебре гомологий комплекса Козюля локального кольца Горенштейна, Матем. заметки, Т.9, вып.1, 1971, 53–58.

симплициальных комплексов. Приведена конструкция универсальных комплексов Дэвиса–Янушкиевича Ul из работы. Для симплициального комплекса K на m вершинах число m - s(K) совпадает с наименьшим целым l, для которого существует невырожденное отображение из K в универсальный комплекс Ul согласно. Это соображение позволяет рассматривать число m - s(K) как обобщенный хроматический инвариант в смысле Р. Зивальевича19. Описание такого подхода к проблеме Бухштабера и основных свойств обобщенных хроматических инвариантов содержится в разделе 5.2, а в разделе 5.3 на его основе получен следующий результат:

Предложение 5.3.4. Если dim K = 1, а (K) хроматическое число комплекса K, то s(K) = s(K) = m- log2((K)+1).

R Показано, что в случае dim K = 2 также выполнено равенство s(K) = s(K). Вопрос о том, совпадают ли вещественное R и комплексное числа Бухштабера в общем случае до сих пор был открытым. В разделе 5.4 дан ответ на этот вопрос:

Теорема 5.4.2. Существует симплициальный комплекс U, dim U = 3, такой что s(U) = s(U).

R Доказательство этого утверждения состоит в переборе большого числа случаев и в конечном итоге сводится к компьютерному анализу с использованием среды GAP24.

В разделе 5.5 исследованы аддитивные свойства числа Бухштабера. Согласно результату Н. Ю. Ероховца17,18 для произвольных симплициальных комплексов K1 и K2 на множествах [m1] и [m2] выполнены неравенства s(K1) + s(K2) s(K1 K2) min{s(K1) + m2 - dim K2 - 1, s(K2) + m1 - dim K1 - 1}.

В большинстве примеров, возникающих в торической топологии, достигается равенство s(K1 K2) = s(K1) + s(K2), однако до сих пор было неизвестно, выполнено ли оно всегда. В раздеThe GAP Group, GAP – Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.4.12, 2008, http://www.gap-system.org.

ле 5.5 на основе предложения 5.3.4 показано, что это равенство может не иметь места:

Предложение 5.5.4. Пусть 1 граф Гретча, а 2 полный граф на четырех вершинах. Тогда s(12) = s(1)+s(2).

Содержание дополнения A В дополнительной главе А определены операции на симплициальных комплексах, обобщающие некоторые известные конструкции. Для симплициального комплекса K на m вершинах и симплициальных комплексов K1,..., Km определен новый симплициальный комплекс K(K1,..., Km). В частном случае, коi гда Ki = l -1, комплекс K(l1,..., lm) = K(K1,..., Km) был определен в работе25 и использован в работах Ю. М. Устиновского26,27 для доказательства гипотезы торического ранга для момент-угол многообразий.

Предложение А.6. Если K, K1,..., Km сферические нервкомплексы, то K(K1,..., Km) также является сферическим нерв-комплексом.

Благодарности Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю члену-корреспонденту РАН, профессору Виктору Матвеевичу Бухштаберу за постановку задачи и внимание на всех этапах написания работы. Автор благодарен д.ф.-м.н., профессору Т. Е. Панову за постоянный интерес с его стороны к этой теме. К.ф.-м.н. С. А. Мелихова и к.ф.-м.н. Н. Ю. Ероховца автор благодарит за ряд высказанных ими полезных замечаний. Автор также благодарен всему коллективу кафедры высA. Bahri, M. Bendersky, F. R. Cohen, S. Gitler, A new topological construction of infinite families of toric manifolds implying fan reduction, arXiv:1011.0094v3.

Ю. М. Устиновский, Операция удвоения многогранников и действия тора, УМН, 64:5(389) (2009), 181–182.

Ю. М. Устиновский, Гипотеза о торическом ранге для момент-угол комплексов, Матем. заметки, 90:2 (2011), 300–305.

шей геометрии и топологии Механико-математического факультета МГУ за поддержку и внимание.

Список публикаций по теме диссертации [1] А. А. Айзенберг, Связь инвариантов Бухштабера и обобщённых хроматических чисел, Дальневост. Матем. Журн.

11:2 (2011), 113–139.

[2] А. А. Айзенберг, В. М. Бухштабер, Нерв-комплексы и моментугол пространства выпуклых многогранников, Труды МИАН им. В.А.Стеклова, 275, 2011, 22–54. (Автором получены следующие результаты: определение и описание основных свойств нерв-комплексов, доказательство формулы для f-вектора нерв-комплекса, доказательство гомотопической эквивалентности ZP ZK (D2, S1), доказательство мульP типликативности бета-многочленов относительно произведения и джойна многогранников.) [3] А. А. Айзенберг, Экспоненциальный закон для К-степени, УМН, 64:4 (388) (2009), 175–176.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.