WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Изучение особенностей течений жидкости со свободными границами является очень актуальной задачей, поскольку такого рода течения встречаются повсеместно. Достаточно привести в качестве примеров такие сложные физические процессы, как накат волны на наклонный берег, взаимодействие волн с береговыми и донными сооружениями, погруженными в жидкость телами: задачи глиссирования, посадки гидросамолетов на поверхность водоемов и т. д. Практический интерес в таких задачах представляют как кинематические характеристики течений – поле скоростей, положение свободной границы, так и динамические – поле давления, величины гидродинамических нагрузок на твердые границы области течения или погруженные тела.

Исследованию процессов взаимодействия твердых и упругих тел с жидкостью посвящены работы многих отечественных и зарубежных ученых:

Л. И. Седова, Г. В. Логвиновича, В. В. Пухначева, А. А. Коробкина, А. Г. Терентьева, Э. И. Григолюка, А. Г. Горшкова, М. В. Норкина, В. И. Юдовича, Г. Г. Шахверди, H. Wagner, R. Zhao, O. Faltinsen, M. Greenhow, W. M. Lin, X. Zhu и др.

В работах приводятся аналитические и численные решения вышеуказанных задач, результаты лабораторных испытаний, однако, в связи со сложностью рассматриваемых явлений, получение как аналитических так и численных решений в полной математической постановке весьма затруднительно или невозможно, а лабораторные эксперименты, не говоря уже о натурных испытаниях, являются весьма дорогостоящими и трудоемкими. С другой стороны, непрерывный рост производительности компьютерной техники и все более возрастающая ее доступность для широкого круга исследователей, открывает новые возможности для решения ранее неисследованных, в силу их сложности, задач. Оба этих фактора и обуславливают постоянное увеличение общей доли вычислительного эксперимента в научных исследованиях по сравнению с аналитическими выкладками, лабораторными экспериментами и натурными испытаниями.



Несмотря на всю привлекательность использования аппарата вычислительной математики для моделирования таких процессов, этот путь, тем не менее, представляет значительные трудности, что обусловлено, во-первых, неизвестным заранее положением свободной границы области расчета, которое необходимо находить на каждом шаге по времени, во-вторых, ее сложным поведением, часто приводящим к нарушению связности области расчета и, в итоге, к вытекающим отсюда проблемам вычислительного характера.

Для описания движения сплошных сред традиционно используется два подхода: Эйлера и Лагранжа. Методы, основанные на подходе Эйлера, используют неподвижную сетку в системе координат наблюдателя, сквозь которую движутся материальные частицы (малые объемы) сплошной среды, все 3 физические характеристики при этом определяются в узлах данной сетки.

Методы, основанные на лагранжевом подходе, используют сетку, "вмороженную" в материальную среду. Это означает, что она двигается и деформируется вместе со сплошной средой. Узлы такой сетки жестко связаны ребрами и вместе с ними образуют ее ячейки, а при движениях и деформациях связи узлов сохраняются.

Использование классических численных методов как эйлерового так и лагранжевого типа для проведения вычислительных экспериментов связано с определенными трудностями. Основная проблема первых состоит в сложности постановки граничных условий в связи с заранее неизвестным положением свободной границы. Недостаток вторых – аварийный останов программы при пересечениях ребер ячеек сетки, возникающих в случае больших деформаций области расчета.

В последнее время все большее распространение стали получать бессеточные методы, к которым, следуя Лью1, будем причислять методы, не требующие использования связной сетки, по крайней мере, на этапе построения функций формы. К таковым, в частности, относятся бессеточный метод конечных элементов (MFEM – Meshless Finite Element Method) и метод естественных соседей (NEM – Natural Element Method), которые используют слабую форму уравнений динамики жидкости, для интегрирования которой и необходимо наличие сетки, что, несмотря на все несомненные достоинства этих методов, все же подразумевает привлечение сложных и ресурсоемких алгоритмов ее построения и алгоритмов определения свободной границы.

Особое место в ряду бессеточных методов занимает метод сглаженных частиц (SPH – Smoothed Particle Hydrodynamics), стремительно развивающийся и давший толчок к развитию множества других методов, использующих его идеологию (MPS – Moving Particle Semi-Implicit, ISPH – Incompressible SPH и др.). Ввиду общей идеологической основы методов, будем использовать для их именования общий термин – методы сглаженных частиц. Непосредственным предшественником метода сглаженных частиц является метод PAF (Particle-and-Force)2, от которого он унаследовал, среди прочего, и свое основное свойство – полное отсутствие сетки, обусловленное использованием сильной формы уравнений динамики жидкости. Эта специфика метода и определила ряд его преимуществ перед другими бессеточными методами:

простота программной реализации ввиду отсутствия потребности в сложных алгоритмах численного интегрирования и построения сетки, использование простейших алгоритмов определения свободных границ и границ раздела, непосредственный переход к решению трехмерных задач без привлечения дополнительных, не характерных для двумерных случаев, алгоритмов.

К настоящему моменту метод сглаженных частиц оброс значительным ко1 Liu G.R. Mesh free methods: moving beyond the finite element method // CRC Press. 2003. 712 p.

Harlow F. H., Meixner B. D. The Particle-And-Force Computing Method for Fluid Dynamics // Los Alamos National Laboratory Report LA-MS-2567. 1961.

личеством разнообразных модификаций, улучшивших качественные характеристики метода и его эффективность и позволивших ему завоевать твердые позиции в сфере численного моделирования задач из различных областей механики. Вышеперечисленные особенности метода обосновывают целесообразность его использования для решения задач, предлагаемых в настоящей работе.

Цель работы – адаптация и развитие метода сглаженных частиц для получения инструмента численного моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами, позволяющего определять гидродинамические нагрузки на твердые стенки области течения и погруженные тела.

Задачи исследования:

1. Разработка алгоритма метода сглаженных частиц для решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами и его реализация в виде комплекса программ.

2. Разработка алгоритма корректировки свободной поверхности для обеспечения устойчивости вычислений и корректного определения гидродинамических нагрузок.

3. Разработка алгоритмов перемещения абсолютно твердого тела и его взаимодействия с вязкой несжимаемой жидкостью.

4. Проведение расчетов тестовых и модельных задач методом сглаженных частиц. Сравнение полученных результатов с аналитическими и эталонными численными решениями, а также расчетами других авторов.

5. Проведение вычислительных экспериментов по моделированию течений вязкой несжимаемой жидкости при наличие больших деформаций свободных границ, приводящих к нарушению связности области расчета, включая процессы взаимодействия жидкости и погруженного твердого тела.

6. Определение значений гидродинамических нагрузок на твердые границы области течений и погруженные в жидкость тела.

Научная новизна работы:

1. Предложены модификации метода сглаженных частиц, использование которых дает возможность моделировать течения вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами, включая процессы взаимодействия жидкости с твердыми телами, а также вычислять гидродинамические нагрузки на твердые границы области течения и погруженные тела.

2. Разработан алгоритм на основе метода сглаженных частиц, позволяющий проводить моделирование сложных задач динамики жидкости на всех стадиях вычислительного эксперимента, включая этапы развитых течений, сопровождающиеся нарушением связности области расчета.

3. Проведены в полной нелинейной постановке численные расчеты задач о всплытии плоского кругового цилиндра в жидкости, входе и погружении в жидкость плоских цилиндров с различной формой основания в зависимости от варьируемых параметров. Определены гидродинамические нагрузки на вертикальные стенки бассейна, гидродинамические силы, действующие на цилиндры со стороны жидкости, исследованы процессы распространения волн, образующихся в результате падения цилиндров в жидкость.

На защиту выносятся:

1. Разработанная полиномиальная функция ядра четвертой степени, обладающая свойством монотонности первой производной и позволяющая стабилизировать вычисления за счет обеспечения равномерности расположения узлов "сетки".

2. Алгоритм корректировки свободной поверхности, позволяющий стабилизировать вычисления поля давления вблизи нее и получить удовлетворительные хронограммы гидродинамических нагрузок.

3. Алгоритм решения нестационарных задач, позволяющий моделировать течения вязкой несжимаемой жидкости, сопровождающиеся сильными деформациями свободной поверхности, взаимодействие жидкости с погруженными твердыми телами, определять гидродинамические нагрузки на твердые границы области течения и погруженные тела.

4. Результаты численного моделирования процессов всплытия плоского кругового цилиндра в жидкости, входа и погружения в жидкость плоских цилиндров с различной формой основания в зависимости от варьируемых параметров.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждаются адекватностью используемых математических моделей рассматриваемой предметной области и корректностью математических постановок задач и методов их решения, основываются на расчетах классических тестовых и модельных задач и сравнении их с известными аналитическими решениями или результатами расчетов, приведенных в работах других исследователей.

Практическая значимость результатов диссертационного исследования заключается в следующем. Метод сглаженных частиц с предлагаемыми в работе модификациями дает возможность проводить численное моделирование задач динамики жидкости со свободными границами, включая этапы развитых течений, особенностью которых является наличие сильных деформаций области расчета, и процессы взаимодействия жидкости с погруженными твердыми телами. Метод позволяет получать качественные картины поля давления, определять значения гидродинамических нагрузок на твердые границы области течения и твердые тела, погруженные в жидкость.

Основные результаты исследования использовались при выполнении работ в рамках проектов, выполненных в ЦНИТ КемГУ:

- проекта № 4829 "Численное моделирование течений жидкости со свободными границами современными численными методами на многопроцессорных вычислительных системах" (2005 год) по ведомственной научной программе федерального агентства по образованию "Развитие научного потенциала высшей школы".

- интеграционного проекта фундаментальных исследований Объединенного ученого совета по механике и энергетике СО РАН (2006–2008 годы) по теме "Численное моделирование нестационарного взаимодействия сложных упругих конструкций с жидкостью или газом Блок 2: "Нестационарное взаимодействие нелинейных поверхностных волн с плавающими и закрепленными упругими конструкциями Пункт 1. "Развитие методов расчета гидродинамических нагрузок при резко нестационарном воздействии волн с большими деформациями области течения".





- государственного задания на выполнение научно-исследовательских работ в рамках тематического плана ФГБОУ ВПО "Кемеровский государственный университет" (2012-2014 годы) по теме "Исследование воздействия весомой жидкости на закрепленные и плавающие конструкции и береговые сооружения" (регистрационный № 01201263105).

Представление результатов. Основные результаты диссертации представлялись на: III Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование" (Анжеро-Судженск, 2004); V Региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященной десятилетию Новокузнецкого филиала-института Кемеровского государственного университета (Новокузнецк, 2005); Всероссийской научно-практической конференции "Информационные недра Кузбасса" (Кемерово, 2004–2008); XI Международной научнометодической конференции "Новые информационные технологии в университетском образовании" (Кемерово, 2006); III международной летней научной школы "Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование" (Кемерово, 2006); VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых) (Красноярск, 2006); Международной конференции "Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики и экологии" (Томск, 2007); 3-й Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения" (Бийск, 2008); Международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2010); Научно-практической конференции "Современные проблемы механики сплошных сред" (Чебоксары, 2011); X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011); Научном семинаре "Информационные технологии и математическое моделирование" под руководством профессора Афанасьева К. Е. (Кемерово, 2004–2012); Научном семинаре "Прикладная гидродинамика" под руководством чл.-корр.

РАН Пухначева В. В. (Новосибирск, 2012); Научном семинаре "Вычислительные методы в гидромеханике" под руководством профессора Бубенчикова А. М. (Томск, 2012).

Публикации. По теме диссертации опубликована 20 работ, в том числе статьи в изданиях, рекомендованных ВАК для представления основных научных результатов диссертации.

Личный вклад автора. Основные научные и практические результаты диссертационной работы получены автором лично или при непосредственном его участии. Из печатных работ, опубликованных диссертантом в соавторстве, в диссертацию вошли только те результаты, которые автором получены лично на всех этапах диссертационного исследования.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка цитируемой литературы и приложения. Общий объём работы составляет 177 страниц машинописного текста, включая приложение – 8 страниц; библиографический список состоит из 170 литературных источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор работ, посвященных численным методам исследования задач динамики жидкости со свободными границами, на основе которого обосновывается актуальность и практическая значимость настоящей работы. Формулируется цель и задачи исследования, приводятся положения, выносимые на защиту, полученные в работе новые результаты, излагаются ее структура и краткое содержание.

Первая глава состоит из пяти параграфов и посвящена описанию математических и вычислительных методов и алгоритмов, используемых в работе для моделирования нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами.

В первом параграфе приводится общая постановка нестационарной задачи о движении однородной вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами. В некоторой области (t) Rd (d – размерность задачи) такое движение подчиняется системе уравнений Навье-Стокса:

dv 1 µ = f - p + v, (1) dt · v = 0, (2) где x(t) – радиус-вектор точек области (t), v(x, t) – вектор скорости, p(x, t) – давление, – плотность, µ – коэффициент динамической вязкости, f – вектор плотности массовых сил. v и p являются искомыми характеристиками процесса, , µ и f – параметры задачи, x и t – независимые переменные.

Для разрешимости системы (1)-(2) необходимо задать начальные и граничные условия. Пусть (t) = 1(t) 2(t) – граница области (t), где 1(t) и 2(t) – твердая и свободная границы соответственно. Тогда граничные и начальные условия имеют следующий вид:

{ v(x, t)|x (t) = v (t);

1 (3) pn(x, t)|x (t) = T · n - pn, v(x, t)|t=0 = v0(x), (4) где v (t) – скорость движения твердой границы 1. Если граница 1 неподвижна, то v 0.

К системе уравнений (1)-(2) с граничными и начальными условиями (3)(4) для перемещения частиц необходимо добавить следующее уравнение и начальные условия:

dx = v, (5) dt x(t)|t=0 = x0. (6) Второй параграф посвящен используемому в работе инструменту численного моделирования течений жидкости – методу сглаженных частиц3 4. Здесь вводятся базовые понятия метода, рассматриваются положенные в его основу идеи, обосновывается его свободно-лагранжевая природа.

Характерная особенность метода – отсутствие связной сетки, благодаря чему он успешно применяется для численного решения задач из различных областей механики, в том числе, для моделирования развитых течений жидкости с большими деформациями свободных границ.

Основу метода составляет формула усреднения функции по Стеклову:

f(x) = f(x)W (x - x, h)dD, (7) D где x, x D. Здесь и далее предполагается зависимость области интегрирования D от переменной x. Функция W называется функцией ядра, kh – радиус ее носителя, h называется радиусом сглаживания или сглаживающей длиной, а значение коэффициента k зависит от конкретного вида функции.

Проведение вычислительного эксперимента требует перехода к дискретным аналогам уравнений динамики жидкости (1)-(2). С этой целью вся область расчета представляется набором лагранжевых частиц (расчетных узлов), между которыми нет жестких топологических связей, характерных, например, для конечно-элементных сеток. Вместо этого используется понятие ближайших соседей. Множество ближайших соседей частицы i с центром xi определяется как Pi(t) = {xj Rd : (xi, xj) hi}, – некоторая метрика в Rd.

Lucy L.B. A numerical approach to the testing of the fission hypothesis / L. B. Lucy // Astron. J. 1977. 82(12).

P. 1013-1024.

Gingold R. A. Smoothed particle hydrodynamics: theory and application to non-spherical stars / R. A. Gingold, J. J. Monaghan // Mon. Not. R. Astr. Soc. 1977. 181. P. 375-389.

Функции формы строятся по данному множеству частиц, которое в разные моменты времени, в общем случае, различно, что и обеспечивает свободнолагранжевую природу метода.

Используя множество ближайших соседей в качестве набора узлов интегрирования, приходим к дискретной форме формулы (7):

n f(x) = f(x)W (x - x, h)dD f(xj)W (x - xj, h)Dj, (8) j=D где Dj – связанный с j-й частицей объем, n – число частиц в области D.

Ввиду отсутствия связной сетки, в методе сглаженных частиц задача определения объема частицы не может быть решена геометрически, подобно, тому как это делается в бессеточных методов, основанных на слабой форме уравнений движения (MFEM, NEM и др.). Вместо этого объем частиц принято вычислять по формуле Dj = mj/j, где массы mj задаются в качестве начального условия и сохраняют постоянные значения в течение всего времени расчета.

В третьем параграфе описывается методика получения дискретных аналогов уравнений движения, излагаются различные способы аппроксимации дифференциальных операторов, рассматривается схема интегрирования по времени системы уравнений (1)-(2). В работе используется схема расщепления по физическим процессам5, согласно которой значения скоростей на (n + 1)м шаге по времени находятся в 3 этапа. На первом этапе рассчитывается предиктор скорости – промежуточное значение скорости, которая сообщается частицам материальной среды массовыми силами и силами вязкого трения:

( ) µ v = vn + vn + f t. (9) Для получения на (n + 1)-м шаге по времени соленоидального поля скоростей, согласно требованию уравнения (2), следует подобрать соответствующую функцию давления. В соответствии с идеей схемы расщепления такая функция должна быть решением уравнения Пуассона (второй этап):

( ) 1 · v · pn+1 =. (10) t Третий этап – проектирование предиктора скорости на соленоидальное поле:

( ) vn+1 = v - pn+1 t. (11) Новые координаты xn+1 частиц материальной среды находятся интегрированием уравнения (5) с начальными условиями (6) по явной схеме Эйлера:

Chorin A. Numerical solution of the Navier-Stokes equations // Math. comp, 1968. Vol. 22. P. 745–762.

xn+1 = xn + vn+1t. (12) Уравнение Пуассона на давление (10) сводится к системе линейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей (в случае симметричного взаимодействия частиц). Поскольку такая схема интегрирования включает в себя как явный (вычисление скорости), так и неявный (вычисление давления) этапы, в западной литературе она получила название полунеявной.

В четвертом параграфе описываются способы постановки граничных условий в методе сглаженных частиц. В отличие от условий Дирихле, внедрение условий Неймана в матрицу системы линейных уравнений для расчета давления нарушает ее симметричность. В связи с этим в работе для решения системы уравнений используется обобщенный метод минимальных невязок с предобусловливанием из библиотеки SPARSKIT6. Здесь же приводятся формулы для вычисления гидродинамических нагрузок на твердые границы области течения.

В пятом параграфе приведен алгоритм метода сглаженных частиц.

Вторая глава состоит из четырех параграфов и целиком посвящена всестороннему тестированию метода сглаженных частиц. Приводятся математические постановки и результаты расчетов ряда тестовых и модельных задач.

На основе сравнения результатов, полученных методом сглаженных частиц, с аналитическими, эталонными численными решениями и результатами других авторов, демонстрируется эффективность метода для моделирования течений жидкости при наличии больших деформации свободных границ.

В первом параграфе на основе решения ряда тестовых задач делается вывод о сходимости метода и об эффективности его применения для решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости. Рассматриваются следующие задачи:

1. Задача о деформации жидкого эллипса.2. Задача о ламинарном течении жидкости в плоском канале (течение Пуазейля).

3. Задача о течении жидкости по наклонной плоскости.

4. Задача о падении капли в жидкость.

Для тестирования алгоритмов движения по времени, определения свободной границы и корректности сбора матрицы системы линейных уравнений решается задача Л.В. Овсянникова о деформации жидкого эллипса. Несмотря на то, что оригинальная постановка задачи приведена для идеальной жидкости, но в силу отсутствия в ее формулировке твердых границ, постановка условий на которых является основным отличием математических моделей Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems / Y. Saad // Society for Industrial and Applied Mathematics:

Second Edition. 2000. 460 p.

Овсянников Л.В. Общие уравнения и примеры // Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей: cб. работ теорет. отдела / Акад. наук

СССР, Сиб. отд-ние; Ин-т гидродинамики. Новосибирск:

Наука, 1967. С. 3-75.

идеальной и вязкой жидкостей, то, положив коэффициент перед вязким членом в уравнениях движения равным нулю (µ = 0), приходим к правомерности применения метода сглаженных частиц для решения задачи.

Была проведена серия расчетов с различным количеством частиц, представляющих расчетную область. Для подтверждения достоверности полученных результатов проводилось их сравнение с численным решением дифференциальной задачи эволюции свободной границы по методу Рунге-Кутта 4-го порядка. В таблице 1 приведены относительные погрешности длин полуосей эллипса в зависимости от рассматриваемого момента времени. Видно, что их значения растут со временем. Такое накопление ошибки обусловливается постепенной деформацией области расчета.

Уменьшение относительных погрешностей длин полуосей эллипса по мере увеличения числа частиц, участвующих в расчетах, свидетельствует о сходимости метода к точному решению (таблица 2).

Таблица 1. Относительная по- Таблица 2. Относительная погрешность значений полуосей грешность значений полуосей эллипса для N=20365 эллипса для t = 1.51 с t a b t a b 0.3 0.0011416 0.0131192 345 0.0134594 0.069750.9 0.0001529 0.0072871 1317 0.0054462 0.064351.2 0.0001384 0.0175529 5153 0.0022765 0.037751.51 0.0012172 0.0164775 20365 0.0012172 0.01647Далее решались задачи о ламинарном течении в плоском канале и о течении жидкости по наклонной плоскости, основное различие между формулировками которых заключается в наличии у последней свободной поверхности.

Решение задач показало, что относительная погрешность скорости достигает своего максимального значения вблизи твердых границ. Результаты решения этих задач, как и задачи о деформации эллипса, также свидетельствуют о первом порядке сходимости численного решения к точному.

В заключениИ параграфа приводятся результаты численного моделирования процесса падения круглой капли в бассейн с жидкостью той же плотности8. Результаты моделирования сравниваются с результатами автора вышеупомянутой работы, где данная задача решалась классическим методом сглаженных частиц на основе модели слабо-сжимаемой среды и с использованием отличного от применяемого в настоящей работе способа постановки граничных условий.

Метод сглаженных частиц является простым и эффективным средством получения качественных кинематических картин сложных течений с большиCueto-Felgueroso L. On the Galerkin formulation of the smoothed particle hydrodynamics method / L. CuetoFelgueroso, I. Colominas, G. Mosqueira, F. Navarrina, M. Casteleiro // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2004. 60.

P. 1475–1512.

ми деформациями свободных границ. Однако, во многих задачах наибольший интерес представляет поле давления и гидродинамические нагрузки на твердые границы областей течения, расчет которых является одним из основных слабых мест метода.

Предлагаемые во втором параграфе модификации метода, позволяют стабилизировать процедуру вычисления поля давления и, как следствие, получить возможность определять гидродинамические нагрузки на твердые поверхности, что, в свою очередь, дает возможность моделировать процессы взаимодействия жидкости с погруженными телами.

При моделировании течений жидкости методом сглаженных частиц часто приходится сталкиваться с явлением, которое характеризуется образованием групп (кластеров) частиц по всей области расчета, что оказывает серьезное влияние как на вычисляемые кинематические, так и динамические характеристики изучаемых процессов. Виной тому – особенность используемых для расчета градиента давления функций ядра, значение первых производных которых стремится к нулю по мере приближения к центру области носителя (рис. 1, а). Это приводит к ослабеванию сил отталкивания между парами частиц по мере их сближения, обеспечивая благоприятные условия для их кластеризации.

Решением этой проблемы может стать использование для аппроксимации градиента давления такой функции ядра, поведение первой производной которой на всей области ее носителя будет монотонным, что, соответственно, обеспечит монотонное возрастание отталкивающих сил между парами частиц по мере их сближения.9 В связи с тем, что в настоящей работе для проведения численных расчетов используется сплайн 4-ой степени с радиусом носителя равным 5/2h, для вычисления давления в работе предлагается функция ядра подобного вида:

(5/2 - q)4 - (3/2 - q)4, 0 q < 3/2;

W (x - x, h) = (5/2 - q)4, 3/2 q < 5/2; (13) 931h2 0, q 5/2, На рисунке 1 представлено сравнение формы первых производных функции ядра Морриса (а), используемой в работе для всех расчетов, за исключением вычисления градиента давления, и новой функции (б).

Несмотря на то, что вычисление градиента давления на основе предлагаемой функции ядра позволяет регуляризовать расчетную "сетку" внутри области течения, во многих задачах возникают все же проблемы, связанные с Johnson G. R. SPH for high velocity impact computations / G. R. Johnson, R. A. Stryk, S. R. Beissel // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1996. 139. P. 347-373.

Desbrun M. Smoothed particles: A new paradigm for animating highly deformable bodies / M. Desbrun, M. P. Cani.

// In Computer Animation and Simulation. Springer-Verlag, 1996. P. 61–76.

а) б) Рис. 1. Сравнение первых производных функции ядра Морриса (а) и новой функции (б) близким расположением частиц свободной поверхности к внутренним частицам среды, за счет недостаточного количества ближайших соседей у первых.

Это приводит к осцилляциям давлений в приграничных областях (рис. 2, а).

1.5 1.y y 1 0.5 0.0 0 1 2 3 0 1 2 x x а) б) Рис. 2. Поле давления: а) без использования потенциала взаимодействия, б) с использованием потенциала взаимодействия С целью избежания подобных эффектов предлагается алгоритм корректировки свободной границы, заключающийся в добавлении в правую часть уравнений движения дополнительных сил отталкивания, действующих на частицы свободной поверхности. В работе предлагается использование потенциала упругих шаров11:

{ Kr(r - r0)2, r r0;

(r) = (14) 0, r > r0, где Kr – коэффициент жесткости взаимодействующих упругих шаров (частиц жидкости), r – расстояние между ними, r0 – радиус действия потенциала.

Предложенный подход позволяет стабилизировать вычисления поля давления и получить достоверные кривые гидродинамических нагрузок. Для сравнения на рисунке 2 приведены кинематические картины течения и поле давБерлин А. А. Имитация свойств твердых тел и жидкостей методами компьютерного моделирования / А. А. Берлин, Н. К. Балабаев // Соросовский образовательный журнал. 1997. 11. C. 85-92.

ления без использования и с использованием корректирующего алгоритма в одни и те же моменты времени.

В третьем параграфе представлены результаты расчетов задач, включающие картины поля давления и кривые гидродинамических нагрузок.

Первой рассматривается задача о колебаниях жидкости плотности 1кг/мв прямоугольном бассейне длины . В начальный момент времени жидкость покоится и имеет форму свободной поверхности: y0 = 1+0.25cosxм, x [0, ].

Колебания жидкости происходят в поле силы тяжести с ускорением g = 1м/с2.

На рисунке 3 приведены результаты сравнения хронограмм гидродинамических нагрузок на левую стенку бассейна, полученные методом сглаженных частиц (а), а также обобщенным методом естественных соседей (б, кривая 1) и комплексным методом граничных элементов (б, кривая 2).

Ps -0.-0.-0.-0.-0.3 -0.-0.-0.40 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 t а) б) Рис. 3. Задача о колебаниях жидкости в прямоугольном бассейне. Хронограммы гидродинамических нагрузок на левую стенку бассейна: а) метод ISPH, б) методы GNEM и КМГЭ Результаты расчетов методами КМГЭ и GNEM рассматриваемой и последующих задач предоставлены авторами работ.12 Постановка следующей задачи отличается лишь уравнением свободной поверхности: y0 = 2 + 1.1cosxм, x [0, ]. На рисунке 4 представлено сравнение хронограмм гидродинамических нагрузок на левую стенку бассейна, полученных в ходе численных расчетов методом сглаженных частиц (а), обобщенным методом естественных соседей (б, кривая 1) и комплексным методом граничных элементов (б, кривая 2).

Начальные условия рассмотренной задачи, в отличие от рассмотренной ранее, способствуют формированию волновых образований, приводящих к возникновению режимов обрушения. При решении таких задач наблюдаются преимущества бессеточных методов перед традиционными. Как можно видеть из рисунка 4, после определенного момента времени, соответствующего моменту обрушения отраженной от правой стенки волны, расчет может быть Стуколов С. В. Решение нелинейных волновых задач гидродинамики идеальной жидкости комплексным методом граничных элементов: автореф. дисс. канд. физ. - мат. наук. Кемерово. 1999. 24 с.

Рейн Т. С. Численное моделирование движения вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами обобщенным методом естественных соседей: автореф. дисс. канд. физ. - мат. наук. Кемерово. 2008. - 20 с.

возможен только при использование бессеточных методов: метода сглаженных частиц и обобщенного метода естественных соседей.

P s Ps -2 --0 2 4 6 8 0 2 4 6 T t а) б) Рис. 4. Задача о колебаниях жидкости в прямоугольном бассейне при наличии режимов обрушения. Хронограммы гидродинамических нагрузок на левую стенку бассейна: а) метод ISPH, б) методы GNEM и КМГЭ В последнем параграфе второй главы представлены результаты моделирования процесса обрушения столба жидкости и последующего его течения по бассейну с сухим дном. Приведено сравнение результатов расчетов методом слаженных частиц с результатами, полученными обобщенным методом естественных соседей. Также приведено сравнение нагрузок на вертикальные стенки бассейна при различном количестве частиц, участвующих в расчетах.

Третья глава состоит из шести параграфов и целиком посвящена численному моделированию процессов взаимодействия жидкости с погруженными в нее телами различной формы и плотности. Несмотря на то, что большинство представленных задач обладают осевой симметрией, все задачи решаются в полной двумерной постановке.

В первом параграфе излагаются математические и вычислительные алгоритмы движения твердого тела в жидкости.

Во втором параграфе рассматривается специфика внедрения в матрицу СЛАУ для уравнения Пуассона на давление граничных условий Неймана на поверхности твердых тел квадратной формы.В третьем параграфе представлены результаты вычислительных экспериментов, в которых рассматриваются процессы всплытия плоских круговых цилиндров в бассейне, наполненном жидкостью плотности ж = 1000кг/м3. В экспериментах участвуют цилиндры, имеющие массовую плотность равную 0.5ж и 0.75ж. На рисунке 5 приведено сравнение картин течения в момент времени t = 0.108 c для цилиндра плотности 500кг/м3 при количестве используемых в расчетах частиц: 3478 (а), 6956 (б), 11574 (в), 17376 (г). Из рисунка можно сделать вывод о высокой степени совпадения картин течения, Lee E.-S. Comparisons of weakly compressible and truly incompressible algorithms for the SPH mesh free particle method / C. Moulinec, R. Xu, D. Violeau, D. Laurence, P. Stansby // Journal of Computational Physics. 2008. 227.

P. 8417-8436.

полученные численным моделированием при различном количестве расчетных частиц.

а) б) в) г) Рис. 5. Сравнение картин течений для различного количества частиц, b = 500 кг/мЧетвертый параграф посвящен моделированию процессов входа и погружения плоского цилиндра в бассейн с жидкостью. Рассматриваются цилиндры с круглой и квадратной формой основания плотности 500кг/м3.

На рисунке 6 представлены фрагменты течений в моменты времени 0.024 с (а), 0.072 с (б), 0.182 с (в), 0.3 с (г) в задаче о входе и погружении в жидкость плоского кругового цилиндра при использовании в расчетах 17905 частиц.

Также проводились расчеты с 3535, 7125 и 11915 частицами, моделирующими жидкость, неподвижные твердые границы и поверхность твердого тела.

а) б) б) г) Рис. 6. Задача о входе и погружении плоского цилиндра с квадратным основанием в бассейн с жидкостью На рисунке 7 представлены зависимости положения центра масс цилиндра (а), скорости центра масс (б) и гидродинамической силы, действующей на цилиндр (б), от времени. Кривая 1 получена для 3478, кривая 2 – для 6956, кривая 3 – для 11574 и кривая 4 для 17376 расчетных частиц.

0.0.0.0.0.0.0F 0.yc vc 43 0.0.1 0.0.0.30 0 0.1 0.2 0.3 0 0.1 0.2 0.3 0 0.1 0.2 0.t t t а) б) в) Рис. 7. Зависимость от времени положения центра масс цилиндра (а), скорости центра масс (б) и гидродинамической силы, действующей на цилиндр (в), b = 500 кг/мТочки минимума графика скоростей, очевидно, соответствуют экстремумам кривой положения центра масс цилиндра. В работе также приводятся таблицы, содержащие их числовые значения. Проводится сравнение результатов, полученных в ходе численных расчетов задачи с цилиндрами с круглым и квадратным основаниями.

В пятом параграфе рассматривается процесс несимметричного входа и последующего погружения в жидкость плоского цилиндра с квадратным основанием. Цилиндр имеет основание в форме квадрата, повернутого на угол /6 относительно собственного центра масс, при условии что до поворота стороны цилиндра располагались параллельно осям координат. Изображения, иллюстрирующие течение и поле давления в моменты времени 0.024 с (а), 0.052 с (б), 0.192 с (в), 0.3 с (г) для 17905 частиц, представлены на рисунке 8.

а) б) в) г) Рис. 8. Задача о несимметричном входе и погружении плоского цилиндра с квадратным основанием в бассейн с жидкостью В работе для каждой рассмотренной задачи, приводятся графики зависимостей от времени положения центра масс цилиндра, скорости центра масс и гидродинамических сил, действующих на цилиндр, полученные в ходе моделирования с различным количеством участвующих в вычислительных экспериментах частиц, на основании которых делается заключение о высокой степени их совпадения, а также о достоверности получаемых методом сглаженных частиц результатов.

В шестом параграфе рассматриваются задачи о входе и погружении круговых цилиндров различной массы (плотности) в жидкость. Исследуются процессы волнообразования, определяются гидродинамические силы, действующие на цилиндры со стороны жидкости, нагрузки на твердые стенки бассейна.

На рисунке 9 приведено сравнение картин течения в момент времени t = 0.120 с, полученных в настоящей работе (а) с численными решениями методом CIP15(б) и результатами лабораторных экспериментов16(в). Начальным моментом времени считается момент касания цилиндром невозмущенной свободной поверхности жидкости в бассейне.

а) б) в) Рис. 9. Задача о входе и погружении в жидкость плоского кругового цилиндра плотности b = 500кг/м3: а) результаты автора, б) результаты метода CIP, в) лабораторные снимки На рисунке 10 приведены хронограммы гидродинамических нагрузок (а) и уровень жидкости (б) на правой стенке бассейна: кривая 1 – b = 0.25ж, кривая 2 – b = 0.5ж и кривая 3 – b = 0.75ж. Максимальные значения нагрузок на стенки бассейна соответствуют моментам наката на них волн. На рисунке 11 приведены зависимости от времени положения центра масс цилиндров (а) и гидродинамических сил, действующих на цилиндры (б). Использование модели несжимаемой жидкости для определения пиковых нагрузок на затупленное тело в момент его удара о поверхность жидкости, не позволяет получить достоверные результаты, ввиду бесконечной скорости распространения малых Zhu X. Application of the CIP Method to Strongly Nonlinear Wave-Body Interaction Problems / X. Zhu // Doctoral thesis for the degree of doktor ingenior. 2006.

Greenhow M. Non-linear free surface effects: Experiments and theory / M. Greenhow, W. M. Lin, // Rep. No.

83-19, Dept. of Ocean Engineering, MIT, Cambridge, MA. 1983.

возмущений, однако, дальнейший процесс погружения описывается весьма хорошо17. Своих максимальных значений нагрузки на цилиндры достигают в моменты максимального их погружения в жидкость, минимальных значений – при максимальном подъеме.

400 0.30.P 200 ys s 10.0 0.5 1 0 0.5 t t а) б) Рис. 10. хронограммы гидродинамических нагрузок (а) и уровень жидкости (б) на правой стенке бассейна 20.0.10.yc F 10.0.0.0.0 0.5 1 0 0.5 t t а) б) Рис. 11. Зависимость от времени положения центра масс цилиндров (а) и гидродинамической силы, действующей на цилиндры (б) В заключении сформулированы основные результаты исследования:

1. Предложена новая полиномиальная функция ядра четвертого порядка, обладающая монотонной первой производной. Изложен алгоритм ее построения, обоснована целесообразность ее использования при решении задач с большими деформациями областей расчета.

2. Предложен способ корректировки свободной поверхности на основе потенциала парного взаимодействия. Добавление в правую часть уравнений движения Навье-Стокса дополнительной силы, действующей лишь на частицы свободной границы, и основанной на потенциале упругих Korobkin A.A. Initial stage of water impact / A.A. Korobkin, V.V. Pukhnachov // Ann. Rev. Fluid Mech. 1988. 20.

P. 159-185.

шаров позволяет стабилизировать расчеты, проводимые методом сглаженных частиц на основе схемы расщепления по физическим факторам и получить удовлетворительные графики гидродинамических нагрузок на твердые стенки области расчета.

3. Предложен алгоритм взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с абсолютно твердым телом.

4. На основе предложенных модификаций разработан алгоритм решения плоских задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами с возможностью моделирования процессов взаимодействия жидкости с абсолютно твердыми телами.

5. Показана эффективность предложенного алгоритма для решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами в полной нелинейной постановке на основе решения ряда тестовых и модельных задач. Проведено сравнение результатов численного моделирования задач методом сглаженных частиц с результатами других авторов, аналитическими, эталонными численными решениями, лабораторными экспериментами.

6. Проведены в полной нелинейной постановке вычислительные эксперименты по расчету задач о всплытии в жидкости плоского кругового цилиндра, а также о входе и погружении в жидкость цилиндров с различной формой основания в зависимости от варьируемых параметров.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Журналы, рекомендованные ВАК для представления основных научных результатов диссертации:

1. Afanas’ev K. E. Calculation of hydrodynamic loads at solid boundaries of the computation domain by the ISPH method in problems with free boundaries / K. E. Afanas’ev, R. S. Makarchuk // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2011. – Vol. 26. – № 5. – P. 447-464.

2. Афанасьев К. Е. Численное моделирование течений жидкости со свободными границами методами SPH и MPS / К. Е. Афанасьев, А. Е. Ильясов, Р. С. Макарчук [и др.] // Вычислительные технологи. Спец. выпуск. – Новосибирск, 2006. – Т.11. – №9. – С. 26-44.

3. Афанасьев К.Е. Алгоритм поиска ближайших соседей в методе сглаженных частиц и его параллельная реализация / К. Е. Афанасьев, Р. С. Макарчук, А. Ю. Попов // Вычислительные технологии. Спец. выпуск. – Новосибирск, 2008. – Т.13. – С. 9-14.

Тезисы и материалы конференций:

4. Макарчук Р. С. Численное моделирование вязких задач гидродинамики методом сглаженных частиц (SPH) / Р. С. Макарчук // Материалы III Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". – Анжеро-Судженск. – 2004.

– С. 82-84.

5. Макарчук Р. С. Решение нестационарных уравнений Навье-Стокса методом сглаженных частиц (SPH) / Р. С. Макарчук // Материалы V Региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, посвященной 10-летию Новокузнецкого филиалаинститута Кемеровского государственного университета. – 2005. – С. 2022.

6. Макарчук Р. С. Метод сглаженных частиц (SPH) для решения задач со свободными границами / Р. С. Макарчук // Тезисы XI Международной научно-методической конференции "Новые информационные технологии в университетском образовании". – Кемерово. – 2006. – С. 285-287.

7. Макарчук Р. С. Численное моделирование течений жидкости со свободными границами методом сглаженных частиц (SPH) / Р. С. Макарчук // Материалы III международной летней научной школы "Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование". – Кемерово. – 2006.

– С. 423-431.

8. Макарчук Р. С. Применение метода ISPH для расчета поля давления в задачах гидродинамики со свободными поверхностями / Р. С. Макарчук // Тезисы VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых). – Красноярск. – 2006. – С. 23.

9. Макарчук Р. С. Моделирование течений жидкости со свободными границами методом ISPH / Р. С. Макарчук // Инновационные Недра Кузбасса. IT-технологии: сборник научных трудов. – Кемерово: ИНТ. – 2007. – С. 329-334.

10. Макарчук Р. С. Численное моделирование течений жидкости при наличии больших деформаций свободной поверхности методами частиц / Р. С. Макарчук // Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики и экологии: Материалы Международной конференции. – Томск: Изд-во Том. ун-та. – 2007. – С. 121.

11. Afanasiev K. E. Comparative analysis of the SPH and ISPH Methods / K. E. Afanasiev, R. S. Makarchuk, A. Yu. Popov // Computational science and high performance computing III. – Springer – 2008. – P. 206-223.

12. Макарчук Р. С. Применение алгоритма регуляризации сетки для решения уравнения Пуассона в методе сглаженных частиц / Р. С. Макарчук // Тезисы докладов 3-й Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения". – Бийск. – 2008. – С. 66-67.

13. Макарчук Р. С. Модифицированное уравнение Пуассона для методов сглаженных частиц / Р. С. Макарчук // Тезисы докладов IX всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям "YM 2008". – Кемерово. – 2008. – С.

22-23.

14. Макарчук Р. С. Расчет поля давления в задачах гидродинамики со свободными границами на основе бессеточных аппроксимаций / Р. С. Макарчук // Материалы 15 Всероссийской научной конференции студентовфизиков и молодых ученых. – Кемерово-Томск. – 2009. – С. 611-612.

15. Макарчук Р. С. Вычисление гидродинамических нагрузок на твердые стенки области методом сглаженных частиц в задачах со свободными границами / Р. С. Макарчук // Тезисы международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике". – Новосибирск.

– 2010. – С.127-128.

16. Афанасьев К. Е. Вычисление гидродинамических нагрузок методом ISPH в задачах со свободными границами при наличии режимов обрушения / К. Е. Афанасьев, Р. С. Макарчук // Избранные проблемы гидродинамики больших скоростей: Сборник трудов научно-практической конференции "Современные проблемы механики сплошных сред". – Чебоксары. – 2011. – С. 34-45.

17. Afanasiev K. E. Hydrodynamic Loads Computation Using the Smoothed Particle Methods / K. E. Afanasiev, R. S. Makarchuk, A. Yu. Popov // Hydrodynamics - Optimizing Methods and Tools; editors H. E. Schulz, A.

L. A. Simoes and R. J. Lobosco, InTech. – 2011. – P. 51-68. ISBN 978-953307-712-3.

18. Макарчук Р. С. Расчет гидродинамических нагрузок в задачах со свободными границами методами SPH и ISPH / Р. С. Макарчук, А. Ю. Попов // Тезисы докладов Второй Всероссийской школы молодых ученыхмехаников "Актуальные проблемы механики". X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. – Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского университета им. Н.И.

Лобачевского. – 2011. – С. 69-70.

19. Макарчук Р. С. Численное моделирование процесса выхода плоского цилиндра из бассейна с жидкостью конечной глубины / Р. С. Макарчук // Информационно-телекоммуникационные системы и технологии (ИТСиТ-2012): Материалы Всероссийской молодежной конференции. – Кемерово. – 2012. – С. 230-231.

20. Макарчук Р. С. Исследование процесса погружения плоского цилиндра в однородную несжимаемую жидкость методом сглаженных частиц / Р.

С. Макарчук // Современные методы механики: Материалы международной молодежной конференции. – Томск.: Изд-во Том. ун-та. – 2012.

– С. 34-35.

Подписано в печать 10.10.2012 г. Формат 60х841/ Печать офсетная. Печ. л. 1,Тираж 100 экз. Заказ № Кемеровский государственный университет 650043, г. Кемерво, ул. Красная, 6.

Отпечатано в типографии издательства "Кузбассвузиздат" 650043, г. Кемерово, пр-т Советский 60б.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.