WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

В соответствии с методом, вся расчетная область делится на большое число подобластей (конечных элементов, КЭ), плотно заполняющих область. В каждом КЭ вводится система финитных векторных базисных функций {wn}, отличных от нуля только внутри данного элемента, и неизвестное поле внутри КЭ аппроксимируется линейной комбинацией базисных функций:

Nk k E(k ) = xiwi. (2) i=Используя (2) и применив метод Бубнова-Галеркина, вместо дифференциального уравнения (1) получаем систему линейных алгебраических уравнений QX = R + T + S X = B, (3) ( ) где R, и T – квадратные матрицы размерности N, ( N – общее число базисных функций), с элементами - (4) rmn = (µr wm )( wn)dV ;

Vk tmn = k0 V rwmwndV, (5) S – квадратная матрица порядка N, вид элементов которой определяется граничными условиями задачи, B – вектор-столбец возбуждения размерности N с элементами bm =-ik00 V J wmdV, (6) где 0 = µ0 / 0 – характеристическое сопротивление свободного пространства, m, n – глобальные номера базисных функций. Индекс номера КЭ в формулах (4) – (6) опущен, а интегрирование ведется по объему конечного элемента, которому принадлежат базисные функции wm и wn.

В данной работе были выбраны конечные элементы в виде тетраэдров, так как такие элементы хорошо аппроксимируют криволинейные поверхности. В качестве базисных функций низшего порядка для этих элементов выбраны функции Уитни [1], ассоциированные с ребрами тетраэдра ( Nk = 6). Эти функции имеют нулевую дивергенцию, что обеспечивает отсутствие ложных "градиентных" решений. В работе используются также базисные функции более высокого порядка ( Nk = 20), связанные с ребрами (по 2 функции на ребро) и гранями (по 2 функции на грань) тетраэдров. Совокупность этих функций образует иерархический базис, т. е. функции более высокого порядка включают как подмножество функции более низкого порядка. Такой вы9  бор базисных функций позволил построить многоуровневый решатель. В работе получены аналитические формулы, позволяющие вычислять матричные элементы (4) и (5) для тетраэдров произвольной формы и базисных функций разного порядка.

Большое значение для реализации метода имеет аппроксимация граничных условий, т. е. вычисление элементов матрицы S. Для ГУ типа электрической стенки коэффициенты xk = 0 и соответствующие строки и столбцы глобальной матрицы вычеркиваются. Для магнитной стенки элементы smn = 0. Для границы с поверхностным сопротивлением Zs (импедансной) получена формула i k smn = (n wm) (n wn)dS, (7) Zs S где интегрирование ведется по грани тетраэдра, лежащей на импедансной поверхности, n – орт внешней нормали к ней. Получены также выражения для матричных элементов, соответствующих возбуждающей поверхности (задана касательная составляющая электрического поля), и поверхности с граничными условиями излучения первого и второго порядка (абсорбционными граничными условиями, АГУ). Эти выражения применяются при расчете поля излучения, так как расчетную область приходится искусственно ограничивать замкнутой поверхностью, сквозь которую электромагнитная волна должна проходить без отражений.

После того, как вычислены все матричные элементы данного тетраэдра, можно построить его локальную матрицу, содержащую 36 элементов для базисных функций низшего порядка и 400 элементов для базисных функций высокого порядка. Затем все локальные матрицы объединяются в глобальную матрицу, с учетом того, что одно ребро и (или) одна грань может принадлежать нескольким конечным элементам. Алгоритм объединения (ассемблирования) с учетом граничных условий достаточно сложен и от эффективности его реализации зависит время построения матрицы и правой части уравнения (3). Так как глобальная матрица имеет большую размерность и разрежена, она хранится в памяти компьютера в сжатом виде.

Полученная в результате ассемблирования система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) затем решается одним из численных методов, в результате чего получается вектор коэффициентов разложения поля X. По этому вектору с помощью (2) рассчитывается распределение напряженности электрического поля в любом тетраэдре. Напряженность магнитного поля определяется по электрическому полю с по-мощью дифференцирования: H =-( ) iµ E. Поэтому поле H определяется с меньшей точностью, чем поле E. Так как обычно электрическое поле представляет больший интерес, это объясняет выбор уравнения (1) в качестве основного.

Электромагнитное поле в дальней зоне вычисляется с помощью метода вторичных источников излучения. По значениям E и H на поверхности с АГУ, ограничивающей расчетную область, определяются фиктивные плотности поверхностного 10  магнитного и электрического тока Jm, Jm и фиктивные плотности поверхностных s s зарядов e, m. Напряженности электрического и магнитного поля в данной точке s s вычисляются затем с помощью функций Грина G(r,r ') :

E(r) =-i µ G(r,r ')Je(r ')dS ' +-1 'G(r,r ')e(r ')dS '+ [ 'G(r,r ')Jm(r ')]dS '; (8) ss s SS S Hr) =-i G(r,r ')Jm(r ')dS ' +µ-1 'G(r,r ')m(r ')dS '- [ 'G(r,r ')Je(r ')]dS '. (9) ( ss s SS S Полученные данные позволяют рассчитать диаграмму направленности, сопротивление излучения и другие параметры излучателя.

Элементы zij матрицы сопротивлений многоплечего устройства рассчитываются по мощности Pj, поступающей в j-е плечо и заданному напряжению на i-м плече.

При этом мощность рассчитывается с помощью функционала, стационарного на решении задачи, что повышает точность результатов.

В третьей главе описываются алгоритмы построения конечно-элементной сетки. Сотовые телефоны состоят из множества диэлектрических и металлических деталей различной формы и размера, расположенных в непосредственной близости от антенны. Процесс их разработки состоит из нескольких этапов. На первом этапе средствами САПР создается геометрическая модель телефона. Эта модель неизбежно содержит ошибки в виде незначительных зазоров между объектами или их пересечений, вызванные как конечной точностью представления объектов в САПР, так и невнимательностью дизайнера. При импорте геометрической модели в программу электродинамического моделирования эти ошибки сохраняются. Отмеченные особенности предъявляют к генераторам сетки очень жесткие требования.

В работе был построен и реализован алгоритм двухуровневого построения сетки, малочувствительный к ошибкам геометрической модели. Он состоит из следующих этапов: 1. Каждому из исходных геометрических объектов назначаются материалы (металл, диэлектрик). Также помечаются электрически важные объекты (порт, печатная плата, подводящая линия, антенна). Дальше расчетный объем рассекается семействами перпендикулярных плоскостей. Положение плоскостей определяется исходя из предварительного установленного максимального шага и особенностей исходной геометрии, для корректного описания границ. Необходимо отметить, что данный процесс не чувствителен к ошибкам геометрии и иным встречающимся проблемам.

Построенные параллелепипеды проверяются на принадлежность соответствующим объектам. В результате исходные объекты заменяются параллелепипедным представлением. При этом неправильно построенные поверхности и ошибки аппроксимации поверхностей автоматически исправляются. При пересечения объектов приоритет отдается металлическому объекту, а в случае двух диэлектриков – объекту с большим. По новому представлению объектов строятся поверхностные треугольные сетки. Для объектов, помеченных как электрически важные, строятся точные по11  верхностные треугольные сетки. Если для объекта невозможно построить поверхностную сетку – используется представление, полученное на предыдущем этапе.

Поверхностные треугольные сетки, полученные на предыдущих двух этапах, объединяются в единую сеть. В случае пересечения треугольников один из них выбрасывается. При этом используются те же приоритеты, что и на предыдущем этапе.

Полученная объединенная сеть заполняется тетраэдрами. После построения конечноэлементной сетки тетраэдрам присваиваются предварительно заданные материалы.

Данный метод был проверен на наборе телефонов фирмы LG Electronics Inc., для которых было невозможно построить полностью автоматически конечноэлементные сетки с помощью известных коммерческих программ. Использовался персональный компьютер с процессором Core 2 Duo E6600, 2.4 ГГц и объемом памяти 4 Гб.

Таблица 1. Конечно-элементные сетки для сотовых телефонов Кол-во деталей те- Время построения Модель телефона Кол-во тетраэдров лефона сетки, минут RD3500 36 16 1,454,CT810 51 18 1,313,CG180 52 26 1,400,L602i 129 27 1,469,KF240 157 54 1,700,Таким образом, разработанный алгоритм позволяет в автоматическом режиме построить сетку для реальных моделей телефонов за приемлемое время (менее 1 часа) без предварительного исправления ошибок модели. Отметим, что время построения сетки с ручным исправлением ошибок геометрической модели требует высокой квалификации инженера и занимает несколько дней.

В четвертой главе рассмотрены методы и алгоритмы решения СЛАУ (3) и методы улучшения сходимости. При выборе метода учитывались большая размерность матрицы (более 1 миллиона неизвестных) и ее сравнительно плохая обусловленность.

Методы решения СЛАУ можно разбить на две основные группы – прямые и итерационные. Наиболее распространенный прямой метод основан на LU разложении. Обобщенный алгоритм выглядит следующим образом. 1 – Построение матрицы перестановок P для минимизации численной ошибки и оптимизации размера LU матриц. 2 – построение LU матриц с учетом матрицы перестановок P. 3 – последовательное ре шение систем Lf = f и UX = f. В рамках данной работы использовался пакет PARDISO входящий в состав библиотеки MKL фирмы Intel.

К итерационным относится часто применяемые методы, основанные на использовании процедур нелинейного программирования – нахождения минимума функций 12  многих переменных [2]. В качестве таких переменных используются неизвестные коэффициенты разложения, а в качестве функции – невязка решения. К таким методам относится метод сопряженных градиентов. Итерационные методы требуют меньше памяти, чем прямые и поэтому с их помощью можно решать задачи с большим числом неизвестных. Выбор между итерационными и прямыми методами решения необходимо делать, учитывая свойства получаемой в результате дискретизации матрицы.

Пусть Nn — количество узлов, Ne — количество ребер конечно-элементной сетки. Тогда Nn собственных значений матрицы Q — нулевые при k0 = 0. С увеличением волнового числа все они принимают отрицательные значения. Остальные Ne - Nn собственных значений соответствуют резонансам рассматриваемой физической структуры и являются положительными. Таким образом, матрица Q при k0 > становится знаконеопределенной и плохо обусловленной.

Для улучшения сходимости можно уравнение (1) переформулировать в терминах векторного потенциала A и скалярного потенциала - (µr A) - k0r (A +) = -iµ0J0, Дискретизация этого уравнения с помощью МВКЭ приводит к матричному уравнению T - k0 R MA XA BA = X B, MT M A где mn =-k0 V wmrndV, mA mn =-k0 V mrndV, m В отличие от матрицы Q, матрица этой системы не имеет отрицательных собственных значений, т. е. она положительно определена. Результаты расчета двумя методами приведены в таблице Таблица 2. Сравнение двух формулировок Число Формулировка Число итераций Время решения, с элементов 3622 E 104 0.A - 37 0.19631 E 222 6.A - 63 3.93805 E 340 A - 99 28.Как видно, формулировка задачи в терминах потенциалов позволила уменьшить количество итераций, необходимых для решения задачи с заданной точностью на одинаковых сетках примерно в 3 раза. Однако время решения уменьшилось всего в 13  раза. Это объясняется тем, что к исходной системе добавляются узловые элементы. В результате размерность системы увеличивается на величину, равную числу узлов сетки, что увеличивает стоимость одной итерации.

Для улучшения обусловленности получающихся СЛАУ можно воспользоваться разделением базисных функций с помощью метода графов. Для этого по полученной конечно-элементной сетке строится покрывающее дерево. Ветви дерева лежат на ребрах КЭ сетки. Через каждое ребро сетки может проходить только одна ветка дерева.

Ветви дерева не должны пересекаться. Все узлы КЭ сетки должны присутствовать в покрывающем дереве. Все реберные элементы, лежащие на ветвях дерева, можно заменить на градиентные функции, построенные на узлах этих ребер. Результирующая СЛАУ обладает теми же свойствами, что и для формулировки через векторный и скалярный потенциал. Разница заключается в прореживании блока, записываемого через реберные функции. В результате получившаяся СЛАУ имеет такую же размерность, как и исходная система уравнений. Численные эксперименты показали незначительное уменьшение времени решения по сравнению с методом потенциалов.

Наиболее эффективными с точки зрения скорости сходимости являются многосеточные методы. В основе этого метода лежат вычисления на последовательности вложенных сеток. Однако, можно построить многоуровневый метод и в терминах порядка базисных функций. Поскольку наши области не пересекаются – предобуславливатель представляет собой дополнение Шура:

I 0 A11 0- A11 A12 I A111AA == - A AA111 I 0 A22 - A21A111A12 0 I A21 В таблице 3 приведены результаты расчета по 3 методам – итерационным, многоуровневым и прямым.

Как видно, многоуровневый решатель обеспечивает максимальную эффективность, по сравнению с другими методами, в терминах времени решения. Также его особенностью является практически постоянное количество итераций в зависимости от числа неизвестных. Тем не менее, для решения практических задач он требует высоко качества аппроксимации поля функциями низшего порядка для обеспечения сходимости, что делает его не применимым для моделирования сложных микроволновых устройств. Также видно, что прямой решатель обеспечивает приемлемое время решения задач достаточно большой размерности.

Таблица 3. Сравнение различных методов решения СЛАУ Кол-во неизвест- Многоуровневый решаных Итерационный решатель тель PARDISO Итераций Время, сек. Итераций Время, сек. Время, сек.

94384 981 112 22 11,30 6,170644 1143 242 20 12,8 16,309969 1456 574 14 19,66 614748 2284 1870 8 37,8 14  Пятая глава посвящена описанию программы и результатов ее использования.

Программа RFS состоит из модуля графического пользовательского интерфейса, позволяющего создавать, импортировать и редактировать геометрические модели устройств. Модуль содержит геометрические примитивы (линии, поверхности и тела правильной формы), булевы операции над примитивами, операции перемещения, дубликации и отражения. Особенностью интерфейса является возможность легкого создания коаксиальных и полосковых линий передачи из полилиний.

Второй модуль содержит генераторы сетки, причем пользователь имеет возможность выбирать между различными генераторами.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»