WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

Задача Л.В. Овсянникова10 о деформации жидкого эллипса была выбрана для тестирования алгоритма движения по времени. Давление на границе круга задается постоянным: p = 0. Общая постановка задачи, как правило, приводится для идеальной несжимаемой жидкости. Основное отличие моделирования течений вязкой и идеальной жидкостей заключается в постановке граничных условий для функции скорости на твердой границе. Так как в задаче о деформации жидкого эллипса вся граница расчетной области является свободной, то данную задачу можно использовать для тестирования алгоритма движения по времени, как для идеальной, так и для вязкой жидкости, при значении коэффициента динамической вязкости = 0. Удовлетворительные расчеты были получены для 1200 и более частиц. Расчеты проводились с шагом по времени t = 110-3 до момента времени t = 1,5 с.

На рис. 1 приводится сравнение результатов расчета свободной границы, полученное обобщенным методом естественных соседей с решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений для задачи Л.В. Овсянникова методом РунгеКутта-Фельдберга. На рис. 1 деформация жидкого эллипса приводится для моментов времени t = 1, 0 с, t = 1,5 с. В численных расчетах число узлов по области бралось равным 1200, на свободной границе – 138. Ввиду симметрии области для сравнения приводится только верхняя полуплоскость. Результаты решения задачи методом естественных соседей хорошо согласуются с результатами, полученными методом РунгеКутта: значение относительной погрешности не превысило 0,15%.

а) б) t =1,Рис. 1. Деформация жидкого эллипса: а) с; б) t = 1,5 с Далее были проведены расчеты задачи о движении вязкой жидкости в плоской каверне. Пусть рассматривается двумерная область квадратной формы с длиной грани l = 1. Границы области являются твердыми стенками; нижняя и боковые грани 1 - 3 – неподвижные; верхняя граница 4 перемещается с постоянной скоростью.

Граничные условия для данной задачи задавались следующим образом:

u1(x,t) = 0,u2(x,t) = 0 – на твердых неподвижных стенках 1, 2,3, u1(x,t) = 1, u2(x,t) = 0 – на подвижной стенке 4, p n = 0 – на всех границах 1 - 4, p = p0 – в среднем узле нижней границы 2. Задача решается при значениях числа Рейнольдса Re = 100, 400,1000 и 1800. При этом в качестве характерной скорости выбирается скорость подвижной границы.

Проводится сравнение полученных картин течения для различных чисел Рейнольдса с расчетами других авторов. В частности, на рис. 2 приводится сравнение полученных автором линий тока для числа Рейнольдса Re = 1000 (рис. 2, а) с результатами, представленными в одной из последних работ, посвященных численному ре Овсянников Л.В. Общие уравнения и примеры // Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей: cб. работ теорет. отдела / Акад. наук СССР, Сиб. отд-ние; Ин-т гидродинамики. – Новосибирск:

Наука, 1967. – С. 3–75.

шению конечно разностными методами высокой точности стационарной системы уравнений Навье-Стокса (рис. 2, б). Хорошее качественное совпадение картин течения, а также количественное совпадение значений функции тока в центре основного вихря показывает достоверность расчетов, выполненных обобщенным методом естественных соседей.

б) а) Рис. 2. Линии тока Re = 1000 : а) результаты автора; б) результаты работы [11] Для исследования скорости сходимости обобщенного метода естественных соседей проводилось сравнение числа итераций (временных шагов), за которое задача о движении жидкости в квадратной каверне сходится к стационарному решению с заданной точностью в зависимости от числа расчетных узлов и значений числа Рейнольдса.

Для оценки сходимости итерационного процесса выбиралось значение функции тока в центре основного вихря.

Наиболее значимой характеристикой течения жидкости является давление. Такие бессеточные методы, как метод сглаженных частиц, не позволяют получить удовлетворительную картину поля давления в расчетной области. Модификация метода SPH – ISPH и метод MPS в связи с использованием модели несжимаемой жидкости способны представить более качественное распределение поля давления, но и здесь не удалось найти надежных результатов. Метод естественных соседей при решении системы уравнений Навье-Стокса позволяет восстанавливать давление с высокой точностью.

В качестве тестовой рассматривается задача об определении давления в покоящейся жидкости в прямоугольной области, верхняя граница которой является свободной, а боковые и нижняя – твердыми стенками. Задача решается для различного числа узлов области в отсутствии внешних сил, но при наличии ненулевого начального распределения скоростей. На свободной границе задается условие p = 0, на твердых границах – p n = 0. Требуется получить распределение давления на твердых стенках, а также нулевое значение компонент вектора скорости внутри области. Расчеты проводились до момента времени t = 5с, когда процесс устанавливался. К этому моменту численное давление было близко к гидростатическому. Относительная погрешность давления не превосходила 0, 01 %, а отклонение скорости от нулевого значения – 0,007 %.

Ковеня В.М. Об одном алгоритме решения уравнений Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости // ИВТ СО РАН. – Новосибирск. – 2006. – Т. 11, № 2. – С. 39–51.

Для тестирования взаимодействия вязкой жидкости конечной глубины с твердыми стенками была выбрана задача о колебаниях жидкости в прямоугольном бассейне и определении нагрузок на стенки бассейна. В расчетной области D : x [0; ], y [0; 1 + 0,25 cos(x)] жидкость движется под действием силы тяжести. В начальный момент времени распределение поля скоростей u(x, 0) = 0. Моделирование колебаний движения жидкости проводилось для различных значений числа Рейнольдса: Re = 400, Re = 10000, Re = 50000. Выбранное в начальный момент времени возвышение жидкости не приводит к образованию нелинейных режимов движения, при которых происходит формирование и дальнейшее обрушение волновых структур. Профили свободной границы, а также значения гидродинамических нагрузок, создаваемых идеальной жидкостью на твердых стенках, сравнивались с результатами, полученными комплексным методом граничных элементов (КМГЭ) для потенциальной модели идеальной жидкости12.

Одним из важнейших преимуществ метода естественных соседей перед классическими сеточными методами является возможность численного моделирования течений, сопровождающихся большими деформациями расчетной области. Для получения моментов обрушения расчетная область модернизировалась следующим образом: D : x [0; ], y [0; 2 + 1,1cos(x)]. Решение задачи осуществлялось методами GNEM и КМГЭ. Комплексный метод граничных элементов позволяет проводить моделирование лишь до момента соприкосновения гребня волны с подошвой. Дальнейший расчет становится невозможен вследствие нарушения связности области.

Обобщенный метод естественных соседей позволяет проводить моделирование течений, сопровождающихся сильными деформациями расчетной области. На рис. 3 приведены хронограммы нагрузок, создаваемых вязкой и идеальной жидкостями на правой и левой вертикальных стенках: кривая 1 (сплошная) – расчет методом GNEM, кривая 2 (пунктирная) – КМГЭ. Значения нагрузок после момента обрушения получены методом GNEM.

а) б) Рис. 3. Хронограммы динамической нагрузки:

а) на правой вертикальной границе области; б) на левой вертикальной границе области Во втором параграфе представлены результаты расчетов обрушения столба жидкости в прямоугольном резервуаре обобщенным методом естественных соседей.

Для проверки сходимости метода показано качественное совпадение картин течений для различного числа узлов области. Приведено сравнение текущих результатов с Афанасьев К.Е., Стуколов С.В. КМГЭ для решения плоских задач гидродинамики и его реализация на параллельных компьютерах: учеб. пособие – Кемерово, 2001. – 206 с.

расчетами, полученными бессеточным методом конечных элементов13. Получено распределение поля давления во всей области течения.

Найденное распределение поля давления позволило определить значения гидродинамических нагрузок на твердые вертикальные стенки области. Исследовано влияние ширины бассейна L и размеров столба жидкости на значения и характер нагрузок.

В третьем параграфе моделируется задача об обрушении столба жидкости при наличии слоя жидкости при основании. Для подтверждения достоверности результатов расчета проводится сопоставление полученных в диссертации картин течения задачи с экспериментальными данными14. На рис. 4 представлены фрагменты сравнения.

а) б) в) Рис. 4. Сравнение результатов работы авторов с экспериментальными данными в моменты времени: а)t = 0,281c; б)t = 0, 343 c; в)t = 0, 468 c Также проводится анализ численных результатов распределения гидродинамических нагрузок на вертикальные стенки области при изменении высоты h слоя жидкости при основании. В результате точно определено значение h, при котором момент обрушения возникает после отката образующейся в результате разрушения плотины волны.

В четвертом параграфе рассматривается процесс взаимодействия волны, формирующейся в результате обрушения плотины, с горизонтальным уступом. В расчетной области задачи об обрушении плотины со стороны правой вертикальной стенки дополнительно добавляется горизонтальный уступ.

Для оценки возможной силы удара жидкости по горизонтальной поверхности была проведена серия расчетов для следующего диапазона значений высоты преграды hg = 4h, 6h, 8h, 10h, 12h, где h – высота слоя жидкости при основании.

Del Pin F. The meshless finite element method applied to a lagrangian particle formulation of fluid flows // Instituto de Desarrollo tecnologico para la industria quimica (INTEC) universidad nacional del litoral noviembre, 2003. – 157 p.

Crespo J.S. Effect of wet bottom on dam break evolution // SPH European research interest community SIG. – 2007.– № 6. – 3 p.

На рис.5 приведены картины течения в моменты взаимодействия волны обрушения с горизонтальным уступом для различных значений параметра hg.

В работе проводится оценка максимального значения нагрузки и наибольшей силы удара волны по горизонтальной преграде для различных значений высоты горизонтального уступа над свободной границей. Определяются зоны отрицательного давления на горизонтальной границе уступа, возникающие в момент «отрыва» частиц жидкости от твердой стенки под действием силы тяжести.

а) б) в) Рис. 5. Взаимодействие волны с горизонтальной преградой:

а)hg = 4h ; б)hg = 6h ; в) hg = 8h Четвертая глава состоит из трех параграфов и посвящается обсуждению ряда вопросов, связанных с моделированием вязких несжимаемых течений методами естественных соседей на многопроцессорных вычислительных системах. На примере задачи об обрушении плотины исследуется производительность программного кода в зависимости от количества расчетных узлов и числа процессоров.

В первом параграфе рассматриваются вопросы геометрической декомпозиции расчетной области и балансировки загрузки процессоров, способы распределения данных по процессорам, а также особенности параллельной реализации обобщенного метода естественных соседей. Параллельный подход к численному решению задач механики жидкости при помощи обобщенного метода естественных соседей основан на декомпозиции матрицы СЛАУ на блоки, количество которых равняется числу процессоров; расчете каждым процессором своего блока и обмене данными между ними на каждом шаге по времени15. В качестве языка реализации программного комплекса был выбран Fortran 90 с расширением библиотечными функциями MPI (Message Passing Interface).

Многопроцессорные системы. Построение, развитие, обучение / К.Е. Афанасьев, В.Г. Домрачев, И.В. Ретинская и др. // М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2005. – 224 с.

Во втором параграфе приводится описание методов решения больших разреженных систем линейных алгебраических уравнений. Весьма эффективным методом решения подобных СЛАУ является метод сопряженных градиентов (МСГ). Представлен общий подход к построению последовательного и параллельного метода сопряженных градиентов и рассмотрены эффективные схемы хранения как самой матрицы системы уравнений, так и матрицы предобусловливателя.

В третьем параграфе для определения эффективности и ускорения реализованного параллельного алгоритма обобщенного метода естественных соседей была проведена серия расчетов на кластерах кафедры ЮНЕСКО по НИТ Кемеровского государственного университета и СКИФ Cyberia Томского государственного университета. В качестве тестовой решается задача об обрушении плотины.

Исследование производительности и эффективности программного кода выполняется в зависимости от размерности задачи и числа процессоров.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ В ДИССЕРТАЦИИ 1. Предложен и реализован метод построения расширенной триангуляции Делоне на основе диаграммы Вороного.

2. Проведен сравнительный анализ интерполяций Сибсона и Лапласа на решении уравнения Пуассона в сложных областях для различного числа расчетных узлов и точек интегрирования.

3. Реализован обобщенный метод естественных соседей для решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами, принадлежащий классу условно-бессеточных и основанный на методах естественных соседей и конечных элементов.

4. Проведено сравнение результатов численных расчетов, полученных обобщенным методом естественных соседей, с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других авторов.

5. Проведены численные эксперименты по расчету двумерных задач о движении вязкой несжимаемой жидкости с сильными деформациями свободных границ и определены значения гидродинамических нагрузок на твердые стенки области.

6. Разработана параллельная реализация обобщенного метода естественных соседей.

Достоверность полученных результатов следует из корректной математической постановки задачи, а также подтверждается сравнением результатов расчетов с известными аналитическими решениями, экспериментальными данными и расчетами других авторов.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Журналы, рекомендованные ВАК для представления основных научных результатов диссертации:

1. Рейн, Т.С. Метод естественных соседей для решения задач вязкой несжимаемой жидкости [Текст] / К.Е. Афанасьев, Т.С. Рейн // Вестник НГУ (Серия «Математика, механика, информатика»). – 2008. – T. 8, № 2. С. 31–38.

2. Метод естественных соседей на основе интерполяции Сибсона [Текст] / К.Е.

Афанасьев, С.Н. Карабцев, Т.С. Рейн, С.В. Стуколов // Вестник ТГУ. Выпуск «Информационные технологии и математическое моделирование» (Серия «Математика. Кибернетика. Информатика»). – 2006. – № 19. – С. 210–219.

Труды конференций:

Pages:     | 1 | 2 || 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»