WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

Личный вклад автора. Основные научные и практические результаты диссертации получены автором лично. В работе [1] автору принадлежит методика численного исследования задач динамики вязкой несжимаемой жидкости. В работах [2, 3] автором были проведены численные расчеты и реализован алгоритм построения функций формы Сибсона. В [4] автор участвовал в постановке задачи и разработке алгоритмов разбиения расчетной области ячейками Вороного. В работах [5, 6] автору принадлежит постановка задачи и анализ результатов. В работе [8] автору принадлежит реализация параллельных алгоритмов построения функций формы и формирования матрицы СЛАУ. В работе [9] автором были проведены расчеты модельных задач, а также сравнение полученных результатов с экспериментальными данными. Автор принимал участие в подготовке и представлении докладов на конференциях.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, списка цитируемой литературы и приложения. Общий объём работы составляет 180 страниц машинописного текста, включая приложение – 10 страниц; библиографический список состоит из 156 литературных источников.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность научному руководителю доктору физ.-мат. наук, профессору К.Е. Афанасьеву за постоянное внимание, многочисленные обсуждения и ценные замечания, способствовавшие успешному выполнению работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится характеристика метода естественных соседей и бессеточного метода конечных элементов. Указывается их место в системе современных численных методов. Подчеркивается, что основным достоинством метода естественных соседей является сочетание сеточного и бессеточного подходов к описанию среды. Здесь же формулируются цели и задачи исследования, положения, выносимые на защиту, и обосновывается актуальность поставленных задач.

Первая глава состоит из четырех параграфов и посвящена построению интерполяционных функций Сибсона и Лапласа на произвольной системе точек.

В первом параграфе рассмотрены основные способы дискретизации области, приведены определения, связанные с понятиями естественных соседей, разбиением Делоне и представлением области ячейками Вороного5, изложены эффективный алгоритм разбиения области ячейками Вороного и алгоритм определения границ области. Вводится понятие расширенной триангуляции Делоне. Представлена методика построения классической и расширенной триангуляций Делоне на основании диаграммы Вороного.

Второй параграф посвящен построению интерполяционных функций формы Сибсона. Рассматриваются алгоритмы решения задачи о вычислении в заданной точке x0 = (x0,y0) значения некоторой функции f (x) по ее значениям {fk = f (xk,yk )}, заданным на фиксированной системе точек {xk}.

Карабцев, С.Н., Стуколов С.В. Эффективный алгоритм генерации конечноэлементной сетки для метода естественных соседей уколов // Материалы III Международной научной летней школы «Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование». – Кемерово: ИНТ, 2006. – С. 401–409.

Интерполяционные функции Сибсона, основанные на понятии естественных соседей, базируются на диаграммах Вороного первого и второго порядков и определяются в двумерном случае через отношение площадей многоугольников:

n i(x) = Ai(x) A(x), A(x) = (x), i = 1,n, (1) Aj j =где A(x) – площадь ячейки Вороного первого порядка, в которую входит точка x, Ai(x) – площадь пересечения ячейки Вороного второго порядка точки x и площадью A(x). Для вычисления функций формы Сибсона необходимо искать пересечение ячеек Вороного первого и второго порядков, что является весьма трудоемкой задачей вычислительной геометрии. В настоящей работе рассматривается предложенный Д.Уотсоном6 алгоритм поиска площадей пересечения многоугольников путем разбиения многоугольника ориентированными треугольниками.

Третий параграф связан с построением интерполяции Лапласа (несибсоновской интерполяции), которое также опирается на определение соседей посредством разбиения области ячейками Вороного.

Пусть точка x = (x,y) принадлежит многоугольнику Вороного с числом сторон, равным n. Обозначим длины сторон многоугольника через si, i = 1,n, а высоты, опущенные из точки x на si, – через hi. Тогда интерполяционные коэффициенты Лапласа будут иметь следующий вид:

n -i = (si /hi) /hj, i = 1,n.

(2) s j j =Такой способ определения коэффициентов i проще и экономичнее, чем в подходе Сибсона, так как не требует вычисления площадей пересечения многоугольников. Методика построения функций формы Лапласа изложена в приложении 1.2.

Производные функций формы Сибсона и Лапласа можно получить дифференцированием выражений (1) и (2) соответственно.

Несибсоновская интерполяция имеет особенность, которая выводится из ее основных свойств. Если для заданного множества точек построить разбиение области ячейками Вороного, то многие из многоугольников разбиения будут симплексами. На симплексных многоугольниках функции Лапласа точно воспроизводят линейную функцию.

Носители функций формы Сибсона и Лапласа получаются из разбиения расчетной области ячейками Вороного и определения соседних узлов для точки x0 = (x0,y0), введенной в узловое разбиение. На основе функций формы Лапласа можно построить еще один вид интерполяции, основанный на понятии ячеек Вороного: расширенную интерполяцию Лапласа. Ее отличие от классической заключается в выборе множества соседних узлов для точки x0, а именно интерполяция проводится по всем соседям x0, удовлетворяющим критерию описанной окружности Делоне. Носитель функции формы в этом случае будет совпадать с носителем интерполяционной функции Сибсона, а коэффициенты интерполяции будут представлять функции формы Лапласа.

Watson D.F. Natural neighbor sorting on the N-dimensional sphere // Pattern recognition. – 1988. – Vol. 21, № 1. – P.63–67.

В четвертом параграфе проводится сравнение точного решения в некоторой замкнутой области уравнения Пуассона с заданными граничными условиями, а также с заданным численным решением для случаев, когда исконное уравнение аппроксимировалось функциями Сибсона, Лапласа и расширенной интерполяции Лапласа.

Тесты проводятся в областях с различной геометрией и с различным числом расчетных узлов. Рассматривается область D, верхняя граница 1 которой задается уравнением y = 0,5 Sin(x), x [0,2], а боковые и нижняя границы 2, 3, 4 являют- ся прямыми линиями: 2 : x = 0, y [-1,0]; 3 : y = -1,x [0,2];

4 : x = 2, y [-1, 0].

В описанной выше области решается уравнение Пуассона u = b для функции u = x y2 с граничными условиями Дирихле на 1 и Неймана на границах 2, 3, 4 : u = x y2,(x,y) 1;

u /n = -y2, ; ;.

(x,y) 2 u /n = -2 x y, (x,y) 3 u /n = y2, (x,y) В качестве численного метода решения уравнения Пуассона используется метод Галеркина в слабой форме. Численное интегрирование осуществляется по элементам расширенной триангуляции Делоне с помощью квадратур Хаммера. Полученная система линейных алгебраических уравнений решается методом сопряженных градиентов с предобусловливанием.

Показывается, что при одинаковом числе узлов области вычисление несибсоновской интерполяции занимает меньше времени, чем интерполяции естественных соседей и расширенной интерполяции Лапласа. Это объясняется тем, что методы построения функций формы Сибсона включают в себя алгоритмы поиска площадей пересечения многоугольников, что является трудоемкой задачей вычислительной геометрии. Для расширенной интерполяции Лапласа множество соседей точки интегрирования значительно больше, чем для несибсоновских функций формы. Отсюда наблюдается увеличение временных затрат на построение такого рода интерполяции и уменьшение погрешности вычислений. Тем не менее для одного и того же числа узлов алгоритм решения задачи, использующий для вычисления неизвестных функции формы Сибсона и расширенной интерполяции Лапласа, дает более точные результаты, чем альтернативный алгоритм, в основе которого лежат функции формы Лапласа.

Так как размер результирующей матрицы системы уравнений ограничен размером оперативной памяти ЭВМ, то несмотря на некоторые преимущества во времени построения несибсоновских функций формы, выгоднее использовать для интерполяции неизвестных функции формы Сибсона.

Вторая глава состоит из четырех параграфов и посвящена описанию математических и вычислительных алгоритмов, моделирующих нестационарные течения вязкой несжимаемой жидкости.

В первом параграфе приводится общая постановка нестационарной задачи движения однородной вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами.

Пусть в некоторой области течения D происходит движение ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости, описываемое системой уравнений Навье-Стокса:

Dui /Dt =-p /xi + /x (ui /x ) + fi, (3) j j. (4) ui xi = Здесь i = 1,2, j = 1,2, x(t) = (x1(t),x2(t)), по повторяющемуся индексу j производится суммирование. В системе уравнений (3)–(4) искомыми функциями являются давление p(x,t) и вектор скорости u = (u1(x,t),u2(x,t)), параметрами – плотность, коэффициент динамической вязкости и вектор массовых сил f = (f1, f2).

Так как жидкость вязкая, то на твердых стенках Гu выполняется условие при липания: ui = ui, i = 1,2. На свободной поверхности Г выполняется динамическое условие p = patm. Для нестационарной задачи задается положение расчетных узлов x(0) = x0 и распределение неизвестных функций во всей области течения:

u(x, 0) = u0(x), p(x, 0) = p0(x).

Во втором параграфе описывается метод расщепления для интегрирования по времени системы уравнений Навье-Стокса7. В случае, когда жидкость несжимаемая, не может быть использован явный метод интегрирования по времени, но даже при использовании неявного метода не удается устранить нефизические колебания функции давления. Суть метода расщепления заключается в разбиении описываемого физического процесса на два: конвекцию-диффузию и вклад давления. На первом этапе в уравнении движения учитываются только конвективные члены, в результате чего выделяется фиктивная переменная u(x,t) и записываются выражения для предиктора и корректора скорости:

*+1 ui* = uin + fit + /xj(ui /xj)t /, (5) uin+1 = ui* - t / (pn+1 /xi). (6) Здесь u(x,t) = 0,5 {un+1(x,t) + u(x,t), t = tn+1 -tn – шаг по времени.

[ ]+1/( ) На втором этапе решается уравнение Пуассона для давления:

(ui* /xi) /t = /xj(pn+1 /xj ). (7) Основной алгоритм движения по времени состоит из следующих шагов:

I) определяются границы области и строятся интерполяционные функции;

II) вычисляется предиктор скорости u(x,t) из системы (5);

III) решается уравнение Пуассона (7) для определения давления pn +1(x,t);

IV) вычисляется новое значение скорости un +1(x,t) из уравнения (6) с учетом найденного на шаге III давления;

V) вычисляется новое положение узлов на (n + 1)-м временном шаге:

x(t)n +1 = xn(t) + un+1(x,t)t и далее на шаг I.

В третьем параграфе описывается переход к слабой форме уравнений, полученных после расщепления основных уравнений, а именно: предиктора и корректора скорости (5)–(6), а также уравнения Пуассона (7). Для аппроксимации неизвестных функций используются функции формы Сибсона и Лапласа.

Марчук Г.И., Яненко Н.Н. Применение метода расщепления (дробных шагов) для решения задач математической физики // Докл. на Всесоюз. конф. по вычисл. матем., Москва, февраль 1965. Докл. на конгр. ИФИП, НьюЙорк, май 1965.

Одной из главных трудностей численного моделирования нестационарных уравнений Навье-Стокса является регуляризация условия несжимаемости (4). В описанном выше методе расщепления по пространственным переменным условие несжимаемости представляется уравнением Пуассона для давления (7). Для устранения нефизических осцилляций функции давления используется метод конечных приращений (Finite Increment Calculus8), основанный на понятиях дифференциального приближения9. При описании метода конечных приращений для стабилизации уравнений Навье-Стокса выписываются дифференциальные приближения уравнений движения и неразрывности, а также выражения для вычисления характеристических параметров метода.

Устойчивость решения системы уравнений Навье-Стокса методами, основанными на методе Галеркина, обеспечивается выбором конечно-элементных пространств для скорости и давления: степени интерполяционных полиномов компонент вектора скорости и давления должны удовлетворять условию Ладыженской-БабушкиБреззи (ЛББ). В данной работе для аппроксимации уравнения неразрывности используются линейные базисные функции (функции формы расширенной интерполяции Лапласа), для уравнения движения применяются квадратичные базисные функции (функции формы Сибсона). Построение так называемого обобщенного метода естественных соседей (GNEM – General Natural Element Method), гибрида методов MFEM и NEM приводит к удовлетворению условий ЛББ для совместной аппроксимации, что гарантирует невырожденность решения.

Четвертый параграф посвящен краткому описанию обобщенного метода естественных соседей. Для формирования дискретной системы уравнений используется метод Галеркина в интегральной форме. Тестовые расчеты, представленные в третьей главе, демонстрируют достаточную точность обобщенного метода естественных соседей при моделировании нестационарных задач о течении вязкой несжимаемой жидкости. Приводятся алгоритмы вычисления динамических и энергетических характеристик: давления, нагрузок и полной энергии системы.

Третья глава состоит из четырех параграфов. В ней приводится описание решения ряда тестовых и практических задач о течениях вязкой несжимаемой жидкости с большими деформациями границ расчетной области.

В первом параграфе на ряде тестовых задач демонстрируется эффективность применения метода естественных соседей для решения задач о движении вязкой несжимаемой жидкости.

Рассматриваются следующие задачи:

- ламинарное течение в плоском канале (течение Пуазейля) – задача с твердыми границами;

- задача Л.В. Овсянникова о деформации жидкого эллипса – задача со свободной границей;

- движение вязкой жидкости в квадратной каверне с движущейся крышкой;

- колебания жидкости в прямоугольном бассейне;

- распределение поля давления в покоящейся жидкости конечной глубины.

Onate E. A stabilized finite element method for incompressible viscous flows using a finite increment calculus formulation // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. – 2000. – Vol. 182, № 1–2. – Р. 355–370.

Шокин Ю.И. Метод дифференциального приближения. – Новосибирск: Наука, 1979. – 224 с.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»