WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Научная новизна Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Явно описаны решения уравнения типа DN для квантово минимального многообразия Фано размерности N в терминах его I-ряда.

2. Построена абстрактная теория Громова–Виттена для квантово минимальных многообразий. А именно, описано (в терминах образующих и соотношений) минимальное кольцо Громова–Виттена. Теории Громова– Виттена квантово минимальных многообразий это гомоморфизмы этого кольца в поле комплексных чисел. Также доказана абстрактная теорема восстановления, в которой строится конкретный изоморфизм между этим кольцом и свободным коммутативным кольцом, порожденным бесконечным числом переменных (“двухточечных инвариантов Громова– Виттена”).

3. Завершено доказательство гипотезы Голышева о модулярности трехмерных многообразий Фано с числом Пикара 1. А именно, найдены считающие матрицы многообразий V10, V14, V1, V2 и V2.

4. Найдены слабые модели Ландау–Гинзбурга для многообразий V16, V18 и V22 и изучены некоторые их свойства.

Основные методы исследования Для нахождения решений уравнений типа DN и считающих матриц многообразий Фано использованы соотношения между инвариантами Громова– Виттена, квантовая теорема Лефшеца и теоремы о квантовых когомологиях однородных пространств и торических многообразиях. Для нахождения слабых моделей Ландау–Гинзбурга многообразий Фано использован метод сравнения коэффициентов разложения решений детерминантальных уравнений и уравнений Пикара–Фукса.

Теоретическая и практическая ценность работы Диссертация имеет теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы представляют интерес для теории многообразий Фано, теории инвариантов Громова–Виттена и зеркальной симметрии.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на российских (семинар “Геометрия алгебраических многообразий” под руководством В. А. Исковских и Ю. Г. Прохорова в МГУ (2005–2006), семинар “Характеристические классы и теория пересечений” под руководством М. Э. Казаряна и С. К. Ландо (2005– 2007), семинар А. И. Бондала в МИАН (2007), семинар “Римановы поверхности, алгебры Ли и математическая физик” под руководством С. М. Натанзона, О. В. Шварцмана и О. К. Шейнмана (2007), семинар по алгебраической геометрии МИАН под руководством И. Р. Шафаревича (2007), Колмогоровские чтения V (Ярославль, Россия, 2007)) и международных (конференция GAEL-XI (Марсель, Франция, 2003), Algebraic Geometry and Topological Strings (Лиссабон, Португалия, 2005), Classification Problems and Mirror Duality (Москва, Россия, 2006), Moduli spaces of Riemann surfaces and related topics (Монреаль, Канада, 2007), “p-adic Mathphys–2007” (Москва, Россия, 2007)) научноисследовательских семинарах и конференциях.

Публикации автора по теме диссертации Основное содержание диссертации опубликовано в трех работах, список которых приведен в конце автореферата [1–3].

Краткое содержание работы Диссертация состоит из введения и трех глав.

Глава 2 посвящена общей теории инвариантов Громова–Виттена. Параграф 2.1 является подготовительным для всей диссертации и содержит основы теории Громова–Виттена. В частности, в нем определены инварианты Громова–Виттена. Эти инварианты подчинены некоторым соотношениям, имеющим место для всех многообразий данной размерности. При аксиоматическом определении инвариантов Громова–Виттена они являются аксиомами; при конструктивном построении инвариантов эти соотношения становятся теоремами. В том же параграфе определены квантово минимальные многообразия наименьший естественный с точки зрения квантовых когомологий класс многообразий. Соотношения позволяют выразить любой инвариант Громова–Виттена таких многообразий через несколько “базисных” инвариантов. Такими базисными инвариантами могут быть примарные двухточечные инварианты или одноточечные инварианты с потомками.

Одноточечный инвариант Громова–Виттена квантово минимального многообразия X размерности N, соответствующий классу Hj = (-KX)j, рациональной кривой (антиканонической) степени d и степени i относительно потомков обозначается через iHj. Рассмотрим I-ряд, то есть производящий d ряд IX = 1 + d+j+2HN-j tdhj/HN C[[t]][h]/hN+d 0 j N,d>одноточечных инвариантов Громова–Виттена. Квантовая теорема Лефшеца объясняет, как преобразуется этот ряд при переходе от многообразия к гиперповерхности в нем; в диссертации приведены точные формулы такого перехода для многообразий Фано и Калаби–Яу.

В этом же параграфе приведены теоремы, определяющие I-ряды грассманианов и гладких торических многообразий (в параграфе 3.1 мы обобщаем этот результат на случай гладких полных пересечений в особых торических многообразиях). Эти теоремы, вместе с точными формулами восстановления трехточечных инвариантов Громова–Виттена многообразия по его I-ряду, позволяют эффективно найти квантовые когомологии полных пересечений в грассманианах и торических многообразиях.

Параграф 2.2 посвящен квантовым D-модулям. Умножение в квантовых когомологиях многообразия X позволяет определить структуру D-модуля в тривиальном расслоении на торе Gm со слоем H(X, Q), эквивариантное дифференцирование на постоянных сечениях которого действует квантовым умножением на канонический класс. Регуляризация этого D-модуля, по зеркальной гипотезе, изоморфна D-модулю Пикара–Фукса двойственной модели Ландау– Гинзбурга. В случае квантово минимального многообразия X размерности N эта конструкция заметно упрощается. А именно, рассмотрим считающую матрицу, то есть матрицу двухточечных инвариантов Громова–Виттена a0,0 a0,1... a0,N-1 a0,N 1 a1,1... a1,N-1 a1,N,...

0 0... 1 aN,N j-i+где aij = ·(ожидаемое число рациональных кривых степени j - i + 1, (-KX )N пересекающих общие представители классов, двойственных к HN-j и Hi). Регуляризованный квантовый D-модуль задается оператором типа DN, который строится по этой матрице с помощью конкретного алгоритма, сформулированного Голышевым. В диссертации доказывается следующая теорема первый основной результат диссертации.

Теорема (следствие 2.49). Рассмотрим регуляризованный I-ряд для квантово минимального многообразия X размерности N IX = 1 + d+j+2HN-j tdhj/HN(h + 1) ·... · (h + d) C[[t]][h]/hN.

d 0 j N-1,d>Пусть IX = Ikhk, где Ii для каждого i ряд от t. Тогда N функций 0 k N-I0, I0 log(t) + I1, I0 log(t)2/2! + I1 log(t) + I2,...

образуют базис ядра оператора типа DN для X.

Таким образом, решения уравнения, задающегося в терминах примарных двухточечных инвариантов Громова–Виттена выражаются в терминах одноточечных инвариантов. В частности, она позволяет переформулировать квантовую теорему Лефшеца в терминах дифференциальных операторов.

Рассмотрим уравнения типа DN, построенные по матрицам с переменными коэффициентами. Оказывается, их решения (как формальные ряды от коэффициентов матрицы) получаются друг из друга “ограничением”. Это наталкивает на мысль о существовании универсальной теории Громова–Виттена для квантово минимальных многообразий, не зависящей от размерности многообразия. Такая теория построена в параграфе 2.3. А именно, определение инвариантов Громова–Виттена и соотношений между ними переформулировано в виде, не зависящем от объемлющего многообразия (это достигается “опусканием” одного коэффициента с помощью двойственности Пуанкаре). Далее, определено минимальное кольцо Громова–Виттена GW, порожденное образующими и соотношениями, восходящими к теории Громова–Виттена. В диссертации доказывается следующая теорема, обобщающая первую теорему восстановления Концевича–Манина на абстрактный случай. Она является вторым основным результатом диссертации.

Теорема 2.56 (абстрактная теорема восстановления). Пусть r : C[aij] GW отображение, переводящее aij в символы двухточечных инвариантов (более подробно см. в тексте диссертации). Тогда r является изоморфизмом.

Таким образом, теория Громова–Виттена любого квантово минимального многообразия это отображение GW C. Несмотря на то, что кольцо GW изоморфно свободному кольцу, оно дает очень удобный язык для теорий Громова–Виттена: инварианты на этом языке это универсальные многочлены от aij. Все доказательства предыдущих параграфов основаны на соотношениях между инвариантами; таким образом, их можно дословно повторить в абстрактном случае. В частности, определить универсальный регуляризованный I-ряд, из которого решения уравнений типа DN получаются ограничением.

Глава 3 посвящена гипотезе зеркальной симметрии вариаций структур Ходжа для трехмерных многообразий Фано с группой Пикара Z. А именно, сопоставим такому многообразию не одну считающую матрицу A, а их семейство AE, где E единичная матрица. Следующая гипотеза относится к 17 трехмерным многообразиям Фано из списка Исковских. Для 12 из них утверждение гипотезы было проверено ранее; для 5 оставшихся многообразий гипотеза доказывается в диссертации. Это есть третий основной ее результат.

Гипотеза Голышева. Для трехмерных гладких многообразий Фано с группой Пикара Z решения уравнений D3 модулярны. Конкретнее, пусть X deg X такое многообразие, iX его индекс, а N = его уровень11. Тогда в 2iX X семействе считающих уравнений для X есть такое уравнение L [(z)] = 0, решением которого является ряд Эйзенштейна веса 2 на модулярной кривой X0(N).

Основываясь на этой гипотезе, Голышев предсказал считающие матрицы для всех 17 семейств многообразий Фано с группой Пикара Z из списка Исковских. Для доказательства гипотезы необходимо проверить, что предсказанные матрицы и есть считающие матрицы для этих многообразий. Для 12 из них считающие матрицы были найдены Бовилем (полные пересечения и многообразие V5), Кузнецовым (V22) и Голышевым (V12, V16 и V18). Матрицы для оставшихся многообразий получены в параграфе 3.3. А именно, в теореме 3.получены считающие матрицы многообразий V10 и V14.

Общие многообразия V1 V2 и V2 можно представить как полные пересечения во взвешенных проективных пространствах. Гипотеза Голышева для этих многообразий (теорема 3.22) следует из теоремы об I-ряде для гладких полных пересечений в (особых) торических многообразиях (теорема 3.12), доказанной в параграфе 3.1.

Наконец, глава 4 посвящена методам нахождения и изучению свойств кандидатов на роль моделей Ландау–Гинзбурга трехмерных многообразий Фано.

Метод, использованный в диссертации, позволяет свести ее в некоторых случаях к комбинаторике.

Рассмотрим квантово минимальное многообразие X размерности N. Пусть 1+a1t+a2t2 +... аналитическое решение уравнения типа DN для него. Рассмотрим многочлен Лорана f C[x1, x-1,..., xN, x-1]. Пусть bi свободный 1 N член многочлена fi.

Определение. Многочлен Лорана f называется очень слабой моделью Ландау–Гинзбурга для X, если ai = bi для всех i.

Многочлен Лорана f называется слабой моделью Ландау–Гинзбурга для X, если он является очень слабой моделью Ландау–Гинзбурга для X и для Здесь N временно обозначает не размерность, а уровень модулярной кривой, как это принято в теории модулярных форм общего t C гиперповерхность (1 - tf = 0) бирационально эквивалентна многообразию Калаби–Яу.

Смысл этого определения объясняется следующим предложением, относящимся к математическому фольклору.

Предложение 4.3. Ряд 1 + b1t + b2t2 +...

является решением уравнения Пикара–Фукса для пучка {(1 - tf), t C}.

Кроме того, общая философия зеркальной симметрии говорит о том, что общий слой модели Ландау–Гинзбурга должен быть многообразием Калаби– Яу.

Прямой способ нахождения слабых моделей Ландау–Гинзбурга состоит в следующем. Рассмотрим многочлен Лорана с неопределенными коэффициентами. Напишем свободные члены его степеней как многочлены от этих неопределенных коэффициентов и, зная решение уравнения типа DN, решим полученную систему уравнений. Однако этот способ неприемлем с вычислительной точки зрения: уже для трехмерных многообразий он оказывается очень громоздким. Поэтому надо вести поиск подходящих моделей не среди всех многочленов, а среди многочленов из некоторого более узкого класса. В параграфе 4.3 обсуждаются способы такого поиска. Как показывает опыт, многочлены должны быть “простые”: имеющие много симметрий, имеющие маленькие целочисленные коэффициенты. Но основной способ связан с торическими каноническими (то есть с каноническими особенностями) вырождениями многообразий Фано. Общая философия говорит, что двойственная модель не зависит от деформации многообразия. Допустим, что трехмерное многообразие вырождается к торическому многообразию с каноническими особенностями. Тогда (гипотетически) выпуклая оболочка веера этого торического многообразия совпадает с многогранником Ньютона двойственной слабой модели Ландау– Гинзбурга. На данный момент для большинства трехмерных многообразий Фано неизвестно, допускают ли они канонические торические вырождения.

Однако такое предположение помогает найти двойственные модели. В том же параграфе показано, что основные численные инварианты (антиканоническая степень, размерность антиканонической линейной системы, число Пикара) сохраняется при таких вырождениях. Для торического многообразия эти инварианты определяются комбинаторикой его многогранника. Таким образом, можно выделить небольшое число многогранников и искать слабые модели Ландау–Гинзбурга среди многочленов с такими многогранниками Ньютона.

Такой подход подсказывает и естественную компактификацию слабых моделей Ландау–Гинзбурга внутри торических многообразий, соответствующих этим многогранникам.

Венчает главу теорема 4.4 (четвертый основной результат диссертации), в которой находятся слабые модели Ландау–Гинзбурга для многообразий V16, V18 и V22. В параграфе 4.2 обсуждаются также свойства найденных моделей;

они подтверждают предсказания других версий зеркальной симметрии. Метод, примененный в диссертации, применим и для гораздо более широкого класса многообразий. Автору неизвестны модели Ландау–Гинзбурга для многообразий Фано с группой Пикара Z, не являющиеся компактификациями слабых моделей.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям В. В. Голышеву и В. А. Исковских за постановку задачи, помощь, постоянное внимание и многочисленные советы на всех этапах подготовки диссертации, а также благодарит М. Э. Казаряна, Д. О. Орлова, Ю. Г. Прохорова, И. Радлоффа, И. А. Чельцова и К. А. Шрамова за полезные обсуждения и замечания.

Публикации автора по теме диссертации [1] Пржиялковский В. В., Инварианты Громова-Виттена трехмерных многообразий Фано рода 6 и рода 8, Матем. сб., 2007, 198:3, 145–158.

[2] Пржиялковский В. В., Квантовые когомологии гладких полных пересечений во взвешенных проективных пространствах и особых торических многообразиях, Матем. сб., 2007, 198:9, 107–122.

[3] Пржиялковский В. В., Минимальное кольцо Громова-Виттена, Деп. в ВИНИТИ 16.10.07, № 961-В 2007.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»