WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Математический институт им. В. А. Стеклова Российская Академия Наук

На правах рукописи

УДК 512.76 Пржиялковский Виктор Владимирович Инварианты Громова–Виттена многообразий Фано Специальность:

01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва – 2007

Работа выполнена в отделе теории чисел Математического института имени В. А. Стеклова РАН Научные руководители:

д. ф.-м. н., профессор Василий Алексеевич Исковских;

к. ф.-м. н. Василий Викторович Голышев.

Официальные оппоненты:

д. ф.-м. н. Дмитрий Олегович Орлов;

д. ф.-м. н. Николай Андреевич Тюрин.

Ведущая организация:

Механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова.

Защита диссертации состоится 20 декабря 2007 г. в 1400 на заседании диссертационного совета Д.002.022.03 в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук по адресу:

119991, Москва, ул. Губкина, 8 (9 этаж).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического Института им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан 20 ноября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.022.03 в МИ РАН д. ф.-м. н. Н. П. Долбилин

Общая характеристика работы

Актуальность темы Зеркальная симметрия одна из наиболее молодых и бурно развивающаяся область математики. Возникнув в конце 1980-х годов в недрах теоретической физики, она сразу же заинтересовала математиков. По этой тематике были опубликованы работы Концевича, Манина, Вуазен, Тюрина, Яу, Ван Стратена, Дубровина, Фултона, Окунькова, Орлова, Кокса, Гивенталя и многих других. Феномен зеркальной симметрии нельзя охарактеризовать как принадлежащий какой-то одной классической ветви математики. Особый интерес зеркальной симметрии придает то, что она находится на стыке алгебраической геометрии, симплектической геометрии, топологии, гомологической алгебры, комбинаторики, математической физики и многих других наук.

Изучая теорию струн, физики заметили, что по каждому многообразию Калаби–Яу (то есть гладкому1 односвязному алгебраическому многообразию с тривиальным каноническим классом) можно построить так называемую суперконформную теорию поля. Математического ее определения пока нет (физическое определение использует фейнмановский интеграл, не вполне строго определенный математически). Эта теория изучает пары многообразий с двумя типами свойств: симплектическими с одной стороны и алгеброгеометрическими с другой.

Зеркально симметричное многообразие для многообразия Калаби–Яу V это такое многообразие V, симплектические свойства которого трансформируются в алгебро–геометрические свойства исходного, и наоборот. Для чисел Ходжа это означает, что hp,q(V ) = hn-p,q(V ), где n (комплексная) размерность многообразий V и V. Иными словами, ромбы Ходжа V и V получаются друг из друга поворотом на 90; отсюда и название зеркальная симметрия.

Несмотря на то, что такие конструкции базируются на нестрого определенных понятиях, с их помощью физикам удалось сделать конкретные численные предсказания. Отсчет этим предсказаниям, по-видимому, следует вести с знаменитой статьи Канделаса–де ла Оссы–Грина–Паркса2. В этой статье обсуждается зеркальная симметрия для общей трехмерной квинтики.

Конструкция, приведенная в этой статье, является частным случаем конструкций зеркальной симметрии для полных пересечений. А именно, в статье предъявляется пучок многообразий Калаби–Яу, такой что из решений уравнений Пикара–Фукса для этого пучка восстанавливается производящий ряд для Или, более общо, имеющему канонические горенштейновы особенности.

[COGP91] P. Candelas, X. de la Ossa, P. Green, L. Parkes, A pair of Calabi–Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory, Nucl.Phys. B 359 (1991), 21–74.

чисел Nd = nd/k, kk|d где nd это числа рациональных кривых степени d на трехмерной квинтике.

Гипотеза Клеменса утверждает, что эти числа конечны. Эта гипотеза доказана для малых d; доказательство в общем случае опубликовано, но еще не до конца проверено3. Таким образом, зеркальная симметрия позволяет эффективно вычислить nd для любого сколь угодно большого d. Предсказанные ею числа совпадают с числами, вычисленными ранее: число прямых n1 = 2875 было найдено еще в 19 веке Шубертом, число коник n2 = 609250 было найдено Кацем в 1986 году, а число скрученных кубик n3 = 371206375 Эллингсрудом и Стромме в 1994.

Математических версий зеркальной симметрии существует несколько (естественно, все они тесно связаны между собой). Мы остановимся на двух из них, наиболее разработанных: гомологической зеркальной симметрии и зеркальной симметрии вариаций структур Ходжа. Перед их описанием отметим, что довольно скоро гипотезы зеркальной симметрии стали формулироваться не только для многообразий Калаби–Яу, но и для других классов многообразий (Батырев, Гивенталь, Хори, Вафа); наиболее интересные случаи это случаи многообразий Фано (то есть многообразий с обильным антиканоническим классом).

Гипотеза гомологической зеркальной симметрии была предложена Концевичем на докладе на Математическом Конгрессе в 1994 году4. Объектами зеркальной симметрии являются гладкие алгебраические многообразия и пучки многообразий W : Y A1. Каждому алгебраическому многообразию X можно сопоставить производную категорию когерентных пучков Db(CohX), или D-бран типа B. С другой стороны, каждому пучку W : Y A1 можно сопоставить (производную) категорию исчезающих Лагранжевых циклов D(Lagvc(W )) (D-бран типа A).

Гипотеза гомологической зеркальной симметрии утверждает, что для каждого многообразия X найдется такой пучок W, что эти категории эквивалентны:

Db(CohX) D(Lagvc(W )).

= Позднее эта гипотеза была усилена. А именно, была сформулирована идея существования (производной) категории Фукаи DF(X), объекты которой Лагранжевы подмногообразия, снабженные локальными системами (D-бран см. [Wa05a] B. Wang, Clemens’ conjecture: part I, II, препринты arXiv:math/0511312 и arXiv:math/0511364.

[Ko94] M. L. Kontsevich, Homological algebra of mirror symmetry, Proc. International Congress of Mathematicians (Zrich 1994), Birkhuzer, Basel, 1995, pp. 120–139.

типа A). С другой стороны, Орлов определил5 производную категорию особенностей (D-бран типа B). Усиленная гипотеза гласит, что для зеркальной пары, кроме вышеописанной эквивалентности, эквивалентны также категория Фукаи для X и производная категория особенностей для W. Однако, так как категория Фукаи не определена в полной мере, обычно под гомологической зеркальной симметрией понимают только первую эквивалентность.

Другая гипотеза зеркальной симметрии зеркальная симметрия вариаций структур Ходжа. Опишем ее для гладких многообразий Фано с группой Пикара Z.

Ключевым для этой гипотезы является понятие инвариантов Громова– Виттена. Теория инвариантов Громова–Виттена для проективных алгебраических многообразий была определена аксиоматически Концевичем и Маниным в 1994 году6; ими же был предложен путь их конструктивного построения.

Основная проблема была в построении компактифицированных пространств модулей стабильных отображений кривых. Эти пространства были построены Бехрендом и Маниным7 и Бехрендом8. Они являются не просто многообразиями, а стеками Делиня–Мамфорда. Инварианты Громова–Виттена определяются в терминах пересечений циклов на этих пространствах. Теория пересечений на стеках была построена Вистоли9. Эти стеки не всегда имеют ожидаемую размерность. Чтобы определить индексы пересечения когомологических классов на них, необходимо было определить виртуальный фундаментальный класс цикл ожидаемой размерности в группе Чжоу, заменяющий обычный фундаментальный класс. Это было сделано в работах [Be96] и [BF96]10.

Инварианты Громова–Виттена числа пересечений когомологических циклов на пространствах модулей. Смысл примарных инвариантов (ожидаемые) числа рациональных кривых заданной степени на многообразии, пересекающих общие представители некоторых фиксированных классов гомологий.

Инварианты с потомками не имеют столь наглядного смысла, однако они заметно упрощают вычисление примарных инвариантов и, кроме того, сами выражаются через примарные.

Инварианты Громова–Виттена позволяют определить кольцо (малых ) квантовых когомологий деформацию кольца когомологий многообразия, [Or03] Д. О. Орлов, Триангулированные категории особенностей и D-браны в моделях Ландау-Гинзбурга, Тр. МИАН, 2004, 246, 240–262.

[KM94] M. L. Kontsevich, Yu. I. Manin, Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry, Comm. Math. Phys. 164 (1994) 525–562.

[BeMa96] K. Behrend, Yu. I. Manin, Stacks of Stable Maps and Gromov-Witten Invariants, Duke Math J. vol. 85, No 1 (1996), 1–60.

[Be96] K. Behrend, Gromov–Witten invariants in algebraic geometry, Invent. Math., 127(3), 1997, 601–617.

[Vi89] A. Vistoli, Intersection theory on algebraic stacks and their moduli, Inv. Math. (1989), 613–670.

[BF96] K. Behrend, B. Fantechi, The intrinsic normal cone, Inv. Math. 128 (1997), 45–88.

структурными константами умножения в котором являются трехточечные (то есть соответствующие трем циклам) примарные инварианты Громова– Виттена. Квантовое умножение определяет квантовый D-модуль, то есть тривиальное расслоение на прямой со слоем H(X, Q), в котором связность на постоянных сечениях задается квантовым умножением на канонический класс.

Особенности этого D-модуля в общем случае не регулярны. Процедура, позволяющая их сделать таковыми, называется регуляризацией.

С другой стороны, рассмотрим расслоение W : Y A1. Пусть dimC Y = n + 1. Рассмотрим послойный n-цикл t и послойную голоморфную n-форму t, t A1, непрерывно зависящие от точки на базе. D-модулем Пикара–Фукса называется D-модуль, решениями которого являются (возможно многозначные) функции (периоды) вида t.

t Гипотеза зеркальной симметрии вариаций структур Ходжа утверждает, что для каждого гладкого многообразия Фано существует такой пучок (“модель Ландау–Гинзбурга”), что его D-модуль Пикара–Фукса изоморфен регуляризованному квантовому D-модулю исходного многообразия.

В случае квантово-минимального многообразия Фано X размерности N квантовый D-модуль сводится к дифференциальному оператору типа DN.

Этот оператор можно алгоритмически выписать в терминах структурных констант квантового умножения на антиканонический класс многообразия двухточечных инвариантов Громова–Виттена. Это позволяет эффективно изучать рассматриваемый нами случай гипотезы зеркальной симметрии, что выгодно отличает его от других вариантов общей гипотезы.

Таким образом, встает вопрос нахождения инвариантов Громова–Виттена многообразий Фано. Этот вопрос пока не решен в общем случае; однако в некоторых частных случаях ответ на него известен. Как уже упоминалось, инварианты Громова–Виттена бесконечное множество чисел, связанных между собой некоторыми соотношениями. Первая теорема восстановления Концевича– Манина ([KM94]) гласит, что все они выражаются через двухточечные инварианты. Однако удобным оказывается “паковать” информацию об инвариантах и в другом виде. А именно, производящий ряд одноточечных инвариантов (введенный Гивенталем под названием J-ряда) называется I-рядом; оказывается, по нему можно восстановить все инварианты квантово минимального многообразия, что дает еще одну систему порождающих для инвариантов Громова–Виттена. Этот ряд играет важную роль в теории Громова–Виттена.

Например, в его терминах можно выписать решения уравнений типа DN или, что (гипотетически) то же самое, уравнения Пикара–Фукса. Одним из основных инструментов в нахождении инвариантов Громова–Виттена является квантовая теорема Лефшеца (Гивенталь, Лиан–Лиу–Яу, Ким, Гатманн).

Она дает точный рецепт, как получить I-ряд гиперповерхности в многообразии Фано, зная I-ряд самого многообразия. Вкупе с вычислением инвариантов проективных пространств (Гивенталь), грассманианов (гипотеза Хори– Вафа, Бертрам–Чиокан-Фонтанин–Ким), многообразий (частичных) флагов (Гивенталь–Ким), произвольных однородных пространств (Фултон–Вудвард), гладких торических многообразий (Гивенталь), трехмерных многообразий Фано, это дает множество примеров явных вычислений. Кроме того, Батырев разработал метод нахождения инвариантов и моделей Ландау–Гинзбурга для многообразий Фано, имеющих малые торические вырождения (то есть вырождения к торическим многообразиям с особенностями, допускающими малые торические разрешения).

Основной задачей зеркальной симметрии является нахождение подходящих кандидатов на роль зеркально двойственных многообразий. К настоящему времени известны кандидаты на двойственные модели Ландау– Гинзбурга для полных пересечений в гладких торических многообразиях (Батырев, Батырев–Борисов), грассманианах и пространствах флагов (Батырев–Чиокан-Фонтанин–Ким–Ван Стратен), многообразий Фано, допускающих малые торические вырождения (Батырев) и поверхностей Дель Пеццо (Кацарков–Орлов–Уру).

Естественно, такая богатая теория, как зеркальная симметрия, имеет много приложений в разных областях математики. Приведем два из них.

Первое приложение классификация многообразий Фано. Согласно зеркальной симметрии, каждому многообразию Фано соответствует двойственная модель Ландау–Гинзбурга. Изучая ее свойства (основываясь на том, что она соответствует многообразию Фано), можно попытаться выделить конечное число пучков с подходящими свойствами. По этим пучкам можно восстановить численные инварианты многообразий Фано (инварианты Громова–Виттена, характеристические числа) и составить список их семейств. В трехмерном случае, более простом, чем многомерный, так как все гладкие трехмерные многообразия Фано с группой Пикара Z квантово минимальны, классификация Исковских таких многообразий была воссоздана Голышевым в серии работ, а также автором в настоящей диссертации.

Второе приложение доказательство нерациональности некоторых многообразий Фано. А именно, о нерациональности можно судить, следя за поведением двойственной модели Ландау–Гинзбурга и монодромии ее особых слоев при раздутии многообразия Фано (эта идея принадлежит, по-видимому, Кацаркову).

Цель работы Цель работы исследование гипотез зеркальной симметрии для гладких трехмерных многообразий Фано с группой Пикара Z (в частности, нахождение их квантовых когомологий и построение некоторых слабых моделей Ландау– Гинзбурга), изучение решений детерминантальных уравнений для многообразий Фано, а также построение абстрактной теории Громова–Виттена для квантово минимальных многообразий.

Структура и объем диссертации Диссертационная работа изложена на 117 страницах и состоит из введения и трех глав. Библиография включает 59 наименований.

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»