WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

p В § 3.2 доказывается обобщенное неравенство Пуанкаре для функций, определенных в областях Джона общих группах Карно, при условии выполнения слабого неравенства. Следовательно, принимая во внимание результаты § 3.1.2, обобщенное неравенство Пуанкаре на двухступенчатых группах Карно имеет место без дополнительных условий. В этом параграфе используется метод работы [24], который основывается на лемме Уитни о декомпозиции.

Условие 1. Предположим, что для фиксированного 1 < p < и для k любой функции f Wp (G) выполняется слабое неравенство Пуанкаре nh XI(f - PBf) Crk-|I| Xi... Xi f, Lp(B) 1 k Lp(1B) i1,...,ik=где B некоторый шар, I мультииндекс, |I|h k, константа C зависит от r,, p и PBf горизонтальный полином степени k - 1.

Основным результатом главы 3 является следующая Теорема 3.3. Пусть выполняется условие 1, и U J(, ). Тогда для всякого k N найдется проекционный оператор P, переводящий функk ции класса Wp (U) в горизонтальные полиномы степени не выше k - 1, такой, что справедливо неравенство nh XI(f - P f) C(diam U)k-|I| Xi... Xi f, Lp(U) 1 k Lp(U) i1,...,ik=где I мультииндекс, |I|h k, константа C зависит от, p,,, и выполнено соотношение k - |I|h >.

p В четвертой главе на группах Гейзенберга исследуется вопрос о регулярности слабых решений линейных субэллиптических уравнений вида 2n 2n 2n - Xi[aijXjw + aiw] + biXiw + aw = g + Xigi.

i,j=1 i=1 i=Полученные результаты обобщают результаты О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой [5].

В § 4.1 формулируются и частично доказываются вспомогательные утверждения. В § 4.2 вводится класс функций B(, M,, 1, ) и докаs зывается, что функции данного класса удовлетворяют условию Гёльдера (теорема 4.2).

Определение 4.1. Функция w(q) принадлежит классу B(, M,, 1, ), s 1,если w(q) W (), sup |w| M и функции v(q) = ±w(q) удовлетво ряют неравенствам |Xv|2 dq -2-2(1-/s) max(v(q) - k)2 + 1 (mes Ak,)1-2/s, Ak, Ak,где Ak, = {q B() : v(q) > k}, (0, 1), B() и B( - ) произвольные концентрические шары, k произвольное число такое, что k sup v(q) - 2M, s >, M,, 1 фиксированные положительные B() числа.

Теорема 4.2. Пусть w(q) B(, M,, 1, ) и шар B(0). Тогда s существует > 0, что для любого концентрического с B(0) шара B(), 0, выполняется неравенство osc{w; B()} C(/0), где C = C(, 0,, 0, t, M, s). То есть класс B(, M,, 1, ) вкладываs ется в C().

Далее в §4.3 показывается, что в области Джона слабое реше1,ние w Wloc () линейного уравнения принадлежит B(, M,, 1, ), s а, следовательно, C() для некоторого > 0. Основным результатом главы 4 является следующая 1,Теорема 4.3. Пусть область Джона, w Wloc () слабое решение уравнения 2n 2n 2n - Xi[aijXjw + aiw] + biXiw + aw = g + Xigi, i,j=1 i=1 i=коэффициенты которого удовлетворяют условиям: существуют константы µ1, µ2, µ3 > 0 такие, что для s > верны соотношения:

2n µ12 aijij µ22, i,j=2n 2n 2n a2 + b2 + |a| µ3, g µ3, gi µ3.

i i s/2, s/2, s, i=1 i=1 i= Тогда w Cloc().

1,В пятой главе исследуются слабые решения u Wloc () квазилинейного субэллиптического уравнения 2n - XiAi(q, u, X1u,..., X2nu) = f(q, u, X1u,..., X2nu), (6) i=где коэффициенты удовлетворяют некоторым специальным условиям.

Полученные результаты обобщают теоремы Л. Капоньи [17], в работе которого на группах Гейзенберга исследуются свойства регулярности решений уравнения 2n - XiAi(q, X1u,..., X2nu) = f(q).

i=Глава состоит из трех параграфов. В § 5.1 приведены вспомогательные утверждения. В § 5.2 введено определение разностного частного и доказана теорема 5.1, позволяющая "дифференцировать" основное уравнение вдоль левоинвариантных векторных полей. Кроме этого, в теоремах 5.2 и 5.3 устанавливается, что вертикальная и горизонтальные производные слабого решения уравнения (6) принадлежат пространству 1,Wloc () и являются слабыми решениями линейных уравнений вида 2n 2n 2n - Xi[aijXjw + aiw] + biXiw + aw = g + Xigi.

i,j=1 i=1 i=В § 5.3, основываясь на полученных результатах и результатах 4 главы, доказывается г ельдеровость риманова градиента слабого решения уравнения (6). Основным результатом пятой главы является 1,Теорема 5.4. Пусть Hn область Джона, u Wloc () слабое решение уравнения 2n - XiAi(q, u, X1u,..., X2nu) = f(q, u, X1u,..., X2nu), i=где Ai(q, u, ) : Hn R R2n R дифференцирумая функция. Кроме этого, выполняются следующие условия на коэффициенты: существуют константы C1 > 0, C2 > 0, C3 > 0 такие, что 2n -C1 ||2 Ai(q, u, )ij C1||2, j i,j=2n 2 1/ Ai(q, u, ) C2(1 + ||) u i=и 2n 2 1/ Ai(q, u, ) C3(1 + ||);

qj i,j=существует константа µ > 0, что для r > и любого 1 i0 2n 2n 2n 2 Ai(q, u, Xu) + f(q, u, Xu) u j i=1 j= + f(q, u, Xu) µ, u r/2, f(q, u, Xu) µ, q2n+1 r/2, 2n Ai(q, u, Xu) µ, q2n+1 r, i=2n f(q, u, Xu) + f(q, u, Xu)T u + Ai(q, u, Xu)XjT u qi j j 0 i,j=2n 2n + Ai(q, u, Xu)T u + Ai(q, u, Xu) µ, u q2n+1 r/2, i=1 i=2n Ai(q, u, Xu)T u + Ai(q, u, Xu) µ, j qi r, 0 i=где j0 = i0 + n, при 1 i0 n, и j0 = i0 - n, при n + 1 i0 2n.

1, Тогда существует риманов градиент u Cloc() Wloc (), где (0, 1) некоторое число.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д. ф.-м. н. С. К. Водопьянову за постановку задачи, постоянное внимание и неоценимую помощь в работе.

Список литературы [1] Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

[2] Водопьянов С. К. Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 6.

С. 1269–1295.

[3] Водопьянов С. К., Пупышев И. М. Теорема типа Уитни о продолжении функций на группах Карно // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 4. С. 731–752.

[4] Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения.

М.: Наука, 1983.

[5] Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

[6] Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. Л.: Изд–во Ленингр. гос.

ун–та, 1985.

[7] Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962.

[8] Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

[9] Решетняк Ю. Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе.

Новосибирск: Изд–во Ин–та математики СО РАН, 1996.

[10] Романовский Н. Н. Интегральные представления и теоремы вложения для функций, заданных на группах Гейзенберга // Докл. РАН.

2002. T. 382, № 4. С. 456–459.

[11] Романовский Н. Н. О проблеме Михлина на группах Карно // Сиб.

мат. журн. 2008. Т. 49, № 1. С. 193–206.

[12] Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа, в математической физике. М.: Наука, 1988.

[13] Соболев С. Л. Избранные труды. Новосибирск: Изд–во Ин–та математики СО РАН, 2006. T. II.

[14] Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Мир, 1973.

[15] Уральцева Н. Н. Вырождающиеся квазилинейные эллиптические системы // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1968. Т. 7. С. 184– 222.

[16] Burenkov V. I. Sobolev spaces on domains. Teubner–Texte zur Mathematik. Stuttgard-Leipzig. B.137. 1998.

[17] Capogna L. Regularity of quasilinear equations in Heisenberg group // Comm. Pure Appl. Math. 1997. V. 50. P. 867–889.

[18] Capogna L., Danielli D., Garofalo N. An embedding theorem and the Harnack inequality fjr njnlinear subelliptic equations // Comm. Partial Differential Equations. 1993. V. 18. P. 1765–1794.

[19] Capogna L., Danielli D., Garofalo N. Capacitary estimates and the local behavior of solutions to nonlinear subelliptic equations // Amer.

J. Math. 1996. V. 118. P. 1153–1196.

[20] Dairbekov N. S. Mappings with Bounded Distortion of Two-Step Carnot Groups // Труды по анализу и геометрии. Новосибирск:

Изд–во Ин–та математики СО РАН, 2000. P. 122–155.

[21] Folland G. B., Stein I. Estimates for the complex and analysis on the Heisenberg group, spaces on homogeneous groups // Comm. Pure Appl.

Math. 1974. V. 27. P. 459–522.

[22] Folland G. B., Stein I. Hardy spaces on homogeneous groups. Princeton, NJ: Amer. Math. Soc., 1982.

[23] Franchi B., Lanconelli E. Hlder regularity theorem for a class of non uniformly elliptic operators with measurable coefficients // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. Cl. Sci. 1983. V. 10, № 4. P. 523–541.

[24] Garofalo N., Nhieu D. M. Isoperimetric and Sobolev inequalities for Carnot–Carathodory spaces and the existence of minimal surfaces // Commun. Pure Appl. Math. 1996. V. 49, № 10. P. 1081–1144.

[25] Heinonen J., Holopainen I. Quasiregular maps on Carnot groups // J.

Geom. Anal. 1997. V. 7, № 1. P. 109–148.

[26] Hrmander L. Hypoelliptic second order differential equations // Acta Math. 1967. V. 119. P. 147–171.

[27] Jerison D. The Poincar inequality for vector fields satisfying Hormander’s condition // Duke Math. J. 1986. V. 53, № 2. P. 503–523.

[28] Kohn J. J. Pseudo–differential operators and hypoellipticity //Proc.

Symp. Pure Math, 23, Amer. Math. Soc., 1973.

[29] Rotschild G. B., Stein I. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups // Acta Math. 1976. V. 137. P. 247–320.

[30] Snches-Calle A. Fundamental solutions and geometry of sums of squares of vector fields // Invent.Math. 1984. V. 78. P. 143–160.

[31] Vodopyanov S. K. Foundations of the Theory of Mappings with Bounded Distortion on Carnot Groups // The Interaction of Analysis and Geometry. Contemporary Mathematics. 2007. V. 424. P. 303–344.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ [32] Саженкова Е. А. (Плотникова Е. А.) Об интегральных представлениях на группах Карно // Материалы XLI Международной научной студенческой конференции Студент и научно-технический прогресс. Новосибирск: Изд–во НГУ, 2003. С. 38–39. III место [33] Саженкова Е. А. (Плотникова Е. А.) Интегральные представления на общих группах Карно // Материалы XLII Международной научной студенческой конференции Студент и научно-технический прогресс. Новосибирск: Изд–во НГУ, 2004. С. 78–79. стр.

[34] Саженкова Е. А. (Плотникова Е. А.) Теоремы вложения на двухступенчатых группах Карно // Тезисы Международной школыконференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю. Г. Решетняка, 23 августа – 2 сентября 2004 г. Новосибирск: Изд-во Ин–та математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2004.

С. 227.

[35] Саженкова Е. А. (Плотникова Е. А.) Интегральные представления на двухступенчатых группах Карно // Тезисы Международной конференции, посвященной 100-летию академика С. М. Никольского, 23 – 29 мая 2005 г. М.: Изд-во Математического института им.

В. А. Стеклова РАН, 2005. С. 196.

[36] Плотникова Е. А. Регулярность решений квазилинейных уравнений субэллиптического типа // Материалы XLIV Международной научной студенческой конференции Студент и научнотехнический прогресс. Новосибирск: Изд–во НГУ, 2006. С. 51–52.

[37] Плотникова Е.А. Обобщенное неравенство Пуанкаре на областях Джона двухступенчатых групп Карно // Материалы XLV Международной научной студенческой конференции Студент и научнотехнический прогресс. Новосибирск: Изд–во НГУ, 2007. С. 104– 105.

[38] Плотникова Е.А. Обобщенное неравенство Пуанкаре на областях Джона общих групп Карно // Материалы десятой Региональной конференции по математике МАК-2007. Барнаул: Изд–во АлтГУ, 2007. С. 28–30.

[39] Плотникова Е.А. Регулярность решений квазилинейных уравнений субэллиптического типа // Материалы Российской конференции Математика в современном мире, посвященной 50-летию Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН, 17 – 23 сентября 2007 г. С. 87.

http://math.nsc.ru/conference/conf50/Abstracts.pdf [40] Плотникова Е.А. Регулярность решений квазилинейных уравнений субэллиптического типа на группах Гейзенберга // Материалы одиннадцатой Региональной конференции по математике МАК2008. Барнаул: Изд–во АлтГУ, 2008. С. 21–23.

[41] Плотникова Е. А. Интегральные представления и обобщенное неравенство Пуанкаре на группах Карно // Сиб. мат. журн. 2008.

Т. 49. № 2. С. 421–437.

[42] Плотникова Е. А. Интегральные представления функций класса Соболева на областях групп Карно // Математические труды. 2008.

Т. 11. № 1. С. 113–131.

Плотникова Елена Александровна Пространства Соболева и cубэллиптические уравнения на группах Карно Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Подписано в печать Формат 60 84 1/16.

Усл. печ. л. 1. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ №.

Редакционно-издательский центр НГУ.

630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»