WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ 2004–10

На правах рукописи

Соловьев Владимир Олегович РОЛЬ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ В ГАМИЛЬТОНОВОЙ ДИНАМИКЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико–математических наук

Протвино 2004 М–24 УДК 539.1.01

Работа выполнена в Отделе теоретической физики ГНЦ РФ Институт физики высоких энергий (г. Протвино).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук И.П. Волобуев (НИИЯФ МГУ, г. Москва), доктор физикоматематических наук М.О. Катанаев (МИАН РАН, г. Москва), доктор физико-математических наук В.В. Нестеренко (ОИЯИ, Дубна).

Ведущая организация – ИЯИ РАН, г. Москва.

Защита диссертации состоится “ ” 2004 г.

в часов на заседании диссертационного совета Д 034.02.01 при Институте физики высоких энергий по адресу: 142281, Протвино Московской обл.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФВЭ.

Автореферат разослан “ ” 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 034.02.01 Ю.Г. Рябов © Государственный научный центр Российской Федерации Институт физики высоких энергий, 2004

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Принцип локальности в теории поля при бесконечном пространстве-времени, на первый взгляд, всегда позволяет свести граничные задачи к тривиальным случаям и рассматривать в качестве действия, гамильтониана и других аналогичных величин локальные функционалы, эквивалентные по модулю интегралов от дивергенций. Однако в современных физических теориях, как правило, присутствует та или иная форма инвариантности относительно преобразований, зависящих от произвольных функций координат. B гравитации — это общекоординатная инвариантность, в теории струн — конформная, для полей Янга–Миллса — калибровочная, в собственном смысле этого слова. Это приводит к появлению дальнодействующих мод, таких как кулоновский потенциал.

Изменение граничных условий оказывает наиболее существенное влияние именно на эти нелокализуемые компоненты, изменяя в результате глобальные характеристики полей, каким бы большим ни был объем рассматриваемой области пространства. В процессе редукции, т.е. исключения нефизических степеней свободы путем наложения калибровок, в таких теориях некоторые дивергенции перестают быть дивергенциями, и интегралы от них по объему начинают влиять на внутреннюю динамику.

В последнее время внимание к граничным эффектам в физике фундаментальных взаимодействий особенно усилилось. Это связано как с появлением в качестве основных моделей фундаментальных взаимодействий протяженных объектов — релятивистских струн и бран, так и с детальным изучением моделей с горизонтами типа черных дыр.

Обсуждаются, например, поведение открытой струны с концами на D-бране и связанная с ним некоммутативность координат, вклад горизонта в число состояний и, следовательно, в энтропию черной дыры, связь объемных и граничных теорий (голография) и т.д.

Цель диссертационной работы — развитие гамильтонова формализма в направлении, позволяющем рассматривать широкие классы граничных условий, а поэтому и физических задач. В частности, это требует нового определения скобки Пуассона взамен стандартного, основанного на отбрасывании членов, возникающих при интегрировании по частям. Также подразумевается существенная роль граничных членов в гамильтониане и в других генераторах теории, кроме того, требуется установить соответствие этих величин с граничными членами в функционале действия.

В диссертации предложено и обосновано новое определение теоретико-полевой скобки Пуассона, которое не требует обращения в ноль граничных членов. Это позволяет существенно расширить область применения гамильтоновых методов и распространить их на новый класс задач.

В качестве примеров физических задач, рассмотренных в диссертации, можно назвать динамику гравитационного поля с учетом поверхностных членов как на пространственной бесконечности, так и на горизонте черной дыры. В формализме Арновитта–Дезера– Мизнера показано, что алгебра генераторов преобразований координат (обобщенных гамильтонианов) может быть замкнута не только по модулю дивергенций, что общепринято, но и с учетом поверхностных членов при трехмерно-ковариантных граничных условиях в асимптотически плоском пространстве-времени. Для переменных Аштекара на границе обнаружено отличие пуассоновой структуры от канонической. Показано, что учет этой неканоничности необходим для построения замкнутой алгебры генераторов пространственных диффеоморфизмов и калибровочных вращений триад, независимой от вида граничных условий.

При постановке граничных условий на горизонте черной дыры показано, что стандартное определение скобки Пуассона и требование дифференцируемости гамильтониана (подход Редже– Тейтельбойма) оказываются неприменимыми. Hеобходимo использовать новое определение скобки Пуассона, которое позволяет предложить корректный вывод формулы для энтропии черной дыры.

Отдельный класс образуют задачи со свободной границей, встречающиеся, например, в гидродинамике, теории струн и бран. На примере динамики идеальной сжимаемой жидкости демонстрируется применение развитого в диссертации гамильтонова формализма к задачам со свободной границей.

Научная новизна • Впервые предложен метод нахождения интегральных (глобальных) законов сохранения в калибровочных теориях, непосредственно основанный на асимптотической линеаризации динамических уравнений движения, возникающей при учете граничных условий.

• Предложено новое определение асимптотически плоского пространства-времени, исходящее из линеаризации поверхностных членов в скобках Пуассона генераторов эволюции в каноническом формализме ОТО.

• Впервые показано, что преобразование Аштекара в гамильтоновом формализме общей теории относительности является каноническим лишь с точностью до граничных членов.

• Впервые предложена формула для полевых скобок Пуассона, точно удовлетворяющая тождеству Якоби.

• Новая формула для скобок Пуассона впервые применена к задачам динамики идеальной жидкости со свободной поверхностью и вычисления энтропии черной дыры.

Научная и практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при решении широкого круга задач, таких, например, как изучение асимптотических свойств калибровочных и гравитационных полей, изучение влияния горизонтов на поведение физических полей, описание взаимодействия открытых струн и D-бран, описание динамики сплошных сред со свободной поверхностью и других.

Научные результаты, выносимые на защиту:

1. Предложен метод нахождения глобальных (или асимптотических) законов сохранения в калибровочных теориях, основанный на дополнении классического подхода Э. Нетер учетом граничных условий, которые должны обеспечивать асимптотическую линеаризацию полевых уравнений.

2. Вычислены поверхностные члены в пуассоновой алгебре генераторов координатных преобразований общей теории относительности. Показано, что при граничных условиях, обеспечивающих линеаризацию этих членов на фоне плоской метрики, и при условии, что координатные преобразования асимптотически являются векторами Киллинга этой плоской метрики пуассонова алгебра реализует алгебру Пуанкаре.

3. Найдены не зависящие от выбора пространственных координат граничные условия, являющиеся достаточными для асимптотической реализации алгебры Пуанкаре. Для частного случая декартовых координат эти граничные условия улучшают предшествовавшие результаты.

4. Показано, что преобразование Аштекара, лежащее в основе нового направления квантования гравитации, является каноническим лишь с точностью до поверхностных членов. Вследствие этого оказывается, что при решении задач с нетривиальными граничными условиями необходимо вносить поправки в полученные ранее в рамках подхода Аштекара результаты.

5. Для пуассоновой алгебры генераторов преобразований пространственных координат и калибровочных вращений базисных триад показано, что учет неканоничности преобразования Аштекара совместно с использованием новой формулы для скобки Пуассона позволяет обеспечить замыкание алгебры даже в случае, когда и поля и преобразования на границе остаются произвольными (т.е. при свободных граничных условиях).

6. Предложен подход, позволяющий учитывать поверхностные вклады, возникающие при вычислении скобок Пуассона между локальными функционалами, уже на стадии скобок для подынтегральных выражений. Он состоит в явном введении в операции с -функцией характеристических -функций области интегрирования.

7. Впервые указано на ограниченность подхода Редже и Тейтельбойма к нетривиальным граничным задачам, состоящую в том, что кроме поверхностных вкладов в гамильтониан необходимо учитывать и аналогичные вклады в теоретико-полевые скобки Пуассона или в симплектическую форму.

8. На конкретных примерах (гидродинамика, формализм Аштекара в ОТО) продемонстрировано, что в случаях, когда скобки Пуассона между переменными не являются ультралокальными, критерий дифференцируемости гамильтониана, выдвинутый Редже и Тейтельбоймом, неприменим. Взамен предложен более общий критерий, требующий регулярности гамильтоновых векторных полей при выполнении граничных условий.

9. Предложена формула для теоретико-полевых скобок Пуассона, обеспечивающая точное выполнение тождества Якоби независимо от граничных условий, в то время как стандартные скобки удовлетворяют тождеству Якоби лишь с точностью до дивергенций.

10. Доказано, что новое выражение для скобок Пуассона является инвариантным при любых локальных, т.е. содержащих конечное число производных, преобразованиях полей независимо от граничных условий.

11. Показано, что основные геометрические конструкции формального вариационного исчисления при учете дивергенций могут быть расширены таким образом, что новая формула для скобки Пуассона следует из них единственным образом.

12. На примере гидродинамики идеальной (невязкой) жидкости построено приложение новой формулы для скобки Пуассона к задачам со свободной границей. Формализм разработан как для лагранжевых, так и для эйлеровых переменных, и в обоих случаях продемонстрирована связь между гамильтоновым и лагранжевым подходами. Показано, что естественные граничные условия вариационного метода соответствуют в гамильтоновом методе требованию регулярности гамильтоновых векторных полей (т.е. гамильтоновых уравнений движения).

13. Показано, что при определенных граничных условиях (предложенных в работе Карлипа) новая формула для скобок Пуассона позволяет вычислить энтропию черной дыры, в то время как подход Редже и Тейтельбойма оказывается неприменимым.

Апробация работы. Публикации. Результаты диссертации докладывались на 5-, 14-, 16- и 17-ом международных семинарах по физике высоких энергий и теории поля (Протвино, 1982; 1991; 1993;

1994), на 6-, 12- и 14-ом международных семинарах по физике высоких энергий и квантовой теории поля (Лазаревское, 1991; Самара, 1997; Москва, 1999), на 6-ом симпозиуме имени Марселя Гроссмана (Киото, Япония, 1991), на Международном коллоквиуме по дифференциальной геометрии (Москва, 1993), на Сибирской школе по алгебре и анализу (бухта Солнечная, 1993), на 20-ом Международном коллоквиуме по теоретико-групповым методам в физике (Тойонака, Япония, 1994), на семинаре "Калибровочные поля и гравитационное поле"(Киото, Япония, 1994), на Симпозиуме по дифференциальной геометрии и математической физике центра имени Банаха (Варшава, Польша, 1995), на Рабочем совещании "Динамика систем со связями и квантовая гравитация"(Дубна, 1995), на 14-ой Международной конференции по общей теории относительности и гравитации (Флоренция, Италия, 1995), на 29-oм Международном симпозиуме Ареншоп по теории элементарных частиц (Буков, Германия, 1995), на Международной конференции "Вторичное исчисление и когомологическая физика"(Москва, 1997), на Рабочем совещании "Физические переменные в калибровочных теориях"(Дубна, 1999). Тезисы доклада были представлены также на 13-ой Международной конференции по общей теории относительности и гравитации (Кордоба, Аргентина, 1992).

Результаты диссертации также докладывались на семинарах Отдела теоретической физики ИФВЭ, Отдела квантовой теории поля МИАН имени Стеклова, на семинарах кафедр теоретической физики Красноярского и Самарского университетов, Отдела физики высоких энергий Международного центра теоретической физики имени Абдуса Салама (Триест, Италия), семинарах отделений Национального института ядерной физики (Италия) в Неаполе и Пизе, на семинарах математического и физического факультетов университета Флоренции (Италия).

Результаты диссертации опубликованы в работах [1-24], в том числе 11 статей в журналах, 3 препринта и 10 публикаций в трудах конференций.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 8 глав основного текста и заключения, содержит список литературы (132 ссылки). Объем диссертации 229 страниц.

Содержание работы Во введении показана актуальность темы диссертации и кратко изложена история вопроса.

В главе 1 рассматривается построение алгебры генераторов гамильтонова формализма общей теории относительности с поверхностными членами. В отличие от подхода Редже–Тейтельбойма в диссертации эти члены получаются прямым вычислением скобок Пуассона с сохранением всех дивергенций. В общем случае найденные выражения не образуют (вместе со связями гамильтонова формализма) замкнутой алгебры, это позволяет использовать критерий замкнутости для непосредственного поиска удовлетворяющих ему граничных условий. Впервые в гамильтоновом формализме показано, что граничные условия можно ставить независимо от выбора системы пространственных координат. Это позволяет дать новое определение асимптотически плоского пространства-времени.

В частном случае декартовой (или галилеевой) системы координат найденные граничные условия оказываются более общими, чем условия, предложенные Редже и Тейтельбоймом.

В главе 2 рассматривается задача нахождения асимптотических законов сохранения в теориях, обладающих калибровочной, в широком смысле слова, инвариантностью. Помимо собственно калибровочных полей (полей Янга-Миллса) сюда относятся общековариантные теории. Показано, что метод нахождения законов сохранения, основанный на первой теореме Нетер, в этом случае не приводит к определенному результату. По своему смыслу асимптотические законы сохранения требуют учета не только свойств инвариантности лагранжиана, но и граничных (асимптотических) условий.

В классической работе Э. Нетер эти вопросы не обсуждались.

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»